1、已知全集 UR，集合 Ax|x2x，则UA（ ） A0，1 B （0，1） C （，1 D （，1） 2 （5 分）设复数 z（其中 i 为虚数单位） ，则复数 z 在复平面内对应的点所在的象限 为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分） 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分 某学生做引体向上运动， 处于如图所示的平衡状态时， 若两只胳膊的夹角为 60， 每只胳膊的拉力大小均为 400N， 则该学生的体重（单位：kg）约为（ ） （参考数据：取重力加速度大小为 g10m/s2，1.732） A63 B69 C75 D81 4 （5 分）已知函数 yf（
2、x）的部分图象如图，则 f（x）的解析式可能是（ ） Af（x）x+tanx Bf（x）x+sin2x Cf（x）xsin2x Df（x）xcosx 5 （5 分）方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用某方舱医 院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班若甲的夜班比丙晚 一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙 第 2 页（共 31 页） 的正中间，则周五值夜班的护士为（ ） A甲 B丙 C戊 D庚 6 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，过 A 作 抛物线准线的
3、垂线，垂足为 M，MAF 的角平分线与抛物线的准线交于点 P，线段 AB 的中点为 Q若|AB|8，则|PQ|（ ） A2 B4 C6 D8 7 （5 分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中 华民族对人类的伟大贡献之一在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图 1： “以五 居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数” ，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将 1 到 9 这九个数字，填在如图 2 所示的九宫格里，九宫格的中间填 5，四个角填偶数，其 余位置填奇数则每一横行、每一竖列以及两条对角线上 3 个数字的和都等于 15 的概率 是（ ） A B C D 8
4、（5 分）已知直线 yax+b（b0）与曲线 yx3有且只有两个公共点 A（x1，y1） ，B（x2， y2） ，其中，则 x1x2，则 2x1+x2（ ） A1 B0 C1 Da 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中有多分在每小题给出的四个选项中有多 项符合题目要求，全部选对的得项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势如图是 2008 年至 2019 年 国际原油价格高低区
5、间的对比图 第 3 页（共 31 页） 下列说法正确的是（ ） A2008 年原油价格波动幅度最大 B2008 年至 2019 年，原油价格平均值不断变小 C2013 年原油价格平均值一定大于 2018 年原油价格平均值 D2008 年至 2019 年，原油价格波动幅度均不小于 20 美元/桶 10 （5 分）已知符号函数 sgn（x）下列说法正确的是（ ） A函数 ysgn（x）是奇函数 B对任意的 x1，sgn（lnx）1 C函数 yexsgn（x）的值域为（，1） D对任意的 xR，|x|xsgn（x） 11 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为棱
6、CC1上的动点（点 P 不与点 C，C1重合） ，过点 P 作平面 分别与棱 BC，CD 交于 M，N 两点，若 CPCM CN，则下列说法正确的是（ ） AA1C平面 B存在点 P，使得 AC1平面 第 4 页（共 31 页） C存在点 P，使得点 A1到平面 的距离为 D用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 12 （5 分）已知函数 f（x）（sinx+cosx）|sinxcosx|，下列说法正确的是（ ） Af（x）是周期函数 Bf（x）在区间，上是增函数 C若|f（x1）|+|f（x2）|2，则 x1+x2（kZ） D函数 g（x）f（x）+1 在区间0，2上有
7、且仅有 1 个零点 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 cos（2），则sin2（）的值为 14 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的两条渐近线均与圆（x2）2+y2 1 相切，则双曲线的离心率为 15 （5 分）已知，是夹角为的单位向量，若|a+b|（a，bR） ，则 a+b 的最大值为 16 （5 分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点 A，B 距离之比为常数 （ 0 且 1）的点的轨迹是一个圆心在直线 AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信 息，解决下面的问题： 如图， 在长方体 AB
8、CDA1B1C1D1中， AB2AD2AA16， 点 E 在棱 AB 上， BE2AE， 动点 P 满足 BPPE若点 P 在平面 ABCD 内运动，则点 P 所形成的阿氏圆的半径 为 ； 若点 P 在长方体 ABCDA1B1C1D1内部运动， F 为棱 C1D1的中点， M 为 CP 的中点，则三棱锥 MB1CF 的体积的最小值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 （10 分） 若数列an满足 an+12an2p （nN+， p 为常数） ，则称数列an为等方差数列， 第 5
9、页（共 31 页） p 为公方差 （1）已知数列cn，dn，xn，yn分别满足 cn2020，dn，xn2n+1，yn 3n，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明） ； （2）若数列an是首项为 1，公方差为 2 的等方差数列，求数列an2的前 n 项和 Sn 18 （12 分） 如图， 平面四边形 ABCD， 点 B， C， D 均在半径为的圆上， 且BCD （1）求 BD 的长度； （2）若 AD3，ADB2ABD，求ABD 的面积 19 （12 分）如图 1，平面四边形 ABCD 中，ABAC，ABAC，ACCD，E 为 BC 的中点，将ACD 沿对角线 AC 折起，使 CDB
10、C，连接 BD，得到如图 2 所示的三棱锥 DABC （1）证明：平面 ADE平面 BCD； （2）已知直线 DE 与平面 ABC 所成的角为，求二面角 ABDC 的余弦值 20 （12 分）网络购物已经成为人们的一种生活方式某购物平台为了给顾客提供更好的购 物体验，为人驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品 质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有 50 天的试营业 时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计 1 分，中评计 0 分，差评计 1 分， 某商家在试营业期间随机抽取 100 单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评 价情
11、况，分别制成了图 1 和图 2 第 6 页（共 31 页） （1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；请根据题目所给 信息完成下面 22 列联表， 并判断能否有 99%的把握认为 “获得好评” 与物流速度有关？ 好评 中评或差评 合计 物流迅速 物流迟缓 30 合计 （2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为 X该商家将试营业 50 天期间的成交情况制成了频数分布表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成 交单数发生的概率 成交单数 36 30 27 天数 10 20 20 （）求 X 的分布列和数学期望； （）平台规定，当积分超过 10000 分时，商
12、家会获得“诚信商家”称号，请估计该商 家从正式营业开始，1 年内（365 天）能否获得“诚信商家”称号 附：K2 P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A（，0） ，直线 l：x，动点 P 满足到点 A 的距离与到直线 l 的距离 之比为； 已知圆 C 的方程为 x2+y24，直线 l 为圆 C 的切线，记点 A（，0） ， （，0） 第 7 页（共 31 页） 到直线 l 的距离分别为 d1，d2，动点 P 满足|PA|d1，|PB
13、|d2； 点 S，T 分别在 x 轴，y 轴上运动，且|ST|3，动点 P 满足+； （1）在，这三个条件中任选一个，求动点 P 的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为 E，经过点 D（1，0）的直线 l交 E 于 M，N 两点，若线段 MN 的垂直平分线与 y 轴相交于点 Q，求点 Q 纵坐标的取值范围 22 （12 分）已知函数 f（x），且曲线 yf（x）在（2，f（2） ）处的切线斜 率为 1 （1）求实数 a 的值； （2）证明：当 x0 时，f（x）1； （3）若数列xn满足 ef（xn） ，且 x1，证明：2n|e1|1 第 8 页（共 31 页） 2020 年山东省济南市高考数
14、学一模试卷年山东省济南市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Ax|x2x，则UA（ ） A0，1 B （0，1） C （，1 D （，1） 【分析】先求出集合 A，再利用补集的定义求解即可 【解答】解：集合 Ax|x2xx|x0 或 x1， UAx|0x1， 故选：A 【点评】本题考查集合的基本运算，以及补集的定义，属于基础题 2 （
15、5 分）设复数 z（其中 i 为虚数单位） ，则复数 z 在复平面内对应的点所在的象限 为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标得答案 【解答】解：z， 复数 z 所对应的点的坐标为（1，1） ，位于第一象限 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分） 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分 某学生做引体向上运动， 处于如图所示的平衡状态时， 若两只胳膊的夹角为 60， 每只胳膊的拉力大小均为 400N， 则该学生的体重（单位：kg）约为（ ）
16、 （参考数据：取重力加速度大小为 g10m/s2，1.732） 第 9 页（共 31 页） A63 B69 C75 D81 【分析】由题意知400，夹角 60，计算 （+）的模长，再求 出体重即可 【解答】解：由题意知，400，夹角 60， 所以 + ， 即 （+） ； 所以4002+2400400cos60+400234002； | |400（N） ， 则该学生的体重（单位：kg）约为 40401.73269（kg） ， 故选：B 【点评】本题考查了向量在物理中的应用问题，也考查了数学模型的应用问题，是基础 题 4 （5 分）已知函数 yf（x）的部分图象如图，则 f（x）的解析式可能是（
17、） Af（x）x+tanx Bf（x）x+sin2x Cf（x）xsin2x Df（x）xcosx 【分析】函数 f（x）x+tanx 的定义域为，不合题意；而由图 象可知，f（0）0，可排除 BD，由此选 C 第 10 页（共 31 页） 【解答】解：由图象可知，函数的定义域为 R，故排除 A； 又 f（0）0，故排除 D； 若选择 B，则，与图象不符 故选：C 【点评】本题考查由函数图象确定函数解析式，考查读图识图能力，考查数形结合思想， 属于基础题 5 （5 分）方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用某方舱医 院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜
18、班若甲的夜班比丙晚 一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙 的正中间，则周五值夜班的护士为（ ） A甲 B丙 C戊 D庚 【分析】根据题中给的提示，猜测乙在周几，然后根据其他提示，排除，假设排除，得 到结果 【解答】解：因为己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间， 所以乙可能在星期一，二，三，五，六，日 因为乙的夜班比庚早三天， 所以乙可能在星期二，三， 如果乙在星期三，则庚在周六，且丙在周五，庚比丙晚一天，但与甲的夜班比丙晚一天 矛盾， 则乙在周二，庚在周五， 故选：D 【点评】本题考查简单的合情推理，属于基础题 6 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦
19、点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，过 A 作 抛物线准线的垂线，垂足为 M，MAF 的角平分线与抛物线的准线交于点 P，线段 AB 的中点为 Q若|AB|8，则|PQ|（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】画出图形，设出直线方程，求出 Q 的坐标，推出直线 PF 的方程，求出 P 的坐 标，然后求解|PQ| 【解答】解：由题意，抛物线 y24x 的焦点为 F（1，0） ， 第 11 页（共 31 页） 画出图形，可知 PFAB，AMAF，设 AB：yk（x1）与抛物线方程联立，可得可得 k2x2（2k2+4）x+k20，所以 x1+x2，x1x21， 线段 AB 的中
20、点为 Q若|AB|8，x1+x2+p8，即+28，解得 k1，所以中 点 Q 的横坐标：3，Q（3，2） ， PF：yx+1，与 x1 的解得 P（1，2） ， 所以 PQ4 故选：B 【点评】本题考查直线与抛物线相结合，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及 计算能力，是中档题 7 （5 分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中 华民族对人类的伟大贡献之一在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图 1： “以五 居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数” ，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将 1 到 9 这九个数字，填在如图 2 所示的九宫格里，九宫格的中间
21、填 5，四个角填偶数，其 余位置填奇数则每一横行、每一竖列以及两条对角线上 3 个数字的和都等于 15 的概率 是（ ） 第 12 页（共 31 页） A B C D 【分析】先求出基本事件的总数，再根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上 3 个数 字的和都等于 15，求出符合条件的个数，相比即可求解结论 【解答】解：九宫格的中间填 5，四个角填偶数，其余位置填奇数， 基本事件总数 n576， 每一横行、每一竖列以及两条对角线上 3 个数字的和都等于 15； 必须满足 1 和 9 对着即占或，2 和 8 对角对着即占或，4 和 6 对角 对着即占或， 3 和 7 对着即占或； 先让 1 去挑位
22、置，有4 种选择，9 随之确定； 然后让 8 去挑位置，比如 1 挑，则 8 只能占或，有 2 种选择，其余随之确定； 故符合条件的共有：428 种； 故所求概率为： 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查分类讨论思想、列举法等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 8 （5 分）已知直线 yax+b（b0）与曲线 yx3有且只有两个公共点 A（x1，y1） ，B（x2， y2） ，其中，则 x1x2，则 2x1+x2（ ） A1 B0 C1 Da 【分析】将问题转化为 bx3ax 有两个根，即函数 yx3ax 与 yb 有两个交点，由 第 13 页（共 31 页） 此结合图象可知 yb
23、与函数 yx3ax 相切时满足，据此可知 x1是极值点时，满足两个 根，据此列出 a，x1，x2的方程，通过消元化简即可得到 2x1+x2的值 【解答】解：直线 yax+b（b0）与曲线 yx3有且只有两个公共点， 即为 bx3ax 有两个根，即函数 yx3ax 与 yb 恰有两个交点时满足题意 做出两个函数图象：可知，x1是极大值点时满足题意 y3x2a， ， ， a（x1x2） ，x1x2， ， ， （2x1+x2） （x1x2）0 2x1+x20 故选：B 【点评】本题考查了利用图象法、极值的性质研究函数零点的问题，属于中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小
24、题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中有多分在每小题给出的四个选项中有多 项符合题目要求，全部选对的得项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势如图是 2008 年至 2019 年 国际原油价格高低区间的对比图 第 14 页（共 31 页） 下列说法正确的是（ ） A2008 年原油价格波动幅度最大 B2008 年至 2019 年，原油价格平均值不断变小 C2013 年原油价格平均值一定大于 2018 年原油价格平均值 D2008 年至
25、2019 年，原油价格波动幅度均不小于 20 美元/桶 【分析】根据图表，可以进行选项判断 【解答】解：由图可知，2008 年原油价格波动幅度最大，A 对； 通过最高价，最低价，并不反应出平均值的大小，得不出结论，B 错； 因为 2013 年原油价格最低价都比 2018 年原油价格最高值大， 则 2013 年原油价格平均值 一定大于 2018 年原油价格平均值，C 对， 由图可知，2016 年原油价格波动幅度均小于 20 美元/桶，D 错， 故选：AC 【点评】本题考查根据图表，进行合理推测，属于基础题 10 （5 分）已知符号函数 sgn（x）下列说法正确的是（ ） A函数 ysgn（x）是
26、奇函数 B对任意的 x1，sgn（lnx）1 C函数 yexsgn（x）的值域为（，1） D对任意的 xR，|x|xsgn（x） 【分析】A，画出函数 ysgn（x） ，的图象，根据图象对称性判定； B，对任意的 x1，lnx0，可得 sgn（lnx）1； 第 15 页（共 31 页） C，函数 yexsgn（x），画出图象，即可得值域为， D，xsgn（x），即可得，|x|xsgn（x） 【解答】解：A，画出函数 ysgn（x） ，的图象，根据图象对称性判定函数 ysgn（x） 是奇函数，故正确； B，对任意的 x1，lnx0，可得 sgn（lnx）1，故正确； C，函数 yexsgn（x）
27、，画出图象，即可得值域不为（，1）故 错 D，xsgn（x），即可得，|x|xsgn（x） ，故正确 第 16 页（共 31 页） 故选：ABD 【点评】本题考查了新定义 sgn（x）的定义及其|x|的意义、函数图象、分类讨论方法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为棱 CC1上的动点（点 P 不与点 C，C1重合） ，过点 P 作平面 分别与棱 BC，CD 交于 M，N 两点，若 CPCM CN，则下列说法正确的是（ ） AA1C平面 B存在点 P，使得 AC1平面 C存在点 P，使得点 A1到平面 的距离为
28、 D用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 【分析】连接 AD1，D1P，AMDB易得 AD1PM，CC1PM，C1DPN，DBMN再 结合正方体的性质即可判断 【解答】解：连接 AD1，D1P，AMDB 易得 AD1PM，CC1PM，C1DPN，DBMN 对于 A，可得正方体中 A1C面 DBC1，即可得 A1C平面 ，故 A 正确 对于 B，可得面 C1DB面 PMN，故 AC1不可能平行面 PMN故错 对于 C，A1C平面 ，且 A1C，所以存在点 P，使得点 A1到平面 的距离 为，故正确 对于 D，用过 P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形 PM
29、AD1，PM AD1，四边形 PMAD1一定是梯形，故正确 故选：ACD 第 17 页（共 31 页） 【点评】本题考查了空间线线、线面位置关系，考查了空间想象能力，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）（sinx+cosx）|sinxcosx|，下列说法正确的是（ ） Af（x）是周期函数 Bf（x）在区间，上是增函数 C若|f（x1）|+|f（x2）|2，则 x1+x2（kZ） D函数 g（x）f（x）+1 在区间0，2上有且仅有 1 个零点 【分析】由已知写出分段函数，作出其图象，结合图象逐一核对四个选项得答案 【解答】解：f（x）（sinx+cosx）|sinxcosx| 其图
30、象如图： 由图可知，f（x）是周期为 2 的周期函数，故 A 正确； f（x）在区间，上不是单调函数，故 B 错误； 若|f（x1）|+|f（x2）|2，则 x1+x2（kZ） ，故 C 正确； 函数 g（x）f（x）+1 在区间0，2上有且仅有 2 个零点，故 D 错误 第 18 页（共 31 页） 说法正确的是 AC 故选：AC 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象与性质，正确作出分段 函数的图象是关键，是中档题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 cos（2），则sin2（）的值为 【
31、分析】由已知利用二倍角公式化简所求即可得解 【解答】解：cos（2）， sin2（）cos（2） 故答案为： 【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题 14 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的两条渐近线均与圆（x2）2+y2 1 相切，则双曲线的离心率为 【分析】求出双曲线的渐近线方程，求得圆的圆心为（2，0） ，半径为 1，运用直线和圆 相切的条件：dr，化简整理可得 a23b2，运用 a，b，c 的关系和离心率公式，计算可 得所求值 【解答】解：双曲线 C：1（a0，b0）的两条渐近线为 yx，即为 bxay0， 由渐近线与圆（x2）2+y21 相切
32、，可得 1， 化为 a23b2， 由 c2a2+b2a2， 可得 e 第 19 页（共 31 页） 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和直线和圆相切的条件： dr，考查运算能力，属于中档题 15 （5 分）已知，是夹角为的单位向量，若|a+b|（a，bR） ，则 a+b 的最大值为 2 【分析】根据平面向量的模长公式和基本不等式，即可求出 a+b 的最大值 【解答】解：由，是夹角为的单位向量，且|a+b|， 所以 a2+2ab|cos+b23， 化简得 a2+ab+b23， 所以（a+b）23+ab3+，当且仅当 ab 时取“” 解得（a+b）24， 所以 a
33、+b 的最大值为 2 故答案为：2 【点评】本题考查了平面向量的模长公式和基本不等式应用问题，是基础题 16 （5 分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点 A，B 距离之比为常数 （ 0 且 1）的点的轨迹是一个圆心在直线 AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信 息，解决下面的问题： 如图， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB2AD2AA16， 点 E 在棱 AB 上， BE2AE， 动点 P 满足 BPPE若点 P 在平面 ABCD 内运动，则点 P 所形成的阿氏圆的半径为 2 ；若点 P 在长方体 ABCDA1B1C1D1内部运动，F 为棱 C1D1的中点，M 为 C
34、P 的 中点，则三棱锥 MB1CF 的体积的最小值为 【分析】若点 P 在平面 ABCD 内运动时，如图以 A 为原点距离平面直角坐标系，可得 E（2，0） ，B（6，0） 设 P（x，y） ，由 BPPE 可得 BP23PE2 即 3（x2）2+3y2 第 20 页（共 31 页） （x6）2+y2，x2+y212即可 若点 P 在长方体 ABCDA1B1C1D1内部运动， 由可得点 P 在半径为 2， 球心为 A 球上如图建立空间直角坐标系，求得 A 到面 FCB1的距离为 d，求得 P 到面 FCB1的距 离的最小值 d，又 M 到面 FCB1的距离的最小值为，利用体积公式即可求解 【解
35、答】解：若点 P 在平面 ABCD 内运动时， 如图以 A 为原点距离平面直角坐标系，可得 E（2，0） ，B（6，0） 设 P（x，y） ，由 BPPE 可得 BP23PE2 即 3（x2）2+3y2（x6）2+y2，x2+y212 则点 P 所形成的阿氏圆的半径为 2，圆心为 A， 若点 P 在长方体 ABCDA1B1C1D1内部运动， 由可得点 P 在半径为 2， 球心为 A 球上 如图建立空间直角坐标系，可得 A（3，0，0） ，F（0，3，3） ，C（0，6，0） ，B1（3，6， 3） 则， 设面 FB1C 的法向量为， ，可得 A 到面 FCB1的距离为 d 第 21 页（共 3
36、1 页） 则 P 到面 FCB1的距离的最小值为 32， M 为 CP 的中点，M 到面 FCB1的距离的最小值为 则三棱锥 MB1CF 的体积的最小值为 故答案为：2， 【点评】本题考查了空间动点轨迹问题，考查了转化思想，计算能力，属于中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 （10 分） 若数列an满足 an+12an2p （nN+， p 为常数） ，则称数列an为等方差数列， p 为公方差 （1）已知数列cn，dn，xn，yn分别满足 cn2020，dn，xn2n+1，yn
37、 3n，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明） ； （2）若数列an是首项为 1，公方差为 2 的等方差数列，求数列an2的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）由等方差数的定义即可判断出结论 （2）数列an是首项为 1，公方差为 2 的等方差数列，可得利用等差数列的求和公 式可得：数列an2的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）由等方差数的定义可得：cn，dn为等方差数列 （2）数列an是首项为 1，公方差为 2 的等方差数列，1+2（n1）2n1 数列an2的前 n 项和 Snn2 【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题
38、18 （12 分） 如图， 平面四边形 ABCD， 点 B， C， D 均在半径为的圆上， 且BCD （1）求 BD 的长度； 第 22 页（共 31 页） （2）若 AD3，ADB2ABD，求ABD 的面积 【分析】 （1）由题意可知BCD 的外接圆半径 R 为，利用正弦定理即可求得 BD 的 值 （2）在ABD 中，利用二倍角的正弦函数公式，余弦定理可求 AB 的值，进而可求 cos ABD，利用同角三角函数基本关系式可求 sinABD 的值，进而根据三角形的面积公式 即可计算得解 SABD的值 【解答】解： （1）由题意可知BCD 的外接圆半径 R 为，且BCD 由正弦定理可得2R2，解
39、得 BD5 （2）在ABD 中，ADB2ABD， sinADBsin2ABD2sinABDcosABD， AB2ADcosABD2AD， BD5，AD3 AB2， cosABD，sinABD， SABDABBDsinABD5 【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数 基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想 的应用，属于中档题 19 （12 分）如图 1，平面四边形 ABCD 中，ABAC，ABAC，ACCD，E 为 BC 的中点，将ACD 沿对角线 AC 折起，使 CDBC，连接 BD，得到如图 2 所示的三棱锥 DAB
40、C （1）证明：平面 ADE平面 BCD； 第 23 页（共 31 页） （2）已知直线 DE 与平面 ABC 所成的角为，求二面角 ABDC 的余弦值 【分析】 （1）推导出 CDBC，CDAC，从而 CD平面 ABC，进而 AECD，AEBC， AE平面 ADE，由此能证明平面 ADE平面 BCD （2）DEC 是直线 DE 与平面 ABC 所成角，作 EFCD，交 BD 于点 F，以 E 为原点， EA，EB，EF 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面 角 ABDC 的余弦值 【解答】解： （1）证明：在三棱锥 DABC 中， CDBC，CDAC，AC
41、BCC，CD平面 ABC， AE平面 ABC，AECD， ABAC，E 为 BC 中点，AEBC， BCCDC，AE平面 ADE， AE平面 ADE，平面 ADE平面 BCD （2）解：由（1）知DEC 是直线 DE 与平面 ABC 所成角， DEC，CDCE1， 作 EFCD，交 BD 于点 F，由（1）知 EA，EB，EF 两两垂直， 以 E 为原点，EA，EB，EF 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 E（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（0，1，0） ，D（0，1，1） ， 由题意得平面 BCD 的法向量 （1，0，0） ， （1，1，0） ，（1，1，1）
42、 ， 设平面 ABD 的法向量 （x，y，z） ， 则，令 x1，解得 （1，1，2） ， 第 24 页（共 31 页） cos， 由图可知该二面角为锐角， 二面角 ABDC 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）网络购物已经成为人们的一种生活方式某购物平台为了给顾客提供更好的购 物体验，为人驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品 质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有 50 天的试营业 时间，期间只评价不积分，正
43、式营业后，每个好评给商家计 1 分，中评计 0 分，差评计 1 分， 某商家在试营业期间随机抽取 100 单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评 价情况，分别制成了图 1 和图 2 （1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；请根据题目所给 信息完成下面 22 列联表， 并判断能否有 99%的把握认为 “获得好评” 与物流速度有关？ 好评 中评或差评 合计 物流迅速 物流迟缓 30 合计 （2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为 X该商家将试营业 50 天期间的成交情况制成了频数分布表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成 交单数发生的概率 成交单数
44、 36 30 27 天数 10 20 20 第 25 页（共 31 页） （）求 X 的分布列和数学期望； （）平台规定，当积分超过 10000 分时，商家会获得“诚信商家”称号，请估计该商 家从正式营业开始，1 年内（365 天）能否获得“诚信商家”称号 附：K2 P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【分析】 （1）根据频率分布直方图补充完整 22 列联表，然后结合 K2的公式计算结果 即可得解； （2） （）X 的可能取值是 1，0，1，由图 2 中的圆饼图可算出每个 X 的取值所对应
45、的 概率，从而可以得到分布列和数学期望； （）设商家每天的成交量为 Y，则 Y 的取值可能为 27，30，36，由频数分布表可以求 得每个 Y 的取值所对应的概率，然后算出数学期望，并与 10000 比较大小即可得解 【解答】解： （1）由题意可得 好评 中评或 差评 合计 物流迅 速 50 5 55 物流迟 缓 30 15 45 合计 80 20 100 ， 第 26 页（共 31 页） 有 99%的把握认为”获得好评“与物流速度有关 （2） （）由题意可知，X 的可能取值是 1，0，1， 每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为 0.8，0.1，0.1， X 的分布列为 X 1 0 1 P 0.8 0.1 0.1 E（X）10.8+00.1+（1）0.10.7 （）设商家每天的成交量为 Y，则 Y 的取值可能为 27，30，36， Y 的分布列为 Y 27 30 36 P 0.4 0.4 0.2 E（Y）270.4+300.4+360.230， 商家每天能获得的平均积分为 300.721，商家一年能获得的积分为 213657665 10000， 该商家在 1 年内不能获得”诚信商家“称号 【点评】本题考查独立性
