1、4.7 相似三角形的性质相似三角形的性质 第第 1 课时课时 相似三角形中的对应线段之比相似三角形中的对应线段之比 1.明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系； （重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.（难点） 一、情景导入 在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三 角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中 是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质. 二、合作探究 探究点一：相似三角形对应高的比 如图，ABC 中，D
2、EBC，AHBC 于点 H，AH 交 DE 于点 G.已知 DE10，BC15， AG12.求 GH 的值. 解：DEBC， ADEB，AEDC. ADEABC. 又AHBC，DEBC，AHDE. DE BC AG AH，即 10 15 12 AH. AH18. GHAHAG18126. 方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，将所求线段转化为求对应高 的差. 探究点二：相似三角形对应角平分线的比 两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6cm 和 8cm，如果它们对应的两条角平分线的 和为 42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解：方法一：设其中较短的角平分线的长为 xc
3、m，则另一条角平分线的长为（42x）cm. 根据题意，得 x 42x 6 8.解得 x18. 所以 42x421824（cm）. 方法二：设较短的角平分线长为 xcm，则由相似性质有 x 42 6 14.解得 x18.较长的角平分线长为 24cm. 故这两条角平分线的长分别为 18cm，24cm. 方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的 比才等于相似比，而相似比即为对应边的比，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形. 探究点三：相似三角形对应中线的比 已知ABCABC， AB AB 2 3，AB 边上的中线 CD4cm，求 AB边上的中线 CD. 解：AB
4、CABC，CD 是 AB 边上的中线，CD是 AB边上的中线， CD CD AB AB 2 3. 又CD4cm， CD3CD 2 3 246（cm）. 即 AB边上的中线 CD的长是 6cm. 方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比. 三、板书设计 相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都 等于相似比. 通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，经历“观察猜想论证归纳”的过程， 渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比 的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决
5、问题的能 力. 第第 2 课时课时 相似三角形的周长和面积之比相似三角形的周长和面积之比 1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方； （重点） 2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点） 一、情景导入 如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与 AB 平行的方向画一条直线，将 花坛分割出一片三角形地块，测出CDE 的面积为 10 平方米，CD 长为 4m，BD 长为 6m.根据所测 得的数据，请你计算出整个花坛ABC 的面积. 二、合作探究 探究点一：相似三角形的周长比 已知ABCABC，AD 是ABC 的中线，AD是ABC的中线，若
6、 AD AD 1 2，且 ABC的周长为 20cm，求ABC 的周长. 解： 因为ABCABC， 所以它们周长的比等于它们的相似比， 对应边中线的比等于相似比， 即相似比 k AD AD 1 2， ABC的周长 ABC的周长 1 2. 已知ABC的周长为 20cm，所以ABC的周长 20 1 2.所以ABC 的周长为 10cm. 易错提醒：在相似表达式ABCABC及对应中线比 AD AD 1 2中，都是ABC 在前， ABC在后，而在出现问题时，ABC在前，ABC 在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调 整或者直接把相关量代入关系式求解. 探究点二：相似三角形的面积比 如图，在ABC 中，B
7、CAC，点 D 在 BC 上，且 DCAC，ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F，点 E 是 AB 的中点，连接 EF.若四边形 BDFE 的面积为 6，求ABD 的面积. 解：CF 平分ACB，DCAC， CF 是ACD 的中线，即 F 是 AD 的中点. 点 E 是 AB 的中点，EFBD，且EF BD 1 2. BAEF，ADBAFE，AEFABD.S AEF SABD（ 1 2） 21 4. SAEFSABDS四边形BDFESABD6， S ABD6 SABD 1 4. SABD8，即ABD 的面积为 8. 易错提醒：在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是 对应三角形的面积比，在本题中不要犯由 EF：BD1：2 得 SAEF：SABD1：2，或 SAEF：S四边形 BDFE1：2 之类的错误. 三、板书设计 相似三角形的周长和面积之比：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 经历相似三角形的性质的探索过程，培养学生的探索能力.通过交流、归纳，总结相似三角形的周长 比、面积比与相似比的关系，体验化归思想.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，训练 学生的运用能力，增强学生对知识的应用意识.
