2019年山东省日照市高考数学一模试卷(文科)含详细解答

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资源描述

1、已知集合 A1,2,3,4,B2,4,6,则集合 AB 中元素的个数为( ) A3 B4 C5 D6 2 (5 分)已知复数 za+i,aR,若|z|2,则 a 的值为( ) A1 B C1 D 3 (5 分)已知向量 (+2,) , (,1) ,若 ,则实数 的值为( ) A0 或 3 B3 或 0 C3 D3 4 (5 分)设 a,b(1,+) ,则“ab”是“logab1”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 (5 分)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分 布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条

2、形图,则下列结论中不一定正确的是( ) 注:90 后指 1990 年及以后出生,80 后指 19801989 年之间出生,80 前指 1979 年及以 前出生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 6 (5 分)函数的图象大致为( ) 第 2 页(共 25 页) A B C D 7 (5 分)若变量 x,y 满足约束条件则 zxy 的最大值为( ) A8 B16 C3 D4 8 (5 分)某几何体的三视图如图所示,图中正

3、方形的边长为 2,四条用虚线表示的线段的 长度均相等,则该几何体的表面积为( ) A8 B24 C24+(21) D24+(1) 9 (5 分)赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为周碑算经一书作 序时,介绍了“勾股圆方图” ,亦称“赵爽弦图” (以弦为边长得到的正方形是由 4 个全 等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图” ,赵爽弦图可类似 地构造如图所示的图形,它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一 个大等边三角形,设 DF2AF,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三 角形的概率是( ) 第 3 页(共 25 页)

4、A B C D 10 (5 分)已知 P(1,2)是函数 f(x)Asin(x+) (A0,0)图象的一个最高 点,B,C 是与 P 相邻的两个最低点设BPC,若 tan,则 f(x)的图象对称 中心可以是( ) A (0,0) B (1,0) C () D () 11 (5 分)如图,已知 F1、F2双曲线的左、右焦点,A、B 为双 曲线上关于原点对称的两点,且满足,则双曲线的离心率为 ( ) A B C D 12 (5 分)已知函数 f(x)2cosx (msinx)3x 在(,+)上单调递减,则实数 m 的取值范围是( ) A1,1 B1, C D () 二、填空题:本大题共二、填空题:

5、本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)若函数 f(x)x2+(3a)x+1 为偶函数,则 a 14 (5 分)若 cos(+),则 cos2 15 (5 分) 已知直线 3x4y+a0 与圆 x2+y24x2y+10 相切, 则实数 a 的值为 16 (5 分)如图,四棱锥 PABCD 的底面为矩形,矩形的四个顶点 A,B,C,D 在球 O 第 4 页(共 25 页) 的同一个大圆上,点 P 在球面上,且球的表面积为 16,则四棱锥 PABCD 体积的最大 值为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。

6、第分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答。第题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。题为选考题,考生根据要求作答。 17 (12 分)已知数列an是等差数列,其前 n 项和为 Sn,且 a12,S312 (1)求数列an的通项公式; (2)令 bn2,求数列bn的前 n 项和 Tn 18 (12 分)如图,在三棱锥 PABC 中,ABC 是边长为 2 的等边三角形,PBPC (1)求证:BCPA; (2)若 PA,M 为线段 PC 上一点,且 PM2MC,求三棱锥 P ABM 的体积 19 (12

7、 分)在考试评价中,客观题难度的计算公式为 pi,其中 pi只为第 i 题的难度, Ri为答对该题的人数,N 为参加测试的总人数 现对某校高三年级 120 名学生进行一次测试,共 5 道客观题测试前根据对学生的了解, 预估了每道题的难度,如表所示: 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 Pi 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 第 5 页(共 25 页) 测试后, 从中随机抽取了 10 名学生, 将他们编号后统计各题的作答情况, 如表所示 ( “” 表示答对 “”表示答错) : 题号 学生编号 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (1)根据题中数据,将抽样的 1

8、0 名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入 下表: 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度 并根据上表估计这 120 名学生中第 5 题的实测答对人数; (2)从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人,求恰好有 1 人答对第 5 题的概率; (3)定义统计量 S(P1P1)2+(P2P2)2+(PnPn)2,其中 Pi为 第 i 题的实测难度,Pi为第 i 题的预估难度(i1,2,n) 规定:若 S0.05,则称 该次测试的难度预估合理,否则为不合理判断本次测试的难度预估是否合理 20 (12 分)已知直线 l 的方程为 xmy0,点 F1,F2分别为椭圆 C:+y

9、21 的 左、右焦点,其中 m1 第 6 页(共 25 页) (1)当直线 l 过右焦点 F2时,求直线 l 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围 21 (12 分)已知函数 f(x)(2axlnx)lnx2ax+2 (1)当 a1 时,求曲线 yf(x)在(1,f(1) )处的切线方程; (2)若对任意 x1,+) ,都有 f(x)0,求实数 a 的取值范围 考生在第考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。选修选修 4-

10、4:坐:坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数) , 在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2是圆心为(2,) ,半径 为 1 的圆 (1)求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程; (2)设 M 为曲线 C1上的点,N 为曲线 C2上的点,求|MN|的取值范围 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23设函数 f(x)|xa|+|x+|(a0) (1)若不等式 f(x)|x+|4x 的解集为x|x1,求实数 a 的值; (2)证明:f(x) 第 7 页(共 25 页) 2019 年山东

11、省日照市高考数学一模试卷(文科)年山东省日照市高考数学一模试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分。在每分。在每小题给出的四个选项中,只小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 (5 分)已知集合 A1,2,3,4,B2,4,6,则集合 AB 中元素的个数为( ) A3 B4 C5 D6 【分析】利用并集定义直接求解 【解答】解:集合 A1,2,3,4,B2,4,6, AB1,2,3,4,6, 集合 AB 中元素的个数为 5 个 故选:C 【点评

12、】本题考查并集中元素个数的求法,考查并集定义等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 2 (5 分)已知复数 za+i,aR,若|z|2,则 a 的值为( ) A1 B C1 D 【分析】根据复数求模公式计算即可 【解答】解:za+i,aR, 则|z|2, 解得:a, 故选:D 【点评】本题考查了复数求模问题,考查复数的运算,是一道常规题 3 (5 分)已知向量 (+2,) , (,1) ,若 ,则实数 的值为( ) A0 或 3 B3 或 0 C3 D3 【分析】根据得,进行数量积的坐标运算即可求出实数 的值 【解答】解:; ; 解得 3,或 0 第 8 页(共 25 页) 故选:B 【点评

13、】考查向量垂直的充要条件,向量数量积的坐标运算 4 (5 分)设 a,b(1,+) ,则“ab”是“logab1”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可 【解答】解:a,b(1,+) , ablogab1, logab1ab, ab 是 logab1 的充分必要条件, 故选:C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法是解决本题的关 键 5 (5 分)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分 布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分

14、布条形图,则下列结论中不一定正确的是( ) 注:90 后指 1990 年及以后出生,80 后指 19801989 年之间出生,80 前指 1979 年及以 前出生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条 形图得到:互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后不一定比 80 后多 【解答】解:在 A 中,由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联

15、网行业从业人 第 9 页(共 25 页) 员中 90 后占 56%,故 A 正确; 在 B 中,由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形 图得到: 56%39.6%22.176%20%, 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20%,故 B 正确; 在 C 中,由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形 图得到: 137%56%9.52% 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多,故 C 正确; 在 D 中,由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形 图得到: 互联网行业中从事技术岗

16、位的人数 90 后不一定比 80 后多,故 D 错误 故选:D 【点评】本题考查命题真假的判断,考查饼状图、条形图的性质等基础知识,考查运算 求解能力,是基础题 6 (5 分)函数的图象大致为( ) A B C D 【分析】由 x时,+,排除 C,D;再由导数研究函数的单调 性即可求得答案 【解答】解:当 x时,+,由此排除 C,D; 当 x0 时,f(x)lnx+,f(x), 第 10 页(共 25 页) 当 x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递减,当 x(1,+)时,f(x)0,f (x)单调递增 图象 A 符合 故选:A 【点评】本题考查函数的图象,考查利用导数研究函数的单调性,是

17、中档题 7 (5 分)若变量 x,y 满足约束条件则 zxy 的最大值为( ) A8 B16 C3 D4 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优 解,把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解:由约束条件作出可行域如图, 化 zxy 为 yxz, 由图可知,当直线 yxz 过 A(4,0)时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最大值为 4 故选:D 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题 8 (5 分)某几何体的三视图如图所示,图中正方形的边长为 2,四条用虚线表示的线段的 长度均相等,则该几何体的表面积为( ) 第 11

18、 页(共 25 页) A8 B24 C24+(21) D24+(1) 【分析】 由几何体的三视图得该几何体是棱长为 2 的正方体去掉一个底面半径为 1 高为 2 的圆锥,由此能求出该几何体的表面积 【解答】解:由几何体的三视图得该几何体是棱长为 2 的正方体去掉一个底面半径为 1 高为 2 的圆锥,如图, 该几何体的表面积: S622r2+rl 2412+ 24+() 故选:D 【点评】本题考查几何体的表面积的求法,考查几何体的三视图等基础知识,考查运算 求解能力、空间想象能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,是中档题 9 (5 分)赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为

19、周碑算经一书作 序时,介绍了“勾股圆方图” ,亦称“赵爽弦图” (以弦为边长得到的正方形是由 4 个全 等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图” ,赵爽弦图可类似 地构造如图所示的图形,它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一 个大等边三角形,设 DF2AF,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三 角形的概率是( ) A B C D 【分析】设 DF2AF2,由余弦定理求出 AC,由几何概型得:在大等边三角形 第 12 页(共 25 页) 中随机取一点,则此点取自小等边三角形的概率是 p 【解答】解:设 DF2AF2,则 AC, SDEF, 由

20、几何概型得: 在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形的概率是: p 故选:B 【点评】本题考查概率的求法,考查余弦定理、几何概型等基础知识,考查运算求解能 力,是中档题 10 (5 分)已知 P(1,2)是函数 f(x)Asin(x+) (A0,0)图象的一个最高 点,B,C 是与 P 相邻的两个最低点设BPC,若 tan,则 f(x)的图象对称 中心可以是( ) A (0,0) B (1,0) C () D () 【分析】根据题意,利用三角函数的定义可求 BC 的值,再求出 、A 和 的值,写出 f (x)的解析式,从而求出 f(x)图象的一个对称中心 【解答】解:P( 1,2)

21、是函数 f(x)Asin(x+) (0)图象的一个最高点, B,C 是与 P 相邻的两个最低点,如图所示; A2, BPC,若 tan, 第 13 页(共 25 页) ,解得:BC6, T6,则 ; 2sin(1+)2,可得:1+,解得:, f(x)2sin(x+) , 令x+k,kZ,可得:x3k,kZ, 可得当 k1 时,x,即 f(x)的图象对称中心可以是(,0) 故选:D 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,考查了数形结合思想的应用, 属于中档题 11 (5 分)如图,已知 F1、F2双曲线的左、右焦点,A、B 为双 曲线上关于原点对称的两点,且满足,则双曲线的离心率为

22、( ) A B C D 【分析】运用锐角三角函数的定义可得,|AF1|2csin,|BF1|2ccos,取左焦点 F1, 第 14 页(共 25 页) 连接 AF1, BF1, 可得四边形 AF2BF1为矩形, 由双曲线的定义和矩形的性质, 可得 2c|cos sin|2a,由离心率公式求解即可 【解答】解:F1、F2双曲线的左、右焦点,在 RtABF1中, |OF1|c, |AB|2c, 在直角三角形 ABF1中,ABF1,可得|AF1|2csin,|BF1|2ccos, 取左焦点 F1,连接 AF1,BF1,可得四边形 AF2BF1为矩形, |BF2|AF2|AF1|AF2|2c|coss

23、in|2a, e, , cos(+)cos, e, 故选:A 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定 义,考查化简整理的运算能力,属于中档题 12 (5 分)已知函数 f(x)2cosx (msinx)3x 在(,+)上单调递减,则实数 m 的取值范围是( ) A1,1 B1, C D () 【分析】把已知函数解析式变形,由 f(x)在(,+)上单调递减,可得 f(x) 0 在(,+)上恒成立,还原后分离参数,然后分类求解得答案 【解答】解:由于函数 f(x)2cosx (msinx)3x2mcosxsin2x3x 在(,+ 第 15 页(共 25 页)

24、)上单调递减, 得 f(x)2msinx2cos2x30 在(,+)上恒成立, 故有 4sin2x2msinx50, 令 tsinx, 即 4t22mt50 在 t1,1上恒成立, 2mt4t25 在 t1,1上恒成立, 当 t0 时,对于任意 mR 都成立; 当 t0 时,有 m2t, 2t在(0,1上为增函数,则 m; 当 t0 时,有 m2t, 2t在1,0)上为增函数,则 m 实数 m 的取值范围是 故选:C 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查数学转化思想方法及分类讨论的数 学思想方法,是中档题 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分

25、,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)若函数 f(x)x2+(3a)x+1 为偶函数,则 a 3 【分析】根据偶函数的定义,构造关于 a 的方程组,容易求出 a 的值 【解答】解:f(x)为偶函数,f(x)f(x) , x2(3a)x+1x2+(3a)x+1, a3 故答案为:3 【点评】本题考查函数的奇偶性,根据奇偶性的定义求出 a 值,是解决该类问题的关键 14 (5 分)若 cos(+),则 cos2 【分析】直接利用二倍角的余弦函数公式化简计算即可求出值 【解答】解:cos(+), , 第 16 页(共 25 页) cos212 故答案为: 【点评】本题考查了二倍角的余弦函数公式

26、,是基础题 15 (5 分)已知直线 3x4y+a0 与圆 x2+y24x2y+10 相切,则实数 a 的值为 12 或 8 【分析】将圆方程化为标准方程,找出圆心坐标与半径 r,利用点到直线的距离公式求出 圆心到直线的距离 d,根据直线与圆相切时 dr 列出关于 a 的方程,求出方程的解即可 得到 a 的值 【解答】解:将圆方程化为标准方程得: (x2)2+(y1)24, 圆心(2,1) ,r2, 直线 3x4y+a0 与圆 x24x+y22y+10 相切, 圆心到直线的距离 dr,即2, 整理得:|a+2|10,即 a+210 或 a+210, 解得:a12 或 8 故答案为:12 或 8

27、 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,以及圆的标准方程,直线与圆的位置关系由 d 与 r 的大小关系来判断,当 dr 时,直线与圆相交;当 dr 时,直线与圆相切;当 d r 时,直线与圆相离(其中 d 表示圆心到直线的距离,r 表示圆的半径) 16 (5 分)如图,四棱锥 PABCD 的底面为矩形,矩形的四个顶点 A,B,C,D 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上,且球的表面积为 16,则四棱锥 PABCD 体积的最大 值为 【分析】先利用基本不等式求出矩形 ABCD 的面积的最大值,然后由 PO平面 ABCD 第 17 页(共 25 页) 时,四棱锥 PABCD 的高取得最大值时

28、,四棱锥 PABCD 的体积取到最大值,利用锥 体体积公式可得出答案 【解答】解:因为球 O 的表面积是 16,所以 S4R216,解得 R2 设矩形 ABCD 的长宽分别为 x、y,则 x2+y2(2R)22xy, 当 且 仅 x y 时 上 式 取 等 号 , 即 底 面 为 正 方 形 时 , 底 面 面 积 最 大 , 此 时 因为点 P 在球面上,所以当 PO底面 ABCD 时,POR, 即 hmaxR2,此时四棱锥 PABCD 体积有最大值为 故答案为: 【点评】本题考查球的内接几何体,考查几何体体积的最值问题,解决本题的关键在于 找出相应点的位置,考查计算能力与推理能力,属于中等

29、题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分。解答应写岀文字说明、证明分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答。第题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。题为选考题,考生根据要求作答。 17 (12 分)已知数列an是等差数列,其前 n 项和为 Sn,且 a12,S312 (1)求数列an的通项公式; (2)令 bn2,求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 (1)设数列an是公差为 d 的等差数列,运用等差数列的通项公式和求和公式, 解方程可得公差,即可得到所求通项公式; (2)

30、求得 bn24n,再由等比数列的求和公式,计算可得所求和 【解答】解: (1)设数列an是公差为 d 的等差数列,由 a12,S312, 可得 32+32d12,解得 d2, 所以 an2+2(n1)2n; (2)bn24n,所以数列bn是首项为 4,公比 q4 的等比数列, 所以数列bn的前 n 项和 Tn(4n1) 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和 运算能力,属于基础题 18 (12 分)如图,在三棱锥 PABC 中,ABC 是边长为 2 的等边三角形,PBPC 第 18 页(共 25 页) (1)求证:BCPA; (2)若 PA,M 为线段 P

31、C 上一点,且 PM2MC,求三棱锥 P ABM 的体积 【分析】 (1)取 BC 中点 E,连接 PE,AE,可得 PEBC,AEBC,再由线面垂直的判 定可得 BC平面 PAE,则 BCPA; (2)由PAB90,得 PAAB,结合(1)得到 PA平面 ABC,再由 M 为线段 PC 上一点, 且 PM2MC, 过 M 作 MOAC, 垂直为 O, 则 MO平面 ABC, 且 MO, 然后利用三棱锥 PABC 的体积减去三棱锥 MABC 的体积求三棱锥 PABM 的体积 【解答】 (1)证明:取 BC 中点 E,连接 PE,AE, PBPC,PEBC, 又,ABC 是等边三角形,AEBC,

32、 而 PEAEE,BC平面 PAE,则 BCPA; (2)解:PAB90,PAAB, 又 BCPA,ABBCB, PA平面 ABC, M 为线段 PC 上一点,且 PM2MC,过 M 作 MOAC,垂直为 O, 则 MO平面 ABC, 且 MO PA,ABC 是边长为 2 的等边三角形, VPABMVPABCVMABC 第 19 页(共 25 页) 【点评】本题考查空间中直线与平面,直线与平面位置关系的判定,考查空间想象能力 与思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题 19 (12 分)在考试评价中,客观题难度的计算公式为 pi,其中 pi只为第 i 题的难度, Ri为答对该题的人数

33、,N 为参加测试的总人数 现对某校高三年级 120 名学生进行一次测试,共 5 道客观题测试前根据对学生的了解, 预估了每道题的难度,如表所示: 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 Pi 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后, 从中随机抽取了 10 名学生, 将他们编号后统计各题的作答情况, 如表所示 ( “” 表示答对 “”表示答错) : 题号 学生编号 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第 20 页(共 25 页) 10 (1)根据题中数据,将抽样的 10 名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入 下表: 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实

34、测难度 并根据上表估计这 120 名学生中第 5 题的实测答对人数; (2)从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人,求恰好有 1 人答对第 5 题的概率; (3)定义统计量 S(P1P1)2+(P2P2)2+(PnPn)2,其中 Pi为 第 i 题的实测难度,Pi为第 i 题的预估难度(i1,2,n) 规定:若 S0.05,则称 该次测试的难度预估合理,否则为不合理判断本次测试的难度预估是否合理 【分析】 (1)每道题实测的答对人数及相应的实测难度列表,由此能估计 120 人中答对 第 5 题的人数 (2)记编号为 i 的学生为 Ai(i1,2,3,4,5) ,从这 5 人中随机抽

35、取 2 人,不同的抽 取方法有 10 种 利用列举法能求出从抽样的 5 名学生中随机抽取 2 名恰好有 1 人答对第 5 题的概率 (3)将抽样的 10 名学生中第 i 题的实测难度,作为 120 名学生第 i 题的实测难度求出 方差,能得到该次测试的难度预估是合理的 【解答】解: (1)每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表: 题 号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 (3 分) 所以,估计 120 人中有 1200.224 人答对第 5 题 (2)记编号为 i 的学生为 Ai(i1,2,3,4,5) , 从这 5 人

36、中随机抽取 2 人,不同的抽取方法有 n10 种 其中恰好有 1 人答对第 5 题的抽取方法为: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,A4) , (A2,A5) , (A3,A5) , (A4,A5) ,共 6 种 第 21 页(共 25 页) 所以,从抽样的 5 名学生中随机抽取 2 名恰好有 1 人答对第 5 题的概率为 P (3)将抽样的 10 名学生中第 i 题的实测难度,作为 120 名学生第 i 题的实测难度 (0.80.9)2+(0.80.8)2+(0.70.7)2+(0.70.6)2+(0.20.4)20.012 因为 S0.0120.05,所以,该次测试的难度预估

37、是合理的 【点评】本题考查统计表、概率、方差的求法及应用,考查列举法、古典概型等基础知 识,考查运算求解能力,是基础题 20 (12 分)已知直线 l 的方程为 xmy0,点 F1,F2分别为椭圆 C:+y21 的 左、右焦点,其中 m1 (1)当直线 l 过右焦点 F2时,求直线 l 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围 【分析】 (1)根据直线过右焦点 F2,代值计算即可求出 m 的值,可直线方程, (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由,根据韦达定理结合向量的运算,以 及原点 O 在以线

38、段 AB 为直径的圆内,可得 x1x2+y1y2(m2+1)(m24)0,解 得即可求出 m 的范围 【解答】解: (1)直线经过 F2(,0) ,得 m22 又m1,m, 故直线的方程为 x2y10, (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由消去 x,得 2y2+my+10, y1+y2,y1y2 由m28(1)0,得 m28,解得2m2 第 22 页(共 25 页) 原点 O 在以线段 AB 为直径的圆内, x1x2+y1y20 x1x2+y1y2(my1+) (my2+)+y1y2(m2+1)(m24)0 m240,解得2m2 又 m1, 1m2, 所以实数 m 的取值范围

39、是(1,2) 【点评】本题考查了直线方程,椭圆的简单性质、向量的运算、点与圆的位置关系等基 础知识与基本技能方法,考查了运算求解能力,转化与化归能力,属于中档题 21 (12 分)已知函数 f(x)(2axlnx)lnx2ax+2 (1)当 a1 时,求曲线 yf(x)在(1,f(1) )处的切线方程; (2)若对任意 x1,+) ,都有 f(x)0,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)代入 a 的值,求出函数的导数,求出切线方程即可; (2)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,结合 f(x)0,确 定 a 的范围即可 【解答】解: (1)当 a1 时,f(x)(2x

40、lnx)lnx2x+2, 函数 f(x)的定义域为(0,+) , f(x)2(1)lnx, 所以 f(1)0,又 f(1)0, 所以曲线 yf(x)在(1,f(1) )处的切线方程为 y0 (2)f(x)lnx, 由题意知 f(1)0,则有2a+20,所以 a1 若 a0,则当 x1 时,f(x)0,f(x)在(1,+)上单调递减, 而 f(e2)2ae220,不满足 f(x)0 若 0a1, 当 1x时,f(x)0,f(x)在(1,)上单调递减, 当 x时,f(x)0,f(x)在(,+)上单调递增, 第 23 页(共 25 页) 故 f(x)在1,+)上的最小值为 f() , 由题意得 f(

41、)(2+lna)lna0,解得 a, 所以a1 若 a1,则当 x1 时,f(x)0,f(x)在(1,+)上单调递增,又 f(1)0, 故 x1 时,f(x)0 恒成立 a1 时,01, 当 0x时,f(x)0,f(x)在(0,)上单调递增, 当x1 时,f(x)0,f(x)在(,1)上单调递减, 当 x1 时,f(x)0,f(x)在(1,+)上单调递增, 故 f(x)在1,+)上的最小值为 f(1) , 由题意得 f(1)2(1a)0,无解, 综上,实数 a 的取值范围是,1 【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转 化思想,是一道综合题 考生在第考生在第

42、 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。选修选修 4-4:坐:坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数) , 在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2是圆心为(2,) ,半径 为 1 的圆 (1)求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程; (2)设 M 为曲线 C1上的点,N 为曲线 C2上的点,求|MN|的取值范围 【分析】 (1)消去参数 可得 C1 的普通方程为+y21;先得 C2(2,)的直角 坐标为(0,2

43、) ,在写圆的直角坐标方程; (2)先求 C1上的动点 M 与圆心 C2的距离得取值范围,再加上圆的半径 1 可得 【解答】解: (1)消去参数 可得 C1 的普通方程为+y21,(2 分) 第 24 页(共 25 页) 曲线 C2 是圆心为(2,) ,半径为 1 的圆,曲线 C2 的圆心的直角坐标为(0,2) , C2 的直角坐标方程为 x2+(y2)21; (5 分) (2)设 M(3cos,sin) ,则|MC2| ,(8 分) 1sin1,1|MC2|, 由题意结合图象可得|MN|的最小值为 110,最大值为+1, |MN|的取值范围为0,+1(10 分) 【点评】本题考查了简单曲线的

44、极坐标方程,属中档题 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23设函数 f(x)|xa|+|x+|(a0) (1)若不等式 f(x)|x+|4x 的解集为x|x1,求实数 a 的值; (2)证明:f(x) 【分析】 (1)由题意可得|xa|4x,分类讨论去掉绝对值,分别求得 x 的范围即可求出 a 的值 (2)由条件利用绝对值三角不等式,基本不等式证得 f(x)2 【解答】解: (1)由 f(x)|x+|4x,可得|xa|4x, (a0) , 当 xa 时,xa4x,解得 x, 这与 xa0 矛盾,故不成立, 当 xa 时,ax4x,解得 x, 又不等式的解集是x|x1,故1,解得 a5 (2)证明:f(x)|xa|+|x+|xa(x+)|a+|, a0, |a+|a+22,当且仅当 a时取等号, 故 f(x) 第 25 页(共 25 页) 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,基本不等式,绝对值不等式的解法,体现了 转化、分类讨论的数学思想,属于基础题

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