1、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部 分数据丟失（如图） ，但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（ ） A甲得分的极差是 11 第 2 页（共 26 页） B乙得分的中位数是 18.5 C甲运动员得分有一半在区间20，30上 D甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高 6（5 分） 已知四面体 PABC 的外接球的球心 O 在 AB 上， 且 PO平面 ABC， 2ACAB， 若四面体 PABC 的体积为，则该球的表面积为（ ） A12 B C16 D8 7 （5 分）在ABC 中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，BE 与 CD 交于点 P，设
2、， ，则（ ） A B C D 8 （5 分）已知函数 f（x）mx2m，若这两个函数 图象有且只有三个不同的交点，则实数 m 的取值范围是（ ） A2，1 B （2，1 C1，0） D1，0 二、多项选择题（二、多项选择题（本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 9 （5 分） 某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度， 随机调査了 50 名男生和 50 名女生， 每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表经计算 K2的 观测值 k4.762，则可以推断出（ ） 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 P （k2k） 0.1
3、00 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 第 3 页（共 26 页） A该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 B调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 10 （5 分）某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更 好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2019 年的高考升学情况，得到如 下柱图： 则下列结论正确的是（ ） A与 2016 年相比，2019 年一本达线人数有所增加 B
4、与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了 0.5 倍 C与 2016 年相比，2019 年艺体达线人数相同 D与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加 11 （5 分）1970 年 4 月 24 日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号” ，从 此我国开始了人造卫星的新篇章人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律： 卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服 从面积守恒规律， 即卫星的向径 （卫星与地球的连线） 在相同的时间内扫过的面积相等 设 椭圆的长轴长、焦距分别为 2a，2c，下列结论正确的是（ ） A卫星向径的取
5、值范围是ac，a+c B卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 第 4 页（共 26 页） 12 （5 分）如图，已知点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点，Fn（nN*）为边 BC 上 的一列点， 连接 AFn交 BD 于 Gn， 点 Gn（nN*） 满足， 其中数列an是首项为 1 的正项数列，Sn是数列an的前 n 项和，则下列结论正确的是 （ ） Aa313 B数列an+3是等比数列 Can4n3 D 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小
6、题，每小题 5 分，分，共共 20 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）sin2x+cos2x 的最小正周期为 ，则 f（x）在闭区间 0，的最大值为 14 （5 分） 某校 3 个兴趣小组的学生人数分布如表 （每名学生只参加一个小组） （单位： 人） 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 高二 15 20 10 已知用分层抽样的方法从参加这三个兴趣小组的学生中共抽取 30 人， 其中篮球组被抽出 12 人，则处的值为 15 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA11，E 为 BC 的中点，则 点 A 到平面 A1DE 的距离是 16 （5 分）已知双
7、曲线的左右焦点分别为 F1、F2，左顶点为 A，以 F2 为圆心，|F2A|为半径的圆交双曲线右支于 M、N 两点，且线段 AM 的垂直平分线过点 N， 第 5 页（共 26 页） 则 a 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分）分） 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 （）求C 的值； （）若，求ABC 面积的最大值 18已知数列an的前 n 项和为，数列bn满足 bnlog2an （1）求数列an、bn的通项公式； （2）求 Tnb12b22+b32b42+（1）n+1bn2 19如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADCP
8、AB90，BCCDADE、 M 分别为棱 AD、PD 的中点，PACD （1）证明：平面 MCE平面 PAB； （2）若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 20已知抛物线 E：x22py（p0）的焦点为 F，圆 M 的方程为：x2+y2py0，若直线 x 4 与 x 轴交于点 R，与抛物线交于点 Q，且 （1）求出抛物线 E 和圆 M 的方程； （2）过焦点 F 的直线 l 与抛物线 E 交于 A、B 两点，与圆 M 交于 C、D 两点（A，C 在 y 轴同侧） ，求证：|AC|DB|是定值 21医院为筛查某种疾病，需要血检，现有 n（nN*）份血液
9、样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验 n 次； 方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取 k（k2）个人的血样各一份混在一起 进行检验，如果结果是阴性，那么对这 k 个人只作一次检验就够了；如果结果是阳性， 那么再对这 k 个人的另一份血样逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次 （1）假设有 6 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好 经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； 第 6 页（共 26 页） （2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立 的，且每份样本是阳性结果的概率为
10、 p（0p1） 现取其中 k（kN*且 k2）份血液 样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 X1，采用混合检验方式，样本需 要检验的总次数为 X2 运用概率统计的知识，若 EX1EX2，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf（k） ； 若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份 检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值 参考数据：ln112.3978，1n122.4849，ln132.5649 22已知函数 （1）当 a1 时，求函数 yf（x）的极值； （2）若直线 yx1 是曲线 yf（x）的切线，求实数 a 的值及切点坐标； （3）若函数的图象与 yf（
11、x）的图象有两个不同的交点，求实数 a 的取值范围 第 7 页（共 26 页） 2020 年山东省德州市高考数学一模反馈数学试卷年山东省德州市高考数学一模反馈数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1 （5 分）已知集合，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合x|0x3， Bx|x0， ABx|0x3 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运
12、算求解能力，是基础 题 2 （5 分）函数的部分图象大致是（ ） A B C D 【分析】利用趋近性结合排除法即可得到答案 【解答】解：当 x时，所以 f（x）0+，排除 C， D； 因为 x+时，所以 f（x）+，因此排除 B， 第 8 页（共 26 页） 故选：A 【点评】本题考查由函数解析式确定函数图象，解决这类题的方法一般是从单调性，奇 偶性，特殊点及趋近性等角度，运用排除法求解，属于基础题 3 （5 分）已知 z（m+3）+（m1）i（mR）在复平面内对应的点为 P，则 P 点不可能 在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由 z 求得 z 的坐标，分别由实
13、部、虚部大于或小于 0 联立不等式组求解 m 值， 则答案可求 【解答】解：由 z（m+3）+（m1）i（mR） ，得 P（m+3，m1） ， 由，得 m1；由，得 m； 由，得 m3；由，得3m1 由上可知，P 点不可能在第二象限 故选：B 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题 4 （5 分）命题 p：x（0，+） ，则p 为（ ） Ax（0，+） ， Bx（0，+） ， Cx（，0） ， Dx（，0） ， 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论 【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为x（0，+） ，使得 故选：A 【点评】本题主要考查含有量词
14、的命题的否定，比较基础 5 （5 分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部 分数据丟失（如图） ，但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（ ） 第 9 页（共 26 页） A甲得分的极差是 11 B乙得分的中位数是 18.5 C甲运动员得分有一半在区间20，30上 D甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高 【分析】根据茎叶图，折线图整合数据，判断选项 【解答】解：甲的极差为 28919，A 错， 乙的中位数为，B 错， 由甲得分的折线图可知甲运动员得分有 3 次在区间20，30，C 错， 故选：D 【点评】本题考查对茎叶图，折线图的分析整合能力，属于基
15、础题 6（5 分） 已知四面体 PABC 的外接球的球心 O 在 AB 上， 且 PO平面 ABC， 2ACAB， 若四面体 PABC 的体积为，则该球的表面积为（ ） A12 B C16 D8 【分析】由题意可得 AB 为外接球的直径，AB 的中点为球心 O，再由 PO平面 ABC 及 体积公式可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积 【解答】解：因为四面体 PABC 的外接球的球心 O 在 AB 上可得：O 为外接球的球心， POAOCO 为外接球的半径 R，AB 为外接球的直径 2R，ACBC，因为 2ACAB， 所以 ACR，BCR， 因为 PO平面 ABC， 所以 VPABC，可得
16、R3，所以 R， 所以外接球的表面积 S4R212， 故选：A 【点评】本题考查外接球的半径与三棱锥的棱长的关系，及球的表面积公式的求法，属 于中档题 第 10 页（共 26 页） 7 （5 分）在ABC 中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，BE 与 CD 交于点 P，设 ， ，则（ ） A B C D 【分析】直接利用三角形法则和向量的线性运算的应用求出结果 【解答】 解： 设， 根据三角形法则：， 整理得， 同理 ，整理得， 所以，解得：， 所以 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，三角形法则的应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力 8 （5 分）
17、已知函数 f（x）mx2m，若这两个函数 图象有且只有三个不同的交点，则实数 m 的取值范围是（ ） A2，1 B （2，1 C1，0） D1，0 【分析】本题根据题型特点可采用赋特殊值的方法来解决，令 m0，和 m，可运 用数形结合法排除不正确的选项，从而可得正确选项 【解答】解：由题意，可知 当 m0 时，f（x）0，g（x）， 第 11 页（共 26 页） 此时函数 f（x）即为 x 轴，g（x）图象如右： 结合图象，可知函数 f（x）与 g（x）图象只有 2 个交点，不符合题意， 故排除 D 选项； 当 m时，f（x）（x2） ，g（x）， 此时函数 f（x）与 g（x）图象如右： 结
18、合图象，可知函数 f（x）与 g（x）图象只有 2 个交点，不符合题意， 故排除 A、B 选项； 故选：C 【点评】本题主要考查两个函数的交点和方程根的问题，考查了赋特殊值法和数形结合 法的应用本题属中档题 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 9 （5 分） 某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度， 随机调査了 50 名男生和 50 名女生， 每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表经计算 K2的 观测值 k4.762，则可以推断出（ ） 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 第 12
19、 页（共 26 页） P （k2k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 A该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 B调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 【分析】根据统计的数据，用频率估计概率可得该学校男、女生对食堂服务满意的概率 的估计值；题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选 的观测值表进行比较，发现它大于 3.841，有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评 价有差异 【解答】解：由统计表格知
20、：女生对食堂的满意率为：；男生对食堂的满意率为； 故 A，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为，A 正确； 对于 B，应为该校女生比男生对食堂服务更满意；B 错误； 由题意算得，k24.7623.841，参照附表，可得： 有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异； 故 C 正确，D 错误 故选：AC 【点评】本题考查统计与概率，独立性检验的应用，本题有创新的地方就是给出了观测 值，只要进行比较就可以，属于基础题 10 （5 分）某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更 好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 20
21、19 年的高考升学情况，得到如 下柱图： 第 13 页（共 26 页） 则下列结论正确的是（ ） A与 2016 年相比，2019 年一本达线人数有所增加 B与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了 0.5 倍 C与 2016 年相比，2019 年艺体达线人数相同 D与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加 【分析】根据柱状图给出的信息，做差比较即可 【解答】解：依题意，设 2016 年高考考生人数为 x，则 2019 年高考考生人数为 1.5x， 由 24%1.5x28%x8%x0，故选项 A 正确； 由（40%1.5x32%x）32%x，故选项 B 不正确； 由
22、8%1.5x8%x4%x0，故选项 C 不正确； 由 28%1.5x32%x42%x0，故选项 D 正确 故选：AD 【点评】本题考查了统计图表的识别和应用，属中档题 11 （5 分）1970 年 4 月 24 日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号” ，从 此我国开始了人造卫星的新篇章人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律： 卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服 从面积守恒规律， 即卫星的向径 （卫星与地球的连线） 在相同的时间内扫过的面积相等 设 椭圆的长轴长、焦距分别为 2a，2c，下列结论正确的是（ ） A卫星向径的取值范围是a
23、c，a+c B卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值， 运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的 时间内扫过的面积相等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由向径的意义可得最小 值与最大值的比越小时，离心率越大，椭圆越扁，进而可得所给命题的真假 第 14 页（共 26 页） 【解答】解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为 ac， 最大值为 a+c，
24、所以 A 正确； 根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧 的运行时间，故 B 正确； 卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即1+越小，则 e 越大，椭 圆越扁，故 C 不正确 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地 点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等， 则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故 D 正 确； 故选：ABD 【点评】本题考查椭圆的性质，到焦点的最大值最小值的情况及椭圆的圆扁与向径的比 值的关系，属于中档题 12 （5 分）如图，已知点
25、 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点，Fn（nN*）为边 BC 上 的一列点， 连接 AFn交 BD 于 Gn， 点 Gn（nN*） 满足， 其中数列an是首项为 1 的正项数列，Sn是数列an的前 n 项和，则下列结论正确的是 （ ） Aa313 B数列an+3是等比数列 Can4n3 D 【分析】此题在向量基础上把数列综合进来，其本质还是向量线性表示问题首先利用 平面向量找到数列递推公式，再求解 【解答】解E 为 AB 中点， ， ， 又D、Gn、B 三点共线， 第 15 页（共 26 页） ， 又， ，化简可得 an+12an+3， an+1+32（an+3） ， 数列an+
26、3是等比数列 又a11， ， ， a313， 故选：AB 【点评】 本题综合了数列与向量， 题目看起来比较复杂， 部分学生不愿静下心来去思考 其 本质还是向量线性表示，构造等式后得到数列递推公式，从而求解综合性较强，属于 中档偏难题 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）sin2x+cos2x 的最小正周期为 ，则 f（x）在闭区间 0，的最大值为 1 【分析】利用三角恒等变换化简函数 f（x） ，根据 f（x）的最小正周期求出 的值，由 x 的取值范围求出 f（x）的最大值 【解答】解：函数
27、 f（x）sin2x+cos2xsin（2x+） ， 且 f（x）的最小正周期为 ， T，解得 1， f（x）sin（2x+） ； 当 x0，时，2x+， 第 16 页（共 26 页） 当 2x+时，f（x）sin（2x+）取得最大值为 1 故答案为：1 【点评】本题考查了三角恒等变换以及三角函数在闭区间上的最值问题，是基础题目 14 （5 分） 某校 3 个兴趣小组的学生人数分布如表 （每名学生只参加一个小组） （单位： 人） 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 高二 15 20 10 已知用分层抽样的方法从参加这三个兴趣小组的学生中共抽取 30 人， 其中篮球组被抽出 12 人，则处
28、的值为 30 【分析】根据每个个体被抽到的概率都相等可得：，从而求得的值 【解答】解：根据分层抽样的定义和方法可得，； 解得30， 故答案为：30 【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了每个个体被抽到的概率都相等， 属于基础题 15 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA11，E 为 BC 的中点，则 点 A 到平面 A1DE 的距离是 【分析】利用等体积法，转化求解点 A 到平面 A1DE 的距离即可 【解答】解：， ，解得 故答案为： 【点评】本题考查几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查转化思想以及计算能力， 第 17 页（共 26 页） 是中档
29、题 16 （5 分）已知双曲线的左右焦点分别为 F1、F2，左顶点为 A，以 F2 为圆心，|F2A|为半径的圆交双曲线右支于 M、N 两点，且线段 AM 的垂直平分线过点 N， 则 a 3 【分析】由题意可得三角形 AMN 为等边三角形，由双曲线的定义可得，与右焦点有关的 线段可以转化为与左焦点有关的线段， 在三角形 NF1F2中， 由余弦定理可得 a c 的关系， 再由题意可得 a 的值 【解答】解：由线段 AM 的垂直平分线过点 N，可得 ANMN， 而由题意可得 AMAN，所以三角形 AMN 为等边三角形，M，N 关于 x 轴对称，F2为三 角形的外心，即是圆心，半径为 a+c， 所以
30、 AM 的中垂线过圆心 F2，AF2N120，即F1F2N120，|AF2|F2M|a+c， N 在双曲线上，所以|NF1|NF2|2a，则|NF1|2a+|NF2|3a+c， 在三角形 NF1F2中，由余弦定理可得：|NF1|2|NF2|2+|F1F2|2|2NF2|F1F2|cosF1F2N， 即（3a+c）2（a+c）2+（2c）22（a+c） （2c） （） ， 整理可得 2（4a3c） （a+c）0，所以可得 4a3c，或 a+c0（舍） 即 4a3，解得 a3， 故答案为：3 【点评】考查双曲线的性质，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70
31、 分）分） 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 （）求C 的值； （）若，求ABC 面积的最大值 第 18 页（共 26 页） 【分析】 （1）结合正弦定理及余弦定理可求 cosC，进而可求 C， （2）结合余弦定理及基本不等式可求 ab 的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解 【解答】解： （I）由题意结合正弦定理可得， （a+b）23ab+c2， 即 a2+b2c2ab， 所以 cosC， C（0，） ， 故 C， （II）由余弦定理可得，2a2+b2ab， 所以，a2+b22+ab2ab， 故 ab2， 则 SABC，当且仅当 ab时，面积取得最大值 【点评】
32、本题 考查了余弦定理，正弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的简单应 用 18已知数列an的前 n 项和为，数列bn满足 bnlog2an （1）求数列an、bn的通项公式； （2）求 Tnb12b22+b32b42+（1）n+1bn2 【分析】本题第（1）题先根据组合的知识可知 Sn2n1，然后根据公式 an 可计算出数列an的通项公式，最后将数列an的通项公式代入 bn log2an进行计算可得数列bn的通项公式； 第（2）题先根据第（1）题的结果可判断出数列bn是以 0 为首项，1 为公差的等差数列， 然后对 n 分奇数和偶数两种情况分别进行计算，利用平方差公式及等差数列的求和公式 可
33、计算出 Tn的表达式 【解答】解： （1）由题意，2n1， 当 n1 时，a1S12111， 当 n2 时，anSnSn12n12n 1+12n1， 当 n1 时，a11 也满足 an2n 1， an2n 1，nN*， 第 19 页（共 26 页） bnlog2anlog22n 1n1，nN* （2）由（1）知，bnn10+1 （n1） ， 故数列bn是以 0 为首项，1 为公差的等差数列， 当 n 为奇数时，n1 为偶数， Tnb12b22+b32b42+（1）n+1bn2 b12b22+b32b42+bn22bn12+bn2 （b1+b2） （b1b2）+（b3+b4） （b3b4）+（b
34、n2+bn1） （bn2bn1）+bn2 （b1+b2+b3+b4+bn2+bn1）+bn2 +（n1）2 ； 当 n 为偶数时，n1，n+1 均为奇数， Tnb12b22+b32b42+（1）n+1bn2 b12b22+b32b42+bn12bn2 （b1+b2） （b1b2）+（b3+b4） （b3b4）+（bn1+bn） （bn1bn） （b1+b2+b3+b4+bn1+bn） ； 综上所述，可知： Tn 【点评】本题主要考查数列与组合的综合求数列的通项公式，以及对 n 分奇偶两种情况 对数列进行求和的问题考查了转化与化归思想，分类讨论思想，整体思想，逻辑推理 能力和数学运算能力本题属中
35、档题 19如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADCPAB90，BCCDADE、 M 分别为棱 AD、PD 的中点，PACD （1）证明：平面 MCE平面 PAB； （2）若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 第 20 页（共 26 页） 【分析】 （1）由点 E 为 AD 的中点，得四边形 ABCE 为平行四边形，即 ECAB，再由三 角形中位线定理可得 EMAP，利用平面与平面平行的判定可得平面 MCE平面 PAB； （2）由题意 PA平面 ABCD，不妨设 AD2，则 BCCDAD1，以与 AD 垂直的 直线为 x 轴，AD 所在直线为
36、y 轴，AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系设 APh， 利用二面角PCDA的大小为45列式求得h2， 再求出平面PCE的一个法向量与 的坐标，则直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值可求 【解答】 （1）证明：点 E 为 AD 的中点，BC，ADBC， 四边形 ABCE 为平行四边形，即 ECAB， E，M 分别为棱 AD、PD 的中点，EMAP， 又 EMECE， 平面 MCE平面 PAB； （2）解：如图所示，PAAB，PACD，AB 与 CD 是相交直线，PA平面 ABCD 不妨设 AD2，则 BCCDAD1， 以与 AD 垂直的直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴，
37、AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标 系 设 APh，A（0，0，0） ，D（0，2，0） ，C（1，2，0） ，P（0，0，h） ， 从而， 设平面 PCD 的一个法向量为， 由，令 y1，则； 又平面 ACD 的一个法向量 （0，0，1） ， 第 21 页（共 26 页） 二面角 PCDA 的大小为 45，得，解得 h2 P（0，0，2） ，E（0，1，0） ，C（1，2，0） ， ， 设平面 PCE 的一个法向量为， 由，取 y12，得 设 直 线PA与 平 面PCE所 成 角 为 ， 则sin |cos | 即直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 【点评】本题考查平面与平面
38、平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解空间角，是中档题 20已知抛物线 E：x22py（p0）的焦点为 F，圆 M 的方程为：x2+y2py0，若直线 x 4 与 x 轴交于点 R，与抛物线交于点 Q，且 （1）求出抛物线 E 和圆 M 的方程； （2）过焦点 F 的直线 l 与抛物线 E 交于 A、B 两点，与圆 M 交于 C、D 两点（A，C 在 y 轴同侧） ，求证：|AC|DB|是定值 【分析】 （1）设 Q（4，y0） ，由求得 y02p，把点（4，2p）代入抛物线方 程得 p2，则抛物线 E 与圆 M 的方程可求； （2）抛物线 E：x24y 的焦点 F（
39、0，1） ，设直线 l 的方程为 ykx+1，A（x1，y1） ，B（x2， 第 22 页（共 26 页） y2） ，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可证明|AC| |DB|是定值 1 【解答】解： （1）设 Q（4，y0） ，由， 得，即 y02p 将点（4，2p）代入抛物线方程，可得 p2 抛物线 E：x24y，圆 M 的方程为：x2+y22y0； 证明： （2）抛物线 E：x24y 的焦点 F（0，1） ， 设直线 l 的方程为 ykx+1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立，得 x24kx40 则16（k2+1）0，且 x1+x24k，x1x24
40、由圆的方程可得圆 M 的圆心坐标为 M（0，1） ，半径为 1，圆心就是焦点 由抛物线的定义可知|AF|y1+1，|BF|y2+1 则|AC|AF|1y1，|BD|BF|1y2， |AC|BD|y1y2（kx1+1） （kx2+1）k2x1x2+k（x1+x2）+14k2+4k2+11 即|AC|DB|是定值 1 【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能 力，是中档题 21医院为筛查某种疾病，需要血检，现有 n（nN*）份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验 n 次； 方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取 k（k2）个人的血样各
41、一份混在一起 进行检验，如果结果是阴性，那么对这 k 个人只作一次检验就够了；如果结果是阳性， 那么再对这 k 个人的另一份血样逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次 （1）假设有 6 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好 经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立 的，且每份样本是阳性结果的概率为 p（0p1） 现取其中 k（kN*且 k2）份血液 样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 X1，采用混合检验方式，样本需 要检验的总次数为 X2 第
42、 23 页（共 26 页） 运用概率统计的知识，若 EX1EX2，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf（k） ； 若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份 检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值 参考数据：ln112.3978，1n122.4849，ln132.5649 【分析】 （1）记恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来为 A 事件，利用古典概 型、排列组合能求出恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率 （2）X1的取值为 k，P（X1k）1，EX1k，X2的取值为 1，k+1，P（X21）（1 p）k，P（X2k+1）1（1p）k，从而
43、E（X2）k+1k（1p）k，由 EX1EX2， 能求出 p ，EX2k+1kek，从而 lnk，设 f（x）lnx，则 ，x0，利用导数性质能求出 k 的最大值 【解答】解： （1）记恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来为 A 事件， 则恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为 P（A） （2）X1的取值为 k，P（X1k）1，EX1k， X2的取值为 1，k+1， P（X21）（1p）k，P（X2k+1）1（1p）k， E（X2）（1p）k+（k+1）1（1p）kk+1k（1p）k， 由 EX1EX2，得 kk+1k（1p）k， p1（）， （kN*，k2） ，EX
44、2k+1kek，lnk， 设 f（x）lnx，则，x0， 当 x（0，5）时，f（x）0，f（x）在（0，5）上单调递增， x（5，+）时，f（x）0，f（x）在（5，+）单调递减， 且 f（12）ln22.20，f（13）ln132.60， k 的最大值为 12 第 24 页（共 26 页） 【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典 概型、导数性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 22已知函数 （1）当 a1 时，求函数 yf（x）的极值； （2）若直线 yx1 是曲线 yf（x）的切线，求实数 a 的值及切点坐标； （3）若函数的图象与 yf（x）的图象有两个不同的交点，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求导，将 a1 代入，判断其单调性情况，进而得到极值； （2）利用导数的几何意义建立方程组，解出后构造新函数求解即可； （3）问题转化为在（0，+）上有两个不同的解，构造新函 数，利用导数研究其单调性，极值，进而得出其零点情况，由此即可得出结论 【解答】解： （1）由得， 当 a1 时，x（0，e）时，f（x）0，即 f（x）在（0，e）上单调递增， 同理，f（x）在（e，+）上单调递减， 则函数 f（x）的极大值为
