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2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷(27)含答案

1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(27) 一、一、选择题:本题共选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。求的。 1(5 分)已知集合 1 |0 2 x Ax x ,|2BxN x,则(AB ) A( , 2) B( , 2)1 ,2) C1,2 D0,1,2 2(5 分)已知正实数a,b满足 2 ()724abii ,则复数abi为( ) A43i B43i C34i D34i 3(5 分)记 n S为等差数列 n a 的前n项和,

2、若 65 3(3)Sa ,且 4 1a ,则 n a 的公差为( ) A2 B0 C2 D4 4(5 分)某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共 5 人,他们排成一排照相,则甲、乙二人相邻的排 法种数为( ) A24 B36 C48 D60 5(5 分)如果在一次实验中,测得( , ) x y的四组数值分别是(1,2.2),(2,3.3),(4,5.8),(5,6.7),则y对x 的线性回归方程是( ) A 0.154.05yx B 1.45yx C 1.051.15yx D 1.151.05yx 6.(5 分)已知 1 3 1 ( ) 4 a ,1 4 1 log 5 b ,20 c c,则

3、( ) Aab c Bcba Ccab Dacb 7(5 分)命题p:关于x的不等式 2 10axaxx 的解集为(, 1 1)(,) a 的一个充分不必要条 件是( ) A 1a B0a C20a D2a 8 (5 分)椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,过点 1 F的直线l交椭圆C于A,B两 点,已知 2121 ()0AFFFAF, 11 4 3 AFFB ,则椭圆C的离心率为( ) A 5 7 B 2 2 C 5 3 D 1 3 二、二、选择题:本题共选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出

4、的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的对分,部分选对的对 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9(3 分)2020 年的“金九银十”变成“铜九铁十”,全国各地房价“跳水”严重,但某地二手房交易却 “逆市”而行下图是该地某小区 2019 年 12 月至 2020 年 12 月间,当月在售二手房均价(单位:万元/平 方米)的散点图(图中月份代码113分别对应 2019 年 12 月 2020年 12 月) 根据散点图选择yab x和y cdlnx 两个模型进行拟合,经过数据处理得到的两个回归方程

5、分别为 0.93690.0285yx和0.95540.0306ylnx,并得到以下一些统计量的值: 0.93690.0285yx 0.95540.0306ylnx 2 R 0.923 0.973 注:x是样本数据中x的平均数,y是样本数据中y的平均数,则下列说法正确的是( ) A当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系 B由0.93690.0285y x预测 2021 年 3 月在售二手房均价约为 1.0509 万元/平方米 C曲线0.93690.0285yx与 0.95540.0306ylnx 都经过点(x, )y D模型 0.95540.0306ylnx 回归曲线的拟合效果比模型0.9

6、3690.0285yx的好 10(5 分)函数 2 ( )2 3sin cos2sin1f xxxx的图象向右平移 24 个单位长度后得到函数 ( )g x的图象, 对于函数 ( )g x,下列说法正确的是( ) A ( )g x的最小正周期为 B ( )g x的图象关于直线 5 24 x 对称 C ( )g x在区间, 4 4 上单调递增 D ( )g x的图象关于点 13 (,0) 24 对称 11(5 分)已知 626 0126 (23 ) xaa xa xa x,则下列选项正确的是( ) A 3 360a B 22 0246135 ()()1aaaaaaa C 6 126 (23)aa

7、a D展开式中系数最大的为 2 a 12(5 分)如图 1,在正方形ABCD中,点E为线段BC上的动点(不含端点),将ABE沿EE翻折, 使得二面角BAED为直二面角,得到图 2 所示的四棱锥BAECD,点F为线段BD上的动点(不含端 点),则在四棱锥BAECD中,下列说法正确的有( ) AB、E、C、F四点不共面 B存在点F,使得 / /CF平面BAE C三棱锥BADC的体积为定值 D存在点E使得直线BE与直线CD垂直 三、填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13(5 分)已知向量 (1,1)a ,b与a的夹角为 3 4 ,且| 1a

8、b,则b 14(5 分)已知函数 2 ( )f xaxlnx满足 0 (1)(12) lim2 3 x ffx x ,则曲线 ( )yf x 在点 11 ( ,( ) 22 f 处的切 线斜率为 15(5 分)莱昂哈德欧拉是科学史上一位杰出的数学家,他的研究论著几乎涉及到所有数学分支,有许 多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的欧拉发现,不论什么形状的凸多面体, 其顶点数V、棱数E,面数F之间总满足数量关系2VFE,此式称为欧拉公式已知某凸八面体,4 个面是三角形,3 个面是四边形,1 个面是六边形,则该八面体的棱数为 ,顶点的个数为 16(5 分)如图,抛物线 2 :4C

9、xy的焦点为F,P为抛物线C在第一象限内的一点,抛物线C在点P处 的切线PM与圆F相切(切点为 )M 且交y轴于点Q,过点P作圆F的另一条切线PN(切点为 )N交y轴 于T点若已知| | |FQFP ,则| |FT 的最小值为 四、四、解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17(10 分)已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, cossincbAaB (1)求B; (2)若2 5b ,2ac,求ABC的面积 18(12 分)已知数列 n a 中, 1 1a , * 1

10、() 3 n n n a anN a (1)求证: 11 2 n a 为等比数列,并求 n a 的通项公式; (2) 数列 n b 满足 (31) 2 n nn n n ba , 数列 n b 的前n项和为 n T, 若不等式 1 ( 1) 2 n n n n T 对一切 * nN 恒成立,求的取值范围 19(12 分)为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念,加强环境的治理和生态的修复,某市在其辖 区内某一个县的 27 个行政村中各随机选择农田土壤样本一份,对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行 了检测,并按照国家土壤重金属污染评价级标准(清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染)进行 分

11、级,绘制了如图所示的条形图 (1)从轻度污染以上(包括轻度污染)的行政村中按分层抽样的方法抽取 6 个,求在轻度、中度、重度污 染的行政村中分别抽取的个数; (2)规定:轻度污染记污染度为 1,中度污染记污染度为 2,重度污染记污染度为 3从(1)中抽取的 6 个行政村中任选 3 个,污染度的得分之和记为X,求X的数学期望 20 (12 分) 如图, 在四棱锥SABCD中, 底面ABCD是边长为 2 的菱形, 3 CBA ,2SASD,E, F分别为SA,CD的中点 (1)证明:/ /DE平面SBF; (2)若2SF ,求二面角ASBF的余弦值 21(12 分)椭圆 22 22 :1(0) x

12、y Cab ab 过点 (2,3)M ,其上,下顶点分别为点A,B,且直线AM,MB 的斜率之积为 3 4 AMBM kk (1)求椭圆C的方程; (2)过椭圆C的左顶点 (,0)Qa 作两条直线,分别交椭圆C于另一点S,T若 2 QSQT kk ,求证:直线 ST过定点 22(12 分)已知函数 2 ( ) 1 x e f x axbx ,其中0a ,bR,e为自然对数的底数 (1)若1b ,且当0 x时, ( ) 1f x 总成立,求实数a的取值范围; (2)若0b ,且 ( )f x存在两个极值点 1 x, 2 x,求证: 12 3 1()() 2 f xf xe a 考前考前 30 天

13、冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(27)答案)答案 1解:集合 1 |0 |2 2 x Axx x x 或1x,又|2BxN x, 所以 1AB ,2 故选:C 2解:因为 2 ()724abii ,所以 22 2724ababii , 故 22 7 224 ab ab ,又0a ,0b ,解得 3 4 a b , 所以复数abi为34i 故选:C 3解:等差数列 n a 中, 65 3(3)Sa ,且 4 1a , 则 11 1 6153(43) 31 adad ad , 解得,2d 故选:A 4解:根据题意,先将甲乙看成一个整体,有 2 2 A种顺序, 再将这个整体与剩下 3 人全

14、排列,有 4 4 A种情况, 则有 24 24 48A A 种排法, 故选:C 5解: 1 (1245)3 4 x , 1 (2.23.35.86.7)4.5 4 y , 1 22 1 2.26.64 5.85 6.74 3 4.511.5 1.15 1416254 910 n ii i n i i x ynxy b xnx , 4.5 1.15 31.05aybx , 线性回归方程为1.151.05yx 故选:D 6.解: 1 0 3 11 0( )( )1 44 a, 11 44 11 log1 54 blog , 再由20 c c,得 0c , cab 故选:C 7解: 2 10(1)(

15、1)0axaxxxax , 解集为(, 1 1)(,) a , 0 1 1 a a ,解得1a , 故不等式 2 10axaxx 的解集为(, 1 1)(,) a 的一个充分不必要条件是1a 的真子集, |2 |1a aa a , 故选:D 8解:设 12 | 2FFc , 因为 22 2121212212212 ()() ()0AFFFAFAFFFAFFFAFFF , 所以 212 | | 2AFFFc ,所以 1 | 22AFac , 因为 11 4 3 AFFB ,所以 1 3 |() 2 BFac ,所以 2 3 | 22 ac BF , 设 1 AF的中点为H,则 2 F HAB ,

16、| |AHac , 5 |() 2 BHac , 2222 22 |F AAHF BBH,即 2222 325 4()()() 224 ac cacac , 整理可得 22 71250caca,即 2 71250ee, 解得 5 7 e 或 1(舍去),所以离心率为 5 7 , 故选:A 9解:由散点图可知,y随x的增加而增加,故A错误; 2021 年 3 月,此时16x ,代入0.93690.0285yx,求得 1.0509,故B正确; 曲线0.93690.0285yx经过点( x, )y,曲线0.95540.0306ylnx 经过点(lnx, )y,故C错误; 因为0.9730.923,所

17、以模型 0.95540.0306ylnx 回归曲线的拟合效果比模型0.93690.0285yx的好, 故D正确 故选:BD 10解:因为 2 ( )2 3sin cos2sin12sin(2) 6 f xxxxx , 其图象向右平移 24 个单位长度后得到函数( )2sin2()2sin(2) 24612 g xxx 的图象,所以( )g x的最 小正周期为,A正确; 当 5 24 x 时,2 122 x , 此时函数取得最大值, ( )g x的图象关于直线 5 24 x 对称,B正确; 当 , 4 4 x 时, 57 2, 1212 12 x , ( )g x在区间, 4 4 上单调递增是不

18、正确的,C错误; 当 13 24 x 时,2 12 x , 函数 ( )g x的图象关于点 13 (,0) 24 对称,D正确 故选:ABD 11解:令0 x 得 6 0 2a , 令1x 得 6 0126 (23)aaaa, 则 66 126 (23)2aaa,故C错误, 令1x ,得 6 0123456 (23)aaaaaaa, 则 22666 024613501260123456 ()()()()(23) (23)(23)(23)1aaaaaaaaaaaaaaaaaa,故B正 确, 3 362 aC 33 (3)480 3 ,故A错误, 展开式中偶数项系数为负值,奇数项系数为正值, 则系

19、数最大的在 0 a, 2 a, 4 a, 6 a中, 展开式的通项公式 16 2 k k TC 6 (3 ) kk x , 则 2 720a , 4 540a , 6 27a , 则系数最大的为 2 a, 故选:BD 12 解: 对于A: 假设直线BE与直线CF在同一平面上, 所以: 点E在平面BCF上, 又点E在线段BC上, BC平面BCFC, 所以点E与点C重合,与点E异于C矛盾, 所以直线BE与CF必不在同一平面上,即B、E、C、F四点不共面,故A正确; 对于B:当点F为线段BD的中点时, 1 2 ECAD,再取AB的中点G, 则/ /ECFG,且ECFG, 所以:四边形ECFQ为平行四

20、边形, 所以/ /FCEG, 则:直线/ /CF平面BAE,故B正确; 对于C:由题 BADC V ,但E的移动会导致点B到平面ACD的距离在变化,所以 BADC V 的体积不是定值,故 C错误; 对于D:过点B作BOAE于O, 由于平面BAE 平面AECD,平面BAE平面AECDAE, 所以BO 平面AECD, 过点D作DHAE于H,因为平面BAE 平面AECD, 平面BAE平面AECDAE, 所以DH 平面BAE, 所以DHBE, 若存在点E使得直线BE与直线CD垂直,DH 平面AECD, DC 平面AECD, DHDCD , 所以BE 平面AECD, 所以E和 (O BOAE 于 )O重

21、合,与 ABE是以点B为直角的三角形矛盾, 所以不存在点E,使得直线BE与直线CD垂直,故D错误 故选:AB 13解:因为向量 (1,1)a ,所以|2a ,由| 1ab, 平方得 22 21aa bb,即 2 3 222 |cos|1 4 bb ,解得| 1b , 设( , )bx y,由夹角公式得, 3 cos 42 xy ,所以 1xy ,与 22 1xy联立, 解得 0 1 x y 或 1 0 x y ,所以(0, 1)b 或( 1,0)b 故答案为:(0, 1) 或( 1,0) 14解:函数 2 ( )f xaxlnx,可得 1 ( )2fxax x , 0 (1)(12) lim2

22、 3 x ffx x ,可得 0 2(1)(12) lim2 32 x ffx x , 即 2 3 f (1) 2,所以f(1)3, 可得321a,解得1a , 所以 1 ( )2fxx x , 11 ( )223 22 f , 故答案为:3 15解:由题意可得,棱数: 43346 15 2 ; 设顶点的个数为x,则8152x ,解得9x , 故答案为:15;9 16解:抛物线 2 :4C xy的焦点为 (0,1)F ,准线方程为 1y , 设 2 (2 ,)Pt t,由| | |FQFP ,即为 2 11 Q yt , 则 2 (0,)Qt, 抛物线 2 4 x y ,可得 1 2 yx ,

23、所以 PM kt, 不妨设 FQP ,则 1 tan t , 23NTFTFPTPF , 在PFT中,由正弦定理可得 2 2 |sin1 | sin334 PFt FT sin 2222222 2222 (1)()(1)(1)(1) 3331 tsincosttant cossintant , 所以 3PTy ,所以 3 , 所以tan3,即 2 310t , 所以 22222 222 (1)(31)431168 319(31)99(31)9 ttt ttt 16816 2 9999 , 当且仅当 2 314t , 即 2 5 3 t 时, 16 | 9 min FT 故答案为: 16 9 1

24、7解:(1)因为cossincbAaB, 所以由正弦定理可得sinsincossinsinCBAAB, 又sin sin()sincossincosCABABBA , 所以sincossinsinsincossincosBAABABBA,可得sinsinsincosABAB, 因为sin0A, 可得sincosBB,即tan1B , 因为 (0, )B , 所以 3 4 B (2)因为 3 4 B ,2 5b ,2ac, 所以由余弦定理 22222222 2cos22225bacacBacacccccc, 解得 2c , 2 2a , 所以 112 sin2 222 222 ABC SacB

25、18证明:(1)由1 0 3 n n n a a a ,得 1 313 1 n nnn a aaa , 1 1111 3() 22 nn aa , 1 113 22a , 数列 11 2 n a 以 3 2 为首项,3 为公比的等比数列, 113 3 22 n a 1 3 2 n n , 2 (*) 31 n n anN , (2) 1 2 (31)(31) 22312 nn nn nnnn nnn ba , 所以 01221 11111 123(1) 22222 n nn Tnn 121 1111 12(1) 22222 n nn T nn 两式相减得 0121 111112 2 22222

26、22 n nnn Tn n , 所以 1 2 4 2 n n n T ,所以 111 22 ( 1)44 222 n nnn nn 令 * 1 2 ( )4() 2n f nnN ,易知( )f n 单调递增, 若n 为偶数,则 2 1 2 4( ) 2 f n ,所以3; 若n 为奇数,则 1 1 2 4( ) 2 f n ,所以2,所以2 所以23 19解:(1)轻度污染以上的行政村共96318个, 所以抽样比为: 61 183 , 所以从轻度污染的行政村中抽取 1 93 3 个,中度污染的行政村抽取 1 62 3 个, 重度污染的行政村抽取 1 31 3 个 (2)X的所有可能取值为 3

27、,4,5,6,7, 3 3 3 6 1 (3) 20 C P X C , 21 32 3 6 3 (4) 10 C C P X C , 212 332 3 6 3 (5) 10 CC C P X C , 11 32 3 6 3 (6) 10 C C P X C , 2 2 3 6 1 (7) 20 C P X C , X的分布列为: X 3 4 5 6 7 P 1 20 3 10 3 10 3 10 1 20 13331 ()345675 2010101020 E X 20(1)证明:取SB的中点M,连接EM,FM, E,F分别为SA,CD的中点,/ / /EMABDF, 1 2 EMABDF

28、, 四边形DEMF为平行四边形, / /DEFM, 又DE 平面SBF,FM 平面SBF, / /DE平面SBF (2)解:取AD的中点O,连接OC,OF, 菱形ABCD的边长为 2,且 3 CBA ,1OF,3OC ,OCAD, SASDAD,OSAD, 3OS , 2SF , 222 SFOSOF,即OS OF, OC,OD,OS两两垂直, 故以O为原点,OC,OD,OS所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 (0A ,1,0), (0S ,0,3),( 3B,2,0), 3 ( 2 F, 1 2 ,0), ( 3SB ,2,3),(0AS ,1,3), 3 ( 2

29、 SF , 1 2 ,3), 设平面SAB的法向量为 (mx ,y, ) z,则 0 0 m SB m AS ,即 3230 30 xyz yz , 令1z ,则1x ,3y , ( 1m , 3,1), 同理可得,平面SBF的法向量为 5 ( 3 n ,1,3), cosm, 5 33 185 3 | |3725 513 3 m n n mn , 由图可知,二面角ASBF为锐角, 故二面角ASBF的余弦值为 185 37 21解:(1)由题意可得 (0, )Ab,(0,)Bb , 所以 333 224 AMBM bb kk 可得: 2 12b , 将M点的坐标代入可得: 2 49 1 12a

30、 ,解得 2 16a , 所以椭圆的方程为: 22 1 1612 xy ; (2)证明:由(1)可得 ( 4,0)Q , 设 1 (S x, 1) y, 2 (T x, 2) y ,直线ST的方程为:y kxt , 联立直线与椭圆的方程 22 1 1612 ykxt xy ,整理可得: 222 (34)84480kxktxt, 12 2 8 34 kt xx k , 2 12 2 448 34 t x x k , 可得: 12 12 2 44 QSQT yy kk xx ,即 12 12 2 44 kxtkxt xx , 整理可得 1212 (22)(48)()8320kx xktxxt ,

31、即 2 22 4488 (22)(48)8320 3434 tkt kktt kk , 化简可得: 22 (83)16120tktkk, 即( 4 )(43)0tk tk , 当4tk,直线ST的方程为: 4(4)ykxkk x , 恒过左顶点,不合题意, 当43tk,直线ST的方程为: 43(4)3ykxkk x , 所以可证得直线恒过定点( 4,3) 22解:(1)当1b ,则 222 12 () ( ),( ) 1(1) x x a e ax x e a f xfx axxaxx , 当 1 0 2 a 时,( ) 0fx,( )f x在0,)上单调递增,( )(0)1f xf; 当 1

32、 2 a 时,( )f x在 21 0, a a 上单调递减,在 21 ,) a a 上单调递增,则 21 ( )()(0)1 min a f xff a ,不 成立, 实数a的取值范围为 1 (0, 2 (2)证明:当0b 时, 2 222 (21) ( ),( ) 1(1) xx eeaxax f xfx axax , 函数 ( )f x存在两个极值点, 2 440aa,即 1a , 由题意知, 1 x, 2 x为方程 2 210axax 的两根,故 1212 1 2,xxx x a , 不妨设 12 xx ,则 12 012xx , 1212 21 12 22 12 ( )() 112

33、xxxx exexee f xf x axax , 由(1)知,当 2 1 1,0,1 21 x e bax axx 厖,即 2 1 1 2 x exx (当且仅当0 x 时取等号), 当0 x 时,恒有 2 1 1 2 x exx, 22 12122211121212 1111 1163 ()()(1)(1)(4)(2)1 2222 22 22 f xf xxxxxxxx x xxxx aa , 又 21 11 2 12 1211 1 ( )()(2) 22 xx xx x ex e f xf xx ex e , 令 2 ( )(2)(01) xx h xxex ex ,则 2 ( )(1)()0 xx h xx ee , 函数( )h x在(0,1)上单调递增,( )h xh (1)2e,从而 12 ()()f xf xe , 综上可得: 12 3 1()() 2 f xf xe a