1、已知全集 Ux|x|2，集合 Px|log2x1，则UP（ ） A （2，0 B （2，1 C （0，1） D1，2） 3 （5 分）已知an为等比数列，若 a32，a58，则 a7（ ） A64 B32 C64 D32 4 （5 分）随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加某家庭 2018 年全年的 收入与 2014 年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番同时该家庭的消费结构随之也发 生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图 折线图： 则下列结论中正确的是（ ） A该家庭 2018 年食品的消费额是 2014 年食品的消费额的一半 B该家庭 2018
2、 年教育医疗的消费额与 2014 年教育医疗的消费额相当 C该家庭 2018 年休闲旅游的消费额是 2014 年休闲旅游的消费额的五倍 D该家庭 2018 年生活用品的消费额是 2014 年生活用品的消费额的两倍 5 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z3x+y 的最小值为（ ） A5 B2 C7 D11 6 （5 分）2019 年 1 月 1 日，济南轨道交通 1 号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民 开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁 APP 抢票，小陈抢到了三张 第 2 页（共 27 页） 体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己
3、一起去参加体 验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（ ） A B C D 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x 值为 2019，则输出的 y 值为（ ） A B C D1 8 （5 分）设 x，y，z 为正数，若 log2xlog3ylog5z1，则（ ） A2x3y5z B5z3y2x C3y2x5z D5z2x3y 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A80 B48 C32 D16 10 （5 分）若函数 f（x）sin（） （0）在0，上的值域为，1，则 的 最小值为（ ） A B C D 11 （5 分）设 F1，F2分别是椭圆 E：
4、1（ab0）的左、右焦点，过 F2的直线 第 3 页（共 27 页） 交椭圆于 A，B 两点，且0，2，则椭圆 E 的离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理： “幂势既同，则积不 容异 ”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几 何体的体积相等，已知曲线 C：yx2，直线 l 为曲线 C 在点（1，1）处的切线如图所 示，阴影部分为曲线 C、直线 l 以及 x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕 y 轴旋转一 周所得到的几何体为给出以下四个几何体 图是底面直径和高均为 1 的圆锥； 图是将底面直径和高均为
5、 1 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何 体； 图是底面边长和高均为 1 的正四棱锥； 图是将上底面直径为 2，下底面直径为 1，高为 1 的圆台挖掉一个底面直径为 2，高为 1 的倒置圆锥得到的几何体 根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分分 13 （5 分）已知平面向量 ， 满足 （1，） ，| |3， （ ） ，则 与 夹角的 余弦值为 第 4 页（共 27 页） 14 （5 分） （1） （+1）5的展开式中，x 的系数为 （用数字作答） 15 （
6、5 分）已知函数 f（x），若 f（x）的最小值为 f（1） ，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）已知一族双曲线 En：x2y2（nN*，且 n2019） ，设直线 x2 与 En 在第一象限内的交点为 An， 点 An在 En的两条渐近线上的射影分别为 Bn， n， 记AnBnn 的面积为 an，则 a1+a2+a3+a2019 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题
7、，考生根据要求作答(一一)必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2bsinCacosC+ccosA， B，c （1）求角 C； （2）若点 E 满足2，求 BE 的长 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA底面 ABCD，PA AB2，点 M 为棱 PC 的中点，点 E，F 分别为棱 AB，BC 上的动点（E，F 与所在棱的 端点不重合） ，且满足 BEBF （1）证明：平面 PEF平面 MBD； （2）当三棱锥 FPEC 的体积最大时，求二面角 CMFE 的余弦值 19 （12
8、 分）设 M 是抛物线 E：x22py（p0）上的一点，抛物线 E 在点 M 处的切线方程 为 yx1 （1）求 E 的方程； 第 5 页（共 27 页） （2）已知过点（0，1）的两条不重合直线 l1，l2的斜率之积为 1，且直线 l1，l22分别交 抛物线 E 于 A，B 两点和 C，D 两点，是否存在常数 使得|AB|+|CD|AB|CD|成立？ 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 20 （12 分） 某客户准备在家中安装一套净水系统， 该系统为三级过滤， 使用寿命为十年 如 图 1 所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装 其中每一级过滤都由核心部件滤芯
9、来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不 定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立） ，三级滤芯无需更换若客户在安装净水系 统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个 80 元，二级滤芯每个 160 元，若客户在使用过程中 单独购买滤芯，则一级滤芯每个 200 元，二级滤芯每个 400 元现需决策安装净水系统 的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据 100 套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯 的相关数据制成的图表，其中图 2 是根据 200 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状 图，表是根据 100 个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表 二级滤芯更换的频数分布表 二级滤芯更换的个数 5 6 频
10、数 60 40 以 200 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以 100 个二级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个二级过滤器更换滤芯发生的概率 （1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30 的概率； （2） 记 X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数， 求 X 的分布列及 数学期望； 第 6 页（共 27 页） （3）记 m，n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个 数若 m+n28，且 n5，6） ，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费 用的期望值为决策依据，试确定 m，n 的值 2
11、1 （12 分）已知函数 f（x）xlnxx2+（a1）x，其导函数 f（x）的最大值为 0 （1）求实数 a 的值； （2）若 f（x1）+f（x2）1（x1x2） ，证明：x1+x22 (二）选考题：共二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程(10 分分) 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以 坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 s
12、in （+） 2 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）射线 OP 的极坐标方程为 ，若射线 OP 与曲线 C 的交点为 A，与直线 l 的交 点为 B，求线段 AB 的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲(10 分分 23已知函数 f（x）|x2|+|2x1| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若不等式 f（x）ax 的解集为空集，求实数 a 的取值范围 第 7 页（共 27 页） 2019 年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）年山东省济南市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12
13、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知复数 z（其中 i 为虚数单位） ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算，求出 的坐标得答案 【解答】解：z， ， 则 在复平面内对应的点的坐标为（） ，位于第四象限 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 2 （5 分）已知全集 Ux|x|2，集合 Px|log2x1，则UP（ ）
14、A （2，0 B （2，1 C （0，1） D1，2） 【分析】利用补集定义直接求解 【解答】解：全集 Ux|x|2（2，2） ，集合 Px|log2x1（0，2） UP（2，0 故选：A 【点评】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 3 （5 分）已知an为等比数列，若 a32，a58，则 a7（ ） A64 B32 C64 D32 【分析】根据等比数列的性质即可求出 【解答】解：an为等比数列，若 a32，a58，则 a52a3a7， 642a7， 即 a732， 第 8 页（共 27 页） 故选：B 【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了
15、运算和求解能力，属于基础题 4 （5 分）随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加某家庭 2018 年全年的 收入与 2014 年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番同时该家庭的消费结构随之也发 生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图 折线图： 则下列结论中正确的是（ ） A该家庭 2018 年食品的消费额是 2014 年食品的消费额的一半 B该家庭 2018 年教育医疗的消费额与 2014 年教育医疗的消费额相当 C该家庭 2018 年休闲旅游的消费额是 2014 年休闲旅游的消费额的五倍 D该家庭 2018 年生活用品的消费额是 2014 年生活
16、用品的消费额的两倍 【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可 得解 【解答】解：由折线图可知：不妨设 2014 年全年的收入为 t，则 2018 年全年的收入为 2t， 对于选项 A，该家庭 2018 年食品的消费额为 0.22t0.4t，2018 年食品的消费额为 0.4 t0.4t，故 A 错误， 对于选项 B，该家庭 2018 年教育医疗的消费额为 0.22t0.4t，2014 年教育医疗的消费 额为 0.2t0.2t，故 B 错误， 对于选项 C，该家庭 2018 年休闲旅游的消费额是 0.252t0.5t，2014 年休闲旅游的消 费额是 0.1t
17、0.1t，故 C 正确， 对于选项 D，该家庭 2018 年生活用品的消费额是 0.32t0.6t，该家庭 2014 年生活用 品的消费额是 0.15t0.15t，故 D 错误， 故选：C 第 9 页（共 27 页） 【点评】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属中档题 5 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z3x+y 的最小值为（ ） A5 B2 C7 D11 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：由实数 x，y 满足约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（2，
18、1） ， 化目标函数 z3x+y 为 y3x+z， 由图可知，当直线 y3x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 3（ 2）+15 故选：A 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 6 （5 分）2019 年 1 月 1 日，济南轨道交通 1 号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民 开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁 APP 抢票，小陈抢到了三张 体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体 验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（ ） A B C D 第 10 页（共 27 页）
19、【分析】用对立事件解决，设 A小张和小王至多 1 人被抽中，B小张和小王都被 抽中，A，B 互为对立事件，B 包含一个基本事件，代入概率公式即可 【解答】解：小王和小李至多 1 人被抽中的反面为，小王和小李都被抽中 设 A小张和小王至多 1 人被抽中，B小张和小王都被抽中，则 B 包含 1 个基本事 件， p（A）1p（B）1 故选：D 【点评】至多，至少等描述的问题，一般从反面思考较为简单本题属于基础题 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x 值为 2019，则输出的 y 值为（ ） A B C D1 【分析】根据查询框图，得到当 x1 时查询终止，进行计算即可 【解答】解：20
20、194504+3， 即当 x3 时，满足条件 x0， 则 x341，此时不满足条件x0， 输出 S， 故选：C 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，结合程序，得到终止条件是解决本题的 关键 8 （5 分）设 x，y，z 为正数，若 log2xlog3ylog5z1，则（ ） 第 11 页（共 27 页） A2x3y5z B5z3y2x C3y2x5z D5z2x3y 【分析】可设 log2xlog3ylog5zk1，从而可得出 2x2k+1，3y3k+1，5z5k+1， 可判断 k+10，从而得出 yxk+1是减函数，从而得出 5z3y2x 【解答】解：设 log2xlog3ylog5z
21、k1，则：x2k，y3k，z5k； 2x2k+1，3y3k+1，5z5k+1； k1； k+10； 5k+13k+12k+1； 5z3y2x 故选：B 【点评】考查对数式和指数式的互化，对数的定义，以及幂函数的单调性 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A80 B48 C32 D16 【分析】由三视图知该几何体是长方体的一部分，利用三视图的数据求解几何体的表面 积即可 【解答】解：几何体的直观图如图：由题意可知： 几何体的表面积为：4443+48 故选：B 【点评】本题考查几何体的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图 第 12 页（共 27 页）
22、 的性质的合理运用 10 （5 分）若函数 f（x）sin（） （0）在0，上的值域为，1，则 的 最小值为（ ） A B C D 【分析】根据 x 在0，上，求解内层函数范围，即可三角函数的性质可得答案 【解答】解：函数 f（x）sin（） （0） x 在0，上， ， 根据正弦函数的性质：当 x0 时可得 f（0）， ， 解得：； 则则 的最小值为； 故选：A 【点评】本题考查三角函数的性质的应用属于基础题 11 （5 分）设 F1，F2分别是椭圆 E：1（ab0）的左、右焦点，过 F2的直线 交椭圆于 A，B 两点，且0，2，则椭圆 E 的离心率为（ ） A B C D 【分析】设|AB|
23、3m，|AF2|2|F2B|，可得|AF2|2m，|F2B|m，|AF1|2a2m，|BF1| 2am由0，可得 ABAF1，利用勾股定理即可得出 【解答】解：设|AB|3m，|AF2|2|F2B|， |AF2|2m，|F2B|m， |AF1|2a2m，|BF1|2am 0，ABAF1， 4c2（2m）2+（2a2m）2， 第 13 页（共 27 页） （2am）2（3m）2+（2a2m）2，即 ma， 4c2a2+a2， 9c25a2， 故选：C 【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 12 （5 分）我国南北朝时期的数学家祖暅提出
24、了计算体积的祖暅原理： “幂势既同，则积不 容异 ”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几 何体的体积相等，已知曲线 C：yx2，直线 l 为曲线 C 在点（1，1）处的切线如图所 示，阴影部分为曲线 C、直线 l 以及 x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕 y 轴旋转一 周所得到的几何体为给出以下四个几何体 第 14 页（共 27 页） 图是底面直径和高均为 1 的圆锥； 图是将底面直径和高均为 1 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何 体； 图是底面边长和高均为 1 的正四棱锥； 图是将上底面直径为 2，下底面直径为 1，高为 1 的圆台挖掉一
25、个底面直径为 2，高为 1 的倒置圆锥得到的几何体 根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是（ ） A B C D 【分析】求得切线方程，设直线 yt，求得与切线的交点和抛物线的交点，可得截面面 积，分别用平行于下底面且距离为 t 的平面截四个几何体，求得截面面积，由祖暅原理， 可得结论 【解答】解：设直线 yt，与 yx2交于（，t） ，0t1， 切线的斜率为 2，切线方程为 y2x1， yt 与 y2x1 交于（，t） ， 用平行于底面的平面截几何体所得的截面为圆环， 截面面积为 （t）， 对于图，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到圆的截面， 且圆的半径为（t1） ，可得截面面积
26、为 ，符合题意； 对于图，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环， 截面积为大圆面积去掉一个小圆面积，且面积为t2，不符合题意； 对于图，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到正方形截面，不符合题意； 对于图，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环， 且面积为 （）2t2，不符合题意 综上可得四个几何体中与的体积相等的是图 故选：A 【点评】本题考查祖暅原理的理解和运用，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知平面向量 ， 满足 （1，） ，| |3， （ ）
27、，则 与 夹角的 第 15 页（共 27 页） 余弦值为 【分析】可求出，从而根据得出，然后进行数量积的运 算即可 【解答】解：； ； ； 故答案为： 【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，根据向量的坐标可 求向量的长度 14 （5 分） （1） （+1）5的展开式中，x 的系数为 5 （用数字作答） 【分析】把（+1）5的按照二项式定理展开，可得 x 的系数 【解答】解：（1） （+1）5（1） （+5x2+10+10x+5+1） ， 故展开式中，x 的系数为 5105， 故答案为：5 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于
28、基础题 15 （5 分）已知函数 f（x），若 f（x）的最小值为 f（1） ，则实数 a 的取值范围是 a2 【分析】分别讨论 x1 时，x1 时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得 f（x）的 最小值，解不等式可得所求范围 【解答】解：函数 f（x）， 第 16 页（共 27 页） 可得 x1 时，f（x）x+a2+a4+a， 当且仅当 x2 时，f（x）取得最小值 4+a， 由 x1 时，f（x）（xa）2+9a2， 若 a1 时，f（x）在（，1递减，可得 f（x）f（1）102a， 若 a1 时，f（x）在 xa 处取得最小值 9a2， 由题意可得 102a4+a，即 a2； 若
29、a1，可得 f（1）8，即 f（x）的最小值为 8， 由 x1 时，yx+12+15， x1 时，f（x）递减，可得 f（x）8，可得 f（x）的最小值为 5，不成立，故 a1 舍去 综上可得 a2 故答案为：a2 【点评】本题考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的 解法，考查运算能力，属于基础题 16 （5 分）已知一族双曲线 En：x2y2（nN*，且 n2019） ，设直线 x2 与 En 在第一象限内的交点为 An， 点 An在 En的两条渐近线上的射影分别为 Bn， n， 记AnBnn 的面积为 an，则 a1+a2+a3+a2019 【分析】求得双曲线的渐
30、近线方程，应用点到直线的距离公式可得|AnBn|，|Ann|，可得 AnBnAnn，由三角形的面积公式，可得 an，运用等差数列的求和公式，计算可得所求 和 【解答】解：设 An（x0，y0） ，可得 x02y02 双曲线 En：x2y2（nN*，且 n2019）的渐近线方程为 xy0，x+y0， 点 An在 En的两条渐近线上的射影分别为 Bn，n，可得|AnBn|， |Ann|，由双曲线 En的两条渐近线互相垂直，可得 AnBnAnn， 则AnBnn的面积 an|AnBn|Ann|， 第 17 页（共 27 页） n， 则 a1+a2+a3+a201920192020 故答案为： 【点评】
31、本题考查数列与双曲线的综合应用，考查双曲线的渐近线方程和等差数列的求 和公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答(一一)必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2bsinCacosC+ccosA， B，c （1）求角 C； （2）若点 E 满足2，求
32、 BE 的长 【分析】 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 2sinBsinCsinB， 结合 sinB0，可求 sinC，结合范围 0，可求 C 的值 （2）利用三角形的内角和定理可求 A，可得 ac，由余弦定理可得 b 的值， 由已知 ECAC1，由余弦定理可得 BE 的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1）2bsinCacosC+ccosA， 由正弦定理可得：2sinBsinCsinAcosC+sinCcosA， 又sinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB， 2sinBsinCsinB， sinB0， 解得：sinC， 0， C6 分
33、第 18 页（共 27 页） （2）在ABC 中，B，C， A，ac， 由余弦定理可得：b3， 2， ECAC1， 在BCE 中，C，BC，CE1， 由余弦定理可得：BE 112 分 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的内角和定理，余 弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA底面 ABCD，PA AB2，点 M 为棱 PC 的中点，点 E，F 分别为棱 AB，BC 上的动点（E，F 与所在棱的 端点不重合） ，且满足 BEBF （1）证明：平面 PEF平面 MB
34、D； （2）当三棱锥 FPEC 的体积最大时，求二面角 CMFE 的余弦值 【分析】 （1）连接 AC 交 BD 于 N，连接 MN，由已知证明 MNPA，由 PA底面 ABCD 知，MN底面 ABCD，得到 ACMN，进一步证明 AC平面 MBD，再由平行线截线段 成比例得 EFAC，得到 EF平面 MBD，从而有平面 PEF平面 MBD； （2）设 BEBFx，利用等积法写出三棱锥 FPEC 的体积，可得当三棱锥 FPEC 的 体积最大时，x1即此时 E，F 分别为棱 AB，BC 的中点以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面
35、 MEF 与平面 第 19 页（共 27 页） MCF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 CMFE 的余弦值 【解答】 （1）证明：连接 AC 交 BD 于 N，连接 MN， 底面 ABCD 为正方形，ACBD，ANBN， 又PMMC，MNPA， 由 PA底面 ABCD 知，MN底面 ABCD， 又 AC底面 ABCD，ACMN， 又 BDMNN，BD，MN平面 MBD，AC平面 MBD， 在ABC 中，BEBF，BABC，即 EFAC， EF平面 MBD，又 EF平面 PEF， 平面 PEF平面 MBD； （2）解：设 BEBFx，由题意，又 PA2， 可知，当三棱锥 FPE
36、C 的体积最大时，x1 即此时 E，F 分别为棱 AB，BC 的中点 以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 C（2，2，0） ，F（2，1，0） ，E（1，0，0） ，M（1，1，1） ， ， 设为平面 MEF 的一个法向量， 则，取 z11，得； 设是平面 MCF 的一个法向量， 则，取 z21，得 cos 由图可知，二面角 CMFE 为钝角， 二面角 CMFE 的余弦值为 第 20 页（共 27 页） 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解空间角，是中档题 19 （12 分）设
37、M 是抛物线 E：x22py（p0）上的一点，抛物线 E 在点 M 处的切线方程 为 yx1 （1）求 E 的方程； （2）已知过点（0，1）的两条不重合直线 l1，l2的斜率之积为 1，且直线 l1，l22分别交 抛物线 E 于 A，B 两点和 C，D 两点，是否存在常数 使得|AB|+|CD|AB|CD|成立？ 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）解法一，由切线方程与抛物线方程联立，消去 y 得 x 的方程，利用判别式 0 求得 p 的值即可； 解法二，设点 P 的坐标，利用导数求曲线的斜率，把点 P 代入斜率公式和切线方程求得 p 的值； （2）设存在常数 ，使得|
38、AB|+|CD|AB|CD|成立， 由题意知 l1、l2的斜率存在且不为 0，设 l1的直线方程为 ykx+1，与抛物线方程联立， 利用弦长公式求出|AB|，同理得出|CD|，再计算 的值，从而得出结论 【解答】解： （1）解法一，由，消去 y 得 x22py+2p0， 根据题意知4p28p0，且 p0，解得 p2， 所以抛物线 E 的方程为：x24y； 解法二，设点 P（x0，y0） ，由 x22py，得 y， 所以 y， 第 21 页（共 27 页） 由，解得 p2， 所以抛物线 E 的方程为 x24y； （2）设存在常数 ，使得|AB|+|CD|AB|CD|成立，则 +， 由题意知，l1
39、、l2的斜率存在且不为 0，设 l1的直线方程为 ykx+1， 由，消去 y 得 x24kx40，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x24k，x1 x24； 所以|AB|4（1+k2） ， （也可以由 y1+y2k（x1+x2）+24k2+2，得出|AB|y1+y2+24（1+k2） ） 因为直线 l1、 ，l2的斜率之积为 1，所以|CD|4（1+） ， 所以 +， 所以 时，使得|AB|+|CD|AB|CD|成立 【点评】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了弦长公式计算问题，是中 档题 20 （12 分） 某客户准备在家中安装一套净水系统， 该系统为三级过滤，
40、 使用寿命为十年 如 图 1 所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装 第 22 页（共 27 页） 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不 定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立） ，三级滤芯无需更换若客户在安装净水系 统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个 80 元，二级滤芯每个 160 元，若客户在使用过程中 单独购买滤芯，则一级滤芯每个 200 元，二级滤芯每个 400 元现需决策安装净水系统 的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据 100 套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯 的相关数据制成的图表，其中图 2 是根据 200 个
41、一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状 图，表是根据 100 个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表 二级滤芯更换的频数分布表 二级滤芯更换的个数 5 6 频数 60 40 以 200 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以 100 个二级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个二级过滤器更换滤芯发生的概率 （1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30 的概率； （2） 记 X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数， 求 X 的分布列及 数学期望； （3）记 m，n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个 数
42、若 m+n28，且 n5，6） ，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费 用的期望值为决策依据，试确定 m，n 的值 【分析】 （1）由题意知，一套净水系统在使用周期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需要更换 12 个滤芯，二级过滤器需要更换 6 第 23 页（共 27 页） 个滤芯，设“一套净水系统在使用周期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30”为事件 A，由一个一级过滤器需要更换 12 个滤芯的概率为 0.4，二级过滤器需要更换 6 个滤芯的 概率为 0.4，由此能求出一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30 的概率 （
43、2）一个一级过滤器需要更换滤芯的个数为 10，11，12 的概率分别为 0.2，0.4，0.4， 由题意 X 的可能取值为 20，21，22，23，24，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分 布列和 E（X） （3）由 m+n28，n5，6，当 m22，n6，求出该客户在十年使用期内购买各级滤 芯所需总费用的期望值为 2848；当 m23，n5 时，求出该用户在十年使用期内购买各 级滤芯所需总费用的期望值为 2832，由此能求出 m，n 的值 【解答】解： （1）由题意知，若一套净水系统在使用周期内需要更换的各级滤芯总个数 恰好为 30， 则该套净水系统中的两个一级过滤器均需要更换 12
44、个滤芯， 二级过滤器需要更换 6 个滤 芯， 设“一套净水系统在使用周期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30”为事件 A， 一个一级过滤器需要更换 12 个滤芯的概率为 0.4，二级过滤器需要更换 6 个滤芯的概 率为 0.4， P（A）0.40.40.40.064 （2）由柱状图知： 一个一级过滤器需要更换滤芯的个数为 10，11，12 的概率分别为 0.2，0.4，0.4， 由题意 X 的可能取值为 20，21，22，23，24， P（X20）0.20.20.04， P（X21）0.20.420.16， P（X22）0.40.4+0.20.420.32， P（X23）0.40.420.3
45、2， P（X24）0.40.40.16， X 的分布列为： X 20 21 22 23 24 P 0.04 0.16 0.32 0.32 0.16 第 24 页（共 27 页） E（X）200.04+210.16+220.32+230.32+240.1622.4 （3）m+n28，n5，6，若 m22，n6， 则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为： 2280+2000.32+4000.16+61602848， 若 m23，n5， 则该用户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为： 2380+2000.16+5160+4000.42832， 故 m，n 的值分别为 23，5 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用， 考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）xlnxx2+（a1）x，其导函数 f（
