1、已知集合 Ax|log3x1，Bx|0，则（ ） AABx|1x3 BABx|0x2 CABx|1x2 DABx|0x3 3 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的焦距为 10，点 P（1，2）在 C 的 渐近线上，则 C 的方程是（ ） A B C D 4 （5 分）如图，ABC 中，ADAB，BEBC，则（ ） A B C D 5 （5 分）将函数 ysin2xcos2x 的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数 （ ） A最小正周期为 B关于 x对称 C关于点（，0）对称 D在，上单调递减 第 2 页（共 25 页） 6 （5 分）设有下列四个命题： p1：若 ab，则 a2b
2、2； p2：若 x0，则 sinxx； p3： “1”是“yf（x）为奇函数”的充要条件； p4： “等比数列an中，a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件 其中，真命题的是（ ） Ap1，p3 Bp2，p3 Cp2，p4 Dp3，p4 7（5 分） 正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n， 记为 Nn （MODm） ， 例如 251 （MOD6） 如 图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理” ，若执行该程序框图，当输入 N25 时，则 输出 N（ ） A31 B33 C35 D37 8 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） A B7 C1
3、1 D14 第 3 页（共 25 页） 9 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上周期为 2 的函数，且 f（x）， 记 g（x）f（x）a，若a1，则函数 g（x）在区间2，3上零点的个数是（ ） A5 B6 C7 D8 10 （5 分）已知函数 f（x）ex，其中 e 是自然对数的底数，若 af（log3） ，b f（log） ，cf（2 0.2） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccba Dcab 11 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 y（x1）与 C 交于 A、B（A 在 x 轴上方）两点，若m，则实数 m 的值为（ ） A B C2
4、D3 12 （5 分）在四面体 ABCD 中，若 ADDBACCB1，则四面体 ABCD 体积的最大值 是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6） ，则事件“向上数字 为偶数或向上数字大于 4”发生的概率为 14 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z2xy 的最大值为 15 （5 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知ABC 的面
5、积为 5， cb2，cos，则 a 的值为 16 （5 分）已知函数 f（x）x2+2ax，g（x）4a2lnx+b，设两曲线 yf（x） ，yg（x）有 公共点 P，且在 P 点处的切线相同，当 a（0，+）时，实数 b 的最大值是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤过程或演算步骤 17 （12 分）设数列an的前 n 项和 Sn满足 Snan+1a1，且 a12 （1）求数列an的通项公式； 第 4 页（共 25 页） （2）记数列 bnlog2a1+log2a2+log2an，求数列的前
6、 n 项和 Tn 18 （12 分）改革开放以来，伴随着我国经济持续增长，户均家庭教育投入（户均家庭教育 投入是指一个家庭对家庭成员教育投入的总和）也在不断提高我国某地区 2012 年至 2018 年户均家庭教育投入（单位：千元）的数据如表： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 户均家庭 教育投入 y 3.4 3.8 4.1 4.9 5.3 5.7 6.4 （1）求 y 关于 t 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析 2012 年至 2018 年该地区户均家庭教育投入的变化 情况，并预测 2019
7、年该地区户均家庭教育投入是多少 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 19 （12 分）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1B1C12，A1C12，D，E 分别为棱 A1C1，AA1的中点 （1）证明：B1DCE； （2）若 DECE，求四棱锥 DABB1E 的体积 20 （12 分）已知椭圆 T：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 ，过 F2且与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 T 于 A，B 两点，ABF1的周长为 8 （1）求椭圆 T 的标准方程； 第 5 页（共 25 页） （2）已知直线 l1：ykx+m，直线 l2：y2（kx+m） （0
8、m1） 设 l1与椭圆 T 交于 M、 N 两点，l2与圆 C：x2+y2a2交于 P、Q 两点，求的值 21 （12 分）已知函数 f（x）e2x 3（2x3）2 （1）证明：当 x时，f（x）1； （2）设 g（x）+1n，若存在实数 x1，x2，使得 f（x1）+（2x13）2g（x2） ，求 x2x1的最小值 （参考公式： （e）e） 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为（t 为参数） ，直线 l2的 参数方程为（m 为参数）
9、设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C （1）写出 C 的普通方程； （2） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 13： sin （） ， l3与 C 的交点为 A、B，M 为线段 AB 的中点，求 M 的极径 23已知函数 f（x）|2x+1|+|xa| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若不等式|x2|+|xa|f（x）+m2+m 恒成立，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2019 年山东省德州市高考数学一模试卷（文科）年山东省德州市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一
10、、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分把正确答案涂在答题卡上分把正确答案涂在答题卡上 1 （5 分）若复数 x，其中 i 为虚数单位，则 （ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 则共轭复数 1+i 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）已知集合 Ax|log3x1，Bx|0，则（ ） AABx|1x3 BABx|0x2 CABx|1x2 DABx|0x3 【分析】求出集合 A，B 的等价条件，结合交集和并集
11、的定义进行求解判断即可 【解答】Ax|log3x1x|0x3，Bx|0x|1x2， 则 ABx|0x2，ABx|1x3， 故选：B 【点评】求出集合 A，B 的等价条件，结合集合的基本运算进行求解是解决本题的关键 3 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的焦距为 10，点 P（1，2）在 C 的 渐近线上，则 C 的方程是（ ） A B C D 【分析】利用双曲线 C：1 的焦距为 10，点 P（1，2）在 C 的渐近线上，可 第 7 页（共 25 页） 确定几何量之间的关系，由此可求双曲线的标准方程 【解答】解：双曲线 C：1 的渐近线方程为 yx 双曲线 C：1 的焦距为 10，点
12、P（1，2）在 C 的渐近线上 2c10，2ab， c2a2+b2 a25，b220 C 的方程为 故选：C 【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，正确运用双曲线的几何 性质是关键 4 （5 分）如图，ABC 中，ADAB，BEBC，则（ ） A B C D 【分析】由平面向量的基本定理得：（）， 得解 【解答】解：（）， 故选：D 【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属简单题 5 （5 分）将函数 ysin2xcos2x 的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数 （ ） A最小正周期为 第 8 页（共 25 页） B关于 x对称 C关于点（，0）对称 D在，上单调递减
13、 【分析】根据函数 yAsin（x+）的图象变换规律可得所得函数的解析式，再利用正 弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，得出结论 【解答】解：将函数 ysin2xcos2x2sin（2x）的图象向左平移个单位长 度，所得图象对应的函数的解析式为 y2sin（2x+）2sin（2x+） 故所得图象对应的函数的周期为，故排除 A； 令 x，求得 y2sin（2x+），不是最值，故排除 B； 令 x，求得 y2sin（2x+），故图象不关于点（，0）对称，故排除 C； 在，上，2x+，可得 y2sin（2x+）单调递减，故 D 满 足条件， 故选：D 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+
14、）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单 调性、以及图象的对称性，属于基础题 6 （5 分）设有下列四个命题： p1：若 ab，则 a2b2； p2：若 x0，则 sinxx； p3： “1”是“yf（x）为奇函数”的充要条件； p4： “等比数列an中，a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件 其中，真命题的是（ ） Ap1，p3 Bp2，p3 Cp2，p4 Dp3，p4 【分析】根据不等式的性质，结合函数奇偶性的性质，等比数列的性质以及充分条件和 必要条件的定义分别进行点评即可 【解答】解：p1：当 a1，b1 时，满足 ab，则 a2b2；不成立，即命题 p1是假 第 9 页（
15、共 25 页） 命题 p2：设 f（x）sinxx，则 f（x）cosx10，即 f（x）是减函数， 若 x0，f（x）f（0）sin000，即 sinxx0，则 sinxx 成立，即命题 p2是真 命题； 若1，则 f（x）f（x） ，即 f（x）f（x） ，函数 f（x）是奇函数， 当 f（x）0，满足 f（x）是奇函数，但1 不成立，即“1”是“y f（x）为奇函数”的充要条件错误；即命题 p3是假命题， p4： “等比数列an中，a1a2a3” 则 a1qa1q2a1， 若 a10， 则 1qq2， 得 0q1，此时q1，即 anan1，数列为递减数列， a10，则 1qq2， 则 q
16、1，此时q1，即 anan1，数列为递减数列，综上等比数列an是递减数 列， 若等比数列an是递减数列，则 a1a2a3成立， 即等比数列an中，a1a2a3”是“等比数列an是递减数列”的充要条件，故命题 p4 是真命题； 故真命题是 p2，p4， 故选：C 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及不等式的性质，充分条件和必要条件的定 义以及等比数列的性质，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大 7（5 分） 正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n， 记为 Nn （MODm） ， 例如 251 （MOD6） 如 图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理” ，若执行该程序框图，当输入 N25
17、 时，则 输出 N（ ） 第 10 页（共 25 页） A31 B33 C35 D37 【分析】该程序框图的作用是求被 3 和 5 除后的余数为 1 的数，根据所给的选项，得出 结论 【解答】解：模拟程序的运行，可得 N25， N26 不满足条件 N1（MOD3） ，N27 不满足条件 N1（MOD3） ，N28 满足条件 N1（MOD3） ，不满足条件 N1（MOD5） ，N29 不满足条件 N1（MOD3） ，N30 不满足条件 N1（MOD3） ，N31 满足条件 N1（MOD3） ，满足条件 N1（MOD5） ，输出 N 的值为 31 故选：A 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循
18、环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 循环的方法解答，属于基础题 8 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） 第 11 页（共 25 页） A B7 C11 D14 【分析】三视图可知该几何体为一个三棱锥，是长方体的一部分，可将该三棱锥补成长 方体，再去求解 【解答】解：由三视图可知该几何体为一个三棱锥，是长方体的一部分， 将此三棱锥补成长方体，易知长方体的体对角线即为外接球直径， 所以 2r，所以 r 所以该几何体外接球的表面积为 411 故选：C 【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，转化能力， 将四棱锥补成正方体是关键 9 （
19、5 分）设 f（x）是定义在 R 上周期为 2 的函数，且 f（x）， 记 g（x）f（x）a，若a1，则函数 g（x）在区间2，3上零点的个数是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】根据函数 f（x）的周期性和解析式，作出函数的图象，利用函数零点与方程之 间的关系转化为两个图象交点个数，利用数形结合进行求解即可 第 12 页（共 25 页） 【解答】 解： f （x） 是定义在 R 上周期为 2 的函数， 且 f （x） ， 作出是 f（x）在区间2，3上图象如图： 由 g（x）f（x）a，得 f（x）a， a1， 作出 ya 的图象，由图象知两个函数共有 8 个交点， 即 g（x）的零点
20、个数为 8 个， 故选：D 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点问 题是解决本题的关键 10 （5 分）已知函数 f（x）ex，其中 e 是自然对数的底数，若 af（log3） ，b f（log） ，cf（2 0.2） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccba Dcab 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（x）ex（ex）f（x） ， 则函数 f（x）为奇函数，求出函数的导数分析可得函数 f（x）在 R 上为减函数，据此分 析有 af（log3）f（log23） ，bf（log）f（log25） ，又由 2 0.21log
21、23 log25，结合函数的单调性分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）ex，有 f（x）ex（ex） f（x） ，则函数 f（x）为奇函数， 第 13 页（共 25 页） 又由 f（x）（+ex）0，则函数 f（x）在 R 上为减函数， af（log3）f（log23） ，bf（log）f（log25） ， 又由 2 0.21log 23log25， 则 bac； 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，关键是分析函数 f（x）的奇 偶性与单调性，属于基础题 11 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 y（x1）与 C 交于 A、B（A 在
22、 x 轴上方）两点，若m，则实数 m 的值为（ ） A B C2 D3 【分析】由题意画出图形，联立方程组求出 A，B 的坐标，进一步得到|AF|，|BF|的长度， 结合m把 m 转化为线段的长度比得答案 【解答】解：如图， 联立，解得， A 在 x 轴上方， 则|AF|xA+14，|BF|， 由m，得 故选：D 【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数形结合的解题思想方法，考查了 第 14 页（共 25 页） 数学转化思想方法，是中档题 12 （5 分）在四面体 ABCD 中，若 ADDBACCB1，则四面体 ABCD 体积的最大值 是（ ） A B C D 【分析】由题意画出图形，
23、取 AB 中点 E，连接 CE，DE，设 AB2x（0x1） ，则 CE DE，可知当平面 ABC平面 ABD 时，四面体体积最大，写出体积公式，利 用导数求得体积最值 【解答】解：如图，取 AB 中点 E，连接 CE，DE， 设 AB2x（0x1） ，则 CEDE， 当平面 ABC平面 ABD 时，四面体体积最大， 四面体的体积 V2xxx3 Vx2， 当 x（0，）时，V 为增函数，当 x（，1）时，V 为减函数， 则当 x时，V 有最大值 Vmax（）3 故选：A 【点评】本题考查四面体的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结
24、合思想，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6） ，则事件“向上数字 为偶数或向上数字大于 4”发生的概率为 第 15 页（共 25 页） 【分析】基本事件总数 n6，事件“向上数字为偶数或向上数字大于 4”包含的基本事 件个数 m4，由此能求出事件“向上数字为偶数或向上数字大于 4”发生的概率 【解答】解：抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6） ， 基本事件总数 n6， 事
25、件“向上数字为偶数或向上数字大于 4”包含的基本事件个数 m4， 事件“向上数字为偶数或向上数字大于 4”发生的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 14 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z2xy 的最大值为 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2xy 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可 【解答】解：画出可行域（如下图） ，L：z2xy， 由图可知， 当直线 l 经过点 A 时， z 最大，由解得 A（，） 且最大值为 zmax2 故答案为： 【点评】本
26、小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意 第 16 页（共 25 页） 义求最值，属于基础题 15 （5 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知ABC 的面积为 5， cb2，cos，则 a 的值为 2 【分析】根据二倍角公式计算 cosA，利用面积公式求出 bc，再根据余弦定理列方程求出 a 即可 【解答】解：cosA2cos21，sinA， SbcsinA5，bc15 由余弦定理得 cosA， a244，故 a2 故答案为：2 【点评】本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题 16 （5 分）已知函数 f（x）x
27、2+2ax，g（x）4a2lnx+b，设两曲线 yf（x） ，yg（x）有 公共点 P，且在 P 点处的切线相同，当 a（0，+）时，实数 b 的最大值是 【分析】由题意可得 f（x0）g（x0） ，f（x0）g（x0） ，联立后把 b 用含有 a 的代 数式表示，再由导数求最值得答案 【解答】解：设 P（x0，y0） ， f（x）2x+2a，g（x） 由题意知，f（x0）g（x0） ，f（x0）g（x0） ， 即， ， 解得 x0a 或 x02a（舍） ， 代入得：b3a24a2lna，a（0，+） ， b6a8alna4a2a（14lna） ， 当 a（0，）时，b0，当 a（，+）时，b
28、0 实数 b 的最大值是 b（） 故答案为： 第 17 页（共 25 页） 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法， 训练了利用导数求最值，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）设数列an的前 n 项和 Sn满足 Snan+1a1，且 a12 （1）求数列an的通项公式； （2）记数列 bnlog2a1+log2a2+log2an，求数列的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，
29、即可得到所求； （2） 由对数的运算性质可得 bn1+2+3+nn （n+1） ， 可得2 （ ） ，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和 【解答】解： （1）Snan+1a1，且 a12， n2 时，anSnSn1an+1a1an+a1， 即为 an+12an， 当 n1 时，a22a14， 数列an为首项和公比均为 2 的等比数列， 则 an2n； （2）log2anlog22nn， 则 bnlog2a1+log2a2+log2an1+2+3+nn（n+1） ， 可得2（） ， 则数列的前 n 项和 Tn2（1+） 2（1） 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等
30、比数列的定义和 通项公式，考查数列的裂项相消求和，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题 18 （12 分）改革开放以来，伴随着我国经济持续增长，户均家庭教育投入（户均家庭教育 投入是指一个家庭对家庭成员教育投入的总和）也在不断提高我国某地区 2012 年至 2018 年户均家庭教育投入（单位：千元）的数据如表： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 第 18 页（共 25 页） 户均家庭 教育投入 y 3.4 3.8 4.1 4.9 5.3 5.7 6.4 （1）求 y 关于 t 的线性回归方程； （2）利用（1）
31、中的回归方程，分析 2012 年至 2018 年该地区户均家庭教育投入的变化 情况，并预测 2019 年该地区户均家庭教育投入是多少 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 【分析】 （1）根据所给数据求出相关系数，求出回归方程即可； （2）代入 t 的值，预测 2019 年该地区户均家庭教育投入即可 【解答】解： （1）由所给数据计算得： （1+2+3+4+5+6+7）4， （3.4+3.8+4.1+4.9+5.3+5.7+6.4）4.8， 故9+4+1+0+1+4+928， （ti ） （yi ）14， 故 0.5， 4.80.542.8， 故所求的回归方程是： 0.5t
32、+2.8； （2）由（1）知，b0.50， 故 2012 年至 2018 年该地区户均家庭教育投入逐年增加， 平均每年增加 0.5 千元， 第 19 页（共 25 页） 将 2019 年的年份代号 t8 代入（1）中的方程得： 0.58+2.86.8， 故预测该地区 2019 年户均家庭教育投入为 6.8 千元 【点评】本题考查了求回归方程问题，考查函数代入求值以及转化思想，是一道常规题 19 （12 分）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1B1C12，A1C12，D，E 分别为棱 A1C1，AA1的中点 （1）证明：B1DCE； （2）若 DECE，求四棱锥 DABB1E 的体积 【分
33、析】 （1）推导出 B1DA1C1，AA1B1D，从而 B1D面 ACC1A1，由此能证明 B1D CE （2）过 D 作 DOA1B1，交 A1B1于点 O，推导出 AA1DO，从而 DO面 A1ABB1，推 导出 RtDA1ERtEAC，从而 A1EAE，BB12，由此能求出四棱锥 D ABB1E 的体积 【解答】证明： （1）B1A1B1C1，D 是 A1C1的中点， B1DA1C1， 又 AA1面 A1B1C1，B1D面 A1B1C1，AA1B1D， 又 A1A1C1A1，B1D面 ACC1A1， 又CE面 ACC1A1，B1DCE 解： （2）过 D 作 DOA1B1，交 A1B1于
34、点 O， AA1面 A1B1C1，DO面 A1B1C1， AA1DO，DO面 A1ABB1， RtA1B1D 中，B1D，DO， DECE，A1ED+AEC90，C1A1ECAE90， RtDA1ERtEAC，设 A1EAEx，则，即， 第 20 页（共 25 页） 解得 x，A1EAE，BB12， 四棱锥 DABB1E 的体积： V 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 T：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 ，过 F2且与 x 轴
35、不重合的直线 l 交椭圆 T 于 A，B 两点，ABF1的周长为 8 （1）求椭圆 T 的标准方程； （2）已知直线 l1：ykx+m，直线 l2：y2（kx+m） （0m1） 设 l1与椭圆 T 交于 M、 N 两点，l2与圆 C：x2+y2a2交于 P、Q 两点，求的值 【分析】 （1）由 4a8，即 a2，由 e，可得 c，再求出 b，即可得到椭 圆方程 （2） 联立方程组消 y， 由此利用根的判别式、 韦达定理、 点到直线距离公式， 求出 SMON， 再根据直线和圆的位置求出 SPOQ，即可求出答案 【解答】解： （1）由题意可得 4a8，即 a2，由 e，可得 c， 所以 b1， 椭
36、圆 C 的方程为：+y21， （2）由可得（4k2+1）x2+8kmx+4（m21）0，64k2m216（4k2+1） （m21）0， 即 4k2+1m2， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 第 21 页（共 25 页） 又 x1+x2，x1x2， |MN|x1x2|4 点 O 到直线 l1的距离 d1， SMON|MN|d1， 圆 C：x2+y2a2， 圆 C 的圆心到直线 l2的距离 d2， |PQ|24， SPOQ|PQ|d2， 【点评】本题考查椭圆方程，考查弦长公式，原点到直线的距离，三角形的面积公式， 解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理，是中档题 21 （12 分
37、）已知函数 f（x）e2x 3（2x3）2 （1）证明：当 x时，f（x）1； （2）设 g（x）+1n，若存在实数 x1，x2，使得 f（x1）+（2x13）2g（x2） ，求 x2x1的最小值 （参考公式： （e）e） 【分析】 （1）令 t2x3，问题等价于：当 t0 时，ett210，设函数 u（t）et t21，根据函数的单调性证明即可； （2） 设 f （x1） + （2x13） 2g （x2） m， 求出 x1 ， x22， x2x12 ， （m0） ，令 h（x）2， （x0） ，根据函数的单调性求出其 第 22 页（共 25 页） 最小值即可 【解答】解： （1）令 t2x3
38、，当 x时，f（x）1 等价于：当 t0 时，ett210， 设函数 u（t）ett21，则 u（t）et2t，u（t）et2， 故 u（t）在0，ln2）递减，在（ln2，+）递增， 故 u（t）u（ln2）22ln20， 故 u（t）在0，+）递增， 故 u（t）u（0）0， 即当 x时，f（x）1； （2）设 f（x1）+（2x13）2g（x2）m， 则+lnm， x1R，则0，即 m0， 故 2x13lnm，lnm， 故 x1，x22， x2x12， （m0） ， 令 h（x）2， （x0） ， 则 h（x）2， 故 h（x）2+0， 故 h（x）在（0，+）递增，且 h（）0， 当
39、x时，h（x）0，当 0x时，h（x）0， 故 h（x）在（0，）递减，在（，+）递增， 第 23 页（共 25 页） 故 x时，h（x）取最小值，此时 h（）+ln2， 即 x2x1的最小值是+ln2 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思 想，是一道综合题 请考生在第请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为（t 为参数） ，直线 l2的 参数方程为（m 为参数） 设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时，
40、P 的轨迹为曲线 C （1）写出 C 的普通方程； （2） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 设 13： sin （） ， l3与 C 的交点为 A、B，M 为线段 AB 的中点，求 M 的极径 【分析】 （1）消去 t 可得 l1的普通方程，l2的参数方程消去参数 m 化成普通方程根，l1 与 l2的普通方程消去 k 可得 C 的普通方程； （2）先把 l3化成普通方程，再与 C 联立得 M 的直角坐标，再化成极坐标可得极径 【解答】解： （1）直线 l1的普通方程为 yk（x2） ， 直线 l2的普通方程为 y，消去 k 得+1， 即 C 的普通方程为+1 （2）设 A
41、（x1，y1） ，B（x2，y2） ， l3化成普通方程为 x+y1 联立得 7x28x80， x1+x2，y1+y22（x1+x2）， M（，） ， 第 24 页（共 25 页） 2（）2+（）2， M 的极径为 【点评】本题考查了简单曲线极坐标方程，属中档题 23已知函数 f（x）|2x+1|+|xa| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若不等式|x2|+|xa|f（x）+m2+m 恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）a1 时函数 f（x）|2x+1|+|x1|，利用分段讨论法去掉绝对值，解对应的 不等式即可； （2）由题意不等式化为|x2|2x+1|m
42、2+m 恒成立， 设 g（x）|x2|2x+1|，求出 g（x）的最大值 g（x）max， 令 g（x）maxm2+m，解关于 m 的不等式即可 【解答】解： （1）a1 时，函数 f（x）|2x+1|+|xa|2x+1|+|x1|， 当 x时，f（x）（2x+1）（x1）3x， 不等式 f（x）3 化为3x3， 解得 x1，所以1x； 当x1 时，f（x）（2x+1）（x1）x+2， 不等式 f（x）3 化为 x+23， 解得 x1，所以x1； 当 x1 时，f（x）（2x+1）+（x1）3x， 不等式 f（x）3 化为 3x3， 解得 x1，所以 x； 综上，不等式 f（x）3 的解集为x|1x1； （2）由 f（x）|2x+1|+|xa|，不等式为|x2|+|xa|2x+1|+|xa|+m2+m， 即|x2|2x+1|m2+m， 设 g（x）|x2|2x+1|，则 g（x）maxm2+m， 第 25 页（共 25 页） 由 g（x）， 所以 g（x）maxg（）， 所以m2+m， 即 2m2+3m50， 解得 m或 m1， 所以实数 m 的取值范围是 m或 m1 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问 题，是中档题
