1、已知集合 AxN*|x4，Bx|x（x2）0，则集合 AB 中元素的个数为 （ ） A1 B2 C3 D4 2 （5 分）已知复数 z 满足 z（1+2i）|3+4i|（i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数 （ ） A1+2i B12i C1+2i D12i 3 （5 分） “a2”是“xR，ax2+1为真命题”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知，则（ ） A B C D 5 （5 分）将某校高一 3 班全体学生分成三个小组分别到三个不同的地方参加植树活动，若 每个学生被分到三个小组的概率都相等，则这个班的甲，乙两同学分到同一
2、个小组的概 率为（ ） A B C D 6 （5 分）数列 1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称 它们为六边形数，那么第 10 个六边形数为（ ） A153 B190 C231 D276 7 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 M 是棱 CC1的中点，点 A，B，D，M 都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A B3 C D9 8 （5 分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子“的称号，为 了纪念数学家高斯，人们把函数 yx，xR 称为高斯函数，其中x表示不超过 x 的最 第 2 页（共 25 页）
3、大整数设xxx，则函数 f（x）2xxx1 的所有零点之和为（ ） A1 B0 C1 D2 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中有多项在每小题给出的四个选项中有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）下列说法正确的是（ ） A回归直线一定经过样本点的中心（ ， ） B若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的值越接近于 1 C在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄
4、，说明模型的拟合精度越高 D在线性回归模型中，相关指数 R2越接近于 1，说明回归的效果越好 10 （5 分） 若双曲线的实轴长为 6， 焦距为 10， 右焦点为 F， 则下列结论正确的是（ ） AC 的渐近线上的点到 F 距离的最小值为 4 BC 的离心率为 CC 上的点到 F 距离的最小值为 2 D过 F 的最短的弦长为 11 （5 分）已知直线 l：2kx2ykp0 与抛物线 C：y22px（p0）相交于 A，B 两点， 点 M（1，1）是抛物线 C 的准线与以 AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的 是（ ） Ap2 Bk2 C|AB|5 DMAB 的面积为 12 （5 分）若实数
5、 a2，则下列不等式中一定成立的是（ ） A （a+1）a+2（a+2）a+1 Bloga（a+1）loga+1（a+2） C D 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 3 页（共 25 页） 13 （5 分）已知的展开式中 x 1 的系数为40，则实数 a 14 （5 分）若函数 f（x）sinx+cosx 在0，a上单调递增，则 a 的取值范围为 15 （5 分）已知 （cos，sin） ， （sin，cos） ，且 +100，则向量 与 的夹 角 16 （5 分）点 M，N 分别为三棱柱 ABCA1B1C1的棱 BC，BB
6、1的中点，设A1MN 的面积 为 S1，平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面面积为 S，五棱锥 A1CC1B1NM 的 体积为 V1，三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，则 ， 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）a5b3+b5，S387a9a10b1+b2这三个条件中任选一个，补充在下 面问题中，并给出解答 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn的前 n 项和为 Tn，_，a1b6，若对 于任意 nN*都有 Tn2bn1，且 SnS
7、k（k 为常数） ，求正整数 k 的值 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分 18 （12 分）在平面四边形 ABCD 中 （1）求ABD 的面积； （2）设 M 为 BD 的中点，且 MCMB，求四边形 ABCD 周长的最大值 19 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，BCCD，BCCD，ADBD，以 BD 为折痕把 ABD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PCBC （1）证明：PD平面 BCD； （2）若 M 为 PB 的中点，二面角 PBCD 等于 60，求直线 PC 与平面 MCD 所成角 的正弦值 第 4 页（共 25 页） 20 （12 分）已知椭圆的长
8、轴长为 4，右焦点为 F，且椭圆 C 上 的点到点 F 的距离的最小值与最大值的积为 1，圆 O：x2+y21 与 x 轴交于 A，B 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）动直线 l：ykx+m 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且直线 l 与圆 O 相切，求APQ 的 面积与BPQ 的面积乘积的取值范围 21 （12 分）2020 年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导 下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情某中学寒假开学后，为了普及传染 病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了 一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛 （满
9、分 100 分） ， 竞赛奖励规则如下， 得分在70， 80）内的学生获三等奖，得分在80，90）内的学生获二等奖，得分在90，100内的学生 获一等奖，其他学生不得奖教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了 100 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图 （1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的 概率； （2）若该校所有参赛学生的成绩 X 近似服从正态分布 N（，2） ，其中15， 为 样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）若该校共有 10000 名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过 79 分的学
10、生数 （结果四舍五人到整数） ； （ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于 10000）随机抽取 3 名学生进行座谈，设其 中竞赛成绩在 64 分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值 附：若随机变量 X 服从正态分布 N（，2） ，则 P（X+）0.6827，P（ 2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9973 第 5 页（共 25 页） 22 （12 分）已知函数 f（x）ax+x2lnx （1）证明：当 a0 时，函数 f（x）有唯一的极值点； （2）设 a 为正整数，若不等式 f（x）ex在（0，+）内恒成立，求 a 的最大值 第 6 页（共 25 页） 2020 年山东省
11、聊城市高考数学一模试卷（年山东省聊城市高考数学一模试卷（4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 AxN*|x4，Bx|x（x2）0，则集合 AB 中元素的个数为 （ ） A1 B2 C3 D4 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算求出 AB，进而可得出集合 AB 中 元素的个数 【解答】解：A1，2，3，Bx|0x2， AB1，2，
12、集合 AB 中元素的个数为 2 故选：B 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，集 合元素的定义，考查了计算能力，属于基础题 2 （5 分）已知复数 z 满足 z（1+2i）|3+4i|（i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数 （ ） A1+2i B12i C1+2i D12i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由 z（1+2i）|3+4i|5，得 z， 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分） “a2”是“xR，ax2+1为真命题”的（ ） A充分不必要条件
13、B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】先化简，再判断单调性 【解答】解： “xR，ax2+1为真命题” ，则 a1， 则 a2 是 a1 的必要不充分条件， 第 7 页（共 25 页） 故选：B 【点评】本题考查解不等式，以及充要性，属于基础题 4 （5 分）已知，则（ ） A B C D 【分析】由题意利用诱导公式求得要求式子的值 【解答】解：已知，则cos（+）cos（ ）cos（）， 故选：A 【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题 5 （5 分）将某校高一 3 班全体学生分成三个小组分别到三个不同的地方参加植树活动，若 每个学生被分到三个小组的概率都相等
14、，则这个班的甲，乙两同学分到同一个小组的概 率为（ ） A B C D 【分析】这个班的甲，乙两同学分配的基本事件总数 n339，这个班的甲，乙两同 学分到同一个小组包含的基本事件个数 m3，由此能求出这个班的甲，乙两同学分到同 一个小组的概率 【解答】解：将某校高一 3 班全体学生分成三个小组分别到三个不同的地方参加植树活 动， 每个学生被分到三个小组的概率都相等， 这个班的甲，乙两同学分配的基本事件总数 n339， 这个班的甲，乙两同学分到同一个小组包含的基本事件个数 m3， 则这个班的甲，乙两同学分到同一个小组的概率为 p 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考
15、查运算求解能力，是基础 题 6 （5 分）数列 1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称 它们为六边形数，那么第 10 个六边形数为（ ） 第 8 页（共 25 页） A153 B190 C231 D276 【分析】根据已知数，求出其规律即可求解结论 【解答】解：因为：1， 61+5， 151+5+9， 281+5+9+13， 451+5+9+13+19； 即这些六边形数是由首项为 1，公差为 4 的等差数列的和组成的； 所以：cn1n+42n2n； 第 10 个六边形数为：210210190 故选：B 【点评】本题主要考查归纳推理，归纳推理的一般步骤是： （1
16、）通过观察个别情况发现 某些相同性质； （2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 7 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 M 是棱 CC1的中点，点 A，B，D，M 都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A B3 C D9 【分析】由题意可得底面外接圆的圆心为对角线 BD 的中点 E，过 E 做底面的垂线在垂 线上取 O 使 OMOB，则 O 为外接球的球心，画图可得（详见解答）在两个三角形中求 出外接球的半径，进而求出外接球的表面积 【解答】解：取 BD 的中点 E，则 E 为ADB 的外心； 由题意可得外接球的球心直线 EO 上， 设
17、球心为 O，连接 MO，OB 可得都是外接球的半径， 第 9 页（共 25 页） 过 O 作 OHMC 与 H； 则 OB2OE2+EB2OE2+ OM2OH2+MH2CE2+MH2+（ 2 由可得：R2OB2； 则球 O 的表面积为：4R2； 故选：C 【点评】本题考查三棱锥的外接球的半径与棱长的关系，及球的的表面积公式，属于中 档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 8 （5 分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子“的称号，为 了纪念数学家高斯，人们把函数 yx，xR 称为高斯函数，其中x表示不超过 x 的最 大整数设xxx，则函数 f（x）2xxx1 的所
18、有零点之和为（ ） A1 B0 C1 D2 【分析】由题意，函数 f（x）2xxx1 的零点，即方程 2x（xx）x10 的 根，也就是 2x（xx）x+1 的根，x0 显然不是上面方程的根；当 x0 时，方程化 为 2（xx），作出两函数 y2（xx）与 y1+的图象，数形结合得答案 【解答】解：xxx，f（x）2xxx12x（xx）x1， 函数 f（x）2xxx1 的零点，即方程 2x（xx）x10 的根， 也就是 2x（xx）x+1 的根 x0 显然不是上面方程的根； 第 10 页（共 25 页） 当 x0 时，方程化为 2（xx） 作出两函数 y2（xx）与 y1+的图象如图： 由图可
19、知，两函数的交点除（1，0）之外，其余的交点关于（0，1）中心对称， 则函数 f（x）2xxx1 的所有零点之和为1 故选：A 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题 思想方法，是中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中有多项在每小题给出的四个选项中有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）下列说法正确的是（ ） A回归直线一定经过样本点的中心（
20、 ， ） B若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的值越接近于 1 C在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D在线性回归模型中，相关指数 R2越接近于 1，说明回归的效果越好 【分析】根据学过的知识点进行判断 【解答】解：回归直线一定经过样本点的中心（ ， ） ，A 对； 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强， 则线性相关系数 r 的值越接近于 1 或1， B 错； 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，C 对； 在线性回归模型中，相关指数 R2越接近于 1，说明回归的效果越好，D 对， 故选：ACD 第 11
21、 页（共 25 页） 【点评】本题考查回归方程的性质，属于基础题 10 （5 分） 若双曲线的实轴长为 6， 焦距为 10， 右焦点为 F， 则下列结论正确的是（ ） AC 的渐近线上的点到 F 距离的最小值为 4 BC 的离心率为 CC 上的点到 F 距离的最小值为 2 D过 F 的最短的弦长为 【分析】由题意求出 a，b，c 的值，进而可得所给命题的真假 【解答】解：由题意可得 2a6，2c10，所以 a3，c5，b4，右焦点 F （5，0） ，渐近线的方程为 4x3y0， 所以C的渐近线上的点到F距离的最小值F到渐近线的距离db4， 所以A正确， 离心率 e，所以 B 不正确； 双曲线上
22、的点为顶点到焦点的距离最小，532，所以 C 正确； 过焦点的弦长为垂直与 x 轴的直线与双曲线的弦长，而斜率为 0 时，弦长为 实轴长 2a6，所以最短的弦长为 6，故 D 不正确， 故选：AC 【点评】本题考查双曲线的性质，属于中档题 11 （5 分）已知直线 l：2kx2ykp0 与抛物线 C：y22px（p0）相交于 A，B 两点， 点 M（1，1）是抛物线 C 的准线与以 AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的 是（ ） Ap2 Bk2 C|AB|5 DMAB 的面积为 【分析】将直线 l 的方程整理可得恒过定点即为抛物线的焦点，由 M 在抛物线的准线上 求出 p 的值， 进而可
23、得 AB 的方程， 与抛物线联立求出两根之和及两根之积， 再由以 AB 为 直径的圆过 M 点可得可得0 可得 k 的值，进而求出弦长 AB 的值，再求 M 到直 线 AB 的距离可得三角形 MAB 的面积，可判断所给命题的真假 第 12 页（共 25 页） 【解答】解：直线 l：2kx2ykp0 整理可得 k（2xp）2y0，恒过（，0） ，即 过抛物线的焦点 F， 所以抛物准线方程为 x，点 M（1，1）是抛物线 C 的准线与以 AB 为直径的圆 的公共点，M 在抛物线的准线上，所以1，解得 p2， 所以 A 正确，焦点坐标为（1，0） ，直线 l 整理可得 yk（x1） ， 设 A（x1
24、，y1） ，B（x2，y2） ，联立直线与抛物线的方程，整理可得：k2x2 （2k2+4）x+k20， x1x21，x1+x2，y1+y2k（x1+x22），y1y244， 由题意可得0，即（x1+1，y1+1） （x2+1，y2+1）0 整理可得 x1x2+（x1+x2）+1+y1y2+（y1+y2）+10，代入可得 1+14+10， 解得：+10，解得 k2，所以 B 正确， 所以 x1x21，x1+x23， 所以弦长|AB|5，所以 C 正确； 直线 AB 的方程为：y2（x1） ，即 2x+y20，所以 M 到直线 AB 的距离 d ， 所以 SMAB|AB|d，所以 D 不正确， 故
25、选：ABC 【点评】本题考查直线恒过的定点的坐标及直线与抛物线的综合，面积的求法，属于中 档题 12 （5 分）若实数 a2，则下列不等式中一定成立的是（ ） A （a+1）a+2（a+2）a+1 Bloga（a+1）loga+1（a+2） C 第 13 页（共 25 页） D 【分析】令 f（x），可得 f（x），利用导数研究其单调性即可判断出 ACD 的大小关系对于 B令 g（x）logx（x+1） （x2） 利用导数研究其单调性即可 判断出 B 的大小关系 【解答】解：令 f（x），则 f（x）， 可得函数 f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减， 实数 a2，a+1e，
26、 ，（a+1）a+2（a+2）a+1 （a+2）lna（a+1）ln（a+2） ，可得：loga+1（a+2） 与的大小关系不确定 可得：AD 正确，C 不正确 对于 B令 g（x）logx（x+1） （x2） g（x）0， 函数 g（x）在2，+）上单调递减，loga（a+1）log（a+1）（a+2） ， 综上可得：只有 AD 正确 故选：AD 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、数形结合方法、等价转化 方法、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5
27、分）已知的展开式中 x 1 的系数为40，则实数 a 1 第 14 页（共 25 页） 【分析】利用通项公式即可得出 【解答】解：的展开式中通项公式：Tk+1（ax）5 k （2） k a5 kx53k， 令 53k1，解得 k2 x 1 的系数为40，（2）2a340， 解得 a1 故答案为：1 【点评】本题考查了二项式定理的通项公式考查考生的计算能力，属于基础题 14 （5 分）若函数 f（x）sinx+cosx 在0，a上单调递增，则 a 的取值范围为 （0， 【分析】由题意利用正弦函数的单调性，求得 a 的范围 【解答】 解： 函数 f （x） sinx+cosxsin （x+） 在0
28、， a上单调递增， 而 x+， a+， a+，即 0a， 故答案为： （0， 【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题 15 （5 分）已知 （cos，sin） ， （sin，cos） ，且 +100，则向量 与 的夹 角 10 【分析】根据题意，由 、 的向量坐标计算分析可得| |、| |以及 的值，结合向量数 量积的计算公式计算可得答案 【解答】解：根据题意， （cos，sin） ， （sin，cos） ， 则 | 1 ， | 1 ， 则 cossin+sincossin（+）sin100， 则 cossin100，又由 0100， 则 10； 故答案为：10 第 15 页（共 2
29、5 页） 【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及三角函数的和角公式，属于基础题 16 （5 分）点 M，N 分别为三棱柱 ABCA1B1C1的棱 BC，BB1的中点，设A1MN 的面积 为 S1，平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面面积为 S，五棱锥 A1CC1B1NM 的 体积为 V1，三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，则 ， 【分析】如图所示，延长 NM 交直线 C1C 于点 P，连接 PA1交 AC 于点 Q，连接 QM可 得截面为四边形 A1NMQ由 BB1 CC1，M 为 BC 的中点，可得PCMNBM可得A1MN 的面积 S1，由 QCA1C1，利用平行线
30、的性质可得BMN 的面积与四边形 B1C1BC 面积的关系， 五棱锥 A1CC1B1NM 的体积与四棱锥 A1B1C1BC 的关系，而三棱锥 A1ABC 的体积 V，即可得出 【解答】 解： 如图所示， 延长 NM 交直线 C1C 于点 P， 连接 PA1交 AC 于点 Q， 连接 QM 平 面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面为四边形 A1NMQ BB1CC1，M 为 BC 的中点，则PCMNBM点 M 为 PN 的中点A1MN 的 面积 S1，QCA1C1， A1QM 的面积， BMN 的面积，五棱锥 A1CC1B1NM 的体积为 V1 ，而三棱锥 A1ABC 的体积V， 故
31、答案为：， 第 16 页（共 25 页） 【点评】本题考查了空间位置关系、三角形面积之比、三棱锥与四棱锥及其三棱柱的体 积考查了推理能力与计算能力，属于中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）a5b3+b5，S387a9a10b1+b2这三个条件中任选一个，补充在下 面问题中，并给出解答 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，数列bn的前 n 项和为 Tn，_，a1b6，若对 于任意 nN*都有 Tn2bn1，且 SnSk（k 为常数） ，求正整数 k 的值
32、 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分 【分析】由 Tn2bn1，结合数列递推式；n1 时，b1T1，n2 时，bnTnTn1， 结合等比数列的定义和通项公式可得 bn，然后选三个条件中一个，结合等差数列的通项 公式可得 an，再讨论an的正负项，即可得到所求值 【解答】解：由 Tn2bn1，可得 n1 时，b11；n2 时，Tn12bn11，相减可 得 bn2bn2bn1，即 bn2bn1， 由此可得bn为首项为 1，公比为 2 的等比数列，故 bn2n 1， 当 a5b3+b5，a1b632，a54+1620， 设an的公差为 d，则 2032+4d，解得 d3， 所以 an
33、323（n1）353n因为当 n11 时，an0，当 n11 时，an0， 所以当 n11 时，Sn取得最大值， 因此正整数 k 的值为 11 当 S387 时，a132，3a287， 设an的公差为 d，则 3（32+d）87，解得 d3， 所以 an323（n1）353n因为当 n11 时，an0，当 n11 时，an0， 所以当 n11 时，Sn取得最大值， 第 17 页（共 25 页） 因此正整数 k 的值为 11 当 a9a10b1+b2时，a132，a9a103， 设an的公差为 d，则 d3， 所以 an323（n1）353n因为当 n11 时，an0，当 n11 时，an0，
34、所以当 n11 时，Sn取得最大值， 因此正整数 k 的值为 11 【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，以及数列递推式的运 用，考查等差数列的前 n 项和的最值情况，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于 中档题 18 （12 分）在平面四边形 ABCD 中 （1）求ABD 的面积； （2）设 M 为 BD 的中点，且 MCMB，求四边形 ABCD 周长的最大值 【分析】 （1）连接 BD，在ABD 中，设 BDx，由余弦定理可得 x22x150，解得 x，可得 BD 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解 （2）由 M 为 BD 的中点，可得 MC 为BCD 的边 BD
35、 的中线，又 MCMB，可得BCD 90，利用勾股定理可求 BC2+CD2BD225，根据基本不等式可求 BC+CD5， 即可求解四边形 ABCD 的周长的最大值 【解答】解： （1）连接 BD，在ABD 中，由余弦定理可得 AD2AB2+BD22ABBDcos ABD， 设 BDx，则 172+x22xcos45，即 x22x150， 解得 x5 或 x3（舍去） ， 所以 BD5， 所以 SABDABBDsinABD （2）由 M 为 BD 的中点，可得 MC 为BCD 的边 BD 的中线， 又 MCMB，可得 MCBD， 所以BCD90， 所以 BC2+CD2BD225， 又（BC+CD
36、）2BC2+CD2+2BCCD2（BC2+CD2）50， 所以 BC+CD5，当且仅当 BCCD 时等号成立， 第 18 页（共 25 页） 所以 AB+AD+BC+CD6+，即四边形 ABCD 的周长的最大值为 6+ 【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，勾股定理，基本不等式在解三 角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题 19 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，BCCD，BCCD，ADBD，以 BD 为折痕把 ABD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PCBC （1）证明：PD平面 BCD； （2）若 M 为 PB 的中点，二面角 PBCD
37、 等于 60，求直线 PC 与平面 MCD 所成角 的正弦值 【分析】 （1）由已知可得 BC平面 PCD，得到 BCPD，再由 PDBD，利用直线与平 面垂直的判定可得 PD平面 BCD； （2） 由 PCBC， CDBC， 可得PCD 是二面角 PBCD 的平面角， 则PCD60， 取 BD 的中点 O，连接 OM，OC，可得 OM，OC，OD 两两互相垂直，以 O 为坐标原点， 分别以 OC，OD，OM 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 MCD 的一个法向量 与的坐标， 由两向量所成角的余弦值可得直线 PC 与平面 MCD 所成角 的正弦值 【解答】 （1）证明
38、：BCCD，BCPC，且 PCCDC， BC平面 PCD， 又PD平面 PCD，BCPD PDBD，BDBCB， 第 19 页（共 25 页） PD平面 BCD； （2）解：PCBC，CDBC， PCD 是二面角 PBCD 的平面角，则PCD60， 因此 PDCDtan60， 取 BD 的中点 O，连接 OM，OC， 由已知可得 OM，OC，OD 两两互相垂直， 以 O 为坐标原点，分别以 OC，OD，OM 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 OB1，则 P（0，1，） ，C（1，0，0） ，D（0，1，0） ，M（0，0，） ， ， 设平面 MCD 的一个法向量为， 由，取
39、z，得 cos 故直线 PC 与平面 MCD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解空间角，是中档题 20 （12 分）已知椭圆的长轴长为 4，右焦点为 F，且椭圆 C 上 的点到点 F 的距离的最小值与最大值的积为 1，圆 O：x2+y21 与 x 轴交于 A，B 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）动直线 l：ykx+m 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且直线 l 与圆 O 相切，求APQ 的 第 20 页（共 25 页） 面积与BPQ 的面积乘积的取值范围 【分析】 （1）根据题意可得 2a4， （ac） （a+c
40、）1，解得 a，b，进而得椭圆 C 的方 程 （2） 联立直线 l 与椭圆的方程， 0 且设 P （x1， y1） ， Q （x2， y2） ， 则 x1+x2， x1x2，还能得到 A，B 两点到直线 l 得距离分别为 d1，d2，SAPQSBPQ ，由基本不等式可得出答案 【解答】解： （1）设椭圆 C 的焦距为 2c，则由已知得 2a4， （ac） （a+c）1， 解得 a2，b1，所以椭圆 C 的方程为 （2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m240， （8km）24（1+4k2） （4m24）16（1+4k2m2）0， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 x1+x2
41、，x1x2， 所以|PQ| 因为直线 l 与 O 相切，所以点 O 到直线 l 得距离 d1，即 1+k2m2 所以48k2，由0，得 k20， 又 A，B 两点到直线 l 得距离分别为 d1，d2， 所 以 APQ的 面 积 与 BPQ的 面 积 乘 积 为S APQ SBPQ （） 第 21 页（共 25 页） ， 因为 k20，所以 16k2+816（0， SAPQSBPQ（0， 所以APQ 的面积与BPQ 的面积乘积的取值范围为（0， 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题 21 （12 分）2020 年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚
42、强领导 下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情某中学寒假开学后，为了普及传染 病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了 一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛 （满分 100 分） ， 竞赛奖励规则如下， 得分在70， 80）内的学生获三等奖，得分在80，90）内的学生获二等奖，得分在90，100内的学生 获一等奖，其他学生不得奖教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了 100 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图 （1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的 概率； （2）若该校所有参赛学
43、生的成绩 X 近似服从正态分布 N（，2） ，其中15， 为 样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）若该校共有 10000 名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过 79 分的学生数 （结果四舍五人到整数） ； （ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于 10000）随机抽取 3 名学生进行座谈，设其 中竞赛成绩在 64 分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值 附：若随机变量 X 服从正态分布 N（，2） ，则 P（X+）0.6827，P（ 2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9973 第 22 页（共 25 页） 【分析】 （1）由样本频率分布直方图得
44、样本中获一等奖的 6 人，获二等奖的 8 人，获三 等奖的 16 人，共 30 人获奖，70 人没有获奖，从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩， 基本事件总数为 n，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件 A，则事 件 A 包含的基本事件的个数为 m， 由此能求出这两名学生中恰有一名学生获奖 的概率 （2） （i）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值，得到所有参赛学生的成绩 X 近 似值服从正态分布 N（64，152） ，由此能估计参赛学生中成绩超过 79 分的学生数 （ii）由 64，得 P（X64），得到随机变量 B（3，） ，由此能求出 的分 布列和 E（） 【解答】解： （1）由样本频率分布直方图得样本中获一等奖的 6 人，获二等奖的 8 人， 获三等奖的 16 人，共 30 人获奖，70 人没有获奖， 从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为 n， 设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件 A， 则事件 A 包含的基本事件的个数为 m， 这两名学生中恰有一名学生获奖的概率 p（A） （2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值： 350.00610+450.01210+550.01810+650.03410+750.01610+85 0.00810+950.0061064， 所有参赛学生的成
