1、为了检验设备 M 与设备 N 的生产效率，研究人员作出统计，得到如表所示的结 果，则 设备 M 设备 N 生产出的合格产品 48 43 生产出的不合格产品 2 7 附： P（K2k0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 参考公式：，其中 na+b+c+d （ ） A有 90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性 B没有 90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性 C可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相 关性 D 不能在犯错误的概率不超过 0.1
2、 的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关 性 4 （5 分）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 3x5y0 上，则 tan+sin（）（ ） A B C D 5 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该 几何体的表面积为（ ） 第 2 页（共 29 页） A3 B3 C4 D4 6 （5 分）为了计算满足的最大正整数 n，设置了如图所示的程序框图，若 判断框中填写的是“S10000？” ，则输出框中应填（ ） A输出 i B输出 i+1 C输出 i1 D输出 i2 7 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则的
3、取值范围为（ ） A B C D 8 （5 分）函数 f（x）的大致图象为（ ） A B 第 3 页（共 29 页） C D 9 （5 分） 如图， 已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AA1AD2BC， A1B1C1B1C1D1 120，且 BCAD，则直线 AB1与直线 A1D 所成角的余弦值为（ ） A B C D 10（5 分） 已知ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， 若， 且，则当 ab 取到最小值时，a（ ） A B C D 11 （5 分）定义在（，0）（0，+）上的偶函数 f（x）满足：当 x0 时，xf（x） +x2f（x）10，f（
4、e）若函数 g（x）|f（x）|m 有 6 个零点，则实数 m 的取 值范围是（ ） A （0，） B （0，1） C （，1） D （1，+） 12 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，且 F 到准线 l 的距离为 2，直线 与抛物线 C 交于 P，Q 两点（点 P 在 x 轴上方） ，与准线 l 交于点 R， 若|QF|3，则（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 第 4 页（共 29 页） 13（5 分） 已知向量 （3， 4） ， （m， 2） ， 若向量 2 3 与 共线， 则
5、实数 m 14 （5 分） （2x2）7的展开式中，含项的系数为 15 （5 分）将函数 f（x）3cos（2x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数 g （x）的图象，则函数 g（x）的图象的对称轴方程为 x 16 （5 分）我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理） ： “幂势既同则 积不容异” “势”即是高， “幂”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面 积相等，那么这两个几何体的体积相等已知双曲线 C 的焦点在 x 轴上，离心率为， 且过点若直线 y0 与 y6 在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴 影部分所示的图形，则该图形绕 y 轴旋转一周所得几何体的体积
6、为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知等差数列an满足 S9117，a719，数列bn满足 （）求数列an、bn的通项公式； （）求数列的前 n 项和 18 （12 分）为了了解某市高三学生的身体情况，某健康研究协会对该市高三学生组织了两 次体测，其中第一次体测的成绩（满分：100 分）的频率分布直方图如下图所示，第二次 体测的成绩 XN（65，2.52） （）试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低； （）若该市有高三学生 20000 人，记体测成绩在
7、 70 分以上的同学的身体素质为优秀， 假设这 20000 人都参与了第二次体测，试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数； （）以频率估计概率，若在参与第一次体测的学生中随机抽取 4 人，记这 4 人成绩在 60，80）的人数为 ，求 的分布列及数学期望 第 5 页（共 29 页） 附：P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544， P（3X+3）0.9974 19 （12 分）如图所示，四棱锥 SABCD 中，CDAB， ABC90，二面角 SADB 的大小为 90 （）求证：SABD； （）在线段 SB 上找一点 E，使得二面角 EADS 的大小为 45 20 （12 分）已知椭圆
8、C：+1（ab0）过点（1，） ，离心率为 （）求椭圆 C 的标准方程； （）若直线 yk（x1）与椭圆 C 交于 P，Q 两点且 N（3，2） ，设 kPN，kQN分别 是直线 PN，QN 的斜率，试探究 kPN+kQN是否为定值，若是，求出该定值：若不是，请 说明理由 21 （12 分）已知函数 （）当 a0 时，判断函数 f（x）的单调性； （）当 a2 时，证明： （e 为自然对数的底数） 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做如果多做，则按所做 的第一个题目计分的第一个题目计分选修选修
9、 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 6 页（共 29 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 以坐标原 点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知圆 C 的极坐标方程为 22sin （） （1）求直线 l 的普通方程以及圆 C 的直角坐标方程； （2）若点 P 在直线 l 上，过点 P 作圆 C 的切线 PQ，求|PQ|的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）2|x|+|x3| （）解关于 x 的不等式 f（x）4； （）若对于任意的 xR，不等式 f（x）t22t 恒成立，求实数 t 的
10、取值范围 第 7 页（共 29 页） 2019 年山东省青岛市莱西一中高考数学一模试卷（理科）年山东省青岛市莱西一中高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 A2，5，9，Bx|x2m1，mA，则 AB（ ） A2，3，5，9，17 B2，3，5，17 C9 D5 【分析】分别求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 A2，5，9，
11、Bx|x2m1，mA3，9，17， AB2，3，5，9，17 故选：A 【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分） 若复数 z1对应复平面内的点 （2， 3） ， 且 z1z21+2i， 则复数 z2的虚部为 （ ） A B C D 【分析】由已知求得 z1，代入 z1z21+2i，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得 答案 【解答】解：由题意，z123i，由 z1z21+2i， 得， 复数 z2的虚部为 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）为了检验设备 M 与设备
12、 N 的生产效率，研究人员作出统计，得到如表所示的结 果，则 设备 M 设备 N 生产出的合格产品 48 43 第 8 页（共 29 页） 生产出的不合格产品 2 7 附： P（K2k0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 参考公式：，其中 na+b+c+d （ ） A有 90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性 B没有 90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性 C可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相 关性 D 不能在犯错误的概率不超过 0
13、.1 的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关 性 【分析】根据列联表求出 K23.0532.706， 【解答】解：K23.0532.706， 因此有 90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性 故选：A 【点评】本题考查了独立性检验，属中档题 4 （5 分）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 3x5y0 上，则 tan+sin（）（ ） A B C D 【分析】 根据三角函数的定义求出 tan 和 sin2x， 利用三角函数的诱导公式进行化简求解 即可 【解答】解：角 的终边在直线 3x5y0 上 设直线上的点为（5，3） ，则 tan，sin，
14、 sin（）sin（4+2）sin（+2）sin（2）cos2 （12sin2）1+2（）2， 则 tan+sin（）， 第 9 页（共 29 页） 故选：C 【点评】本题主要考查三角函数的化简和求解，结合三角函数的定义以及诱导公式进行 化简是解决本题的关键 5 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该 几何体的表面积为（ ） A3 B3 C4 D4 【分析】首先还原几何体为半个圆柱与三棱锥的组合体，然后计算体积 【解答】解：由三视图得到几何体为半个圆柱与三棱锥的组合体，如图： 圆锥底面半径为 2，三棱锥是底面为腰长为 2 的等腰直角三角形，高为 2，
15、如图 所以几何体的表面积+ 3+6； 故选：B 【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体，根据 图中数据求体积 6 （5 分）为了计算满足的最大正整数 n，设置了如图所示的程序框图，若 判断框中填写的是“S10000？” ，则输出框中应填（ ） 第 10 页（共 29 页） A输出 i B输出 i+1 C输出 i1 D输出 i2 【分析】根据程序框图，了解程序运行功能进行判断即可 【解答】解：由程序框图值当满足条件S10000 时，已经多执行两次 ii+1，故输出 框中应填 i2， 故选：D 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，结合程序框图功能是解决本题的关
16、键 7 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则的取值范围为（ ） A B C D 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图， 的几何意义是区域内的点到点（2，2）连线的斜率， 由图象知 DA 的斜率最大，DC 的斜率最小， 由得 A（1，6） ，此时 z， 由得 C（1，3） ， 此时 z， 即的取值范围为： 故选：B 第 11 页（共 29 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义结合两点间的斜率公 式进行转化求解是解决本题的关键 8 （5 分）函数 f（x）的大致图象为（ ） A B C
17、 D 【分析】利用特殊值对应点的坐标排除选项，判断即可 【解答】解：函数 f（x），当 x0 时，y3，排除选项 A，B，D 即可判断选项 C 正确， 故选：C 【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题 解决问题的能力 9 （5 分） 如图， 已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AA1AD2BC， A1B1C1B1C1D1 120，且 BCAD，则直线 AB1与直线 A1D 所成角的余弦值为（ ） 第 12 页（共 29 页） A B C D 【分析】以 A 为原点，在平面 ABCD 中，过 A 作 AD 的垂线为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1为
18、 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AB1与直线 A1D 所成角的余弦值 【解答】解：以 A 为原点，在平面 ABCD 中，过 A 作 AD 的垂线为 x 轴，AD 为 y 轴，AA1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AA1AD2BC1， 则 A（0，0，0） ，B1（，2） ，A1（0，0，2） ，D（0，2，0） ， （，2） ，（0，2，2） ， 设直线 AB1与直线 A1D 所成角为 ， 则 cos 直线 AB1与直线 A1D 所成角的余弦值为 故选：B 第 13 页（共 29 页） 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位
19、置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 10（5 分） 已知ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， 若， 且，则当 ab 取到最小值时，a（ ） A B C D 【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 2sinBcosCsinB， 结合 sinB0，可求 cosC， 结合范围 C（0，） ，可求 C 的值，利用已知及三角形的面积公式可求 ab2c，由余弦 定理，基本不等式可求 c23ab，当且仅当 ab 时等号成立，结合题可得 c23ab，且 a b，即可解得 a 的值 【解答】解：， 结合2R，可得， 即 ， 2sin
20、CcosB2sin（B+C）+sinB， 即 2sinCcosB2sinBcosC+2cosBsinC+sinB， 则 2sinBcosCsinB， sinB0， 第 14 页（共 29 页） cosC， C（0，） ， C ， 2c，可得：ab2c， 由余弦定理可得：c2a2+b2+ab2ab+ab3ab，当且仅当 ab 时等号成立， 则当 ab 取到最小值时，c 取得最小值， 此时，c23ab，且 ab，解得：a2 故选：A 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余 弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档 题 11
21、（5 分）定义在（，0）（0，+）上的偶函数 f（x）满足：当 x0 时，xf（x） +x2f（x）10，f（e）若函数 g（x）|f（x）|m 有 6 个零点，则实数 m 的取 值范围是（ ） A （0，） B （0，1） C （，1） D （1，+） 【分析】根据条件转化为导数，取出函数 f（x）的解析式，研究的导数和极值，利用数 形结合进行转化求解即可 【解答】解：当 x0 时，xf（x）+x2f（x）10， 即当 x0 时，f（x）+xf（x）， 即（xf（x） ）， 则 xf（x）lnx+c， 即 f（x）+， f（e）f（e）+，即0，则 c0， 即 f（x），x0 第 15 页（
22、共 29 页） f（x）， 由 f（x）0 得 1lnx0，即 lnx1，得 0xe，此时函数 f（x）为增函数， 由 f（x）0 得 1lnx0，即 lnx1，得 xe，此时函数 f（x）为减函数， 即当 xe 时，函数 f（x）取得极大值，f（e）， 当 x1 时，f（x）0，当 0x1 时，f（x）0， 则|f（x）|， 由 g（x）|f（x）|m0 得|f（x）|m， f（x）是偶函数， 要使函数 g（x）|f（x）|m 有 6 个零点， 则等价为当 x0 时函数 g（x）|f（x）|m 有 3 个零点， 即|f（x）|m 有 3 个根，即函数 y|f（x）|与 ym 有 3 个交点，
23、 作出两个函数的图象如图： 由图象知 0m， 故选：A 【点评】本题主要考查函数与方程的综合应用，根据条件结合导数公式求出函数 f（x） 的解析式，以及利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，难度较大 12 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，且 F 到准线 l 的距离为 2，直线 第 16 页（共 29 页） 与抛物线 C 交于 P，Q 两点（点 P 在 x 轴上方） ，与准线 l 交于点 R， 若|QF|3，则（ ） A B C D 【分析】如图所示，抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，且 F 到准线 l 的距离为 2， 可得 p2y24x由|QF|3xQ+1
24、，解得 xQ2联立，化为： x2（4m2+2）x+50利用根与系数的关系可得 xP，利用即 可得出 【解答】解：如图所示， 抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F， 且 F 到准线 l 的距离为 2， p2 y24x |QF|3xQ+1， 解得 xQ2 联立， 化为：x2（4m2+2）x+50 2xP5， 解得 xP， 则 故选：C 第 17 页（共 29 页） 【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、斜率计算公式、三角形面积计算 公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13
25、（5 分）已知向量 （3，4） ， （m，2） ，若向量 2 3 与 共线，则实数 m 【分析】 可求出， 根据向量 2 3 与 共线即可得出 2m+2 （6+3m） 0，解出 m 即可 【解答】解：； 与 共线； 2m+2（6+3m）0； 解得 故答案为： 【点评】考查向量坐标的减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系 14 （5 分） （2x2）7的展开式中，含项的系数为 【分析】写出二项展开式的通项，由 x 的指数为1 求得 r 值，则答案可求 【解答】解：二项式（2x2）7的展开式的通项 取 145r1，得 r3 第 18 页（共 29 页） 含项的系数为 故答案为： 【点评】本题考查二
26、项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题 15 （5 分）将函数 f（x）3cos（2x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数 g （x）的图象，则函数 g（x）的图象的对称轴方程为 x （kZ） 【分析】利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出 结论 【解答】解：将函数 f（x）3cos（2x）的图象向右平移个单位长度后，得到函 数 g（x）3cos（2x）3cos（2x）的图象， 令 2xk，求得 x+，kZ， 函数 g（x）的图象的对称轴方程为 x+，kZ， 故答案为：x+，kZ 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦
27、函数的图象的对称 性，属于基础题 16 （5 分）我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理） ： “幂势既同则 积不容异” “势”即是高， “幂”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面 积相等，那么这两个几何体的体积相等已知双曲线 C 的焦点在 x 轴上，离心率为， 且过点若直线 y0 与 y6 在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴 影部分所示的图形，则该图形绕 y 轴旋转一周所得几何体的体积为 6 【分析】由题意求得双曲线的方程，求出 y6 在第一象限内与渐近线的交点 N 已经与双 曲线第一象限内交点 B 的坐标， 第 19 页（共 29 页） 求出 y6 与 y
28、轴交点 M，由 |MB|2|MN|2，根据祖晅原理，求出它绕 y 轴旋转一 圈所得几何体的体积 【解答】解：双曲线 C 的离心率 e，ca； c2a2+b25a2， b24a2； 双曲线的方程为1，过点（2，2） ， 即1，a21， b24， 双曲线方程为 x21， y6 在第一象限内与渐近线 y2x 的交点 N 的坐标为（3，6） ， y6 与双曲线 x21 在第一象限交点 B 的坐标为（，6） ， 记 y6 与 y 轴交于点 M（0，6） ，且 A（1，0） ， |MB|2|MN|2109， 根据祖晅原理，它绕 y 轴旋转一圈所得几何体的体积为 6 故答案为：6 【点评】本题考查了几何体的
29、体积计算问题，也考查了双曲线的简单几何性质应用问题， 正确理解题意是解题的关键，是中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知等差数列an满足 S9117，a719，数列bn满足 （）求数列an、bn的通项公式； （）求数列的前 n 项和 【分析】 （）直接利用递推关系式求出数列的通项公式 （）利用（）的结论，进一步利用裂项相消法，分组法求出数列的和 【解答】解： （）设首项为 a1，公差为 d 的等差数列an满足 S9117，a719， 第 20 页（
30、共 29 页） 则：， 解得：a11，d3， 故：an3n2 数列bn满足 则：， 所以当 n2 时， 得：2n 1b n1， 所以： 所以， 故：+（） ， ， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，分组法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题 型 18 （12 分）为了了解某市高三学生的身体情况，某健康研究协会对该市高三学生组织了两 次体测，其中第一次体测的成绩（满分：100 分）的频率分布直方图如下图所示，第二次 体测的成绩 XN（65，2.52） （）试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低； （）若该市有高三学生
31、20000 人，记体测成绩在 70 分以上的同学的身体素质为优秀， 假设这 20000 人都参与了第二次体测，试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数； （）以频率估计概率，若在参与第一次体测的学生中随机抽取 4 人，记这 4 人成绩在 60，80）的人数为 ，求 的分布列及数学期望 附：P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544， P（3X+3）0.9974 第 21 页（共 29 页） 【分析】 （）由频率分布直方图求出第一次体测成绩的平均分第二次体测的成绩 X N（65，2.52） ，由此求出第二次体测成绩的平均分为 65从而第一次体测成绩平均分高 于第二次体测成绩平均分 （）由
32、XN（65，2.52） ，能估计第二次体测中身体素质为优秀的人数 （）依题意， （0.025+0.035）100.6， 的可能取值为 0，1，2，3，4，B（4， ） ，由此能求出 的分布列及数学期望 【解答】解： （）由频率分布直方图得第一次体测成绩的平均分为： 0.1245+0.255+0.2565+0.3575+0.0685+0.029565.9 第二次体测的成绩 XN（65，2.52） ， 第二次体测成绩的平均分为 65 65.965，第一次体测成绩平均分高于第二次体测成绩平均分 （）XN（65，2.52） ， P（X70）0.0228， 估计第二次体测中身体素质为优秀的人数为 200
33、000.0228456 （）依题意， （0.025+0.035）100.6， 的可能取值为 0，1，2，3，4，B（4，） ， P（0）（）4， P（1）， P（2）， 第 22 页（共 29 页） P（3）， P（4）（）4， 的分布列为： 0 1 2 3 4 P E（）4 【点评】本题考查平均数、频数的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求 法，考查频率分布直方图、正态分布、二项分布、排列组合等基础知识，考查运算求解 能力，是中档题 19 （12 分）如图所示，四棱锥 SABCD 中，CDAB， ABC90，二面角 SADB 的大小为 90 （）求证：SABD； （）在线段 SB
34、上找一点 E，使得二面角 EADS 的大小为 45 【分析】 （）设 SA，则 BCCD，推导出 BDAD，从而 BD平面 SAD， 由此能证明 SABD （）以 D 为坐标原点，DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，过 D 坐平在 ABCD 的垂线为 z 轴，建 立空间直角坐标系，利用向量能求出点 E 是 SB 上靠近点 S 的三等分点 【解答】证明： （）由题意 SASDCD，设 SA，则 BCCD， BD2，AD2，AB2，AD2+BD2AB2， BDAD， 二面角 SADB 的大小为 90， 且平面 SAD平面 SADAD，BD平面 ADB， BD平面 SAD， SA平面 SAD，SAB
35、D 第 23 页（共 29 页） 解： （）CDAB，ABC90， 二面角 SADB 的大小为 90 以 D 为坐标原点，DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，过 D 坐平在 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空 间直角坐标系， 由（）知 DA2，则 A（2，0，0） ，B（0，2，0） ，S（1，0，1） ， （1，2，1） ，设， （01） ， 则（0，2，0）+（1，2，1）（，22，） ， 设 （x，y，z）是平面 ADE 的法向量， 则，取 y，得 （0，1，0） ， 在线段 SB 上找一点 E，使得二面角 EADS 的大小为 45 |cos|， 解得或 2， 01，解得， 点 E 是
36、SB 上靠近点 S 的三等分点 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足二面角的点的位置的判断与求法，考查空 间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思 想，是中档题 第 24 页（共 29 页） 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）过点（1，） ，离心率为 （）求椭圆 C 的标准方程； （）若直线 yk（x1）与椭圆 C 交于 P，Q 两点且 N（3，2） ，设 kPN，kQN分别 是直线 PN，QN 的斜率，试探究 kPN+kQN是否为定值，若是，求出该定值：若不是，请 说明理由 【分析】 （）由已知列关于 a，b，c 的方程组，求解可得 a，b
37、 的值，则椭圆方程可求； （）联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及 斜率公式得到 kPN+kQN是定值 2 【解答】解： （）由题意，解得 a23，b21， 椭圆 C 的标准方程为； （）联立，得（1+3k2）x26k2x+3k230 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则，又 N（3，2） ， kPN，kQN， 则 kPN+kQN+ 第 25 页（共 29 页） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的应用，考查推理论证能力、 运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 21 （12 分）已知函数 （）当 a0 时，
38、判断函数 f（x）的单调性； （）当 a2 时，证明： （e 为自然对数的底数） 【分析】 （）求得 f（x） ，对 a 分类讨论； （）对不等式变形，构造函数 g（x）2ex（） ，通过求导研究其单调性 和极值，得到 g（x）0，得证 【解答】解： （）函数 f（x）的定义域为（0，+） ， ， 当 a0 时， 当 0x1 时，f（x）0，f（x）递增； 当 x1 时，f（x）0，f（x）递减； 当 0a1 时， 当 0x1 时，f（x）0，f（x）递增； 当 1时，f（x）0，f（x）递减； 当 x时，f（x）0，f（x）递增； 当 a1 时，f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）递增；
39、 当 a1 时， 当时，f（x）0，f（x）递增； 当时，f（x）0，f（x）递减； 当 x1 时，f（x）0，f（x）递增 第 26 页（共 29 页） 综上，当 a0 时，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+）递减； 当 0a1 时，； 当 a1 时，f（x）在（0，+）上递增； 当 a1 时，在； （）证明： 当 a2 时，不等式化为， 令， 则， 显然，g（x）在（0，+）上递增， 且0， 2e2（1）0， g（x）在（0，+）上有唯一的零点 t，且 t（1，2） ， 当 x（0，t）时，g（x）0，g（x）递减， 当 x（t，+）时，g（x）0，g（x）递增 由 g（t）0，得 2
40、ete（） ， g（x）g（t）2ete（lnt） e（）e（lnt） e（） 易知 y在（1，2）上递减， 0， 第 27 页（共 29 页） （）0， g（x）0， 即 2exef（x）+2x 【点评】此题考查了导数的综合应用，分类讨论，构造法等，综合性强，难度大 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做如果多做，则按所做 的第一个题目计分的第一个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 以坐标原
41、点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知圆 C 的极坐标方程为 22sin （） （1）求直线 l 的普通方程以及圆 C 的直角坐标方程； （2）若点 P 在直线 l 上，过点 P 作圆 C 的切线 PQ，求|PQ|的最小值 【分析】 （1）由直线 l 的参数方程消去参数 t，能求出直线 l 的普通方；圆 C 的极坐标方 程转化为 22sin2cos，由此能求出圆 C 的直角坐标方程 （2）圆 C 的圆心为 C（1，1） ，半径 r，从而|PQ|， 而|PC|的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离 d2由此能求出|PQ| 的最小值 【解答】解： （1）直线 l 的参数方程为（
42、t 为参数） 由直线 l 的参数方程消去参数 t，得直线 l 的普通方程为 3x4y30 圆 C 的极坐标方程为 22sin（） ，即 22sin2cos， 圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2+2x2y0，即（x+1）2+（y1）22（5 分） （2）由（1）可知圆 C 的圆心为 C（1，1） ，半径 r， 所以|PQ|， 而|PC|的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离 d2 第 28 页（共 29 页） 所以|PQ|的最小值为（10 分） 【点评】本题考查直线的普通方程、圆的直角坐标方程的求法，考查线段长的最小值的 求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求
43、解能 力，是中档题 选修选修 4-5：不等式：不等式选讲选讲 23已知函数 f（x）2|x|+|x3| （）解关于 x 的不等式 f（x）4； （）若对于任意的 xR，不等式 f（x）t22t 恒成立，求实数 t 的取值范围 【分析】 （）根据绝对值的应用，分别进行讨论解不等式即可 （）根据不等式 f（x）t22t 恒成立，转化为最值恒成立进行求解即可 【解答】解： （）当 x0 时，不等式可化为2x（x3）4，即3x1，解得 x ，故x0； 当 0x3 时，不等式可化为 2x（x3）4，解得 x1，故 0x1； 当 x3 时，不等式可化为 2x+（x3）4，解得 x显然与 x3 矛盾， 故此时不等式无解综上，不等式 f（x）4 的解集为（，1） （）由（1）知，f（x） 作出函数 f（x）的图象，如图， 显然 f（x）f（0）3 故由不等式 f（x）t22t 恒成立可得 3t22t， 即 t22t30 解得1t3 所以 t 的取值范围为1，3 第 29 页（共 29 页） 【点评】本题主要考查绝对值函数的应用，结合不等式恒成立转化为最值问题是解决本 题的关键
