1、2020 年山东省青岛市莱西市中考数学一模试卷年山东省青岛市莱西市中考数学一模试卷 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 1如图，数轴上表示2 的绝对值的点是（ ） A点 M B点 N C点 P D点 Q 2下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的时（ ） A B C D 3某种感冒病毒的直径约为 120nm，1nm10 9m，则这种感冒病毒的直径用科学记数法表示（ ） A12010 9m B1.210 6m C1.210 7m D1.210 8m 4下列运算正确的是（ ） Aa5a2a10 Ba3aa2 C2a+
2、a2a2 D （a2）3a5 5某班有 40 人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计由于小亮没有参加本次集体测试，因此 计算其他 39 人的平均分为 90 分，方差 s241后来小亮进行了补测，成绩为 90 分，关于该班 40 人的 测试成绩，下列说法正确的是（ ） A平均分不变，方差变大 B平均分不变，方差变小 C平均分和方差都不变 D平均分和方差都改变 6如图，把直角坐标系 xOy 放置在边长为 1 的正方形网格中，O 是坐标原点，点 A、B、C 均在格点上， 将ABC 绕 O 点按顺时针方向旋转 90后，得到ABC，则点 A的坐标是（ ） A （5，1） B （5，1） C （1，
3、5） D （1，5） 7如图，点 A，B，C 在O 上，ABC26，过点 C 作O 的切线交 OA 的延长线于点 D，则D 的大 小为（ ） A26 B52 C28 D38 8在同一坐标系中，二次函数 yax2+bx 与一次函数 ybxa 的图象可能是（ ） A B C D 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 18 分，共有分，共有 6 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9计算： （） 10 在一个不透明布袋里装有 5 个白球、 3 个红球和 a 个黄球， 这些球除颜色不同外， 其它没有任何区别 若 从该布袋里任意摸出 1 个球，该球是黄球的概率为，则 a 等于 11某市教育局
4、出台中小学教师志愿辅导工作实施意见 ，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出 名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公 益课受益学生 2.42 万人次如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，都是 x，则依据题 意可列方程为 12如图，AB，AC 分别是O 的直径和弦，ODAC 于点 D，连接 BD，BC，且 AB10，AC8，则 BD 的长为 13如图，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，如果 AB：AD2：3，那么 cos EFC 的值是 14墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的
5、立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不 考虑操作技术的限制） ，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影 子不变，那么你最多可以搬走 个小正方体 三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 4 分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15已知：如图，A 为O 上一点； 求作：O 的内接正方形 ABCD 四、解答题（共四、解答题（共 9 道大题，满分道大题，满分 74 分）分） 16 （1）化简： （）； （2）解不等式组： 17某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠
6、状病毒肺炎的 防护知识，并鼓励社区居民在线参与“2020 年新冠病毒防护知识”在线问答社区管理员随机从甲、乙 两个小区各抽取 20 名居民的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析如下： 收集数据： 甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75 乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 整理数据： 成绩 x（分） 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 甲小区 2 5 a b 乙小区 3 7
7、5 5 分析数据： 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 85.75 87.5 c 乙小区 83.5 d 80 应用数据： （1）填空：a ，b ，c ，d ； （2）求扇形统计图中圆心角 的度数； （3）若甲小区共有 1200 人参与答卷，请估计甲小区成绩在 90 分以上的人数 18某市共开发了 5 条“五一”旅游专线，分别编号为 15 号线小雨一家计划利用两天时间参观其中两 条线路：第一天从 5 条线路中随机选择一条，第二天从余下的 4 条线路中再随机选择一条，且每条线路 被选中的机会均等 （1）第一天，1 号路线没有被选中的概率是 ； （2）利用列表或画树状图的方法求两天中 4 号路线被
8、选中的概率 19如图，海面上一艘船由西向东航行，在 A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点 C 的仰角为 31，再向 东继续航行 30m 到达 B 处，测得该灯塔的最高点 C 的仰角为 45，根据测得的数据，计算这座灯塔的 高度 CD（结果取整数） （参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60） 20一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度 v（千米/小时）与所用时间 t（小时）的函数关系如图所示， 其中 60v120 （1）直接写出 v 与 t 的函数关系式； （2） 若一辆货车同时从乙地出发前往甲地， 客车比货车平均每小时多行驶 20 千米， 3 小时后两车相遇 求两车
9、的平均速度； 甲、乙两地间有两个加油站 A、B，它们相距 200 千米，当客车进入 B 加油站时，货车恰好进入 A 加 油站（两车加油的时间忽略不计） ，求甲地与 B 加油站的距离 21如图，在平行四边形 ABCD 中，ABAC，AB1，BC，对角线 AC、BD 交于 O 点，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC、AD 于点 E、F （1）求证：DOFBOE； （2）当 AC 绕点 O 顺时针旋转多少度时，四边形 BEDF 是菱形？并说明理由 22某网店专售一款电动牙刷，其成本为 20 元/支，销售中发现，该商品每天的销售量 y（支）与销售单价 x（元/支）之间存在如图所示的关系
10、（1）请求出 y 与 x 的函数关系式； （2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 200 元捐赠给武 汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 550 元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 23阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为 a（a2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AEBFCG DH1，当AFQBGMCHNDEP45时，求正方形 MNPQ 的面积 小明发现，分别延长 QE，MF，NG，PH 交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点 R，S，T，W，可
11、得RQF， SMG，TNH，WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图 2） 请回答： （1） 若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形 （无缝隙不重叠） ， 则新的正方形的边长为 ； 这个新正方形的面积 （填“” “”或“” ）原正方形 ABCD 的面积；通过上述分析，可以 发现正方形 MNPQ 的面积与FSB 的面积之间的关系是 （2）求正方形 MNPQ 的面积 （3）如图 3，在等边ABC 各边上分别截取 ADBECF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂 线，得到等边RPQ若 SRPQ，求 AD 的长参考小明思考问题的方法，在图 3 的基础上先画出 图形再解决问题 24
12、如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm，BD 为对角线点 P 为线段 CD 上一动点，点 P 从点 D 出发，向点 C 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 为 BC 上一动点，过点 Q 作 BD 的垂线，交 BD 于 M，交 AD 于点 N，点 Q 从点 C 向点 B 运动，速度为 1cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动；设运动时 间为 t（s） （0t6） （1）当 t 为何值时，PQBD？ （2）设四边形 NQPD 的面积为 y（cm2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使四边形 NQPD 的面积是矩形 ABCD 面积的？若存在
13、，求出此时 t 的值； 若不存在，说明理由 2020 年山东省青岛市莱西市中考数学一模试卷年山东省青岛市莱西市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1如图，数轴上表示2 的绝对值的点是（ ） A点 M B点 N C点 P D点 Q 【分析】根据绝对值的定义可判定点 Q 表示表示2 的绝对值的点 【解答】解：因为2 的绝对值是 2， 所以数轴上表示2 的绝对值的点是 Q 故选：D 2下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的时（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中
14、心对称图形，故此选项不合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：B 3某种感冒病毒的直径约为 120nm，1nm10 9m，则这种感冒病毒的直径用科学记数法表示（ ） A12010 9m B1.210 6m C1.210 7m D1.210 8m 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数当原数为较大数时，n 为 整数位数减 1；当原数为较小数（大于 0 小于 1 的小数）时，n 为第一个非 0 数字前面所有 0 的个
15、数的相 反数 【解答】解：1nm10 9m， 120nm12010 9m1.2107m 故选：C 4下列运算正确的是（ ） Aa5a2a10 Ba3aa2 C2a+a2a2 D （a2）3a5 【分析】分别根据同底数幂相乘法则、同底数幂的除法法则、合并同类项的法则以及幂的乘方法则化简 即可 【解答】解：A、a5a2a7，故选项 A 不合题意； B、a3aa2，故选项 B 符合题意； C、2a+a3a，故选项 C 不合题意； D、 （a2）3a6，故选项 D 不合题意 故选：B 5某班有 40 人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计由于小亮没有参加本次集体测试，因此 计算其他 39 人的平
16、均分为 90 分，方差 s241后来小亮进行了补测，成绩为 90 分，关于该班 40 人的 测试成绩，下列说法正确的是（ ） A平均分不变，方差变大 B平均分不变，方差变小 C平均分和方差都不变 D平均分和方差都改变 【分析】根据平均数，方差的定义计算即可 【解答】解：小亮的成绩和其他 39 人的平均数相同，都是 90 分， 该班 40 人的测试成绩的平均分为 90 分，方差变小， 故选：B 6如图，把直角坐标系 xOy 放置在边长为 1 的正方形网格中，O 是坐标原点，点 A、B、C 均在格点上， 将ABC 绕 O 点按顺时针方向旋转 90后，得到ABC，则点 A的坐标是（ ） A （5，1
17、） B （5，1） C （1，5） D （1，5） 【分析】分别作出 A，B，C 的对应点 A，B，C即可 【解答】解：如图，ABC即为所求作，A（5，1） 故选：A 7如图，点 A，B，C 在O 上，ABC26，过点 C 作O 的切线交 OA 的延长线于点 D，则D 的大 小为（ ） A26 B52 C28 D38 【分析】连接 OC，由切线的性质得OCD90，再由圆周角定理得COD52，最后由三角形内 角和定理即可求出答案 【解答】解：连接 OC，如图所示： CD 与O 相切， OCCD， OCD90， 由圆周角定理可知：COD2CBA52， D90OCD905238， 故选：D 8在同一
18、坐标系中，二次函数 yax2+bx 与一次函数 ybxa 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在 y 左侧，a，b 同号，对称轴在 y 轴右侧 a，b 异号，以及当 a 大于 0 时开口向 上，当 a 小于 0 时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数 的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常 数项为正，交 y 轴于正半轴，常数项为负，交 y 轴于负半轴如此分析下来，二次函数与一次函数无矛 盾者为正确答案 【解
19、答】解：由方程组得 ax2a， a0 x21，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除 B A：二次函数开口向上，说明 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 b0；但是一次函数 b 为一次项系数，图象 显示从左向右上升，b0，两者矛盾，故 A 错； C：二次函数开口向上，说明 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 b0；b 为一次函数的一次项系数，图象显 示从左向右下降，b0，两者相符，故 C 正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故 D 错 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 9计算： （） 12 【分析】利用二次根式的除法法则运算 【解答】解：原式1 12 故
20、答案为 12 10 在一个不透明布袋里装有 5 个白球、 3 个红球和 a 个黄球， 这些球除颜色不同外， 其它没有任何区别 若 从该布袋里任意摸出 1 个球，该球是黄球的概率为，则 a 等于 4 【分析】根据概率公式列出关于 a 的方程，解之可得 【解答】解：根据题意， ， 解得 a4， 经检验：a4 是原分式方程的解， 则 a4， 故答案为：4 11某市教育局出台中小学教师志愿辅导工作实施意见 ，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出 名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生 2 万人次，第三批公 益课受益学生 2.42 万人次如果第二批，第三批公益课受益
21、学生人次的增长率相同，都是 x，则依据题 意可列方程为 2（1+x）22.42 【分析】根据题意可得等量关系：第一批公益课受益学生数（1+增长率）2第三批公益课受益学生数， 根据等量关系列出方程即可 【解答】解：设第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，都是 x，由题意得： 2（1+x）22.42， 故答案为：2（1+x）22.42 12如图，AB，AC 分别是O 的直径和弦，ODAC 于点 D，连接 BD，BC，且 AB10，AC8，则 BD 的长为 2 【分析】先根据圆周角定理得到ACB90，则利用勾股定理可计算出 BC6，再根据垂径定理得到 CDAD4，然后利用勾股定理计算 BD
22、【解答】解：AB 为直径， ACB90， 在 RtACB 中，BC6， ODAC， CDADAC4， 在 RtBCD 中，BD2 故答案为 2 13如图，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，如果 AB：AD2：3，那么 cos EFC 的值是 【分析】设出参数：AB2，则 AFAD3，EC2；求出 BF，CF3；进而求出 ，即可解决问题 【解答】解：如图，四边形 ABCD 为矩形， BCAD，DCAB；BC90； 由题意得：DEEF（设为 ） ； AB：AD2：3， 设 AB2，则 AFAD3，EC2； 由勾股定理得：BF2924252， BF，CF3；
23、 由勾股定理得：， 解得：， cosEFC 方法二：证明EFCBAF，可得 cosEFCcosBAF 故答案为 14墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不 考虑操作技术的限制） ，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影 子不变，那么你最多可以搬走 27 个小正方体 【分析】 留下靠墙的正方体， 以及墙角处向外的一列正方体， 依次数出搬走的小正方体的个数相加即可 【解答】解：第 1 列最多可以搬走 9 个小正方体； 第 2 列最多可以搬走 8 个小正方体； 第 3 列最多可以搬走 3 个小正方体； 第 4 列最多可
24、以搬走 5 个小正方体； 第 5 列最多可以搬走 2 个小正方体 9+8+3+5+227 个 故最多可以搬走 27 个小正方体 故答案为：27 三解答题三解答题 15已知：如图，A 为O 上一点； 求作：O 的内接正方形 ABCD 【分析】先作直径 AC，再过 O 点作 AC 的垂线交O 于 D、B，然后连接 AB、AD、CD、CB 即可 【解答】解：如图，四边形 ABCD 为所作 16 （1）化简： （）； （2）解不等式组： 【分析】 （1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可 【解答】解： （1）原
25、式 ； （2）， 解不等式得：x2， 解不等式得：x1， 所以不等式组的解集是1x2 17某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的 防护知识，并鼓励社区居民在线参与“2020 年新冠病毒防护知识”在线问答社区管理员随机从甲、乙 两个小区各抽取 20 名居民的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析如下： 收集数据： 甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75 乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90
26、 70 80 95 75 100 90 整理数据： 成绩 x（分） 60 x70 70 x80 80 x90 90 x100 甲小区 2 5 a b 乙小区 3 7 5 5 分析数据： 统计量 平均数 中位数 众数 甲小区 85.75 87.5 c 乙小区 83.5 d 80 应用数据： （1）填空：a 8 ，b 5 ，c 90 ，d 82.5 ； （2）求扇形统计图中圆心角 的度数； （3）若甲小区共有 1200 人参与答卷，请估计甲小区成绩在 90 分以上的人数 【分析】 （1）数出甲小区 80 x90 的数据数可求 a；甲小区 90 x100 的数据数可求 b；根据中位数 的意义，从甲小
27、区成绩中找出出现次数最多的数即为众数 c 的值，将乙小区抽查的 20 人成绩排序找出处 在中间位置的两个数的平均数即为中位数 d 的值； （2）用 360乘以乙小区成绩为 70 x80 所占的百分比，即可求出圆心角 的度数； （3）用总人数乘以样本中甲小区成绩大于 90 分的人数所占比例即可 【解答】解： （1）依题意可得，a8，b5， 甲小区出现次数最多的数据是 90，因此众数是 90，即 c90 中位数是从小到大排列后处在第 10、11 位两个数的平均数， 将乙小区 20 个数据按从小到大的顺序排列为：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90， 90，9
28、0，95，95，95，100，100， 处在第 10、11 位的两个数的平均数为（80+85）282.5，即 d82.5 故答案为：8，5，90，82.5； （2）360126 （3）600150（人） 答：估计甲小区成绩在 90 分以上的人数是 150 人 18某市共开发了 5 条“五一”旅游专线，分别编号为 15 号线小雨一家计划利用两天时间参观其中两 条线路：第一天从 5 条线路中随机选择一条，第二天从余下的 4 条线路中再随机选择一条，且每条线路 被选中的机会均等 （1）第一天，1 号路线没有被选中的概率是 ； （2）利用列表或画树状图的方法求两天中 4 号路线被选中的概率 【分析】
29、（1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【解答】解： （1）第一天，1 号路线没有被选中的概率是， 故答案为：； （2）列表如下： 1 2 3 4 5 1 （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） 2 （1，2） （3，2） （4，2） （5，2） 3 （1，3） （2，3） （4，3） （5，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （5，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） 由表知，共有 20 种等可能结果，其中两天中 4 号路线被选中的有 8 种结果， 所以两天中 4 号路线被选中的概
30、率为 19如图，海面上一艘船由西向东航行，在 A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点 C 的仰角为 31，再向 东继续航行 30m 到达 B 处，测得该灯塔的最高点 C 的仰角为 45，根据测得的数据，计算这座灯塔的 高度 CD（结果取整数） （参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60） 【分析】 在 RtCAD 中， 利用锐角三角函数可得 AD，RtCBD 中，可得 BDCD，进而可得 CD 的长 【解答】解：在 RtCAD 中， 则， 在 RtCBD 中，CBD45， BDCD， ADAB+BD， ， 解得，CD45（m） 答：这座灯塔的高度 CD 约为 45m
31、20一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度 v（千米/小时）与所用时间 t（小时）的函数关系如图所示， 其中 60v120 （1）直接写出 v 与 t 的函数关系式； （2） 若一辆货车同时从乙地出发前往甲地， 客车比货车平均每小时多行驶 20 千米， 3 小时后两车相遇 求两车的平均速度； 甲、乙两地间有两个加油站 A、B，它们相距 200 千米，当客车进入 B 加油站时，货车恰好进入 A 加 油站（两车加油的时间忽略不计） ，求甲地与 B 加油站的距离 【分析】 （1）利用时间 t 与速度 v 成反比例可以得到反比例函数的解析式； （2）由客车的平均速度为每小时 v 千米，得到货车的平均速度
32、为每小时（v20）千米，根据一辆客 车从甲地出发前往乙地， 一辆货车同时从乙地出发前往甲地， 3 小时后两车相遇列出方程， 解方程即可； 分两种情况进行讨论： 当 A 加油站在甲地和 B 加油站之间时； 当 B 加油站在甲地和 A 加油站之间时； 都可以根据甲、乙两地间有两个加油站 A、B，它们相距 200 千米列出方程，解方程即可 【解答】解： （1）设函数关系式为 v， t5，v120， k1205600， v 与 t 的函数关系式为 v（5t10） ； （2）依题意，得 3（v+v20）600， 解得 v110， 经检验，v110 符合题意 当 v110 时，v2090 答：客车和货车的
33、平均速度分别为 110 千米/小时和 90 千米/小时； 当 A 加油站在甲地和 B 加油站之间时， 110t（60090t）200， 解得 t4，此时 110t1104440； 当 B 加油站在甲地和 A 加油站之间时， 110t+200+90t600， 解得 t2，此时 110t1102220 答：甲地与 B 加油站的距离为 220 或 440 千米 21如图，在平行四边形 ABCD 中，ABAC，AB1，BC，对角线 AC、BD 交于 O 点，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC、AD 于点 E、F （1）求证：DOFBOE； （2）当 AC 绕点 O 顺时针旋转多少度时，四
34、边形 BEDF 是菱形？并说明理由 【分析】 （1）根据 ASA 定理得出DOFBOE，由此可得出结论； （2）连接 BF，DE，EF 与 BD 互相平分可知，当 EFBD 时四边形 BEDF 是菱形，再由勾股定理求出 AC 的长，根据等腰直角三角形的性质可得出结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ODOB，BCAD， FDOEBO， 在DOF 和BOE 中， ， DOFBOE（ASA） ； （2）解：AC 绕点 O 顺时针旋转 45时，四边形 BEDF 可以是菱形 理由：如图，连接 BF，DE， 由（1）知DOFBOE， OFOE， 当 EFBD 时四边形 BEDF
35、是菱形 在 RtABC 中， AB1，BC， AC2， OAOC1， OAAB， AOB45， AOF904545， AC 绕点 O 顺时针旋转 45时，四边形 BEDF 是菱形 22某网店专售一款电动牙刷，其成本为 20 元/支，销售中发现，该商品每天的销售量 y（支）与销售单价 x（元/支）之间存在如图所示的关系 （1）请求出 y 与 x 的函数关系式； （2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 200 元捐赠给武 汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 550 元，如何确定该
36、款电动牙刷的销售单价？ 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）设该款电动牙刷每天的销售利润为 w 元，根据“总利润每支的利润销售量”可得函数解析式， 配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得； （3） 设捐款后每天剩余利润为 z 元， 根据题意得出 z10 x2+600 x800020010 x2+600 x8200， 求出 z550 时的 x 的值，再利用二次函数的图象和性质求解可得 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b， 将（30，100） ， （35，50）代入 ykx+b， 得， 解得， y 与 x 的函数关系式为 y10 x+400； （2）设该款
37、电动牙刷每天的销售利润为 w 元， 由题意得 w（x20） y （x20） （10 x+400） 10 x2+600 x8000 10（x30）2+1000， 100， 当 x30 时，w 有最大值，w 最大值为 1000 答：该款电动牙刷销售单价定为 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润为 1000 元； （3）设捐款后每天剩余利润为 z 元， 由题意可得 z10 x2+600 x8000200 10 x2+600 x8200， 令 z550，即10 x2+600 x8200550， 10（x260 x+900）250， x260 x+90025， 解得 x125，x235， 画出每天
38、剩余利润 z 关于销售单价 x 的函数关系图象如解图， 由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于 25 元，且不高于 35 元时，可保证捐款后每天剩余 利润不低于 550 元 23阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为 a（a2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AEBFCG DH1，当AFQBGMCHNDEP45时，求正方形 MNPQ 的面积 小明发现，分别延长 QE，MF，NG，PH 交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点 R，S，T，W，可得RQF， SMG，TNH，WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图 2） 请回答： （1） 若将上述四个等腰直角三角形拼
39、成一个新的正方形 （无缝隙不重叠） ， 则新的正方形的边长为 a ； 这个新正方形的面积 （填“” “”或“” ）原正方形 ABCD 的面积；通过上述分析，可以发 现正方形 MNPQ 的面积与FSB 的面积之间的关系是 S正方形MNPQ4SFSB （2）求正方形 MNPQ 的面积 （3）如图 3，在等边ABC 各边上分别截取 ADBECF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂 线，得到等边RPQ若 SRPQ，求 AD 的长参考小明思考问题的方法，在图 3 的基础上先画出 图形再解决问题 【分析】（1） 先证AER、 BFS、 CGT、 DHW 是四个全等的等腰直角三角形， 得 A
40、EDW， 则 AE+DE DW+DEa，即 ADWEa，得这个新正方形的边长为 a；求出拼成的新正方形面积为 a2，即新正方 形与原正方形 ABCD 的面积相等，即可解决问题； （2）由 SFSB，得 S正方形MNPQ4SFSB2 即可； （3）分别延长 RD、QF、PE 交 FA、EC、DB 的延长线于点 S、T、W，由题意得RSF、QET、PDW 均为底角是 30的等腰三角形，其底边长均等于ABC 的边长，设等边ABC 的边长为 b，则 SFAC b，过点 R 作 RMSF 于 M，则 MFSFb，求出 RMb，则 SRSFb2，过点 A 作 AN SD 于 N，设 ADASm，则 ANm
41、，SD2NDm，得 SADSm2，然后由三个等腰三角 形的面积和为b2，进而得出3m2，求解即可 【解答】解： （1）AEBFCGDH1，AFQBGMCHNDEP45， AER、BFS、CGT、DHW 是四个全等的等腰直角三角形， AEDW， AE+DEDW+DEa，即 ADWEa， 拼成一个新的正方形无缝隙，不重叠， 这个新正方形的边长为 a； 所得的四个等腰直角三角形的斜边长为 a， 则斜边上的高为a， 每个等腰直角三角形的面积为：aaa2， 拼成的新正方形面积为：4a2a2， 即新正方形与原正方形 ABCD 的面积相等； 新正方形的面积4SMSG4（SFSB+S四边形MFBG） ， 原正
42、方形 ABCD 的面积S正方形MNPQ+4S四边形MFBG， 4（SFSB+S四边形MFBG）S正方形MNPQ+4S四边形MFBG， 即 S正方形MNPQ4SFSB； 故答案为：a，S正方形MNPQ4SFSB； （2）SFSB11， S正方形MNPQ4SFSB42； （3）分别延长 RD、QF、PE 交 FA、EC、DB 的延长线于点 S、T、W，如图（3）所示： 由题意得：RSF、QET、PDW 均为底角是 30的等腰三角形，其底边长均等于ABC 的边长， 设等边ABC 的边长为 b， 则 SFACb， 过点 R 作 RMSF 于 M， 则 MFSFb， 在 RtRMF 中，RMMFtan3
43、0bb， SRSFbbb2， 过点 A 作 ANSD 于 N， 设 ADASm， 则 ANADsin30m，SD2ND2ADcos302mm， SADSSDANmmm2， 三个等腰三角形（RSF、QET、PDW）的面积和为：3SRSF3b2b2， SRPQSADS+SCFT+SBEW3SADS， 3m2， 解得：m（负值舍去） ， AD 24如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm，BD 为对角线点 P 为线段 CD 上一动点，点 P 从点 D 出发，向点 C 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 为 BC 上一动点，过点 Q 作 BD 的垂线，交 BD 于 M，交 AD 于点 N，
44、点 Q 从点 C 向点 B 运动，速度为 1cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动；设运动时 间为 t（s） （0t6） （1）当 t 为何值时，PQBD？ （2）设四边形 NQPD 的面积为 y（cm2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使四边形 NQPD 的面积是矩形 ABCD 面积的？若存在，求出此时 t 的值； 若不存在，说明理由 【分析】 （1）当 PQBD 时，PQCDBC，则，即，解得 t即可； （2）先证MBQCBD，得，解得 BMt，再证BMQDMN，得，解 得 DN+t，然后四边形 NQPD 的面积为 y梯形 NQCD 的面积P
45、QC 的面积，即可求解； （3）由题意得t2+3t+68，解方程即可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， DCAB6cm， 当 PQBD 时，PQCDBC， ， 即， 解得：t， 当 t 为s 时，PQBD； （2）四边形 ABCD 是矩形， ADBC，DCAB6cm，C90， BD10（cm） ， QMBD， BMQ90C， 又MBQCBD， MBQCBD， ， 即， 解得：BMt， ADBC， BMQDMN， ， 即， 解得：DN+t， 四边形 NQPD 的面积为 y梯形 NQCD 的面积PQC 的面积 （CQ+DN） CDCQCP （t+ +t）6t（6t）t2+3t+， 即 y 与 t 之间的函数关系式为 yt2+3t+； （3）假设存在某一时刻 t，使四边形 NQPD 的面积是矩形 ABCD 面积的， 则t2+3t+68， 即 t2+6t70， 解得：t1 或 t7（舍去） ， 存在 t1s，使四边形 NQPD 的面积是矩形 ABCD 面积的
