山东省济南市2020年6月高三模拟考试数学试题(含答案)

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1、山东省济南市山东省济南市 2020 届高三届高三 6 月份模拟考试数学试题月份模拟考试数学试题 本试卷共 4 页,22 题,全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名,考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 参考公式:锥体的体积公式: 1 3 VSh(其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高) 、单项选择题单项选择题:本题共本题共 8

2、小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的目要求的 1已知集合=12|Mxx , |1Nx yx,则=MN A1|x x B2|0xx C2|0xx D12xx 2函数 3 4=f xxx的零点所在的区间为 A()1,0 B0,1 C1,2 D2,3 3已知命题 1 :,e2 e x x px R,则p为 A 1 ,e2 e x x x R B 1 ,e2 e x x x R C 1 ,e2 e x x x R D 1 ,e2 e x x x R 4如图,在圆柱 12 OO内有一个球 O,该球与

3、圆柱的上,下底面及母线均相切若 12=2 OO,则圆柱 12 OO的 表面积为 A4 B5 C6 D7 5 “平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值,其计算方法是将每一期增长量相加后, 除以期数,即 1 2 1 n ii i aa n 国内生产总值(GDP)被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标,下表是 我国 20152019 年 GDP 数据 年份 2015 2016 2017 2018 2019 国内生产总值/万亿 68.89 74.64 83.20 91.93 99.09 根据表中数据,2015-2019 年我国 GDP 的平均增长量为 A5.03 万亿 B6.04 万亿 C

4、7.55 万亿 D10.07 万亿 6已知双曲线 C 的方程为 22 1 169 xy 则下列说法错误的是 A双曲线 C 的实轴长为 8 B双曲线 C 的渐近线方程为 3 4 yx C双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 3 D双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为 9 4 7已知水平直线上的某质点,每次等可能的向左或向右移动一个单位,则在第 6 次移动后,该质点恰好回 到初始位置的概率是 A 1 4 B 5 16 C 3 8 D 1 2 8在ABC中,cosc3osAB,2 3AB 当sinsinAB取最大值时,ABC内切圆的半径为 A2 33 B2 22 C 1 3 D2 二、多项选择题二、

5、多项选择题:本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要有多项符合题目要 求求全部选对的得全部选对的得 5 分分,部分选对的得部分选对的得 3 分分,有选错的得有选错的得 0 分分 9已知复数1cos2sin2 () 22 zi (其中 i 为虚数单位) ,下列说法正确的是 A复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 Bz可能为实数 C| 2cosz D 1 z 的实部为 1 2 10台球运动已有五六百年的历史,参与者用球杆在台上击球若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物 后也遵从反射定律如图,有一张长方形

6、球台 ABCD,2ABAD,现从角落 A 沿角的方向把球打 出去,球经 2 次碰撞球台内沿后进入角落 C 的球袋中,则tan的值为 A 1 6 B 1 2 C1 D 3 2 11如图,在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中,P 为线段 1 BC上的动点,下列说法正确的是 A对任意点 P,/ /DP平面 11 AB D B三棱锥 11 PADD的体积为 1 6 C线段 DP 长度的最小值为 6 2 D 存在点 P,使得 DP 与平面 11 ADD A所成角的大小为 3 12设 n a是无穷数列,若存在正整数 k,使得对任意n N,均有 n kn aa a ,则称 n a是间隔递增

7、数 列,k 是 n a的间隔数下列说法正确的是 A公比大于 1 的等比数列一定是间隔递增数列 B已知 4 n an n ,则 n a是间隔递增数列 C已知2( 1)n n an ,则 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 2 D已知 2 2020 n antn,若 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 3,则45t 三三、填空题填空题:本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分 13已知向量(1,1)a ,( 1, )bk ,若 aba,则 k 的值为_ 14若 525 0125 (2)(1)(1)(1)xaaxaxax,则 4 a的值为_ 15 已知 1 F, 2 F分

8、别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左, 右焦点, A, B 是椭圆上关于 x 轴对称的两点, 2 AF的中点 P 恰好落在 y 轴上,若 2 0BP AF,则椭圆 C 的离心率的值为_ 16 已知函数( )2lnf xx, 2 1 ( )(0) 2 g xaxxa 若直线2yxb与函数 yf x, yg x 的图象均相切, 则 a 的值为_; 若总存在直线与函数 yf x, yg x的图象均相切, 则a 的取值范围是_ (本小题第一空 2 分,第二空 3 分) 四四、解答题解答题:本题共本题共 6 小题小题,共共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出

9、文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分) 已知直角梯形 ABCD 中,/ /ADBC,ABBC, 1 2 ABADBC, 将直角梯形 ABCD (及其内部) 以 AB 所在直线为轴顺时针旋转90,形成如图所示的几何体,其中 M 为CE的中点 (1)求证:BMDF; (2)求异面直线 BM 与 EF 所成角的大小 18 (12 分) 已知数列 n a的前 n 项和为 n S,且 2 11 22 n Snn (1)求 n a的通项公式; (2)设 2 , , n na n a n n b 奇数 为偶数 为 ,求数列 n b的前 2n 项和 2n T 19 (12 分) 已知函数( )sin

10、()(0,0) 6 f xAA 能同时满足下列三个条件中的两个: 函数 f x的最大值为 2; 函数 f x的图象可由2sin() 4 yx 的图象平移得到; 函数 f x图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 (1)请写出这两个条件序号,并求出 f x的解析式; (2)求方程 10f x 在区间,上所有解的和 20 (12 分) 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会购买一个面包面包师声称自己出售的每个面包 的平均质量是1000g, 上下浮动不超过50g 这句话用数学语言来表达就是: 每个面包的质量服从期望为1000g, 标准差为 50g 的正态分布 (1)假设面包师的说法是真实的,从

11、面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于 1000g 的个数为,求的分布列和数学期望; (2)作为一个善于思考的数学家,庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25 天后,得到数据如下 表,经计算 25 个面包总质量为 24468g 庞加莱购买的庞加莱购买的 25 个面包质量的统计数据个面包质量的统计数据(单位:单位:g) 981 972 966 992 1010 1008 954 952 969 978 989 1001 1006 957 952 969 981 984 952 959 987 1006 1000 977 966 尽管上述数据都落在950,1050上,但庞加菜还是

12、认为面包师撤谎,根据所附信息,从概率角度说明 理由 附: 若 2 ,XN ,从 X 的取值中随机抽取 25 个数据,记这 25 个数据的平均值为 Y,则由统计学知 识可知;随机变量 2 ( ,) 25 YN ; 若 2 ,N ,则0.68()26P, 220.9()544P, 330.9()974P p; 通常把发生概率在 005 以下的事件称为小概率事件 21 (12 分) 已知函数( )ln()f xaxbx (1)若1a ,0b,求 f x的最大值; (2)当0b时,讨论 f x极值点的个数 22 (12 分) 已知平面上一动点 A 的坐标为 2 (2 , 2 )tt (1)求点 A 的

13、轨迹 E 的方程; (2)点 B 在轨迹 E 上,且纵坐标为 2 t (i)证明直线 AB 过定点,并求出定点坐标; (ii) 分别以 A, B 为圆心作与直线2x 相切的圆两圆公共弦的中点为 H在平面内是否存在定点 P, 使得PH为定值?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明理由 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 一、单项选择题一、单项选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C C D

14、 B A 二、多项选择题二、多项选择题:本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要有多项符合题目要 求求全部选对的得全部选对的得 5 分分,部分选对的得部分选对的得 3 分分,有选错的得有选错的得 0 分分 题号 9 10 11 12 答案 BCD AD ABC BCD 三、填空题三、填空题:本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分 131; 144.5; 15 3 3 ; 16 3 2 , 3 2 a (本小题第一空 2 分,第二空 3 分) 四、解答题四、解答题:共共 7

15、0 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【解析】 (1)证明: 【方法一】 连接 CE,与 BM 交于点 N, 根据题意,该几何体为圆台的一部分,且 CD 与 EF 相交, 故 C,D,F,E 四点共面, 因为平面/ /ADF平面 BCE, 所以/ /CEDF, 因为 M 为 CE 的中点, 所以CBMEBM, 所以 N 为 CE 中点,又BCBE, 所以BNCE,即BMCE, 所以BMDF 【方法二】 如图,以 B 为坐标原点,BE,BC,BA 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z轴建立空间直角坐标系, 设1AB ,则1ADAF,2BCBE,

16、 所以0,0,0B,( 2, 2,0)M,0,1,1D,1,0,1F, 所以( 2, 2,0)BM ,(1, 1,0)DF , 所以220BM DF, 所以BMDF (2) 【方法一】 连接 DB,DN, 由(1)知,/ /DFEN且DFEN, 所以四边形 ENDF 为平行四边形, 所以/ /EFDN, 所以BND为异面直线 BM 与 EF 所成的角, 因为2BDDNBN, 所以BND为等边三角形, 所以60BND, 所以异面直线 BM 与 EF 所成角的大小是60 【方法二】 如图,以 B 为坐标原点,BE,BC,BA 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 设1AB ,

17、则1ADAF,2BE , 所以0,0,0B,( 2, 2,0)M,2,0,0E,1,0,1F, 所以( 2, 2,0)BM ,( 1,0,1)EF 所以 21 cos, 2|22 BM EF BM EF BMEF 所以异面直线 BM 与 EF 所成角的大小是60 18 【解析】 (1)因为 2 11 22 n Snn 所以当1n 时, 11 1aS. 当2n 时, 22 1 1111 (1)(1) 2222 nnn aSSnnnnn , 又1n 时符合上式, 所以 n an (2)因为 , 2 , nn n n b n 为奇数 为偶数 , 所以对任意的 + k N, 2121 (21)(21)

18、2 kk bbkk , 则 21k b 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列; 22 22 2 2 2 4 2 k k k k b b , 则 2k b是以 4 为首项,4 为公比的等比数列 所以 2135212462nnn Tbbbbbbbb 2462 (12321)2222 n n 4 14 (121) 214 n nn 1 2 44 33 n n 19 【解析】 (1)函数( )sin( 6 xf xA )满足的条件为; 理由如下: 由题意可知条件互相矛盾, 故为函数( )sin() 6 f xAx 满足的条件之一, 由可知,T,所以2, 故不合题意, 所以函数( )sin() 6 f

19、 xAx 满足的条件为; 由可知2A, 所以( )2sin(2) 6 f xx (2)因为 10f x , 所以 1 sin(2) 62 x , 所以22() 66 xkZk 或 7 22() 66 xkZk , 即() 6 xkk Z或() 2 xkk Z 又因为,x , 所以 x 的取值为 6 , 5 6 , 2 , 2 , 所以方程 10f x 在区间, 上所有解的和为 2 3 20 【解析】 (1)由题意知,的所有可能取值为 0,1,2 002 2 111 (0)( ) ( ) 224 PC; 1 2 111 (1) 222 PC; 220 2 111 (2)( ) ( ) 224 P

20、C 所以的分布列为: 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 所以 111 0121 424 E (个) (2)记面包师制作的每个面包的质量为随机变量 X 假设面包师没有撒谎,则 2 (1000,50 )XN 根据附,从 X 的取值中随机抽取 25 个数据,记这 25 个数据的平均值为 Y, 则 2 (1000,10 )YN 庞加莱记录的 25 个面包质量,相当于从 X 的取值中随机抽取了 25 个数据, 这 25 个数据的平均值为 24468 978.7210002 10980 25 Y , 由附数据知, 10.9544 (980)0.02280.05 2 P Y , 由附知,事件“980Y

21、 ”为小概率事件, 所以“假设面包师没有撒谎”有误, 所以庞加莱认为面包师撒谎 21 【解析】 (1)当1a ,0b时,l(n)f xxx 此时,函数 f x定义域为(0,), 112 ( ) 22 x fx xxx , 由 0fx得:04x; 由 0fx得:4x , 所以 f x在0,4上单调递增,在(4,)上单调递减 所以 max ( )(4)2ln22f xf (2)当0b时,函数 f x定义域为0,), 12 ( ) 22() axa xb fx xbxx xb , 当0a 时, 0fx对任意的,()0x恒成立, 所以此时 f x极值点的个数为 0 个; 当0a 时,设( )2h xx

22、a xb , (i)当 2 440ab,即0ab时, 0fx 对任意的,()0x恒成立, 即 fx在(0,)上无变号零点, 所以此时 f x极值点的个数为 0 个; ()当 3 440ab,即ab时, 记方程 0h x 的两根分别为 1 x, 2 x, 则 12 0xxa, 12 0x xb, 所以 1 x, 2 x都大于 0, 即 fx在(0,)上有 2 个变号零点, 所以此时 f x极值点的个数为 2 个 综上所述ab时, f x极值点的个数为 0 个; ab时, f x极值点的个数为 2 个 22 【解析】 (1)设动点 A 的坐标为, x y,因为 A 的坐标为 2 (2 , 2 )t

23、t, 所以 2 2 2 xt yt ,消去参数 t 得: 2 2yx; (2) (i)因为点 B 在轨迹 E 上,且纵坐标为 2 t , 所以点 B 的坐标为 2 2 2 (, ) tt 当1t 时,直线 AB 的方程为2x ; 当1t 时,直线 AB 的斜率为 2 1 BA AB BA yyt k xxt 所以直线 AB 的方程为 2 2 2(2 ) 1 t ytxt t , 整理得 2 (2) 1 t yx t 所以直线 AB 过定点2,0; () 【方法一】 因为 A 的坐标为 2 (2 , 2 )tt,且圆 A 与直线2x 相切, 所以圆 A 的方程为 222 ()()(2) AAA

24、xxyyx, 同理圆 B 的方程为 222 2 BBB xxyyx, 两圆方程相减得 22 2244 BABAABAB xxxyyyyyxx 将 2 (2 , 2 )Att, 2 2 2 (, )B tt 带入并整理得 1 ()(1)ytx t , 由(i)可知直线 AB 的方程为 2 (2) 1 t yx t , 因为 H 是两条直线的交点, 所以两个方程相乘得 2 (2)(1)yxx , 整理得 22 19 () 24 xy, 即点 H 的轨迹是以 1 ( ,0) 2 为圆心, 3 2 为半径的圆, 所以存在点 1 ( ,0) 2 P,满足 3 | 2 HP 【方法二】 由题意知直线2x

25、为圆 A 与圆 B 的公切线,设切点分别为 E,F, 设两圆的公共弦交公切线2x 于点 G,则 G 为 E,F 的中点, 所以 G 点横坐标为2 G x , G 点的纵坐标为 1 22 EFAB G yyyy yt t , 即 1 ( 2,)Gt t , 因为公共弦必与两圆的连心线垂直, 所以公共弦所在直线的斜率为 2 11 AB t kt , 故公共弦所在的直线方程为 2 11 ()(2) t ytx tt 整理得 1 ()(1)ytx t , 所以公共弦恒过1,0S ; 由平面几何的知识可知, 公共弦的中点就是公共弦与两圆连心线的交点, 记直线 AB 所过的定点为 R, 则 R,S,公共弦的中点 H,构成以日为直角顶点的直角三角形, 即点 H 在以 RS 为直径的圆上: 所以存在点 1 ( ,0) 2 P,满足 3 | 2 HP

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