1、若复数 x，其中 i 为虚数单位，则 （ ） A1+i B1i C1+i D1i 2 （5 分）已知集合 Ax|log3x1，Bx|0，则（ ） AABx|1x3 BABx|0x2 CABx|1x2 DABx|0x3 3 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的焦距为 10，点 P（1，2）在 C 的 渐近线上，则 C 的方程是（ ） A B C D 4 （5 分）在等比数列an中，a11，8，则 a6的值为（ ） A4 B8 C16 D32 5 （5 分）如图，ABC 中，ADAB，BEBC，则（ ） A B C D 6 （5 分）设有下列四个命题： p1：若 ab，则 a2b2； p2
2、：若 x0，则 sinxx； p3： “1”是“yf（x）为奇函数”的充要条件； p4： “等比数列an中，a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件 第 2 页（共 25 页） 其中，真命题的是（ ） Ap1，p3 Bp2，p3 Cp2，p4 Dp3，p4 7（5 分） 正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n， 记为 Nn （MODm） ， 例如 251 （MOD6） 如 图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理” ，若执行该程序框图，当输入 N25 时，则 输出 N（ ） A31 B33 C35 D37 8 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（
3、） A B7 C11 D14 9 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上周期为 2 的函数，且 f（x）， 记 g（x）f（x）a，若a1，则函数 g（x）在区间2，3上零点的个数是（ ） A5 B6 C7 D8 10 （5 分）为推广羽毛球运动的发展，某羽毛球比赛允许不同协会的运动员组队参加现 有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 4 名，其中种子选手 2 第 3 页（共 25 页） 名从这 7 名运动员中随机抽取 4 人参加比赛，设事件 A 为“选出的 4 人中恰有 2 名种 子选手且这 2 名种子选手来自同一个协会” ，则 P（A）（ ） A B C D 1
4、1 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 y（x1）与 C 交于 A、B（A 在 x 轴上方）两点，若m，则实数 m 的值为（ ） A B C2 D3 12 （5 分）在四面体 ABCD 中，若 ADDBACCB1，则四面体 ABCD 体积的最大值 是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示现要从中抽取 50 名职工作样本， 若采用分层抽样方法，则 4050 岁年龄段应抽取 人 1
5、4 （5 分）某超市中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满 200 元的顾客均获得一次 抽奖的机会，中奖一次即可获得 5 元红包，没有中奖不得红包现有 4 名顾客均获得一 次抽奖机会， 且每名顾客每次中奖的概率均为 0.4， 记 X 为 4 名顾客获得的红包金额总和， 则 P（10X15） 15 （5 分）数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，an0，3Snanan+1+1，则 a2019 16 （5 分）已知函数 f（x）x2+2ax，g（x）4a2lnx+b，设两曲线 yf（x） ，yg（x）有 公共点 P，且在 P 点处的切线相同，当 a（0，+）时，实数 b 的最大值是 三、解
6、答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知函数 f（x）4sinxcos（x） （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 f（）1，a2，求ABC 面积的最大值 第 4 页（共 25 页） 18 （12 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，ABCD，E，F 为 AB 的三等分点， 且 EFCD将AED 和BFC 分别沿 DE、CF 折起到 A、B 两点重合，记为点 P （1）证明：平面 PCF平面 PE
7、F； （2）若 PFFC，求 PD 与平面 PFC 所成角的正弦值 19 （12 分）已知椭圆 T：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 ，过 F2且与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 T 于 A，B 两点，ABF1的周长为 8 （1）求椭圆 T 的标准方程； （2）已知直线 l1：ykx+m，直线 l2：y2（kx+m） （0m1） 设 l1与椭圆 T 交于 M、 N 两点，l2与圆 C：x2+y2a2交于 P、Q 两点，求的值 20 （12 分）改革开放以来，我国经济持续高速增长如图给出了我国 2003 年至 2012 年第 二产业增加值与第一产业增加值的差值（以下简称为：
8、产业差值）的折线图，记产业差 值为 y（单位：万亿元） （1）求出 y 关于年份代码 t 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析 2003 年至 2012 年我国产业差值的变化情况，并预 测我国产业差值在哪一年约为 34 万亿元； （3）结合折线图，试求出除去 2007 年产业差值后剩余的 9 年产业差值的平均值及方差 （结果精确到 0.1） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：， 样本方差公式：s2（yi）2 第 5 页（共 25 页） 参考数据： yi10.8，（ti） （yi）132，（yi）2211.6 21 （12 分）已知函数 f（x）e2x 3（2x
9、3）2 （1）证明：当 x时，f（x）1； （2）设 g（x）+1n，若存在实数 x1，x2，使得 f（x1）+（2x13）2g（x2） ，求 x2x1的最小值 （参考公式： （e）e） 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为（t 为参数） ，直线 l2的 参数方程为（m 为参数） 设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C （1）写出 C 的普通方程； （2） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
10、 设 13： sin （） ， l3与 C 的交点为 A、B，M 为线段 AB 的中点，求 M 的极径 23已知函数 f（x）|2x+1|+|xa| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若不等式|x2|+|xa|f（x）+m2+m 恒成立，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2019 年山东省德州市高考数学一模试卷（理科）年山东省德州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分把正确答案涂在答题卡上分把正确答案涂在答题卡上 1 （5 分
11、）若复数 x，其中 i 为虚数单位，则 （ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 则共轭复数 1+i 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）已知集合 Ax|log3x1，Bx|0，则（ ） AABx|1x3 BABx|0x2 CABx|1x2 DABx|0x3 【分析】求出集合 A，B 的等价条件，结合交集和并集的定义进行求解判断即可 【解答】Ax|log3x1x|0x3，Bx|0x|1x2， 则 ABx|0x2，ABx|1x3， 故选：B 【点评】求出集合 A，B
12、的等价条件，结合集合的基本运算进行求解是解决本题的关键 3 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的焦距为 10，点 P（1，2）在 C 的 渐近线上，则 C 的方程是（ ） A B C D 【分析】利用双曲线 C：1 的焦距为 10，点 P（1，2）在 C 的渐近线上，可 第 7 页（共 25 页） 确定几何量之间的关系，由此可求双曲线的标准方程 【解答】解：双曲线 C：1 的渐近线方程为 yx 双曲线 C：1 的焦距为 10，点 P（1，2）在 C 的渐近线上 2c10，2ab， c2a2+b2 a25，b220 C 的方程为 故选：C 【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几
13、何性质，正确运用双曲线的几何 性质是关键 4 （5 分）在等比数列an中，a11，8，则 a6的值为（ ） A4 B8 C16 D32 【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出 【解答】解：设等比数列an的公比为 q，a11，8， 8，解得 q2 则 a62532 故选：D 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 5 （5 分）如图，ABC 中，ADAB，BEBC，则（ ） 第 8 页（共 25 页） A B C D 【分析】由平面向量的基本定理得：（）， 得解 【解答】解：（）， 故选：D 【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属简单题 6
14、 （5 分）设有下列四个命题： p1：若 ab，则 a2b2； p2：若 x0，则 sinxx； p3： “1”是“yf（x）为奇函数”的充要条件； p4： “等比数列an中，a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件 其中，真命题的是（ ） Ap1，p3 Bp2，p3 Cp2，p4 Dp3，p4 【分析】根据不等式的性质，结合函数奇偶性的性质，等比数列的性质以及充分条件和 必要条件的定义分别进行点评即可 【解答】解：p1：当 a1，b1 时，满足 ab，则 a2b2；不成立，即命题 p1是假 命题 p2：设 f（x）sinxx，则 f（x）cosx10，即 f（x）是减函数， 若
15、x0，f（x）f（0）sin000，即 sinxx0，则 sinxx 成立，即命题 p2是真 命题； 若1，则 f（x）f（x） ，即 f（x）f（x） ，函数 f（x）是奇函数， 当 f（x）0，满足 f（x）是奇函数，但1 不成立，即“1”是“y f（x）为奇函数”的充要条件错误；即命题 p3是假命题， p4： “等比数列an中，a1a2a3” 第 9 页（共 25 页） 则 a1qa1q2a1， 若 a10， 则 1qq2， 得 0q1，此时q1，即 anan1，数列为递减数列， a10，则 1qq2， 则 q1，此时q1，即 anan1，数列为递减数列，综上等比数列an是递减数 列，
16、若等比数列an是递减数列，则 a1a2a3成立， 即等比数列an中，a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件，故命题 p4 是真命题； 故真命题是 p2，p4， 故选：C 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及不等式的性质，充分条件和必要条件的定 义以及等比数列的性质，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大 7（5 分） 正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n， 记为 Nn （MODm） ， 例如 251 （MOD6） 如 图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理” ，若执行该程序框图，当输入 N25 时，则 输出 N（ ） A31 B33 C35 D37 第 10 页（共 2
17、5 页） 【分析】该程序框图的作用是求被 3 和 5 除后的余数为 1 的数，根据所给的选项，得出 结论 【解答】解：模拟程序的运行，可得 N25， N26 不满足条件 N1（MOD3） ，N27 不满足条件 N1（MOD3） ，N28 满足条件 N1（MOD3） ，不满足条件 N1（MOD5） ，N29 不满足条件 N1（MOD3） ，N30 不满足条件 N1（MOD3） ，N31 满足条件 N1（MOD3） ，满足条件 N1（MOD5） ，输出 N 的值为 31 故选：A 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 循环的方法解答，属于基础题 8 （5 分
18、）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） A B7 C11 D14 【分析】三视图可知该几何体为一个三棱锥，是长方体的一部分，可将该三棱锥补成长 方体，再去求解 【解答】解：由三视图可知该几何体为一个三棱锥，是长方体的一部分， 将此三棱锥补成长方体，易知长方体的体对角线即为外接球直径， 所以 2r，所以 r 所以该几何体外接球的表面积为 411 故选：C 第 11 页（共 25 页） 【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，转化能力， 将四棱锥补成正方体是关键 9 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上周期为 2 的函数，且 f（x）， 记 g
19、（x）f（x）a，若a1，则函数 g（x）在区间2，3上零点的个数是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】根据函数 f（x）的周期性和解析式，作出函数的图象，利用函数零点与方程之 间的关系转化为两个图象交点个数，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解： f （x） 是定义在 R 上周期为 2 的函数， 且 f （x） ， 作出是 f（x）在区间2，3上图象如图： 由 g（x）f（x）a，得 f（x）a， a1， 作出 ya 的图象，由图象知两个函数共有 8 个交点， 即 g（x）的零点个数为 8 个， 故选：D 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点问 第
20、 12 页（共 25 页） 题是解决本题的关键 10 （5 分）为推广羽毛球运动的发展，某羽毛球比赛允许不同协会的运动员组队参加现 有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 4 名，其中种子选手 2 名从这 7 名运动员中随机抽取 4 人参加比赛，设事件 A 为“选出的 4 人中恰有 2 名种 子选手且这 2 名种子选手来自同一个协会” ，则 P（A）（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n35，事件 A 包含的基本事件个数 m6， 由此能求出事件 A 的概率 【解答】解：现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 4 名， 其中种子
21、选手 2 名 从这 7 名运动员中随机抽取 4 人参加比赛， 基本事件总数 n35， 设事件 A 为“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手且这 2 名种子选手来自同一个协会” ， 事件 A 包含的基本事件个数 m6， P（A） 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 11 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 y（x1）与 C 交于 A、B（A 在 x 轴上方）两点，若m，则实数 m 的值为（ ） A B C2 D3 【分析】由题意画出图形，联立方程组求出 A，B 的坐标，进一步得到|AF|，|BF|的长度， 结合
22、m把 m 转化为线段的长度比得答案 【解答】解：如图， 第 13 页（共 25 页） 联立，解得， A 在 x 轴上方， 则|AF|xA+14，|BF|， 由m，得 故选：D 【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数形结合的解题思想方法，考查了 数学转化思想方法，是中档题 12 （5 分）在四面体 ABCD 中，若 ADDBACCB1，则四面体 ABCD 体积的最大值 是（ ） A B C D 【分析】由题意画出图形，取 AB 中点 E，连接 CE，DE，设 AB2x（0x1） ，则 CE DE，可知当平面 ABC平面 ABD 时，四面体体积最大，写出体积公式，利 用导数求得体积最值
23、【解答】解：如图，取 AB 中点 E，连接 CE，DE， 设 AB2x（0x1） ，则 CEDE， 当平面 ABC平面 ABD 时，四面体体积最大， 四面体的体积 V2xxx3 Vx2， 当 x（0，）时，V 为增函数，当 x（，1）时，V 为减函数， 第 14 页（共 25 页） 则当 x时，V 有最大值 Vmax（）3 故选：A 【点评】本题考查四面体的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位
24、置分把答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示现要从中抽取 50 名职工作样本， 若采用分层抽样方法，则 4050 岁年龄段应抽取 15 人 【分析】利用扇形统计图和分层抽样的性质直接求解 【解答】解：某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示 现要从中抽取 50 名职工作样本， 采用分层抽样方法，则 4050 岁年龄段应抽取：5030%15 故答案为：15 【点评】本题考查 4050 岁年龄段应抽取人数的求法，考查扇形统计图和分层抽样的性 质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 14 （5 分）某超市中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满
25、200 元的顾客均获得一次 第 15 页（共 25 页） 抽奖的机会，中奖一次即可获得 5 元红包，没有中奖不得红包现有 4 名顾客均获得一 次抽奖机会， 且每名顾客每次中奖的概率均为 0.4， 记 X 为 4 名顾客获得的红包金额总和， 则 P（10X15） 【分析】利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式直接求解 【解答】解：中奖一次即可获得 5 元红包，没有中奖不得红包现有 4 名顾客均获得一 次抽奖机会， 且每名顾客每次中奖的概率均为 0.4， 记 X 为 4 名顾客获得的红包金额总和， 则 P（10X15） 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查 n
26、次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计 算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 15 （5 分） 数列an的前 n 项和为 Sn， 若 a11， an0， 3Snanan+1+1， 则 a2019 3028 【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出结果 【解答】解：数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，3Snanan+1+1， 当 n1 时， 整理得：3S13a1a1a2+1， 解得：a22， 当 n2 时，3Sn1an1an+1， 得：3anan（an+1an1） ， 由于 an0， 故：an+1an13（常数） 故：数列an的奇数项为首项为 1
27、，公差为 3 的等差数列 则： 数列an的偶数项为首项为 2，公差为 3 的等差数列 ， 所以：3028 故答案为：3028 第 16 页（共 25 页） 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类问题的应用，主要 考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 16 （5 分）已知函数 f（x）x2+2ax，g（x）4a2lnx+b，设两曲线 yf（x） ，yg（x）有 公共点 P，且在 P 点处的切线相同，当 a（0，+）时，实数 b 的最大值是 【分析】由题意可得 f（x0）g（x0） ，f（x0）g（x0） ，联立后把 b 用含有 a 的代 数式表示，再由导数求最值得答案
28、 【解答】解：设 P（x0，y0） ， f（x）2x+2a，g（x） 由题意知，f（x0）g（x0） ，f（x0）g（x0） ， 即， ， 解得 x0a 或 x02a（舍） ， 代入得：b3a24a2lna，a（0，+） ， b6a8alna4a2a（14lna） ， 当 a（0，）时，b0，当 a（，+）时，b0 实数 b 的最大值是 b（） 故答案为： 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法， 训练了利用导数求最值，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明
29、、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知函数 f（x）4sinxcos（x） （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 f（）1，a2，求ABC 面积的最大值 【分析】 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得 f （x）的单调递增区间 第 17 页（共 25 页） （2）由 f（）1，求得 A，利用余弦定理、基本不等式求得 bc 的最大值，再根据， ABC 面积为bcsinA，可得它的最大值 【解答】 解：（1） 函数 f （x） 4sinxcos （x） 4sinx （cosx+sinx） 4 （si
30、n2x+ ） 2sin（2x）+1， 令 2k2x2k+，求得 kxk+，可得函数的增区间为k ，k+，kZ （2）在ABC 中，若 f（）2sin（A）+11，sin（A）0，A a2，ABC 面积为bcsinA 再根据余弦定理可得 a24b2+c22bccosAb2+c2bc2bcbc， bc4（2+） ，ABC 面积为bcsinA2+， 故ABC 面积的最大值为 2+ 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理、基本不等式的应 用，属于基础题 18 （12 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，ABCD，E，F 为 AB 的三等分点， 且 EFCD将AED 和B
31、FC 分别沿 DE、CF 折起到 A、B 两点重合，记为点 P （1）证明：平面 PCF平面 PEF； （2）若 PFFC，求 PD 与平面 PFC 所成角的正弦值 【分析】 （1）推导出四边形 CDEF 是平行四边形，AEDAFC，PEED，PFFC 由 CFDE，得 PEFC，从而 FC面 PEF，由此能证明平面 PCF平面 PEF （2）在平面 PEF 内作 POEF，垂足为 O，取 CD 的中点 M，以 O 为坐标原点，建立 空间直角坐标系 Oxyz，利用向量法能求出 PD 与平面 PFC 所成角的正弦值 第 18 页（共 25 页） 【解答】证明： （1）ABCD，EFCD，四边形
32、CDEF 是平行四边形， AEDAFC， AEDBFC，AEDBFC，AFCBFC90， PEED，PFFC，CFDE，PEFC， PEPFP，FC面 PEF， FC面 PFC，平面 PCF平面 PEF 解： （2）在平面 PEF 内作 POEF，垂足为 O，取 CD 的中点 M， 由（1）知 FC平面 PEF，故 FCPO，PO平面 CDEF， POOM，POOF， PFPE，OEOF，OMFC，OFOM， OP，OF，OM 两两垂直， 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 设 PFFC2，PEF 是等边三角形， P（0，0，） ，F（1，0，0） ，C（1，2，0）
33、 ，D（1，2，0） ， （1，0，） ，（1，2，） ，（1，2，） ， 设 （x，y，z）是平面 PFC 的法向量， 则，取 z1，得 （，0，1） ， 设 PD 与平面 PFC 所成角为 ， 则 sin， PD 与平面 PFC 所成角的正弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角和正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 第 19 页（共 25 页） 19 （12 分）已知椭圆 T：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 ，过 F2且与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 T 于 A，B 两点，ABF
34、1的周长为 8 （1）求椭圆 T 的标准方程； （2）已知直线 l1：ykx+m，直线 l2：y2（kx+m） （0m1） 设 l1与椭圆 T 交于 M、 N 两点，l2与圆 C：x2+y2a2交于 P、Q 两点，求的值 【分析】 （1）由 4a8，即 a2，由 e，可得 c，再求出 b，即可得到椭 圆方程 （2） 联立方程组消 y， 由此利用根的判别式、 韦达定理、 点到直线距离公式， 求出 SMON， 再根据直线和圆的位置求出 SPOQ，即可求出答案 【解答】解： （1）由题意可得 4a8，即 a2，由 e，可得 c， 所以 b1， 椭圆 C 的方程为：+y21， （2）由可得（4k2+1
35、）x2+8kmx+4（m21）0，64k2m216（4k2+1） （m21）0， 即 4k2+1m2， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 又 x1+x2，x1x2， |MN|x1x2|4 点 O 到直线 l1的距离 d1， SMON|MN|d1， 圆 C：x2+y2a2， 第 20 页（共 25 页） 圆 C 的圆心到直线 l2的距离 d2， |PQ|24， SPOQ|PQ|d2， 【点评】本题考查椭圆方程，考查弦长公式，原点到直线的距离，三角形的面积公式， 解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理，是中档题 20 （12 分）改革开放以来，我国经济持续高速增长如图给出了我国 2
36、003 年至 2012 年第 二产业增加值与第一产业增加值的差值（以下简称为：产业差值）的折线图，记产业差 值为 y（单位：万亿元） （1）求出 y 关于年份代码 t 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析 2003 年至 2012 年我国产业差值的变化情况，并预 测我国产业差值在哪一年约为 34 万亿元； （3）结合折线图，试求出除去 2007 年产业差值后剩余的 9 年产业差值的平均值及方差 （结果精确到 0.1） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：， 样本方差公式：s2（yi）2 参考数据： yi10.8，（ti） （yi）132，（yi）2211.6 第
37、 21 页（共 25 页） 【分析】 （1）求出回归系数，求出回归方程即可； （2）求出 的值，代入求值即可； （3）结合折线图求出平均值和方差即可 【解答】解： （1） （1+2+3+9+10）5.5， + 2（4.52+3.52+2.52+1.52+0.52） 82.5 1.6， b 10.81.65.52， 故回归方程是： 1.6t+2； （2）由（1）知， 1.60， 故 2003 年至 2012 年我国产业差值逐年增加， 平均每年增加 1.6 万亿元， 令 1.6t+234，解得：t20， 故预测在 2022 年我国产业差值为 34 万亿元； （3）结合折线图， 2007 年产业差值
38、为 10.8 万亿元， 除去 2007 年（t5 时）产业差值外的 9 年的产业差值平均值为： （1010.810.8）10.8， 又211.6， 故除去 2007 年（t5 时）产业差值外的 9 年的产业差值的方差为： 第 22 页（共 25 页） 211.6（10.810.8）223.5 【点评】本题考查了求回归方程问题，考查求平均值以及方差问题，考查转化思想，是 一道常规题 21 （12 分）已知函数 f（x）e2x 3（2x3）2 （1）证明：当 x时，f（x）1； （2）设 g（x）+1n，若存在实数 x1，x2，使得 f（x1）+（2x13）2g（x2） ，求 x2x1的最小值 （
39、参考公式： （e）e） 【分析】 （1）令 t2x3，问题等价于：当 t0 时，ett210，设函数 u（t）et t21，根据函数的单调性证明即可； （2） 设 f （x1） + （2x13） 2g （x2） m， 求出 x1 ， x22， x2x12 ， （m0） ，令 h（x）2， （x0） ，根据函数的单调性求出其 最小值即可 【解答】解： （1）令 t2x3，当 x时，f（x）1 等价于：当 t0 时，ett210， 设函数 u（t）ett21，则 u（t）et2t，u（t）et2， 故 u（t）在0，ln2）递减，在（ln2，+）递增， 故 u（t）u（ln2）22ln20， 故
40、u（t）在0，+）递增， 故 u（t）u（0）0， 即当 x时，f（x）1； （2）设 f（x1）+（2x13）2g（x2）m， 则+lnm， x1R，则0，即 m0， 故 2x13lnm，lnm， 第 23 页（共 25 页） 故 x1，x22， x2x12， （m0） ， 令 h（x）2， （x0） ， 则 h（x）2， 故 h（x）2+0， 故 h（x）在（0，+）递增，且 h（）0， 当 x时，h（x）0，当 0x时，h（x）0， 故 h（x）在（0，）递减，在（，+）递增， 故 x时，h（x）取最小值，此时 h（）+ln2， 即 x2x1的最小值是+ln2 【点评】本题考查了函数的单
41、调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思 想，是一道综合题 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为（t 为参数） ，直线 l2的 参数方程为（m 为参数） 设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C （1）写出 C 的普通方程； （2） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 13： sin （） ， l3与 C 的交点为 A、B，M 为线段 AB 的中点，求 M 的极径 【分析】 （1
42、）消去 t 可得 l1的普通方程，l2的参数方程消去参数 m 化成普通方程根，l1 与 l2的普通方程消去 k 可得 C 的普通方程； 第 24 页（共 25 页） （2）先把 l3化成普通方程，再与 C 联立得 M 的直角坐标，再化成极坐标可得极径 【解答】解： （1）直线 l1的普通方程为 yk（x2） ， 直线 l2的普通方程为 y，消去 k 得+1， 即 C 的普通方程为+1 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， l3化成普通方程为 x+y1 联立得 7x28x80， x1+x2，y1+y22（x1+x2）， M（，） ， 2（）2+（）2， M 的极径为 【点评】本题考
43、查了简单曲线极坐标方程，属中档题 23已知函数 f（x）|2x+1|+|xa| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若不等式|x2|+|xa|f（x）+m2+m 恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）a1 时函数 f（x）|2x+1|+|x1|，利用分段讨论法去掉绝对值，解对应的 不等式即可； （2）由题意不等式化为|x2|2x+1|m2+m 恒成立， 设 g（x）|x2|2x+1|，求出 g（x）的最大值 g（x）max， 令 g（x）maxm2+m，解关于 m 的不等式即可 【解答】解： （1）a1 时，函数 f（x）|2x+1|+|xa|2x+1|+|x1
44、|， 当 x时，f（x）（2x+1）（x1）3x， 不等式 f（x）3 化为3x3， 第 25 页（共 25 页） 解得 x1，所以1x； 当x1 时，f（x）（2x+1）（x1）x+2， 不等式 f（x）3 化为 x+23， 解得 x1，所以x1； 当 x1 时，f（x）（2x+1）+（x1）3x， 不等式 f（x）3 化为 3x3， 解得 x1，所以 x； 综上，不等式 f（x）3 的解集为x|1x1； （2）由 f（x）|2x+1|+|xa|，不等式为|x2|+|xa|2x+1|+|xa|+m2+m， 即|x2|2x+1|m2+m， 设 g（x）|x2|2x+1|，则 g（x）maxm2+m， 由 g（x）， 所以 g（x）maxg（）， 所以m2+m， 即 2m2+3m50， 解得 m或 m1， 所以实数 m 的取值范围是 m或 m1 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问 题，是中档题
