1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（27） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1（5 分）已知集合 1 |0 2 x Ax x ，|2BxN x，则(AB ) A( , 2) B( , 2)1 ，2) C1，2 D0，1，2 2（5 分）已知正实数a，b满足 2 ()724abii ，则复数abi为( ) A43i B43i C34i D34i 3（5 分）记 n S为等差数列 n a 的前n项和，
2、若 65 3(3)Sa ，且 4 1a ，则 n a 的公差为( ) A2 B0 C2 D4 4（5 分）某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共 5 人，他们排成一排照相，则甲、乙二人相邻的排 法种数为( ) A24 B36 C48 D60 5（5 分）如果在一次实验中，测得( , ) x y的四组数值分别是(1,2.2)，(2,3.3)，(4,5.8)，(5,6.7)，则y对x 的线性回归方程是( ) A 0.154.05yx B 1.45yx C 1.051.15yx D 1.151.05yx 6.（5 分）已知 1 3 1 ( ) 4 a ，1 4 1 log 5 b ，20 c c，则
3、( ) Aab c Bcba Ccab Dacb 7（5 分）命题p：关于x的不等式 2 10axaxx 的解集为(， 1 1)(,) a 的一个充分不必要条 件是( ) A 1a B0a C20a D2a 8 （5 分）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 1 F的直线l交椭圆C于A，B两 点，已知 2121 ()0AFFFAF， 11 4 3 AFFB ，则椭圆C的离心率为( ) A 5 7 B 2 2 C 5 3 D 1 3 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出
4、的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9（3 分）2020 年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却 “逆市”而行下图是该地某小区 2019 年 12 月至 2020 年 12 月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平 方米）的散点图（图中月份代码113分别对应 2019 年 12 月 2020年 12 月） 根据散点图选择yab x和y cdlnx 两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程
5、分别为 0.93690.0285yx和0.95540.0306ylnx，并得到以下一些统计量的值： 0.93690.0285yx 0.95540.0306ylnx 2 R 0.923 0.973 注：x是样本数据中x的平均数，y是样本数据中y的平均数，则下列说法正确的是( ) A当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系 B由0.93690.0285y x预测 2021 年 3 月在售二手房均价约为 1.0509 万元/平方米 C曲线0.93690.0285yx与 0.95540.0306ylnx 都经过点(x， )y D模型 0.95540.0306ylnx 回归曲线的拟合效果比模型0.9
6、3690.0285yx的好 10（5 分）函数 2 ( )2 3sin cos2sin1f xxxx的图象向右平移 24 个单位长度后得到函数 ( )g x的图象， 对于函数 ( )g x，下列说法正确的是( ) A ( )g x的最小正周期为 B ( )g x的图象关于直线 5 24 x 对称 C ( )g x在区间, 4 4 上单调递增 D ( )g x的图象关于点 13 (,0) 24 对称 11（5 分）已知 626 0126 (23 ) xaa xa xa x，则下列选项正确的是( ) A 3 360a B 22 0246135 ()()1aaaaaaa C 6 126 (23)aa
7、a D展开式中系数最大的为 2 a 12（5 分）如图 1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点（不含端点），将ABE沿EE翻折， 使得二面角BAED为直二面角，得到图 2 所示的四棱锥BAECD，点F为线段BD上的动点（不含端 点），则在四棱锥BAECD中，下列说法正确的有( ) AB、E、C、F四点不共面 B存在点F，使得 / /CF平面BAE C三棱锥BADC的体积为定值 D存在点E使得直线BE与直线CD垂直 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13（5 分）已知向量 (1,1)a ，b与a的夹角为 3 4 ，且| 1a
8、b，则b 14（5 分）已知函数 2 ( )f xaxlnx满足 0 (1)(12) lim2 3 x ffx x ，则曲线 ( )yf x 在点 11 ( ,( ) 22 f 处的切 线斜率为 15（5 分）莱昂哈德欧拉是科学史上一位杰出的数学家，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许 多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的欧拉发现，不论什么形状的凸多面体， 其顶点数V、棱数E，面数F之间总满足数量关系2VFE，此式称为欧拉公式已知某凸八面体，4 个面是三角形，3 个面是四边形，1 个面是六边形，则该八面体的棱数为 ，顶点的个数为 16（5 分）如图，抛物线 2 :4C
9、xy的焦点为F，P为抛物线C在第一象限内的一点，抛物线C在点P处 的切线PM与圆F相切（切点为 )M 且交y轴于点Q，过点P作圆F的另一条切线PN（切点为 )N交y轴 于T点若已知| | |FQFP ，则| |FT 的最小值为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10 分）已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， cossincbAaB （1）求B； （2）若2 5b ，2ac，求ABC的面积 18（12 分）已知数列 n a 中， 1 1a ， * 1
10、() 3 n n n a anN a （1）求证： 11 2 n a 为等比数列，并求 n a 的通项公式； （2） 数列 n b 满足 (31) 2 n nn n n ba ， 数列 n b 的前n项和为 n T， 若不等式 1 ( 1) 2 n n n n T 对一切 * nN 恒成立，求的取值范围 19（12 分）为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖 区内某一个县的 27 个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行 了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行 分
11、级，绘制了如图所示的条形图 （1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取 6 个，求在轻度、中度、重度污 染的行政村中分别抽取的个数； （2）规定：轻度污染记污染度为 1，中度污染记污染度为 2，重度污染记污染度为 3从（1）中抽取的 6 个行政村中任选 3 个，污染度的得分之和记为X，求X的数学期望 20 （12 分） 如图， 在四棱锥SABCD中， 底面ABCD是边长为 2 的菱形， 3 CBA ，2SASD，E， F分别为SA，CD的中点 （1）证明：/ /DE平面SBF； （2）若2SF ，求二面角ASBF的余弦值 21（12 分）椭圆 22 22 :1(0) x
12、y Cab ab 过点 (2,3)M ，其上，下顶点分别为点A，B，且直线AM，MB 的斜率之积为 3 4 AMBM kk （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的左顶点 (,0)Qa 作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T若 2 QSQT kk ，求证：直线 ST过定点 22（12 分）已知函数 2 ( ) 1 x e f x axbx ，其中0a ，bR，e为自然对数的底数 （1）若1b ，且当0 x时， ( ) 1f x 总成立，求实数a的取值范围； （2）若0b ，且 ( )f x存在两个极值点 1 x， 2 x，求证： 12 3 1()() 2 f xf xe a 考前考前 30 天
13、冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（27）答案）答案 1解：集合 1 |0 |2 2 x Axx x x 或1x，又|2BxN x， 所以 1AB ，2 故选：C 2解：因为 2 ()724abii ，所以 22 2724ababii ， 故 22 7 224 ab ab ，又0a ，0b ，解得 3 4 a b ， 所以复数abi为34i 故选：C 3解：等差数列 n a 中， 65 3(3)Sa ，且 4 1a ， 则 11 1 6153(43) 31 adad ad ， 解得，2d 故选：A 4解：根据题意，先将甲乙看成一个整体，有 2 2 A种顺序， 再将这个整体与剩下 3 人全
14、排列，有 4 4 A种情况， 则有 24 24 48A A 种排法， 故选：C 5解： 1 (1245)3 4 x ， 1 (2.23.35.86.7)4.5 4 y ， 1 22 1 2.26.64 5.85 6.74 3 4.511.5 1.15 1416254 910 n ii i n i i x ynxy b xnx ， 4.5 1.15 31.05aybx ， 线性回归方程为1.151.05yx 故选：D 6.解： 1 0 3 11 0( )( )1 44 a， 11 44 11 log1 54 blog ， 再由20 c c，得 0c ， cab 故选：C 7解： 2 10(1)(
15、1)0axaxxxax ， 解集为(， 1 1)(,) a ， 0 1 1 a a ，解得1a ， 故不等式 2 10axaxx 的解集为(， 1 1)(,) a 的一个充分不必要条件是1a 的真子集， |2 |1a aa a ， 故选：D 8解：设 12 | 2FFc ， 因为 22 2121212212212 ()() ()0AFFFAFAFFFAFFFAFFF ， 所以 212 | | 2AFFFc ，所以 1 | 22AFac ， 因为 11 4 3 AFFB ，所以 1 3 |() 2 BFac ，所以 2 3 | 22 ac BF ， 设 1 AF的中点为H，则 2 F HAB ，
16、| |AHac ， 5 |() 2 BHac ， 2222 22 |F AAHF BBH，即 2222 325 4()()() 224 ac cacac ， 整理可得 22 71250caca，即 2 71250ee， 解得 5 7 e 或 1（舍去），所以离心率为 5 7 ， 故选：A 9解：由散点图可知，y随x的增加而增加，故A错误； 2021 年 3 月，此时16x ，代入0.93690.0285yx，求得 1.0509，故B正确； 曲线0.93690.0285yx经过点( x， )y，曲线0.95540.0306ylnx 经过点(lnx， )y，故C错误； 因为0.9730.923，所
17、以模型 0.95540.0306ylnx 回归曲线的拟合效果比模型0.93690.0285yx的好， 故D正确 故选：BD 10解：因为 2 ( )2 3sin cos2sin12sin(2) 6 f xxxxx ， 其图象向右平移 24 个单位长度后得到函数( )2sin2()2sin(2) 24612 g xxx 的图象，所以( )g x的最 小正周期为，A正确； 当 5 24 x 时，2 122 x ， 此时函数取得最大值， ( )g x的图象关于直线 5 24 x 对称，B正确； 当 , 4 4 x 时， 57 2, 1212 12 x ， ( )g x在区间, 4 4 上单调递增是不
18、正确的，C错误； 当 13 24 x 时，2 12 x ， 函数 ( )g x的图象关于点 13 (,0) 24 对称，D正确 故选：ABD 11解：令0 x 得 6 0 2a ， 令1x 得 6 0126 (23)aaaa， 则 66 126 (23)2aaa，故C错误， 令1x ，得 6 0123456 (23)aaaaaaa， 则 22666 024613501260123456 ()()()()(23) (23)(23)(23)1aaaaaaaaaaaaaaaaaa，故B正 确， 3 362 aC 33 (3)480 3 ，故A错误， 展开式中偶数项系数为负值，奇数项系数为正值， 则系
19、数最大的在 0 a， 2 a， 4 a， 6 a中， 展开式的通项公式 16 2 k k TC 6 (3 ) kk x ， 则 2 720a ， 4 540a ， 6 27a ， 则系数最大的为 2 a， 故选：BD 12 解： 对于A： 假设直线BE与直线CF在同一平面上， 所以： 点E在平面BCF上， 又点E在线段BC上， BC平面BCFC， 所以点E与点C重合，与点E异于C矛盾， 所以直线BE与CF必不在同一平面上，即B、E、C、F四点不共面，故A正确； 对于B：当点F为线段BD的中点时， 1 2 ECAD，再取AB的中点G， 则/ /ECFG，且ECFG， 所以：四边形ECFQ为平行四
20、边形， 所以/ /FCEG， 则：直线/ /CF平面BAE，故B正确； 对于C：由题 BADC V ，但E的移动会导致点B到平面ACD的距离在变化，所以 BADC V 的体积不是定值，故 C错误； 对于D：过点B作BOAE于O， 由于平面BAE 平面AECD，平面BAE平面AECDAE， 所以BO 平面AECD， 过点D作DHAE于H，因为平面BAE 平面AECD， 平面BAE平面AECDAE， 所以DH 平面BAE， 所以DHBE， 若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，DH 平面AECD， DC 平面AECD， DHDCD ， 所以BE 平面AECD， 所以E和 (O BOAE 于 )O重
21、合，与 ABE是以点B为直角的三角形矛盾， 所以不存在点E，使得直线BE与直线CD垂直，故D错误 故选：AB 13解：因为向量 (1,1)a ，所以|2a ，由| 1ab， 平方得 22 21aa bb，即 2 3 222 |cos|1 4 bb ，解得| 1b ， 设( , )bx y，由夹角公式得， 3 cos 42 xy ，所以 1xy ，与 22 1xy联立， 解得 0 1 x y 或 1 0 x y ，所以(0, 1)b 或( 1,0)b 故答案为：(0, 1) 或( 1,0) 14解：函数 2 ( )f xaxlnx，可得 1 ( )2fxax x ， 0 (1)(12) lim2
22、 3 x ffx x ，可得 0 2(1)(12) lim2 32 x ffx x ， 即 2 3 f （1） 2，所以f（1）3， 可得321a，解得1a ， 所以 1 ( )2fxx x ， 11 ( )223 22 f ， 故答案为：3 15解：由题意可得，棱数： 43346 15 2 ； 设顶点的个数为x，则8152x ，解得9x ， 故答案为：15；9 16解：抛物线 2 :4C xy的焦点为 (0,1)F ，准线方程为 1y ， 设 2 (2 ,)Pt t，由| | |FQFP ，即为 2 11 Q yt ， 则 2 (0,)Qt， 抛物线 2 4 x y ，可得 1 2 yx ，
23、所以 PM kt， 不妨设 FQP ，则 1 tan t ， 23NTFTFPTPF ， 在PFT中，由正弦定理可得 2 2 |sin1 | sin334 PFt FT sin 2222222 2222 (1)()(1)(1)(1) 3331 tsincosttant cossintant ， 所以 3PTy ，所以 3 ， 所以tan3，即 2 310t ， 所以 22222 222 (1)(31)431168 319(31)99(31)9 ttt ttt 16816 2 9999 ， 当且仅当 2 314t ， 即 2 5 3 t 时， 16 | 9 min FT 故答案为： 16 9 1
24、7解：（1）因为cossincbAaB， 所以由正弦定理可得sinsincossinsinCBAAB， 又sin sin()sincossincosCABABBA ， 所以sincossinsinsincossincosBAABABBA，可得sinsinsincosABAB， 因为sin0A， 可得sincosBB，即tan1B ， 因为 (0, )B ， 所以 3 4 B （2）因为 3 4 B ，2 5b ，2ac， 所以由余弦定理 22222222 2cos22225bacacBacacccccc， 解得 2c ， 2 2a ， 所以 112 sin2 222 222 ABC SacB
25、18证明：（1）由1 0 3 n n n a a a ，得 1 313 1 n nnn a aaa ， 1 1111 3() 22 nn aa ， 1 113 22a ， 数列 11 2 n a 以 3 2 为首项，3 为公比的等比数列， 113 3 22 n a 1 3 2 n n ， 2 (*) 31 n n anN ， （2） 1 2 (31)(31) 22312 nn nn nnnn nnn ba ， 所以 01221 11111 123(1) 22222 n nn Tnn 121 1111 12(1) 22222 n nn T nn 两式相减得 0121 111112 2 22222
26、22 n nnn Tn n ， 所以 1 2 4 2 n n n T ，所以 111 22 ( 1)44 222 n nnn nn 令 * 1 2 ( )4() 2n f nnN ，易知( )f n 单调递增， 若n 为偶数，则 2 1 2 4( ) 2 f n ，所以3； 若n 为奇数，则 1 1 2 4( ) 2 f n ，所以2，所以2 所以23 19解：（1）轻度污染以上的行政村共96318个， 所以抽样比为： 61 183 ， 所以从轻度污染的行政村中抽取 1 93 3 个，中度污染的行政村抽取 1 62 3 个， 重度污染的行政村抽取 1 31 3 个 （2）X的所有可能取值为 3
27、，4，5，6，7， 3 3 3 6 1 (3) 20 C P X C ， 21 32 3 6 3 (4) 10 C C P X C ， 212 332 3 6 3 (5) 10 CC C P X C ， 11 32 3 6 3 (6) 10 C C P X C ， 2 2 3 6 1 (7) 20 C P X C ， X的分布列为： X 3 4 5 6 7 P 1 20 3 10 3 10 3 10 1 20 13331 ()345675 2010101020 E X 20（1）证明：取SB的中点M，连接EM，FM， E，F分别为SA，CD的中点，/ / /EMABDF， 1 2 EMABDF
28、， 四边形DEMF为平行四边形， / /DEFM， 又DE 平面SBF，FM 平面SBF， / /DE平面SBF （2）解：取AD的中点O，连接OC，OF， 菱形ABCD的边长为 2，且 3 CBA ，1OF，3OC ，OCAD， SASDAD，OSAD， 3OS ， 2SF ， 222 SFOSOF，即OS OF， OC，OD，OS两两垂直， 故以O为原点，OC，OD，OS所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 (0A ，1，0)， (0S ，0，3)，( 3B，2，0)， 3 ( 2 F， 1 2 ，0)， ( 3SB ，2，3)，(0AS ，1，3)， 3 ( 2
29、 SF ， 1 2 ，3)， 设平面SAB的法向量为 (mx ，y， ) z，则 0 0 m SB m AS ，即 3230 30 xyz yz ， 令1z ，则1x ，3y ， ( 1m ， 3，1)， 同理可得，平面SBF的法向量为 5 ( 3 n ，1，3)， cosm， 5 33 185 3 | |3725 513 3 m n n mn ， 由图可知，二面角ASBF为锐角， 故二面角ASBF的余弦值为 185 37 21解：（1）由题意可得 (0, )Ab，(0,)Bb ， 所以 333 224 AMBM bb kk 可得： 2 12b ， 将M点的坐标代入可得： 2 49 1 12a
30、 ，解得 2 16a ， 所以椭圆的方程为： 22 1 1612 xy ； （2）证明：由（1）可得 ( 4,0)Q ， 设 1 (S x， 1) y， 2 (T x， 2) y ，直线ST的方程为：y kxt ， 联立直线与椭圆的方程 22 1 1612 ykxt xy ，整理可得： 222 (34)84480kxktxt， 12 2 8 34 kt xx k ， 2 12 2 448 34 t x x k ， 可得： 12 12 2 44 QSQT yy kk xx ，即 12 12 2 44 kxtkxt xx ， 整理可得 1212 (22)(48)()8320kx xktxxt ，
31、即 2 22 4488 (22)(48)8320 3434 tkt kktt kk ， 化简可得： 22 (83)16120tktkk， 即( 4 )(43)0tk tk ， 当4tk，直线ST的方程为： 4(4)ykxkk x ， 恒过左顶点，不合题意， 当43tk，直线ST的方程为： 43(4)3ykxkk x ， 所以可证得直线恒过定点( 4,3) 22解：（1）当1b ，则 222 12 () ( ),( ) 1(1) x x a e ax x e a f xfx axxaxx ， 当 1 0 2 a 时，( ) 0fx，( )f x在0，)上单调递增，( )(0)1f xf； 当 1
32、 2 a 时，( )f x在 21 0, a a 上单调递减，在 21 ,) a a 上单调递增，则 21 ( )()(0)1 min a f xff a ，不 成立， 实数a的取值范围为 1 (0, 2 （2）证明：当0b 时， 2 222 (21) ( ),( ) 1(1) xx eeaxax f xfx axax ， 函数 ( )f x存在两个极值点， 2 440aa，即 1a ， 由题意知， 1 x， 2 x为方程 2 210axax 的两根，故 1212 1 2,xxx x a ， 不妨设 12 xx ，则 12 012xx ， 1212 21 12 22 12 ( )() 112
33、xxxx exexee f xf x axax ， 由（1）知，当 2 1 1,0,1 21 x e bax axx 厖，即 2 1 1 2 x exx （当且仅当0 x 时取等号）， 当0 x 时，恒有 2 1 1 2 x exx， 22 12122211121212 1111 1163 ()()(1)(1)(4)(2)1 2222 22 22 f xf xxxxxxxx x xxxx aa ， 又 21 11 2 12 1211 1 ( )()(2) 22 xx xx x ex e f xf xx ex e ， 令 2 ( )(2)(01) xx h xxex ex ，则 2 ( )(1)()0 xx h xx ee ， 函数( )h x在(0,1)上单调递增，( )h xh （1）2e，从而 12 ()()f xf xe ， 综上可得： 12 3 1()() 2 f xf xe a
