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2019年山东省青岛市莱西一中高考数学一模试卷(理科)含详细解答

1、为了检验设备 M 与设备 N 的生产效率,研究人员作出统计,得到如表所示的结 果,则 设备 M 设备 N 生产出的合格产品 48 43 生产出的不合格产品 2 7 附: P(K2k0) 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 参考公式:,其中 na+b+c+d ( ) A有 90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性 B没有 90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性 C可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相 关性 D 不能在犯错误的概率不超过 0.1

2、 的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关 性 4 (5 分)已知角 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 3x5y0 上,则 tan+sin()( ) A B C D 5 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该 几何体的表面积为( ) 第 2 页(共 29 页) A3 B3 C4 D4 6 (5 分)为了计算满足的最大正整数 n,设置了如图所示的程序框图,若 判断框中填写的是“S10000?” ,则输出框中应填( ) A输出 i B输出 i+1 C输出 i1 D输出 i2 7 (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件,则的

3、取值范围为( ) A B C D 8 (5 分)函数 f(x)的大致图象为( ) A B 第 3 页(共 29 页) C D 9 (5 分) 如图, 已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中, AA1AD2BC, A1B1C1B1C1D1 120,且 BCAD,则直线 AB1与直线 A1D 所成角的余弦值为( ) A B C D 10(5 分) 已知ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 若, 且,则当 ab 取到最小值时,a( ) A B C D 11 (5 分)定义在(,0)(0,+)上的偶函数 f(x)满足:当 x0 时,xf(x) +x2f(x)10,f(

4、e)若函数 g(x)|f(x)|m 有 6 个零点,则实数 m 的取 值范围是( ) A (0,) B (0,1) C (,1) D (1,+) 12 (5 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,且 F 到准线 l 的距离为 2,直线 与抛物线 C 交于 P,Q 两点(点 P 在 x 轴上方) ,与准线 l 交于点 R, 若|QF|3,则( ) A B C D 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 第 4 页(共 29 页) 13(5 分) 已知向量 (3, 4) , (m, 2) , 若向量 2 3 与 共线, 则

5、实数 m 14 (5 分) (2x2)7的展开式中,含项的系数为 15 (5 分)将函数 f(x)3cos(2x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数 g (x)的图象,则函数 g(x)的图象的对称轴方程为 x 16 (5 分)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理) : “幂势既同则 积不容异” “势”即是高, “幂”是面积意思是:如果两等高的几何体在同高处的截面 积相等,那么这两个几何体的体积相等已知双曲线 C 的焦点在 x 轴上,离心率为, 且过点若直线 y0 与 y6 在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴 影部分所示的图形,则该图形绕 y 轴旋转一周所得几何体的体积

6、为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (12 分)已知等差数列an满足 S9117,a719,数列bn满足 ()求数列an、bn的通项公式; ()求数列的前 n 项和 18 (12 分)为了了解某市高三学生的身体情况,某健康研究协会对该市高三学生组织了两 次体测,其中第一次体测的成绩(满分:100 分)的频率分布直方图如下图所示,第二次 体测的成绩 XN(65,2.52) ()试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低; ()若该市有高三学生 20000 人,记体测成绩在

7、 70 分以上的同学的身体素质为优秀, 假设这 20000 人都参与了第二次体测,试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数; ()以频率估计概率,若在参与第一次体测的学生中随机抽取 4 人,记这 4 人成绩在 60,80)的人数为 ,求 的分布列及数学期望 第 5 页(共 29 页) 附:P(X+)0.6826,P(2X+2)0.9544, P(3X+3)0.9974 19 (12 分)如图所示,四棱锥 SABCD 中,CDAB, ABC90,二面角 SADB 的大小为 90 ()求证:SABD; ()在线段 SB 上找一点 E,使得二面角 EADS 的大小为 45 20 (12 分)已知椭圆

8、C:+1(ab0)过点(1,) ,离心率为 ()求椭圆 C 的标准方程; ()若直线 yk(x1)与椭圆 C 交于 P,Q 两点且 N(3,2) ,设 kPN,kQN分别 是直线 PN,QN 的斜率,试探究 kPN+kQN是否为定值,若是,求出该定值:若不是,请 说明理由 21 (12 分)已知函数 ()当 a0 时,判断函数 f(x)的单调性; ()当 a2 时,证明: (e 为自然对数的底数) 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目两题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做如果多做,则按所做 的第一个题目计分的第一个题目计分选修选修

9、 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 第 6 页(共 29 页) 22 (10 分)在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为(t 为参数) 以坐标原 点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知圆 C 的极坐标方程为 22sin () (1)求直线 l 的普通方程以及圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 在直线 l 上,过点 P 作圆 C 的切线 PQ,求|PQ|的最小值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)2|x|+|x3| ()解关于 x 的不等式 f(x)4; ()若对于任意的 xR,不等式 f(x)t22t 恒成立,求实数 t 的

10、取值范围 第 7 页(共 29 页) 2019 年山东省青岛市莱西一中高考数学一模试卷(理科)年山东省青岛市莱西一中高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)一项是符合题目要求的) 1 (5 分)已知集合 A2,5,9,Bx|x2m1,mA,则 AB( ) A2,3,5,9,17 B2,3,5,17 C9 D5 【分析】分别求出集合 A,B,由此能求出 AB 【解答】解:集合 A2,5,9,

11、Bx|x2m1,mA3,9,17, AB2,3,5,9,17 故选:A 【点评】本题考查并集的求法,考查并集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 2 (5 分) 若复数 z1对应复平面内的点 (2, 3) , 且 z1z21+2i, 则复数 z2的虚部为 ( ) A B C D 【分析】由已知求得 z1,代入 z1z21+2i,变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得 答案 【解答】解:由题意,z123i,由 z1z21+2i, 得, 复数 z2的虚部为 故选:B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是 基础题 3 (5 分)为了检验设备 M 与设备

12、 N 的生产效率,研究人员作出统计,得到如表所示的结 果,则 设备 M 设备 N 生产出的合格产品 48 43 第 8 页(共 29 页) 生产出的不合格产品 2 7 附: P(K2k0) 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 参考公式:,其中 na+b+c+d ( ) A有 90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性 B没有 90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性 C可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相 关性 D 不能在犯错误的概率不超过 0

13、.1 的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关 性 【分析】根据列联表求出 K23.0532.706, 【解答】解:K23.0532.706, 因此有 90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性 故选:A 【点评】本题考查了独立性检验,属中档题 4 (5 分)已知角 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 3x5y0 上,则 tan+sin()( ) A B C D 【分析】 根据三角函数的定义求出 tan 和 sin2x, 利用三角函数的诱导公式进行化简求解 即可 【解答】解:角 的终边在直线 3x5y0 上 设直线上的点为(5,3) ,则 tan,sin,

14、 sin()sin(4+2)sin(+2)sin(2)cos2 (12sin2)1+2()2, 则 tan+sin(), 第 9 页(共 29 页) 故选:C 【点评】本题主要考查三角函数的化简和求解,结合三角函数的定义以及诱导公式进行 化简是解决本题的关键 5 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该 几何体的表面积为( ) A3 B3 C4 D4 【分析】首先还原几何体为半个圆柱与三棱锥的组合体,然后计算体积 【解答】解:由三视图得到几何体为半个圆柱与三棱锥的组合体,如图: 圆锥底面半径为 2,三棱锥是底面为腰长为 2 的等腰直角三角形,高为 2,

15、如图 所以几何体的表面积+ 3+6; 故选:B 【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积;关键是正确还原几何体,根据 图中数据求体积 6 (5 分)为了计算满足的最大正整数 n,设置了如图所示的程序框图,若 判断框中填写的是“S10000?” ,则输出框中应填( ) 第 10 页(共 29 页) A输出 i B输出 i+1 C输出 i1 D输出 i2 【分析】根据程序框图,了解程序运行功能进行判断即可 【解答】解:由程序框图值当满足条件S10000 时,已经多执行两次 ii+1,故输出 框中应填 i2, 故选:D 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,结合程序框图功能是解决本题的关

16、键 7 (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件,则的取值范围为( ) A B C D 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用直线斜率的几何意义进行求解即可 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图, 的几何意义是区域内的点到点(2,2)连线的斜率, 由图象知 DA 的斜率最大,DC 的斜率最小, 由得 A(1,6) ,此时 z, 由得 C(1,3) , 此时 z, 即的取值范围为: 故选:B 第 11 页(共 29 页) 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义结合两点间的斜率公 式进行转化求解是解决本题的关键 8 (5 分)函数 f(x)的大致图象为( ) A B C

17、 D 【分析】利用特殊值对应点的坐标排除选项,判断即可 【解答】解:函数 f(x),当 x0 时,y3,排除选项 A,B,D 即可判断选项 C 正确, 故选:C 【点评】本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数值的应用,考查分析问题 解决问题的能力 9 (5 分) 如图, 已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中, AA1AD2BC, A1B1C1B1C1D1 120,且 BCAD,则直线 AB1与直线 A1D 所成角的余弦值为( ) 第 12 页(共 29 页) A B C D 【分析】以 A 为原点,在平面 ABCD 中,过 A 作 AD 的垂线为 x 轴,AD 为 y 轴,AA1为

18、 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线 AB1与直线 A1D 所成角的余弦值 【解答】解:以 A 为原点,在平面 ABCD 中,过 A 作 AD 的垂线为 x 轴,AD 为 y 轴,AA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 AA1AD2BC1, 则 A(0,0,0) ,B1(,2) ,A1(0,0,2) ,D(0,2,0) , (,2) ,(0,2,2) , 设直线 AB1与直线 A1D 所成角为 , 则 cos 直线 AB1与直线 A1D 所成角的余弦值为 故选:B 第 13 页(共 29 页) 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的 位

19、置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题 10(5 分) 已知ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 若, 且,则当 ab 取到最小值时,a( ) A B C D 【分析】由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 2sinBcosCsinB, 结合 sinB0,可求 cosC, 结合范围 C(0,) ,可求 C 的值,利用已知及三角形的面积公式可求 ab2c,由余弦 定理,基本不等式可求 c23ab,当且仅当 ab 时等号成立,结合题可得 c23ab,且 a b,即可解得 a 的值 【解答】解:, 结合2R,可得, 即 , 2sin

20、CcosB2sin(B+C)+sinB, 即 2sinCcosB2sinBcosC+2cosBsinC+sinB, 则 2sinBcosCsinB, sinB0, 第 14 页(共 29 页) cosC, C(0,) , C , 2c,可得:ab2c, 由余弦定理可得:c2a2+b2+ab2ab+ab3ab,当且仅当 ab 时等号成立, 则当 ab 取到最小值时,c 取得最小值, 此时,c23ab,且 ab,解得:a2 故选:A 【点评】本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,三角形的面积公式,余 弦定理,基本不等式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档 题 11

21、(5 分)定义在(,0)(0,+)上的偶函数 f(x)满足:当 x0 时,xf(x) +x2f(x)10,f(e)若函数 g(x)|f(x)|m 有 6 个零点,则实数 m 的取 值范围是( ) A (0,) B (0,1) C (,1) D (1,+) 【分析】根据条件转化为导数,取出函数 f(x)的解析式,研究的导数和极值,利用数 形结合进行转化求解即可 【解答】解:当 x0 时,xf(x)+x2f(x)10, 即当 x0 时,f(x)+xf(x), 即(xf(x) ), 则 xf(x)lnx+c, 即 f(x)+, f(e)f(e)+,即0,则 c0, 即 f(x),x0 第 15 页(

22、共 29 页) f(x), 由 f(x)0 得 1lnx0,即 lnx1,得 0xe,此时函数 f(x)为增函数, 由 f(x)0 得 1lnx0,即 lnx1,得 xe,此时函数 f(x)为减函数, 即当 xe 时,函数 f(x)取得极大值,f(e), 当 x1 时,f(x)0,当 0x1 时,f(x)0, 则|f(x)|, 由 g(x)|f(x)|m0 得|f(x)|m, f(x)是偶函数, 要使函数 g(x)|f(x)|m 有 6 个零点, 则等价为当 x0 时函数 g(x)|f(x)|m 有 3 个零点, 即|f(x)|m 有 3 个根,即函数 y|f(x)|与 ym 有 3 个交点,

23、 作出两个函数的图象如图: 由图象知 0m, 故选:A 【点评】本题主要考查函数与方程的综合应用,根据条件结合导数公式求出函数 f(x) 的解析式,以及利用数形结合是解决本题的关键综合性较强,难度较大 12 (5 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,且 F 到准线 l 的距离为 2,直线 第 16 页(共 29 页) 与抛物线 C 交于 P,Q 两点(点 P 在 x 轴上方) ,与准线 l 交于点 R, 若|QF|3,则( ) A B C D 【分析】如图所示,抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,且 F 到准线 l 的距离为 2, 可得 p2y24x由|QF|3xQ+1

24、,解得 xQ2联立,化为: x2(4m2+2)x+50利用根与系数的关系可得 xP,利用即 可得出 【解答】解:如图所示, 抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F, 且 F 到准线 l 的距离为 2, p2 y24x |QF|3xQ+1, 解得 xQ2 联立, 化为:x2(4m2+2)x+50 2xP5, 解得 xP, 则 故选:C 第 17 页(共 29 页) 【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、斜率计算公式、三角形面积计算 公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13

25、(5 分)已知向量 (3,4) , (m,2) ,若向量 2 3 与 共线,则实数 m 【分析】 可求出, 根据向量 2 3 与 共线即可得出 2m+2 (6+3m) 0,解出 m 即可 【解答】解:; 与 共线; 2m+2(6+3m)0; 解得 故答案为: 【点评】考查向量坐标的减法和数乘运算,以及平行向量的坐标关系 14 (5 分) (2x2)7的展开式中,含项的系数为 【分析】写出二项展开式的通项,由 x 的指数为1 求得 r 值,则答案可求 【解答】解:二项式(2x2)7的展开式的通项 取 145r1,得 r3 第 18 页(共 29 页) 含项的系数为 故答案为: 【点评】本题考查二

26、项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,是基础题 15 (5 分)将函数 f(x)3cos(2x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数 g (x)的图象,则函数 g(x)的图象的对称轴方程为 x (kZ) 【分析】利用函数 yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,得出 结论 【解答】解:将函数 f(x)3cos(2x)的图象向右平移个单位长度后,得到函 数 g(x)3cos(2x)3cos(2x)的图象, 令 2xk,求得 x+,kZ, 函数 g(x)的图象的对称轴方程为 x+,kZ, 故答案为:x+,kZ 【点评】本题主要考查函数 yAsin(x+)的图象变换规律,正弦

27、函数的图象的对称 性,属于基础题 16 (5 分)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理) : “幂势既同则 积不容异” “势”即是高, “幂”是面积意思是:如果两等高的几何体在同高处的截面 积相等,那么这两个几何体的体积相等已知双曲线 C 的焦点在 x 轴上,离心率为, 且过点若直线 y0 与 y6 在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴 影部分所示的图形,则该图形绕 y 轴旋转一周所得几何体的体积为 6 【分析】由题意求得双曲线的方程,求出 y6 在第一象限内与渐近线的交点 N 已经与双 曲线第一象限内交点 B 的坐标, 第 19 页(共 29 页) 求出 y6 与 y

28、轴交点 M,由 |MB|2|MN|2,根据祖晅原理,求出它绕 y 轴旋转一 圈所得几何体的体积 【解答】解:双曲线 C 的离心率 e,ca; c2a2+b25a2, b24a2; 双曲线的方程为1,过点(2,2) , 即1,a21, b24, 双曲线方程为 x21, y6 在第一象限内与渐近线 y2x 的交点 N 的坐标为(3,6) , y6 与双曲线 x21 在第一象限交点 B 的坐标为(,6) , 记 y6 与 y 轴交于点 M(0,6) ,且 A(1,0) , |MB|2|MN|2109, 根据祖晅原理,它绕 y 轴旋转一圈所得几何体的体积为 6 故答案为:6 【点评】本题考查了几何体的

29、体积计算问题,也考查了双曲线的简单几何性质应用问题, 正确理解题意是解题的关键,是中档题 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (12 分)已知等差数列an满足 S9117,a719,数列bn满足 ()求数列an、bn的通项公式; ()求数列的前 n 项和 【分析】 ()直接利用递推关系式求出数列的通项公式 ()利用()的结论,进一步利用裂项相消法,分组法求出数列的和 【解答】解: ()设首项为 a1,公差为 d 的等差数列an满足 S9117,a719, 第 20 页(

30、共 29 页) 则:, 解得:a11,d3, 故:an3n2 数列bn满足 则:, 所以当 n2 时, 得:2n 1b n1, 所以: 所以, 故:+() , , 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和 中的应用,分组法在求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题 型 18 (12 分)为了了解某市高三学生的身体情况,某健康研究协会对该市高三学生组织了两 次体测,其中第一次体测的成绩(满分:100 分)的频率分布直方图如下图所示,第二次 体测的成绩 XN(65,2.52) ()试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低; ()若该市有高三学生

31、20000 人,记体测成绩在 70 分以上的同学的身体素质为优秀, 假设这 20000 人都参与了第二次体测,试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数; ()以频率估计概率,若在参与第一次体测的学生中随机抽取 4 人,记这 4 人成绩在 60,80)的人数为 ,求 的分布列及数学期望 附:P(X+)0.6826,P(2X+2)0.9544, P(3X+3)0.9974 第 21 页(共 29 页) 【分析】 ()由频率分布直方图求出第一次体测成绩的平均分第二次体测的成绩 X N(65,2.52) ,由此求出第二次体测成绩的平均分为 65从而第一次体测成绩平均分高 于第二次体测成绩平均分 ()由

32、XN(65,2.52) ,能估计第二次体测中身体素质为优秀的人数 ()依题意, (0.025+0.035)100.6, 的可能取值为 0,1,2,3,4,B(4, ) ,由此能求出 的分布列及数学期望 【解答】解: ()由频率分布直方图得第一次体测成绩的平均分为: 0.1245+0.255+0.2565+0.3575+0.0685+0.029565.9 第二次体测的成绩 XN(65,2.52) , 第二次体测成绩的平均分为 65 65.965,第一次体测成绩平均分高于第二次体测成绩平均分 ()XN(65,2.52) , P(X70)0.0228, 估计第二次体测中身体素质为优秀的人数为 200

33、000.0228456 ()依题意, (0.025+0.035)100.6, 的可能取值为 0,1,2,3,4,B(4,) , P(0)()4, P(1), P(2), 第 22 页(共 29 页) P(3), P(4)()4, 的分布列为: 0 1 2 3 4 P E()4 【点评】本题考查平均数、频数的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求 法,考查频率分布直方图、正态分布、二项分布、排列组合等基础知识,考查运算求解 能力,是中档题 19 (12 分)如图所示,四棱锥 SABCD 中,CDAB, ABC90,二面角 SADB 的大小为 90 ()求证:SABD; ()在线段 SB

34、上找一点 E,使得二面角 EADS 的大小为 45 【分析】 ()设 SA,则 BCCD,推导出 BDAD,从而 BD平面 SAD, 由此能证明 SABD ()以 D 为坐标原点,DA 为 x 轴,DB 为 y 轴,过 D 坐平在 ABCD 的垂线为 z 轴,建 立空间直角坐标系,利用向量能求出点 E 是 SB 上靠近点 S 的三等分点 【解答】证明: ()由题意 SASDCD,设 SA,则 BCCD, BD2,AD2,AB2,AD2+BD2AB2, BDAD, 二面角 SADB 的大小为 90, 且平面 SAD平面 SADAD,BD平面 ADB, BD平面 SAD, SA平面 SAD,SAB

35、D 第 23 页(共 29 页) 解: ()CDAB,ABC90, 二面角 SADB 的大小为 90 以 D 为坐标原点,DA 为 x 轴,DB 为 y 轴,过 D 坐平在 ABCD 的垂线为 z 轴,建立空 间直角坐标系, 由()知 DA2,则 A(2,0,0) ,B(0,2,0) ,S(1,0,1) , (1,2,1) ,设, (01) , 则(0,2,0)+(1,2,1)(,22,) , 设 (x,y,z)是平面 ADE 的法向量, 则,取 y,得 (0,1,0) , 在线段 SB 上找一点 E,使得二面角 EADS 的大小为 45 |cos|, 解得或 2, 01,解得, 点 E 是

36、SB 上靠近点 S 的三等分点 【点评】本题考查线线垂直的证明,考查满足二面角的点的位置的判断与求法,考查空 间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思 想,是中档题 第 24 页(共 29 页) 20 (12 分)已知椭圆 C:+1(ab0)过点(1,) ,离心率为 ()求椭圆 C 的标准方程; ()若直线 yk(x1)与椭圆 C 交于 P,Q 两点且 N(3,2) ,设 kPN,kQN分别 是直线 PN,QN 的斜率,试探究 kPN+kQN是否为定值,若是,求出该定值:若不是,请 说明理由 【分析】 ()由已知列关于 a,b,c 的方程组,求解可得 a,b

37、 的值,则椭圆方程可求; ()联立直线方程与椭圆方程,化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系及 斜率公式得到 kPN+kQN是定值 2 【解答】解: ()由题意,解得 a23,b21, 椭圆 C 的标准方程为; ()联立,得(1+3k2)x26k2x+3k230 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 则,又 N(3,2) , kPN,kQN, 则 kPN+kQN+ 第 25 页(共 29 页) 【点评】本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆位置关系的应用,考查推理论证能力、 运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题 21 (12 分)已知函数 ()当 a0 时,

38、判断函数 f(x)的单调性; ()当 a2 时,证明: (e 为自然对数的底数) 【分析】 ()求得 f(x) ,对 a 分类讨论; ()对不等式变形,构造函数 g(x)2ex() ,通过求导研究其单调性 和极值,得到 g(x)0,得证 【解答】解: ()函数 f(x)的定义域为(0,+) , , 当 a0 时, 当 0x1 时,f(x)0,f(x)递增; 当 x1 时,f(x)0,f(x)递减; 当 0a1 时, 当 0x1 时,f(x)0,f(x)递增; 当 1时,f(x)0,f(x)递减; 当 x时,f(x)0,f(x)递增; 当 a1 时,f(x)0 恒成立,f(x)在(0,+)递增;

39、 当 a1 时, 当时,f(x)0,f(x)递增; 当时,f(x)0,f(x)递减; 当 x1 时,f(x)0,f(x)递增 第 26 页(共 29 页) 综上,当 a0 时,f(x)在(0,1)上递增,在(1,+)递减; 当 0a1 时,; 当 a1 时,f(x)在(0,+)上递增; 当 a1 时,在; ()证明: 当 a2 时,不等式化为, 令, 则, 显然,g(x)在(0,+)上递增, 且0, 2e2(1)0, g(x)在(0,+)上有唯一的零点 t,且 t(1,2) , 当 x(0,t)时,g(x)0,g(x)递减, 当 x(t,+)时,g(x)0,g(x)递增 由 g(t)0,得 2

40、ete() , g(x)g(t)2ete(lnt) e()e(lnt) e() 易知 y在(1,2)上递减, 0, 第 27 页(共 29 页) ()0, g(x)0, 即 2exef(x)+2x 【点评】此题考查了导数的综合应用,分类讨论,构造法等,综合性强,难度大 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目两题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做如果多做,则按所做 的第一个题目计分的第一个题目计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为(t 为参数) 以坐标原

41、点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知圆 C 的极坐标方程为 22sin () (1)求直线 l 的普通方程以及圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 在直线 l 上,过点 P 作圆 C 的切线 PQ,求|PQ|的最小值 【分析】 (1)由直线 l 的参数方程消去参数 t,能求出直线 l 的普通方;圆 C 的极坐标方 程转化为 22sin2cos,由此能求出圆 C 的直角坐标方程 (2)圆 C 的圆心为 C(1,1) ,半径 r,从而|PQ|, 而|PC|的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离 d2由此能求出|PQ| 的最小值 【解答】解: (1)直线 l 的参数方程为(

42、t 为参数) 由直线 l 的参数方程消去参数 t,得直线 l 的普通方程为 3x4y30 圆 C 的极坐标方程为 22sin() ,即 22sin2cos, 圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2+2x2y0,即(x+1)2+(y1)22(5 分) (2)由(1)可知圆 C 的圆心为 C(1,1) ,半径 r, 所以|PQ|, 而|PC|的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离 d2 第 28 页(共 29 页) 所以|PQ|的最小值为(10 分) 【点评】本题考查直线的普通方程、圆的直角坐标方程的求法,考查线段长的最小值的 求法,考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识,考查运算求

43、解能 力,是中档题 选修选修 4-5:不等式:不等式选讲选讲 23已知函数 f(x)2|x|+|x3| ()解关于 x 的不等式 f(x)4; ()若对于任意的 xR,不等式 f(x)t22t 恒成立,求实数 t 的取值范围 【分析】 ()根据绝对值的应用,分别进行讨论解不等式即可 ()根据不等式 f(x)t22t 恒成立,转化为最值恒成立进行求解即可 【解答】解: ()当 x0 时,不等式可化为2x(x3)4,即3x1,解得 x ,故x0; 当 0x3 时,不等式可化为 2x(x3)4,解得 x1,故 0x1; 当 x3 时,不等式可化为 2x+(x3)4,解得 x显然与 x3 矛盾, 故此时不等式无解综上,不等式 f(x)4 的解集为(,1) ()由(1)知,f(x) 作出函数 f(x)的图象,如图, 显然 f(x)f(0)3 故由不等式 f(x)t22t 恒成立可得 3t22t, 即 t22t30 解得1t3 所以 t 的取值范围为1,3 第 29 页(共 29 页) 【点评】本题主要考查绝对值函数的应用,结合不等式恒成立转化为最值问题是解决本 题的关键