1、 备战备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 10 二次函数背景下的与圆有关的问题二次函数背景下的与圆有关的问题 【方法综述】【方法综述】 圆和二次函数都是初中数学重点知识，是压轴题中的常见题目。而二次函数与圆的结合圆和二次函数都是初中数学重点知识，是压轴题中的常见题目。而二次函数与圆的结合 则常常是高难度的压轴题。以二次函数为背景的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与则常常是高难度的压轴题。以二次函数为背景的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与 圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。解答要点是结合相关知识，对于已知条件圆有关的位置关系、构造圆
2、和隐形圆为考察内容。解答要点是结合相关知识，对于已知条件 进行数形结合。进行数形结合。 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 圆的基本性质应用圆的基本性质应用 例例 1：（2018-2019 学年湖南省长沙市天心区）如图，在直角坐标系中，抛物线 y=a（x- 5 2） 2+9 8与M 交于 A， B，C，D 四点，点 A，B 在 x 轴上，点 C 坐标为（0，-2） （1）求 a 值及 A，B 两点坐标； （2）点 P（m，n）是抛物线上的动点，当CPD 为锐角时，请求出 m 的取值范围； （3）点 E 是抛物线的顶点，M 沿 CD 所在直线平移，点 C，D 的对应点分别为点 C，D，顺次连
3、接 A， C，D，E 四点，四边形 ACDE（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心 M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）A（1，0） ，B（4，0） （2）m0 或 1m4 或 m5 （3）存在M（175 82 ，-2） 【解析】解： （1）抛物线 y=a（x-5 2） 2+9 8经过点 C（0，-2） ， -2=a（0-5 2） 2+9 8， a=-1 2， y=-1 2（x- 5 2） 2+9 8， 当 y=0 时，-1 2（x- 5 2） 2+9 8=0， x1=4，x2=1， A、B 在 x 轴上， A（1，0） ，B（4，0） （2）由（1）可知
4、抛物线解析式为 y=-1 2（x- 5 2） 2+9 8， C、D 关于对称轴 x=5 2对称， C（0，-2） ， D（5，-2） ， 如图 1 中，连接 AD、AC、CD，则 CD=5， A（1，0） ，C（0，-2） ，D（5，-2） ， AC=5，AD=2 5， AC2+AD2=CD2， CAD=90 ， CD 为M 的直径， 当点 P 在圆外部的抛物线上运动时，CPD 为锐角， m0 或 1m4 或 m5 （3）存在如图 2 中，将线段 CA 平移至 DF，则 AF=CD=CD=5， A（1，0） ， F（6，0） ， 作点 E 关于直线 CD 的对称点 E， 连接 EE正好经过点
5、M，交 x 轴于点 N， 抛物线顶点（5 2， 9 8） ，直线 CD 为 y=-2， E（5 2，- 41 8 ） ， 连接 EF 交直线 CD 于 H， AE，CD是定值， AC+ED最小时，四边形 ACDE 的周长最小， AC+DE=FD+DE=FD+EDEF， 则当点 D与点 H 重合时，四边形 ACDE 的周长最小， 设直线 EF 的解析式为 y=kx+b， E（5 2，- 41 8 ） ，F（6，0） ， 可得 y=41 28x- 123 14 ， 当 y=-2 时，x=190 41 ， H（190 41 ，-2） ，M（5 2，-2） ， DD=5-190 41 =15 41，
6、5 2- 15 41= 175 82 ， M（175 82 ，-2） 针对训练针对训练 1（江苏省无锡市锡山区） 已知二次函数 yax 22axc(a0)的图像与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 BC 与它的对称轴交于点 F，且 CF：FB1：3 (1)求 A、B 两点的坐标； (2)若COB 的内心 I 在对称轴上，求这个二次函数的关系式； (3)在(2)的条件下，Q(m，0)是 x 轴上一点，过点 Q 作 y 轴的平行线，与直线 BC 交于点 M，与抛物线交于 点 N，连接 CN，将CMN 沿直线 CN 翻折，M 的对应点为 M，是否存在点 Q，
7、使得 M恰好落在 y 轴上？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)B(4，0)，A(2，0)；(2)y= 3 8x2+ 3 4x+3；(3)存在，Q( 2 3，0)或 Q( 22 3 ，0) 【解析】 （1）如图所示：对称轴为：直线 = ;2 2 = 1， OE=1， OCEF， = = 1 3， EB=3， 由对称性得：BE=AE=3， A(2,0),B(4,0)； (2)如图， 是 的内切圆，过点 I 作 于点 D， = = 1, 设 = ，则 = + 1, = + 3, 在 RtOCB 中，OB=4， 2+ 2= 2 , 即( + 1)2+ 42= ( + 3
8、)2,解得 = 2, = 3, C(0,3)， c=3， 把 A(2,0), C(0,3)代入抛物线 y=ax2-2ax+c 中得： = 3 4 + 4 + = 0 解得： = 3 8 = 3, 抛物线的解析式为：y= 3 8x2+ 3 4x+3； (3)如图,由题意MCN=NCB， MNOM， MCN=CNM, CNM =NCB， MN=CM， 直线 BC 解析式为 = 3 4 + 3， (, 3 4 + 3),(, 3 8 2 + 3 4 + 3)，作 MEOC 于 E， sin = = ， = 4 5， = 5 4， 当 N 在直线 BC 上方时, 3 8 2 + 3 4 + 3 ( 3
9、 4 + 3) = 5 4， 解得：m=2 3或 0(舍弃)， Q(2 3，0)， 当 N 在直线 BC 下方时, 3 4 + 3 ( 3 8 2 + 3 4 + 3) = 5 4， 解得 m=22 3 或 0(舍弃)， Q(22 3 ，0) 综上所述：点 Q 坐标为 (2 3，0)或 Q( 22 3 ，0). 2 （2018-2019 学年北京市燕山区九年级（上)期末数学试卷）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P，Q 和图形 G，给出如下定义：点 P，Q 都在图形 G 上，且将点 P 的横坐标与纵坐标互换后得到点 Q，则称点 P，Q 是 图形 G 的一对“关联点”例如，点 P（1，2）和点
10、 Q（2，1）是直线 yx+3 的一对关联点 （1）请写出反比例函数 y6 的图象上的一对关联点的坐标： ； （2）抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1，与 y 轴交于点 C（0，1） 点 A，B 是抛物线 yx2+bx+c 的一对关联点，直线 AB 与 x 轴交于点 D（1，0） 求 A，B 两点坐标 （3）T 的半径为 3，点 M，N 是T 的一对关联点，且点 M 的坐标为（1，m） （m1） ，请直接写出 m 的 取值范围 【答案】 （1） （2，3） ， （3，2） （2）A，B 两点坐标为（1，2）和（2，1） （3）1m1+3 2 【解析】 解： （1）2 33 26，
11、点（2，3） ， （3，2）是反比例函数 y6 的图象上的一对关联点 故答案为： （2，3） ， （3，2） （2）抛物线 yx2bxc 的对称轴为直线 x1， 21， 解得：b2 抛物线 yx2bxc 与 y 轴交于点 C（0，1） ， c1， 抛物线的解析式为 yx22x1 由关联点定义，可知：点 A，B 关于直线 yx 对称 又直线 AB 与 x 轴交于点 D（1，0） ， 直线 AB 的解析式为 yx1 联立直线 AB 及抛物线解析式成方程组，得： 1 221 ， 解得：1 = 1 1= 2 ，2 = 1 2= 2 ， A，B 两点坐标为（1，2）和（2，1） （3）由关联点定义，可知
12、：点 M，N 关于直线 yx 对称， T 的圆心在直线 yx 上 T 的半径为 3， M1M2 2 2 2 33 2， m 的取值范围为 1m13 2 . 3（浙江省杭州市余杭区 2019 届九年级上学期期末考试） 如图， 已知点的坐标是(2,0)， 点的坐标是(8,0)， 以线段为直径作，交轴的正半轴于点，过、三点作抛物线 （1）求抛物线的解析式； （2）连结，点是延长线上一点，的角平分线交于点，连结，在直线上找 一点，使得的周长最小，并求出此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得 = ，若存在，请直接写出点的坐标；若 不存在，请说明理由 【答案】 （1） = 1 4
13、 2 + 3 2 + 4;（2）交点( 4 5, 28 5 );（3）符合条件的点有两个：1(4 + 6, 9;6 2 )， 2(7 + 21,3 21). 【解析】 （1）以为直径作，交轴的正半轴于点， + = 900 又 + = 900 = 又 = = 900 = 又(2,0)，(8,0) 2 = 8 解得 = 4（负值舍去） (0,4) 故抛物线解析式为 = ( + 2)( 8) 4 = (0 + 2)(0 8)，解得 = 1 4 二次函数的解析式为 = 1 4( + 2)( 8)，即 = 1 4 2 + 3 2 + 4. （2）为的直径，且(2,0)，(8,0) = 3，(3,0) 点
14、是延长线上一点，的角平分线交于点 = 1 2 = 1 2 900= 450 连结，则 = 2 = 2 450= 900， = 3， = 5，可得(3,5) = 900， 延长至点，使 = ， 则可得(8,8) 连结交于点，再连结、， 此时的周长最短， 解得的解析式为 = 3 11 + 64 11 的解析式为 = 2 + 4，可得交点(4 5, 28 5 ) （3）符合条件的点有两个：1(4 + 6, 9;6 2 )，2(7 + 21,3 21). 如图过 F 作 FGDC，交 F 点右侧的抛物线于 G，此时两内错角GFC=DCF， 用待定系数法求出直线 DC 的解析式：y=-1 2x+4 ，
15、DC 与 FG 平行，那么直线 FG 与直线 DC 的 K 值相同，因此可根据 F 的坐标(3,5)求得 FG 的解析 式:y=-1 2x+ 13 2 ，然后联立直线 FG 的解析式: :y=-1 2x+ 13 2 ，和抛物线的解析式 = 1 4 2 + 3 2 + 4.即可求出交 点 G 坐标(4 + 6, 9;6 2 )， 横坐标是4 6时，不符合题意，舍去 如图过 D 作 DMFC，交圆于点 M，连接 FM 并延长交抛物线于点 G，此时两弧 DF、MC 相等，GFC= DCF， 解法同，先求 FC 解析式，根据 DMFC 和 D 点坐标，求出 DM 解析式，从而就出 M 坐标，根据点 F
16、、 M 坐标求出直线 MF 解析式，与抛物线解析式联立求得2(7 + 21,3 21). 4 （2018 年广东省广州市中考数学试卷）已知抛物线 yx2+mx2m4（m0） （1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； （2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A，B（点 A 在点 B 的右侧） ，与 y 轴交于点 C，A，B，C 三点都 在P 上 试判断：不论 m 取任何正数，P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明 理由； 若点 C 关于直线 x= 2的对称点为点 E，点 D（0，1） ，连接 BE，BD，DE，BDE 的周长记为 l，P 的半径记为 r
17、，求 的值 【答案】 （1）证明见解析； （2）定点 F 的坐标为（0，1） ；10:65 5 【解析】 （1）令 y0，则 x2+mx2m40， m242m4m2+8m+16， m0， 0， 该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； （2）令 y0，则 x2+mx2m40， （x2）x+（m+2）0， x2 或 x（m+2） ， A（2，0） ，B（m+2） ，0） ， OA2，OBm+2， 令 x0，则 y2（m+2） ， C（0，2（m+2） ） ， OC2（m+2） ， 通过定点（0，1）理由：如图， 点 A，B，C 在P 上， OCBOAF， 在 RtBOC 中，tanOCB= OB
18、OC = m:2 2（m:2） = 1 2， 在 RtAOF 中，tanOAF= OF OA = OF 2 = 1 2， OF1， 点 F 的坐标为（0，1） ； 如图 1， 由知，点 F（0，1） D（0，1） ， 点 D 在P 上， 点 E 是点 C 关于抛物线的对称轴的对称点， DCE90 ， DE 是P 的直径， DBE90 ， BEDOCB， tanBED= 1 2， 设 BDn，在 RtBDE 中，tanBED= BD BE = n BE = 1 2， BE2n，根据勾股定理得：DE= BD2+ BE2= 5n， lBD+BE+DE（3+5）n，r= 1 2DE= 5 2 n， l
19、 r = （3:5）n 5 2 n = 10:65 5 5 （人教版数学 2018 年秋九年级上学期第 22 章二次函数解答题综合练习）如图，在平面直角坐标系 中，以点 M（2，0）为圆心的M 与 y 轴相切于原点 O，过点 B（2，0）作M 的切线，切点为 C，抛 物线 = 3 3 2+ + 经过点 B 和点 M （1）求这条抛物线解析式； （2）求点 C 的坐标，并判断点 C 是否在（1）中抛物线上； （3） 动点 P 从原点 O 出发， 沿 y 轴负半轴以每秒 1 个单位长的速度向下运动， 当运动 t 秒时到达点 Q 处 此 时BOQ 与MCB 全等，求 t 的值 【答案】 （1）y 3
20、 3 x2+43 3 ； （2）点 C 在（1）的抛物线上； （3）t2 3 【解析】 （1）将点 M（2，0） 、B（2，0）代入 y= 3 3 x2+bx+c 中，得： 43 3 + 2 + = 0 43 3 2 + = 0 解得： = 0 = 43 3 抛物线的解析式：y= 3 3 x2+ 43 3 （2）连接 MC，则 MCBC；过点 C 作 CDx 轴于 D，如图，在 RtBCM 中，CDBM，CM2，BM 4，则： DM= 2 = 22 4 =1，CD= 2 2= 22 1 = 3，ODOMDM1，C（1，3） 当 x1 时，y= 3 3 x2+ 43 3 = 3，所以点 C 在（
21、1）的抛物线上 （3）BCM 和BOQ 中，OBCM2，BOQBCM90 ，若两三角形全等，则： OQBC= 2 2= 4222= 23，当 t23时，MCB 和BOQ 全等 6 （湖北省武汉市东西湖区 2019 届九年级第一学期期中）已知抛物线 1：yax2 过点（2，2） (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图，ABC 的三个顶点都在抛物线1 上，且边 AC 所在的直线解析式为 yx+b，若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴，求 2 的值； (3)如图，点 P 的坐标为（0，2） ，点 Q 为抛物线上1 上一动点，以 PQ 为直径作M，直线 yt 与 M 相交于 H、K 两点是否
22、存在实数 t，使得 HK 的长度为定值？若存在，求出 HK 的长度；若不存在， 请说明理由 【答案】(1)y=1 2 2 ;(2)16;(3)见解析. 【解析】 （1）把点（2，2）坐标代入 yax2，解得：a1 2， 抛物线的解析式为 yx2； （2）把 yx+b 和 y1 2x2 得：x22x2b0， 设 A、C 两点的坐标为（x1，y1） 、 （x2，y2） ，则：x1+x22，x1x22b， 点 D 坐标为（1:2 2 ，1:2 2 ） ，即 D（1，b） ，B 坐标为（1，1 2） ， AC22（x2x1）216b+8， BD1 2+b， AC 2 BD16； (3)设点 Q 坐标为
23、（a，1 2a2） ， 点 P 的坐标为（0，2） ，由 P、Q 坐标得点 M 的坐标为（ 2， 1 4a2+1） ， 设圆的半径为 r，由 P（0，2） 、M 两点坐标可得 r2 2 4 +（1 4a21）2 1 16a4 1 4a2+1， 设点 M 到直线 yt 的距离为 d，则 d2（a2+1t） 1 16a4+ 1 2a2+1+t22t 1 2a2t， 则 HK22 2 2(1 2 3 4) 2+ 2 2， 当1 2 3 40 时，HK 为常数，t 3 2， HK 3 7 （浙江省湖州市南浔区 2017-2018 学年九年级上学期期末）已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原 点
24、，如图 1，直角三角板MON 中，OM=ON=3，OQ=1，直线 l 过点 N 和点 N，抛物线 y=ax2+23 3 x+c 过 点 Q 和点 N （1）求出该抛物线的解析式； （2）已知点 P 是抛物线 y=ax2+23 3 x+c 上的一个动点 初步尝试 若点 P 在 y 轴右侧的该抛物线上，如图 2，过点 P 作 PAy 轴于点 A，问：是否存在点 P，使得以 N、P、 A 为顶点的三角形与ONQ 相似若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； 深入探究 若点 P 在第一象限的该抛物线上，如图 3，连结 PQ，与直线 MN 交于点 G，以 QG 为直径的圆交 QN 于点 H，交
25、 x 轴于点 R，连结 HR，求线段 HR 的最小值 【答案】 （1）y= 3 3 x2+23 3 x+3（2）（1，43 3 ） 、 （3，0） 、 （5，4 3） 32+6 4 【解析】 （1）由题意可知，Q（1，0） ，N（0， 3） ， c=3，即 y=ax2+23 3 x+ 3， 将 Q（1，0）代入解析式得 0=a23 3 +3，解得 a= 3 3 ， 抛物线解析式是 y= 3 3 x2+23 3 x+ 3； （2）分三种情况，如图 2， 情况一：点 P 在第一象限时，APNONQ， 设 AN=m，则 AP= 3 m， 则 P 的坐标（ 3 m，m+ 3） ， 而点 P 在抛物线上
26、，代入可得 m+ 3 = 3 3 （ 3 m）2+23 3 （ 3 m）+ 3， 解得 m= 3 3 ， P1（1，43 3 ） ； 情况二：点 P 恰好在 x 轴上，P2（3，0） ， 情况三：P 在第四象限内，同情况一方法可解得 P3（5，4 3） ， 连结 CH 和 CR，如图 3， NQ0=60 ， HCR=120 ， CH=CR， HR=3CH， HR 最小时，只需要半径最小，即直径最小即可， 过 Q 作 NM 的垂线，垂直时，QG 最小， 用面积法求出，QG=6:2 2 ， HR 最小值=32+6 4 8 （人教版九年级数学上 24 章圆单元测试题）如图，在平面直角坐标系中，O为原
27、点，A点坐标为(8, 0)， B点坐标为(2, 0)，以AB为直径的圆P与y轴的负半轴交于点C （1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与 P的关系，并说明理由 【答案】 （1）1 4 2 + 3 2 4；（2）直线与 相切，理由见解析 【解析】 解： （1）连接 AC、BC； AB 是P 的直径， ACB=90 ，即ACO+BCO=90 ， BCO+CBO=90 ， CBO=ACO， AOC=BOC=90 ， AOCCOB， = ， OC2=OA OB=16， OC=4， 故 C(0，4)， 设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x2)
28、， 代入 C 点坐标得：a(0+8)(02)=4，a=1 4， 故抛物线的解析式为：y=1 4(x+8)(x2)= 1 4 2+3 2x4； (2)由(1)知：y=1 4 2+3 2x4= 1 4( + 3) 225 4 ； 则 M(3，25 4 )， 又C(0， 4)，P(3， 0)， MP=25 4 ，PC=5，MC=15 4 ， MP2=MC2+PC2，即MPC 是直角三角形，且PCM=90 ， 故直线 MC 与P 相切 9 （2018-2019 学年度人教版九年级（上) 第 22 章 二次函数 综合检测试卷）已知抛物线 y=ax2+bx 过点 A （1，4） 、B（3，0） ，过点 A
29、 作直线 ACx 轴，交抛物线于另一点 C，在 x 轴上有一点 D（4，0） ，连接 CD （1）求抛物线的表达式； （2）若在抛物线上存在点 Q，使得 CD 平分ACQ，请求出点 Q 的坐标； （3）在直线 CD 的下方的抛物线上取一点 N，过点 N 作 NGy 轴交 CD 于点 G，以 NG 为直径画圆在 直线 CD 上截得弦 GH，问弦 GH 的最大值是多少？ （4） 一动点 P 从 C 点出发， 以每秒 1 个单位长度的速度沿 C AD 运动， 在线段 CD 上还有一动点 M， 问是否存在某一时刻使 PM+AM=4？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）直
30、线 CE 的表达式为 y=4 3x 4 3； （2）点 Q 的坐标为（ 1 3， 8 9） ； （3）弦 GH 的最大值 815 80 ； （4）存在，t 的值为 3 或 7 【解析】 解： （1）抛物线 y=ax2+bx 过点 A（1，4） 、B（3，0） ， + 4 9 30 ，解得：a=1,b=3, 抛物线的表达式为 y=x2+3x （2）当 y=4 时，有 x2+3x=4 ， 解得：x1=4，x2=1， 点 C 的坐标为（4，4） ， AC=1（4）=5 A（1，4） ，D（4，0） ， AD=5 取点 E（1，0） ，连接 CE 交抛物线于点 Q，如图 1 所示 AC=5，DE=4（
31、1）=5，ACDE， 四边形 ACED 为平行四边形， AC=AD， 四边形 ACED 为菱形， CD 平分ACQ 设直线 CE 的表达式为 y=mx+n（m0） ， 将 C（4，4） 、E（1，0 ）代入 y=mx+n，得： 4 + 4 + 0 ，解得： = 4 3 = 4 3 ， 直线 CE 的表达式为 y=4 3x 4 3 联立直线 CE 与抛物线表达式成方程组，得： = 4 3 4 3 = 2+ 3 ， 解得：1 = 4 1= 4 ,2 = 1 3 2= 8 9 ， 点 Q 的坐标为（1 3， 8 9） （3）设直线 CD 的表达式为 y=kx+c（k0） ， 将 C（4，4） 、D（
32、4，0）代入 y=kx+c，得： 4 + 4 4 + 0 ，解得： = 1 2 = 2 ， 直线 CD 的表达式为 y=1 2x+2 设点 N 的坐标为（x，x2+3x） ，则点 G 的坐标为（x，1 2x+2） ， NG=1 2x+2（x2+3x）=x2 7 2x+2=（x+ 7 4）2+ 81 16， 10， 当 x=7 4时，NG 取最大值，最大值为 81 16 以 NG 为直径画O，取 GH 的中点 F，连接 OF，则 OFBC，如图 2 所示 直线 CD 的表达式为 y=1 2x+2，NGy 轴，OFBC， tanGOF= = 1 2， = 1 12:22 = 5 5 ， GH=2G
33、F=25 5 OG= 5 5 NG， 弦 GH 的最大值为 5 5 81 16= 815 80 （4）取点 E（1，0） ，连接 CE、AE，过点 E 作 EP1AC 于点 P1，交 CD 于点 M1，过点 E 作 EP2AD 于点 P2，交 CD 于点 M2，如图 3 所示 四边形 ACED 为菱形， 点 A、E 关于 CD 对称， AM=EM ACx 轴，点 A 的坐标为（1，4） ， EP1=4 由菱形的对称性可知 EP2=4 点 E 的坐标为（1，0） ， 点 P1 的坐标为（1，4） ， CP1=DP2=1（4）=3， 又AC=AD=5， t 的值为 3 或 7 10 （山东省日照市
34、实验二中） 如图， 在平面直角坐标系中， 点(10, 0)， 以为直径在第一象限内作半圆， 为半圆上一点，连接并延长至，使 = ，过作 轴于点，交线段于点，已知 = 8， 抛物线经过、三点 (1) =_ (2)求抛物线的函数表达式 (3)若为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以、为顶点的四边形面积记作，则取何值时， 相应的点有且只有3个？ 【答案】(1)90;(2) = 1 8 2 + 5 4;(3) 以 P、O、A、E 为顶点的四边形面积 S 等于 16 时，相应的点 P 有且 只有 3 个 【解析】 解：(1)90；(2)连接，如图1所示， 由(1)知 ，又 = ， 是的垂直平分线， =
35、= 10， 在 中， = 10， = 8， = 6， (6, 8)，(8, 4) 所在直线的函数关系为 = 1 2， 又点的横坐标为6， 点纵坐标为3， 即(6, 3)， 抛物线过(0, 0)，(6, 3)，(10, 0)， 设此抛物线的函数关系式为 = ( 10)，把点坐标代入得： 3 = 6(6 10)， 解得 = 1 8 此抛物线的函数关系式为 = 1 8( 10)，即 = 1 8 2 + 5 4； (3)设点(, 1 8 2 + 5 4)， 若点在的左侧，延长交于，如右图2， 所在直线函数关系式为： = ( 1 8 + 5 4) 当 = 6时， = 3 4 + 15 2 ，即点纵坐标为
36、 3 4 + 15 2 ， = 3 4 + 15 2 3 = 3 4 + 9 2， 四边形 = + = + = 1 2 + 1 2 1 2 = 1 2 10 3 + 1 2 ( 3 4 + 9 2) 6 1 2( 3 4 + 9 2) (6 )， = 3 8 2 + 9 4 + 15， 若点在的右侧，延长交于，如右图3， (, 1 8 2 + 5 4)，(10, 0) 设所在直线方程为： = + ，把和坐标代入得， 10 + = 0 + = 1 8 2 + 5 4 ， 解得 = 1 8 = 5 4 所在直线方程为： = 1 8 + 5 4， 当 = 6时， = 1 8 6 + 5 4 = 1
37、2，即点纵坐标为 1 2， = 1 2 3， 四边形 = + = + = 1 2 + 1 2 1 2 ( 6) = 1 2 10 3 + 1 2 ( + 6) = 15 + 1 2( 1 2 3) (10 ) = 1 4 2 + 4 = 1 4( 8) 2 + 16， 当在右侧时，四边形的面积最大值为16，此时点的位置就一个， 令 3 8 2 + 9 4 + 15 = 16，解得， = 3 57 3 ， 当在左侧时，四边形的面积等于16的对应的位置有两个， 综上所知，以、为顶点的四边形面积等于16时，相应的点有且只有3个 类型二类型二 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 例例 2（山东省济宁
38、市嘉祥）如图，已知点 A（2，0） ，以 A 为圆心作A 与 y 轴切于原点，与 x 轴的另一 个交点为 B，过 B 作A 的切线 l （1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A，抛物线与 x 轴的另一个交点为点 C，抛物线的顶点为点 E，如果 CO=2BE，求此抛物线的解析式； （2）过点 C 作A 的切线 CD，D 为切点，求此切线长； （3）点 F 是切线 CD 上的一个动点，当BFC 与CAD 相似时，求出 BF 的长 【答案】 （1）y=3 4（x-2） （x-6） ； （2）CD=23； （3）BF 的长为 43 3 或 3 【解析】 （1）A（2，0） ，A 与 y 轴切于原点，
39、 A 的半径为 2 点 B 的坐标为为（4，0） 点 A、C 关于 x=4 对称， C（6，0） 又 CO=2BE， E（4，-3） 设抛物线的解析式为 y=a（x-2） （x-6） ， （a0） ； 抛物线经过点 E（4，-3） -3=a（4-2） （4-6） ， 解得：a=3 4 抛物线的解析式为 y=3 4（x-2） （x-6） ； （2）如图 1 所示：连接 AD， AD 是A 的切线， ADC=90 ，AD=2， 由（1）知，C（6，0） A（2，0） ， AC=4， 在 RtACD 中，CD2=AC2-AD2=42-22=12， CD=2 3 （3）如图 2 所示：当 FBAD 时
40、，连结 AD FBC=ADC=90 ，FCB=ACD， FBCADC， CF CA= BC DC，即 CF 4 = 2 23 解得：CF=43 3 如图 3 所示：当 BFCD 时，连结 AD、过点 B 作 BFCD，垂足为 F ADCD， BFAD， BFCADC， BC AC= CF CD，即 2 4= CF 23 CF= 3 综上所述，BF 的长为43 3 或 3 针对训练针对训练 1 （海南省海口市美兰区）如图，抛物线 y=x24x1 顶点为 D，与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于 点 C （1）求这条抛物线的顶点 D 的坐标； （2）经过点（0，4）且与 x 轴平行的直
41、线与抛物线 y=x24x1 相交于 M、N 两点（M 在 N 的左侧） ，以 MN 为直径作P，过点 D 作P 的切线，切点为 E，求点 DE 的长； （3）上下平移（2）中的直线 MN，以 MN 为直径的P 能否与 x 轴相切？如果能够，求出P 的半径；如 果不能，请说明理由 【答案】 （1）点 D 的坐标为（2，-5） ； （2）DE=62； （3）能够相切，理由见解析. 【解析】 （1）y=x2-4x-1=x2-4x+4-5=（x-2）2-5， 点 D 的坐标为（2，-5） ； （2）当 y=4 时，x2-4x-1=4， 解得 x=-1 或 x=5， M 坐标为（-1，4） ，点 N 坐标为（5，4） ， MN=6P 的半径为 3，点 P 的坐标为（2，4
