1、已知集合 Ax|x24x0，BxZ|2x2，则 AB（ ） A0，1，2 B1，2 C1，0，1 D1，0，1，2 2 （5 分）已知复数 z 满足，则 z（ ） A1i B12i C1+i D1+2i 3 （5 分）已知命题 p：x（0，） ，tanxsinx；命题 q：x0，x22x，则下列命题为真 命题的是（ ） Apq B（pq） Cp（q） D （p）q 4 （5 分）已知角 的终边经过点（2，3） ，将角 的终边顺时针旋转后得到角 ， 则 tan（ ） A B5 C D5 5 （5 分）已知向量 （，| |，且 （ ） ，则（ + ） （ 3 ） （ ） A15 B19 C15 D
2、19 6 （5 分）已知，c0.3lg1，则（ ） Acab Bbca Ccba Dacb 7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几 何体的体积等于（ ） A B C2012 D2824 第 2 页（共 25 页） 8 （5 分）函数 f（x）的大致图象为（ ） A B C D 9 （5 分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ ） A B C D 10 （5 分）已知圆 C：与 y 轴相切，抛物线 E：y22px（p0）过 圆心 C，其焦点为 F，则直线 CF 被抛物线所截得的弦长等于（ ） A B C D 11 （5 分）已知函数
3、f（x）sin（x+） （0，）的最小正周期为 ，且图 第 3 页（共 25 页） 象过点，要得到函数的图象，只需将函数 f（x）的图 象（ ） A向左平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向右平移个单位长度 D向右平移个单位长度 12 （5 分）若函数 f（x）与 g（x）满足：存在实数 t，使得 f（t）g（t） ，则称函数 g（x） 为 f（x）的“友导”函数已知函数为函数 f（x）x2lnx+x 的“友导” 函数，则 k 的取值范围是（ ） A （，1） B （，2 C （1，+） D2，+） 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20
4、 分）分） 13 （5 分）已知双曲线经过点 M（2，2） ，则其离心率 e 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为 15 （5 分）刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注 释九章算术 ，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣” ，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广 泛如数式是一个确定值 x（数式中的省略号表示按此规律无限重复） ，该数 式的值可以用如下方法求得：令原式x，则，即 x22x10，解得， 取正数得用类似的方法可得 16 （5 分）在ABC 中，AC
5、2，ABC 的面积为，点 P 在ABC 内， 且，则PBC 的面积的最大值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，点 Pn（n，Sn） （nN*）是曲线 上的点数列bn是等比数列，且满足 b1a1+1，b2a31 （）求数列an，bn的通项公式； 第 4 页（共 25 页） （）记，求数列cn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，多面体 ABCDPQ 中，平面 APD平面 ABCD，且 PAPD，BCAD， CDA
6、D，E 为 AD 的中点，且，PQBE，且 PQBE，QB3 （）求证：EC平面 QBD； （）求该多面体 ABCDPQ 的体积 19 （12 分）2018 年的政府工作报告强调，要树立绿水青山就是金山银山理念，以前所未有 的决心和力度加强生态环境保护 某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况， 并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施，下图给出的是甲、乙两企业 2012 年至 2017 年在环保方面投入金额（单位：万元）的柱状图 （）分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数； （结果保留整数） （）园区管委会为尽快落实环保措施，计划对企业进行一定的奖励，提出了如下方案：
7、若企业一年的环保投入金额不超过 200 万元，则该年不奖励；若企业一年的环保投入金 额超过 200 万元，不超过 300 万元，则该年奖励 20 万元；若企业一年的环保投入金额超 过 300 万元，则该年奖励 50 万元 （）分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和； （）现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查，求这两年获得的奖励 之和不低于 70 万元的概率 第 5 页（共 25 页） 20 （12 分）在平面直角坐标系中，直线 n 过点且与直线 m：x+2y0 垂直， 直线 n 与 x 轴交于点 M，点 M 与点 N 关于 y 轴对称，动点 P 满足|PM|+|PN|4 （）求
8、动点 P 的轨迹 C 的方程； （）过点 D（1，0）的直线 l 与轨迹 C 相交于 A，B 两点，设点 E（4，1） ，直线 AE， BE 的斜率分别为 k1，k2，问 k1+k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理 由 21 （12 分）已知函数 （）当 a0 时，判断函数 f（x）的单调性； （）当 a2 时，证明： （e 为自然对数的底数） 考生在第考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的如果多做，则按所做的 第一个题目计分第一个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程
9、 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 以坐标原 点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知圆 C 的极坐标方程为 22sin （） （1）求直线 l 的普通方程以及圆 C 的直角坐标方程； （2）若点 P 在直线 l 上，过点 P 作圆 C 的切线 PQ，求|PQ|的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）2|x|+|x3| （）解关于 x 的不等式 f（x）4； （）若对于任意的 xR，不等式 f（x）t22t 恒成立，求实数 t 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2019 年山东省青岛市莱西一中高
10、考数学一模试卷（文科）年山东省青岛市莱西一中高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 Ax|x24x0，BxZ|2x2，则 AB（ ） A0，1，2 B1，2 C1，0，1 D1，0，1，2 【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x24x0x|0x4， BxZ|2x21，0，1，2， AB1，2 故选：B 【点
11、评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）已知复数 z 满足，则 z（ ） A1i B12i C1+i D1+2i 【分析】设 za+bi（a，bR） ，代入，利用复数代数形式的乘除运算化 简，再由复数相等的条件求解 【解答】解：设 za+bi（a，bR） ， 由，得（a+bi） （2+i）abi+4i， 即（2ab）+（a+2b）ia+（4b）i， ，即 ab1 z1+i 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题 3 （5 分）已知命题 p：x（0，） ，tanxsinx；命题 q：x0，x2
12、2x，则下列命题为真 命题的是（ ） Apq B（pq） Cp（q） D （p）q 【分析】直接利用命题的应用，真值表的应用求出结果 第 7 页（共 25 页） 【解答】解：命题 p：x（0，） ，tanxsinx； 当 x时，命题不成立 故命题 p 为假命题 命题 q：x0，x22x， 当 x3 时，命题为真命题 故pq 为真命题 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：命题的应用，真值表的应用，主要考查学生的运算能力 和转化能力，属于基础题型 4 （5 分）已知角 的终边经过点（2，3） ，将角 的终边顺时针旋转后得到角 ， 则 tan（ ） A B5 C D5 【分析】利用任意角的三角函数
13、的定义求得 tan，再由 tantan（） ，展开两角 差的正切求解 【解答】解：根据角 的终边经过点（2，3） ，可得 tan 的终边按顺时针方向旋转后，与角 的终边重合， tantan（） 故选：A 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义及两角差的正切，属于基础题 5 （5 分）已知向量 （，| |，且 （ ） ，则（ + ） （ 3 ） （ ） A15 B19 C15 D19 【分析】利用向量的垂直以及向量的模，数量积化简求解即可 【解答】解：向量 （，| |，且 （ ） ， 可得， 第 8 页（共 25 页） （ + ） （ 3 ）41519 故选：D 【点评】本题考查向量的数量积
14、的求法，向量的模，考查转化思想以及计算能力 6 （5 分）已知，c0.3lg1，则（ ） Acab Bbca Ccba Dacb 【 分 析 】 可 以 看 出log23 1 ， 0 log32 1 ， lg1 0 ， 从 而 得 出 ，从而得出 a，b，c 的大小关系 【解答】解：log231，0log321，lg10； ，0.3lg10.301； bca 故选：B 【点评】考查对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义 7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几 何体的体积等于（ ） A B C2012 D2824 【分析】由三视图知该几何
15、体是圆柱挖去一个正四棱柱，上部是半球，结合图中数据求 出该几何体的体积 【解答】解：由三视图还原出几何体知， 该几何体是圆柱挖去一个正四棱柱，上部是半球， 且长方体的底面棱长为 2，高为 3，圆柱底面半径 2，高为 3，半球的半径为 2， 则此几何体的体积为 V 第 9 页（共 25 页） 故选：A 【点评】本题考查了根据几何体三视图求体积的应用问题，是基础题 8 （5 分）函数 f（x）的大致图象为（ ） A B C D 【分析】利用特殊值对应点的坐标排除选项，判断即可 【解答】解：函数 f（x），当 x0 时，y3，排除选项 A，B，D 即可判断选项 C 正确， 故选：C 【点评】本题考查
16、函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题 解决问题的能力 9 （5 分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ ） 第 10 页（共 25 页） A B C D 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行， 可得程序框图的功能是计算并输出 S1的值， 可得程序运行后输出的结果为：S1 故选：A 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 10 （5 分）已知圆 C：与 y 轴相切
17、，抛物线 E：y22px（p0）过 圆心 C，其焦点为 F，则直线 CF 被抛物线所截得的弦长等于（ ） A B C D 【分析】求得圆的圆心和半径，由条件可得 m4，抛物线的方程和焦点坐标、准线方程， 直线 CF 的方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值 第 11 页（共 25 页） 【解答】解：圆 C：与 y 轴相切， 可得圆心 C（，2） ，半径 r2，且 m4， 抛物线 E：y22px（p0）过圆心 C，其焦点为 F， 44p，解得 p1，即 C（2，2） ，F（，0） ，准线方程为 x， 直线 CF：y（x） ， 代入抛物线 y22x 可得 8x217x+20
18、， 可得 x1+x2， 由抛物线的定义可得 弦长为 x1+x2+p+1， 故选：C 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件，以及联立直 线方程和抛物线的方程，运用韦达定理、弦长公式，考查运算能力，属于中档题 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，）的最小正周期为 ，且图 象过点，要得到函数的图象，只需将函数 f（x）的图 象（ ） A向左平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向右平移个单位长度 D向右平移个单位长度 【分析】利用正弦函数的周期性求得 ， 根据图象过点，求得 ，可得 f（x） 的解析式，再利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得
19、出结论 【解答】解：函数 f（x）sin（x+） （0，）的最小正周期为 ， 2，f（x）sin（2x+） 图象过点，sin（+）1，f（x）sin（2x） 要得到函数sin（2x+）的图象， 第 12 页（共 25 页） 只需将函数 f（x）的图象向左平移个单位长度即可， 故选：B 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属 于基础题 12 （5 分）若函数 f（x）与 g（x）满足：存在实数 t，使得 f（t）g（t） ，则称函数 g（x） 为 f（x）的“友导”函数已知函数为函数 f（x）x2lnx+x 的“友导” 函数，则 k 的取值范围是（ ）
20、A （，1） B （，2 C （1，+） D2，+） 【分析】求出函数的导数，问题转化为方程 kxlnx+1 有解，记 p（x）xlnx+1， 根据函数的单调性求出 k 的范围即可 【解答】解：g（x）kx1， 由题意 g（x）为函数 f（x）的“友导”函数， 即方程 x2lnx+xkx1 有解， 故 kxlnx+1， 记 p（x）xlnx+1， 则 p（x）1+lnx+lnx， 当 x1 时，0，lnx0， 故 p（x）0，故 p（x）递增， 当 0x1 时，0，lnx0， 故 p（x）0，故 p（x）递减， 故 p（x）p（1）2， 故由方程 kxlnx+1 有解， 得：k2， 故选：D
21、【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道 第 13 页（共 25 页） 常规题 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知双曲线经过点 M（2，2） ，则其离心率 e 【分析】双曲线经过点 M（2，2） ，代入可得1，解得 m利用离 心率计算公式即可得出 【解答】解：双曲线经过点 M（2，2） ， 1，解得 m4 e 故答案为： 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其离心率计算公式，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z2x
22、+y 的最大值为 12 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 14 页（共 25 页） 联立，解得 A（4，4） ， 化目标函数 z2x+y 为 y2x+z，由图可知，当直线 y2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上 的截距最大， z 有最大值为 12 故答案为：12 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 15 （5 分）刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注 释九章算术 ，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥
23、少，割之又割以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣” ，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广 泛如数式是一个确定值 x（数式中的省略号表示按此规律无限重复） ，该数 式的值可以用如下方法求得：令原式x，则，即 x22x10，解得， 取正数得用类似的方法可得 3 【分析】本题可按照已列出的例子的思路进行同样道理的解题，即可得出结果 【解答】解：由题意，可令， 则， 两边平方，得：6+xx2，即 x2x60 解得：x3，或 x2 取正数得 x3 故答案为：3 【点评】本题主要根据题目中给出的解题思路类比算出另一个题目的结果，属基础题 16 （5 分）在ABC 中，AC2，ABC 的
24、面积为，点 P 在ABC 内， 且，则PBC 的面积的最大值为 【分析】由已知利用三角形面积公式可求 AB4，在ABC 中，由余弦定理可得 BC 的 值，在BPC 中，由余弦定理，基本不等式可求 BPCP4，进而根据三角形的面积公 式可求PBC 的面积的最大值 【解答】解：AC2，ABC 的面积为ABACsinBAC 第 15 页（共 25 页） ， 可得：AB4， 在 ABC 中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： BC2 AB2+AC2 2AB AC cos BAC 12， ， 在BPC 中，由余弦定理可得：BC2BP2+CP22BPCPcosBPC， 可得：12BP2+CP2+BPCP2
25、BPCP+BPCP3BPCP，即：BPCP4，当且仅当 BPCP 时等号成立， SBPCBPCPsinBPC，当且仅当 BPCP 时等号成立， 即PBC 的面积的最大值为 故答案为： 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合 应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，点 Pn（n，Sn） （nN*）是曲线 上的点数列bn是等比数列，且满足 b1a1+
26、1，b2a31 （）求数列an，bn的通项公式； （）记，求数列cn的前 n 项和 Tn 【分析】 （）直接利用递推关系式求出数列的通项公式 （）利用分组法求出数列的和 第 16 页（共 25 页） 【解答】 解：（） 数列an的前 n 项和为 Sn， 点 Pn（n， Sn）（nN*） 是曲线 上的点 ， 故：， 当 n1 时， 当 n2 时，anSnSn13n2， 所以数列的首项符合通项， 故：an3n2 数列bn是等比数列，且满足 b1a1+1，b2a31 所以：b1a1+11+12， b2a31（332）16， 所以公比 q3 （）由于， 所以： 数列（1）nan的前 n 项和记作 An
27、， 所以： 当 n 为奇数时 Ana1+a2a3+an1an， （a1+a2）+（a3+a4）+（an2+an1）an， ） ， 当 n 为偶数时 AnAn1+an， 所以： 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在求和中的应用， 主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18 （12 分）如图，多面体 ABCDPQ 中，平面 APD平面 ABCD，且 PAPD，BCAD， 第 17 页（共 25 页） CDAD，E 为 AD 的中点，且，PQBE，且 PQBE，QB3 （）求证：EC平面 QBD； （）求该多面体 ABCDPQ 的体积 【分析】 （） 连接 PE
28、， 在PAD 中， 由已知可得 PEAD， 再由平面 APD平面 ABCD， 利用面面垂直的性质可得 PE平面 ABCD，证明 PEQB，得到 QB平面 ABCD，则 QBEC再证明四边形 BCDE 为正方形，得到 BDCE，由线面垂直的判定可得 EC 平面 QBD； （） 由 （） 知， 四边形 BCDE 为正方形， 得到 BEAD， 进一步证明 AD平面 BEPQ， 分别求出四棱锥 APQBE 和直三棱柱 QBCPED 的体积， 作和可得多面体 ABCDPQ 的 体积 【解答】 （）证明：连接 PE，在PAD 中，PAPD，AEED，PEAD， 平面 APD平面 ABCD，平面 APD平面
29、 ABCDAD，PE平面 ABCD， PQBE，且 PQBE，四边形 PQBE 为平行四边形，则 PEQB 故 QB平面 ABCD，则 QBEC 在四边形 ABCD 中，可知 BCDE，且 BCDE，四边形 BCDE 为平行四边形， 又CDAD，BCCD，四边形 BCDE 为正方形，故 BDCE， 又 QBBDB，EC平面 QBD； （）解：由（）知，四边形 BCDE 为正方形，BEAD， 又 PEAD，BEPEE，AD平面 BEPQ， 如图多面体 ABCDPQ 是由四棱锥 APQBE 和直三棱柱 QBCPED 构成， 又矩形 PQBE 的面积 SBEQB236； 四棱锥 APQBE 的体积；
30、 第 18 页（共 25 页） 直三棱柱 QBCPED 的体积 多面体 ABCDPQ 的体积 VV1+V24+610 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 等积法求多面体的体积，是中档题 19 （12 分）2018 年的政府工作报告强调，要树立绿水青山就是金山银山理念，以前所未有 的决心和力度加强生态环境保护 某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况， 并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施，下图给出的是甲、乙两企业 2012 年至 2017 年在环保方面投入金额（单位：万元）的柱状图 （）分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数；
31、 （结果保留整数） （）园区管委会为尽快落实环保措施，计划对企业进行一定的奖励，提出了如下方案： 若企业一年的环保投入金额不超过 200 万元，则该年不奖励；若企业一年的环保投入金 额超过 200 万元，不超过 300 万元，则该年奖励 20 万元；若企业一年的环保投入金额超 过 300 万元，则该年奖励 50 万元 （）分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和； （）现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查，求这两年获得的奖励 之和不低于 70 万元的概率 【分析】 （） 由柱状图求出甲企业这六年在环保方面的投入金额， 由此能求出其平均数 第 19 页（共 25 页） （） （i）
32、推导出企业每年所获得的环保奖励 t（x） （单位：万元）是关于该年环保投入 x（单位：万元）的分段函数，由此能求出甲企业这六年获得奖励之和和乙企业这六年获 得的奖励之和 （ii）由（i）知甲企业这六年获得的奖金数列表，得到奖励共分三个等级，其中奖励 0 万元的只有 2012 年，记为 Ai，奖励 20 万元的有 2013 年，2016 年，记为 B1，B2，奖励 50 万元的有 2014 年，2015 年和 2017 年，记为 C1，C2，C3，从这六年中任意选取两年， 利用列举法能求出这两年获得的奖励之和不低于 70 万元的概率 【解答】解： （）由柱状图知： 甲企业这六年在环保方面的投入金
33、额分别为 150，290，350，400，300，400， 其平均数为：（150+290+350+400+300+400）272（万元） （） （i）根据题意可知，企业每年所获得的环保奖励 t（x） （单位：万元）是关于该年 环保投入 x（单位：万元）的分段函数， 即 t（x）， 甲企业这六年获得奖励之和为：0+20+50+50+20+50190（万元） 乙企业这六年获得的奖励之和为：0+0+20+20+50+20110（万元） （ii）由（i）知甲企业这六年获得的奖金数如下表： 年份 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 奖励（单 位：万元） 0
34、 20 50 50 20 50 奖励共分三个等级，其中奖励 0 万元的只有 2012 年，记为 Ai， 奖励 20 万元的有 2013 年，2016 年，记为 B1，B2， 奖励 50 万元的有 2014 年，2015 年和 2017 年，记为 C1，C2，C3， 故从这六年中任意选取两年，所有的情况有 15 种，分别为： A，B1，A，B2，A，C1，A，C2，A，C3，B1，B2，B1，C1，B1，C2， B1，C3，B2，C1，B2，C2，B2，C3，C1，C2，C1，C3，C2，C3， 其中奖励之和不低于 70 万元的取法有 9 种，分别为： B1，C1，B1，C2，B1，C3，B2，
35、C1，B2，C2，B2，C3，C1，C2，C1，C3， 第 20 页（共 25 页） C2，C3， 这两年获得的奖励之和不低于 70 万元的概率 P 【点评】本题考查概率、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 20 （12 分）在平面直角坐标系中，直线 n 过点且与直线 m：x+2y0 垂直， 直线 n 与 x 轴交于点 M，点 M 与点 N 关于 y 轴对称，动点 P 满足|PM|+|PN|4 （）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （）过点 D（1，0）的直线 l 与轨迹 C 相交于 A，B 两点，设点 E（4，1） ，直线 AE， BE 的斜率分别
36、为 k1，k2，问 k1+k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理 由 【分析】 （1）求出直线 n 的方程，进而得到 M，N 两点坐标，再根据椭圆的定义，即可 得到点 P 的轨迹 C 的方程 （2）分直线 l 斜率是否存在讨论，当 l 斜率不存在时，能得到，当 l 斜率存 在时，联立直线和椭圆方程，由韦达定理得到则 x1+x2，x1x2 以 及 又 y1 k （ x1 1 ） ， y2 k （ x2 1 ） 所 以 k1+k2 【解答】解： （1）由已知设直线 n 的方程为 2xy+t0， 因为点 Q（，4）在直线 n 上，所以 2+t0，解得 t 所以直线 n 的方程为 2xy+
37、20 另 y0解得 x，所以 M（，0） ，故 N（，0） |PM|+|PN|4|MN| 由椭圆的定义可得，动点 P 的轨迹 C 是以 M，N 为焦点的椭圆，长轴长为 4 所以 a2，c，b， 所以轨迹 C 的方程为 第 21 页（共 25 页） （2）当直线 l 的斜率不存在时，由解得 x1，y 不妨设 A（1，） ，B（1，） ，则 k1+k2 当直线 l 的斜率存在时，直线 l 的方程为 yk（x1） ， 由，消去 y 得（4k2+1）x28k2x+4k240 依题意，直线 l 与轨迹 C 必相较于两点，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1+x2，x1x2 又 y1k（
38、x11） ，y2k（x21） 所以 k1+k2 综上可得，k1+k2为定值 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算 能力，属于难题 21 （12 分）已知函数 （）当 a0 时，判断函数 f（x）的单调性； （）当 a2 时，证明： （e 为自然对数的底数） 【分析】 （）求得 f（x） ，对 a 分类讨论； （）对不等式变形，构造函数 g（x）2ex（） ，通过求导研究其单调性 和极值，得到 g（x）0，得证 【解答】解： （）函数 f（x）的定义域为（0，+） ， ， 第 22 页（共 25 页） 当 a0 时， 当 0x1 时，f（x）0，f（x）递
39、增； 当 x1 时，f（x）0，f（x）递减； 当 0a1 时， 当 0x1 时，f（x）0，f（x）递增； 当 1时，f（x）0，f（x）递减； 当 x时，f（x）0，f（x）递增； 当 a1 时，f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）递增； 当 a1 时， 当时，f（x）0，f（x）递增； 当时，f（x）0，f（x）递减； 当 x1 时，f（x）0，f（x）递增 综上，当 a0 时，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+）递减； 当 0a1 时，； 当 a1 时，f（x）在（0，+）上递增； 当 a1 时，在； （）证明： 当 a2 时，不等式化为， 令， 则， 显然，g（x）在（0，+
40、）上递增， 且0， 2e2（1）0， 第 23 页（共 25 页） g（x）在（0，+）上有唯一的零点 t，且 t（1，2） ， 当 x（0，t）时，g（x）0，g（x）递减， 当 x（t，+）时，g（x）0，g（x）递增 由 g（t）0，得 2ete（） ， g（x）g（t）2ete（lnt） e（）e（lnt） e（） 易知 y在（1，2）上递减， 0， （）0， g（x）0， 即 2exef（x）+2x 【点评】此题考查了导数的综合应用，分类讨论，构造法等，综合性强，难度大 考生在第考生在第 22、23 两题中任选一题两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目作答注意：只能做所选定的题目
41、.如果多做，则按所做的如果多做，则按所做的 第一个题目计分第一个题目计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 以坐标原 点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知圆 C 的极坐标方程为 22sin （） （1）求直线 l 的普通方程以及圆 C 的直角坐标方程； （2）若点 P 在直线 l 上，过点 P 作圆 C 的切线 PQ，求|PQ|的最小值 【分析】 （1）由直线 l 的参数方程消去参数 t，能求出直线 l 的普通方；圆 C 的极坐标方 程转化为 22sin2cos，由此能求出圆 C
42、 的直角坐标方程 第 24 页（共 25 页） （2）圆 C 的圆心为 C（1，1） ，半径 r，从而|PQ|， 而|PC|的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离 d2由此能求出|PQ| 的最小值 【解答】解： （1）直线 l 的参数方程为（t 为参数） 由直线 l 的参数方程消去参数 t，得直线 l 的普通方程为 3x4y30 圆 C 的极坐标方程为 22sin（） ，即 22sin2cos， 圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2+2x2y0，即（x+1）2+（y1）22（5 分） （2）由（1）可知圆 C 的圆心为 C（1，1） ，半径 r， 所以|PQ|， 而|PC|的最小值为圆心 C
43、到直线 l 的距离 d2 所以|PQ|的最小值为（10 分） 【点评】本题考查直线的普通方程、圆的直角坐标方程的求法，考查线段长的最小值的 求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能 力，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）2|x|+|x3| （）解关于 x 的不等式 f（x）4； （）若对于任意的 xR，不等式 f（x）t22t 恒成立，求实数 t 的取值范围 【分析】 （）根据绝对值的应用，分别进行讨论解不等式即可 （）根据不等式 f（x）t22t 恒成立，转化为最值恒成立进行求解即可 【解答】解： （）当 x0 时，不等式可化为2x（x3）4，即3x1，解得 x ，故x0； 当 0x3 时，不等式可化为 2x（x3）4，解得 x1，故 0x1； 当 x3 时，不等式可化为 2x+（x3）4，解得 x显然与 x3 矛盾， 第 25 页（共 25 页） 故此时不等式无解综上，不等式 f（x）4 的解集为（，1） （）由（1）知，f（x） 作出函数 f（x）的图象，如图， 显然 f（x）f（0）3 故由不等式 f（x）t22t 恒成立可得 3t22t， 即 t22t30 解得1t3 所以 t 的取值范围为1，3 【点评】本题主要考查绝对值函数的应用，结合不等式恒成立转化为最值问题是解决本 题的关键
