1、已知复数 z（其中 i 为虚数单位） ，则|z|的值为（ ） A B C D 3 （5 分）2019 年 1 月 1 日，济南轨道交通 1 号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民 开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁 APP 抢票，小陈抢到了三张 体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体 验活动，则小王被选中的概率为（ ） A B C D 4 （5 分）已知双曲线1 的一个焦点 F 的坐标为（5，0） ，则该双曲线的渐近线 方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 5 （5 分）随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加某家庭 2
2、018 年全年的 收入与 2014 年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番同时该家庭的消费结构随之也发 生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图 折线图： 则下列结论中正确的是（ ） A该家庭 2018 年食品的消费额是 2014 年食品的消费额的一半 第 2 页（共 25 页） B该家庭 2018 年教育医疗的消费额与 2014 年教育医疗的消费额相当 C该家庭 2018 年休闲旅游的消费额是 2014 年休闲旅游的消费额的五倍 D该家庭 2018 年生活用品的消费额是 2014 年生活用品的消费额的两倍 6 （5 分）在ABC 中，AC，BC，cosA，则
3、ABC 的面积为（ ） A B5 C10 D 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x 值为 2019，则输出的 y 值为（ ） A B C D1 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是（ ） A B27 C9 D108 9 （5 分）已知函数 f（x）cos（2x）+1，则 f（x）的最大值与最小值的和为 （ ） A0 B1 C2 D4 10 （5 分）已知 （） ，若 sin2，则 cos（ ） A B C D 第 3 页（共 25 页） 11 （5 分）已知函数 f（x），则 f（3x2）f（2x）的解集为（ ） A （，3）（1，+） B （3，1
4、） C （，1）（3，+） D （1，3） 12 （5 分）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理： “幂势既同，则积不 容异 ”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几 何体的体积相等，已知曲线 C：yx2，直线 l 为曲线 C 在点（1，1）处的切线如图所 示，阴影部分为曲线 C、直线 l 以及 x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕 y 轴旋转一 周所得到的几何体为给出以下四个几何体 图是底面直径和高均为 1 的圆锥； 图是将底面直径和高均为 1 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何 体； 图是底面边长和高均为 1 的正四棱锥； 图是
5、将上底面直径为 2，下底面直径为 1，高为 1 的圆台挖掉一个底面直径为 2，高为 1 的倒置圆锥得到的几何体 根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知平面向量 ， 满足 （1，） ， （ ） ，的值为 第 4 页（共 25 页） 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值是 15 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0，|）的部分图象如图所示，则 f （）的值为 16 （5 分）设 F1，F2分别是椭圆
6、C：1（ab0）的左、右焦点，B 为椭圆的 下顶点， P 为过点 F1， F2， B 的圆与椭圆 C 的一个交点， 且 PF1F1F2， 则的值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题每个试题考生都必须作答第考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答(一一)必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an2 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn21og2an11
7、，数列bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn的最小值及取得最小值时 n 的值 18 （12 分）如图 1 所示，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，BAD45，AB2CD4， 点 E 为 AB 的中点将ADE 沿 DE 折起，使点 A 到达 P 的位置，得到如图 2 所示的四 棱锥 PEBCD，点 M 为棱 PB 的中点 （1）求证：PD平面 MCE； （2）若平面 PDE平面 EBCD，求三棱锥 MBCE 的体积 第 5 页（共 25 页） 19 （12 分）已知抛物线 C1：y22px（p0）与椭圆 C2：1 有一个相同的焦点， 过点 A（2，0）且与 x 轴不垂直的直线 l 与抛物线 C1
8、交于 P，Q 两点，P 关于 x 轴的对称 点为 M （1）求抛物线 C1的方程； （2）试问直线 MQ 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由 20 （12 分）某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器为三级过滤， 每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中 每更换 3 个一级滤芯就需要更换 1 个二级滤芯，三级滤芯无需更换，其中一级滤芯每个 200 元， 二级滤芯每个 400 元 记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成 的集合为 M如图是根据 100 台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成 的柱状图 （
9、1）结合如图，写出集合 M； （2）根据以上信息，求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于 1200 元的概 率（以 100 台净水器更换二级滤芯的频率代替 1 台净水器更换二级滤芯发生的概率） ； （3）若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受 5 折优惠（使用过程中如需再购买 无优惠） 假设上述 100 台净水器在购机的同时，每台均购买 a 个一级滤芯、b 个二级滤 芯作为备用滤芯（其中 bM，a+b14） ，计算这 100 台净水器在使用期内购买滤芯所需 总费用的平均数并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总 数也为 14 个，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应
10、分别是多少？ 第 6 页（共 25 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）（x1）2x+lnx（a0） （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 1ae，试判断 f（x）的零点个数 (二）选考题：共二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以 坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 sin （+） 2
11、（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）射线 OP 的极坐标方程为 ，若射线 OP 与曲线 C 的交点为 A，与直线 l 的交 点为 B，求线段 AB 的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲(10 分分) 23已知函数 f（x）|x2|+|2x1| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）若不等式 f（x）ax 的解集为空集，求实数 a 的取值范围 第 7 页（共 25 页） 2019 年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）年山东省济南市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小
12、题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，By|yx3，xA，则 AB（ ） A0 B1 C0，1 D0，1，2，8 【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 A0，1，2， By|yx3，xA0，1，8， AB0，1 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2 （5 分）已知复数 z（其中 i 为虚数单位） ，则|z|的值为（ ） A B C D 【分析】直接利用商
13、的模等于模的商求解 【解答】解：z， |z| 故选：D 【点评】本题考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）2019 年 1 月 1 日，济南轨道交通 1 号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民 开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁 APP 抢票，小陈抢到了三张 体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体 验活动，则小王被选中的概率为（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n，小王被选中包含的基本事件个数 m3，由此 第 8 页（共 25 页） 能求出小王被选中的概率 【解答】解：小陈抢到了三张体验票， 准备从四位朋友小王，小张，小刘
14、，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动， 基本事件总数 n， 小王被选中包含的基本事件个数 m3， 则小王被选中的概率为 p 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 4 （5 分）已知双曲线1 的一个焦点 F 的坐标为（5，0） ，则该双曲线的渐近线 方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 【分析】利用已知条件求出 m，然后求解双曲线的渐近线方程即可 【解答】解：双曲线1 的一个焦点 F 的坐标为（5，0） ，可得5，解 得 m16， 双曲线1 的渐近线方程为：yx 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基
15、本知识的考查 5 （5 分）随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加某家庭 2018 年全年的 收入与 2014 年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番同时该家庭的消费结构随之也发 生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图 折线图： 则下列结论中正确的是（ ） 第 9 页（共 25 页） A该家庭 2018 年食品的消费额是 2014 年食品的消费额的一半 B该家庭 2018 年教育医疗的消费额与 2014 年教育医疗的消费额相当 C该家庭 2018 年休闲旅游的消费额是 2014 年休闲旅游的消费额的五倍 D该家庭 2018 年生活用品的消费额是 2
16、014 年生活用品的消费额的两倍 【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可 得解 【解答】解：由折线图可知：不妨设 2014 年全年的收入为 t，则 2018 年全年的收入为 2t， 对于选项 A，该家庭 2018 年食品的消费额为 0.22t0.4t，2018 年食品的消费额为 0.4 t0.4t，故 A 错误， 对于选项 B，该家庭 2018 年教育医疗的消费额为 0.22t0.4t，2014 年教育医疗的消费 额为 0.2t0.2t，故 B 错误， 对于选项 C，该家庭 2018 年休闲旅游的消费额是 0.252t0.5t，2014 年休闲旅游的消 费
17、额是 0.1t0.1t，故 C 正确， 对于选项 D，该家庭 2018 年生活用品的消费额是 0.32t0.6t，该家庭 2014 年生活用 品的消费额是 0.15t0.15t，故 D 错误， 故选：C 【点评】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属中档题 6 （5 分）在ABC 中，AC，BC，cosA，则ABC 的面积为（ ） A B5 C10 D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinA 的值，根据余弦定理可求 AB 的 值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解 【解答】解：AC，BC，cosA， 第 10 页（共 25 页） sinA， 由余弦定理 BC2A
18、C2+AB22ABACcosA， 可得：105+AB22AB， 整理可得：AB24AB50， 解得：AB5，或1（舍去） ， SABCABACsinA 故选：A 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解 三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x 值为 2019，则输出的 y 值为（ ） A B C D1 【分析】根据查询框图，得到当 x1 时查询终止，进行计算即可 【解答】解：20194504+3， 即当 x3 时，满足条件 x0， 则 x341，此时不满足条件x0， 输出 S， 故选：C 【点
19、评】本题主要考查程序框图的识别和应用，结合程序，得到终止条件是解决本题的 关键 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是（ ） 第 11 页（共 25 页） A B27 C9 D108 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图是数据转化求解外接球的半径，推出外接球 的表面积即可 【解答】解：由题意可知几何体是正方体的一部分，四棱锥 PABCD，四棱锥的外接球 就是正方体的外接球，外接球的半径为： 该几何体外接球的表面积是：4（）227 故选：B 【点评】本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，考查转化思想以及计算能力 9 （5 分）已知函数 f（x）cos（2x）+1
20、，则 f（x）的最大值与最小值的和为 （ ） A0 B1 C2 D4 【分析】化简函数 f（x） ，知 f（x）g（x）+1，其中 g（x）是 R 上的奇函数， 且 g（x）的最大值与最小值的和为 0，由此求出 f（x）的最大值与最小值的和 【解答】解：函数 f（x）cos（2x）+1 cos（2x）+1 sin2x+1， 设函数 g（x）sinx+，xR， 第 12 页（共 25 页） 则 g（x）sin（x）+sinxg（x） ， g（x）是 R 上的奇函数， 设 g（x）的最大值为 M，则 g（x）的最小值为M， f（x）的最大值为 M+1，最小值为M+1， （M+1）+（M+1）2，
21、即 f（x）的最大值与最小值的和为 2 故选：C 【点评】本题考查了函数的奇偶性与最值应用问题，是基础题 10 （5 分）已知 （） ，若 sin2，则 cos（ ） A B C D 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得 tan 的值，可得 cos 的值 【解答】解：（） ，若 sin2， tan2，或 tan（不合题意，舍去） ，故 （，） ， 则 cos， 故选：D 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题 11 （5 分）已知函数 f（x），则 f（3x2）f（2x）的解集为（ ） A （，3）（1，+） B （3，1） C （，1）（
22、3，+） D （1，3） 【分析】讨论 x0，x0 函数 f（x）的单调性，可得 f（x）在 R 上递增，由单调性的定 义，解二次不等式可得所求解集 【解答】解：当 x0 时，f（x）x3x2的导数为 f（x）x2x0， 即 f（x）在 x0 递增； 当 x0 时，f（x）ex递增，且 0e0， 第 13 页（共 25 页） 可得 f（x）在 R 上递增， 由 f（3x2）f（2x）可得 3x22x， 解得3x1， 则原不等式的解集为（3，1） 故选：B 【点评】本题考查分段函数的单调性的判断和运用，考查不等式的解法，以及运算能力， 属于基础题 12 （5 分）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了
23、计算体积的祖暅原理： “幂势既同，则积不 容异 ”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几 何体的体积相等，已知曲线 C：yx2，直线 l 为曲线 C 在点（1，1）处的切线如图所 示，阴影部分为曲线 C、直线 l 以及 x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕 y 轴旋转一 周所得到的几何体为给出以下四个几何体 图是底面直径和高均为 1 的圆锥； 图是将底面直径和高均为 1 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何 体； 图是底面边长和高均为 1 的正四棱锥； 图是将上底面直径为 2，下底面直径为 1，高为 1 的圆台挖掉一个底面直径为 2，高为 1 的倒
24、置圆锥得到的几何体 根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是（ ） A B C D 第 14 页（共 25 页） 【分析】求得切线方程，设直线 yt，求得与切线的交点和抛物线的交点，可得截面面 积，分别用平行于下底面且距离为 t 的平面截四个几何体，求得截面面积，由祖暅原理， 可得结论 【解答】解：设直线 yt，与 yx2交于（，t） ，0t1， 切线的斜率为 2，切线方程为 y2x1， yt 与 y2x1 交于（，t） ， 用平行于底面的平面截几何体所得的截面为圆环， 截面面积为 （t）， 对于图，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到圆的截面， 且圆的半径为（t1） ，可得截面面积为
25、 ，符合题意； 对于图，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环， 截面积为大圆面积去掉一个小圆面积，且面积为t2，不符合题意； 对于图，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到正方形截面，不符合题意； 对于图，用一个平行于底面的平面截该几何体，得到一个圆环， 且面积为 （）2t2，不符合题意 综上可得四个几何体中与的体积相等的是图 故选：A 【点评】本题考查祖暅原理的理解和运用，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知平面向量 ， 满足 （1，） ， （ ） ，的值为 4
26、 【分析】利用向量的数量积通过向量的垂直，化简求解即可 【解答】解：平面向量 ， 满足 （1，） ， （ ） ， 可得0，解得4 故答案为：4 【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查计算能力 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值是 8 第 15 页（共 25 页） 【分析】作出不等式组表示的平面区域，由 z2x+y 可得 y2x+z，则 z 表示直线 y 2x+z 在 y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求 z 的最小值 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分： 由 z2x+y 可得 y2x+z，则 z 表示直线
27、y2x+z 在 y 轴上的截距，截距越小，z 越小 由题意可得，当 y2x+z 经过点 A 时，z 最小 由可得 A（6，4） ，此时 Z8 故答案为：8 【点评】本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件 下的最值的求解，解题的关键是 明确 z 的几何意义 15 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0，|）的部分图象如图所示，则 f （）的值为 1 【分析】 由周期求出 ， 由五点法作图求出 的值， 可得函数的解析式， 从而求得 f （） 的值 【解答】解： 根据函数 f（x）2sin（x+） （0，|）的部分图象，可得 +，2， 再根据五点法作图可得 2+0，求得 ，函数 f（x
28、）2sin（2x） ， 第 16 页（共 25 页） f（）2sin（）2sin2sin1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的 顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，属于基础题 16 （5 分）设 F1，F2分别是椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点，B 为椭圆的 下顶点，P 为过点 F1，F2，B 的圆与椭圆 C 的一个交点，且 PF1F1F2，则的值为 【分析】如图所示，连接 PF2交 y 轴于点 C，由 PF1F1F2，可得 PF2为过点 F1，F2，B 的圆的直径由 OCPF1点 C 为 PF2的中点，即 C
29、 为过点 F1，F2，B 的圆的圆心根 据椭圆的定义、三角形中位线定理与圆的半径即可得出 【解答】解：如图所示， 连接 PF2交 y 轴于点 C，PF1F1F2， PF2为过点 F1，F2，B 的圆的直径 点 O 为 F1F2的中点，OCPF1 点 C 为 PF2的中点，即为过点 F1，F2，B 的圆的圆心 P（c，） |OC| 圆的半径 r+b 又|PF2|， +b，化为：+10， 解得： 第 17 页（共 25 页） 故答案为： 【点评】本题考查了椭圆的定义、三角形中位线定理、圆的性质，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过
30、程成演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答(一一)必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an2 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn21og2an11，数列bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn的最小值及取得最小值时 n 的值 【分析】 （1）根据题意，由 Sn2an2，令 n1 可得 a1的值，进而可得 n2 时，有 Sn 12an12，两式联立分析可得 an
31、2an1，则数列an是以 a12 为首项，公比为 2 的等比数列，据此分析可得答案； （2）根据题意，bn21og2an1121og22n112n11，即可得bn为等差数列，结合 等差数列的前 n 项和公式分析可得 Tn，结合二次函数的性质分析可得答案 【解答】解： （1）数列an满足 Sn2an2， 当 n1 时，有 S12a12a1，变形可得 a12， 当 n2 时，有 Sn12an12， 可得：an2an2an1，变形可得：an2an1， 则数列an是以 a12 为首项，公比为 2 的等比数列，故 an2n， （2）根据题意，bn21og2an1121og22n112n11， 当 n1
32、时，b11119， 数列bn为等差数列，且首项 b19，公差 d2； 则 Tnn210n， 则当 n5 时，Tn取得最小值，且其最小值为25 第 18 页（共 25 页） 【点评】本题考查数列的递推公式，涉及数列的前 n 项和的性质，关键是求出数列an 的通项公式 18 （12 分）如图 1 所示，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，BAD45，AB2CD4， 点 E 为 AB 的中点将ADE 沿 DE 折起，使点 A 到达 P 的位置，得到如图 2 所示的四 棱锥 PEBCD，点 M 为棱 PB 的中点 （1）求证：PD平面 MCE； （2）若平面 PDE平面 EBCD，求三棱锥 MBCE
33、的体积 【分析】 （1）推导出四边形 EBCD 是平行四边形，连结 BD，交 CE 于点 O，连结 OM， 推导出 OMPD，由此能证明 PD平面 MCE （2）推导出 DEBC，ADBC，ADDE，从而 ADDE，再由 PDDE，得 PD平 面 EBCD，从而 OM平面 EBCD，由此能求出三棱锥 MBCE 的体积 【解答】证明： （1）在图（1）中，BECD，且 BECD， 四边形 EBCD 是平行四边形， 在图 2 中，连结 BD，交 CE 于点 O，连结 OM， O 是 BD 的中点， 又点 M 是棱 PB 的中点，OMPD， PD平面 MCE，OM平面 MCE， PD平面 MCE 解
34、： （2）在图 1 中，EBCD 是平行四边形，DEBC， 四边形 ABCD 是等腰梯形，ADBC，ADDE， BAD45，ADDE， 在图 2 中，PDDE， 又平面 PDE平面 EBCD，且平面 PDE平面 EBCDDE， PD平面 EBCD， 第 19 页（共 25 页） 由（1）知 OMPD，OM平面 EBCD， 在等腰直角三角形 ADE 中，AE2，ADDE2， OM， SBCESADE1， 三棱锥 MBCE 的体积 VMBCE 【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）已
35、知抛物线 C1：y22px（p0）与椭圆 C2：1 有一个相同的焦点， 过点 A（2，0）且与 x 轴不垂直的直线 l 与抛物线 C1交于 P，Q 两点，P 关于 x 轴的对称 点为 M （1）求抛物线 C1的方程； （2）试问直线 MQ 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由 【分析】 （1）根据椭圆的性质和抛物线的定义即可求出， （2）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 M（x1，y1） ，设直线 PQ 的方程为 yk（x2） ， 根据韦达定理可得 x1x24，设直线 MQ 的方程无 ymx+n，再根据韦达定理可得 x1x2 4，即可求出直线 MQ 过定点 【解
36、答】解： （1）由题意可得抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为（1，0） ，所以 p2， 故抛物线的方程为 y24x， （2）因为点 P 关于 x 轴的对称点为 M， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 M（x1，y1） ， 第 20 页（共 25 页） 设直线 PQ 的方程为 yk（x2） ， 代入 y24x 得 k2x24（k2+1）x+4k20， x1x24， 设直线 MQ 的方程无 ymx+n， 代入 y24x 得 m2x2（2mn4）x+n20， x1x24， x10，x20， 2，即 n2m， 直线 MQ 的方程为 ym（x+2） ，故过定点（2，0） 【点评】本题主要考
37、查了直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用， 直线方程的应用及一定的逻辑推理与运算的能力 20 （12 分）某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器为三级过滤， 每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中 每更换 3 个一级滤芯就需要更换 1 个二级滤芯，三级滤芯无需更换，其中一级滤芯每个 200 元， 二级滤芯每个 400 元 记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成 的集合为 M如图是根据 100 台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成 的柱状图 （1）结合如图，写出集合 M； （2）根据以上信息，求出一
38、台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于 1200 元的概 率（以 100 台净水器更换二级滤芯的频率代替 1 台净水器更换二级滤芯发生的概率） ； （3）若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受 5 折优惠（使用过程中如需再购买 无优惠） 假设上述 100 台净水器在购机的同时，每台均购买 a 个一级滤芯、b 个二级滤 芯作为备用滤芯（其中 bM，a+b14） ，计算这 100 台净水器在使用期内购买滤芯所需 总费用的平均数并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总 数也为 14 个，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？ 第 21 页（共 25 页） 【分析】 （
39、1）当一级滤芯更换 9，10，11 个时，二级芯需要更换 3 个，当一级滤芯更换 12 个时，二级滤芯需要更换 4 个，由此能求出 M （2）由题意得二级滤芯更换 3 个，需 1200 元，二级滤芯更换 4 个，需 1600 元，有 100 台净水器中，二级滤芯需要换 3 个的有 70 台，二级滤芯需要更换 4 个的有 30 台，设“一 台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于 1200 元”为事件 A，利用古典概型能求出 P（A） （3）a+b14，bM，当 a10，b4，求出这 100 台净水器在更换滤芯上所需要的平 均费用为 2000；a11，b3，求出这 100 台净水器在更换滤芯上所
40、需要的平均费用为 1880，由此临到 如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为 14 个，客户应该购 买一级滤芯 11 个，二级滤芯 3 个 【解答】解： （1）由题意知，当一级滤芯更换 9，10，11 个时， 二级芯需要更换 3 个， 当一级滤芯更换 12 个时，二级滤芯需要更换 4 个， M3，4 （2）由题意得二级滤芯更换 3 个，需 1200 元， 二级滤芯更换 4 个，需 1600 元， 有 100 台净水器中，二级滤芯需要换 3 个的有 70 台， 二级滤芯需要更换 4 个的有 30 台， 设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于 1200 元”为事件 A， P（A）0.
41、3 （3）a+b14，bM， （i）若 a10，b4， 则这 100 台净水器在更换滤芯上所需要的平均费用为： 第 22 页（共 25 页） 2000 （ii）若 a11，b3， 则这 100 台净水器在更换滤芯上所需要的平均费用为： 1880， 如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为 14 个， 客户应该购买一级滤芯 11 个，二级滤芯 3 个 【点评】本题考查集合、概率、采购方案的求法，考查频率分布直方图、古典概型、平 均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 21 （12 分）已知函数 f（x）（x1）2x+lnx（a0） （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 1ae，试判断
42、 f（x）的零点个数 【分析】 （1）先对函数进行求导，然后对 a 进行分类讨论即可求解函数的单调区间； （2）由（1）知函数 f（x）在（1，+） ， （0，）单调递增，在（，1）单调递减， 然后判断出 f（1）10，f（）0 及 x0，f（x），x+ 时，f（x）+，即可判断 【解答】解： （1）f（x）（x1）2x+lnx（a0） ，定义域（0，+） ， f（x）a（x1）1+， 当 0a1 时，令 f（x）0 可得，x或 x1， 令 f（x）0 可得， 函数 f（x）单调递增区间（） ， （0，1） ，单调递减区间（1，） ； a1 时，f（x）0 恒成立，故函数在（0，+）上单调递增
43、； 当 a1 时，令 f（x）0 可得，0x或 x1， 令 f（x）0 可得， 函数 f（x）单调递增区间（1，+） ， （0，） ，单调递减区间（，1） ； （2）若 1ae， 第 23 页（共 25 页） 由（1）知函数 f（x）在（1，+） ， （0，）单调递增，在（，1）单调递减， f（1）10，f（）， 令 g（a），1ae， 则0 恒成立， g（a）在（1，e）上单调递增， g（1）g（a）g（e）0，即 f（）0， x0，f（x），x+时，f（x）+， 函数的图象与 x 轴只有一个交点即 f（x）的零点个数为 1 【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及利用函数的单调性判
44、断函数的零 点个数，还考查了考生的逻辑思维能力，具有一定的综合性 (二）选考题：共二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以 坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 sin （+） 2 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）射线 OP 的极坐标方程为 ，若射线 OP 与曲线 C
45、的交点为 A，与直线 l 的交 点为 B，求线段 AB 的长 【分析】 （1）消去参数 可得曲线 C 的普通方程，根据互化公式可得直线 l 的直角坐标 方程； （2）将曲线 C 的直角坐标方程化为极坐标方程，根据极径的几何意义可得 【解答】解： （1）由消去参数 得 x2+（y1）23， 由 sin（+）2得 （sin+cos）2， 所以 x+y40 第 24 页（共 25 页） （2）曲线 C 的方程可化为 x2+y22y20， 所以曲线 C 的极坐标方程为 22sin20， 由题意设 A（1，） ，B（2，） ， 将 代入 22sin20，可得 12120， 所以 12 或 11（舍去） ， 将 代入 sin（+）2，可得 24， 所以
