1、已知集合 A1，2，3，4，B2，4，6，则集合 AB 中元素的个数为（ ） A3 B4 C5 D6 2 （5 分）已知复数 za+i，aR，若|z|2，则 a 的值为（ ） A1 B C1 D 3 （5 分）已知向量 （+2，） ， （，1） ，若 ，则实数 的值为（ ） A0 或 3 B3 或 0 C3 D3 4 （5 分）设 a，b（1，+） ，则“ab”是“logab1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分 布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条
2、形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生，80 前指 1979 年及以 前出生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 6 （5 分）函数的图象大致为（ ） 第 2 页（共 25 页） A B C D 7 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件则 zxy 的最大值为（ ） A8 B16 C3 D4 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，图中正
3、方形的边长为 2，四条用虚线表示的线段的 长度均相等，则该几何体的表面积为（ ） A8 B24 C24+（21） D24+（1） 9 （5 分）赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为周碑算经一书作 序时，介绍了“勾股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得到的正方形是由 4 个全 等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）类比“赵爽弦图” ，赵爽弦图可类似 地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一 个大等边三角形，设 DF2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三 角形的概率是（ ） 第 3 页（共 25 页）
4、A B C D 10 （5 分）已知 P（1，2）是函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）图象的一个最高 点，B，C 是与 P 相邻的两个最低点设BPC，若 tan，则 f（x）的图象对称 中心可以是（ ） A （0，0） B （1，0） C （） D （） 11 （5 分）如图，已知 F1、F2双曲线的左、右焦点，A、B 为双 曲线上关于原点对称的两点，且满足，则双曲线的离心率为 （ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）2cosx （msinx）3x 在（，+）上单调递减，则实数 m 的取值范围是（ ） A1，1 B1， C D （） 二、填空题：本大题共二、填空题：
5、本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）若函数 f（x）x2+（3a）x+1 为偶函数，则 a 14 （5 分）若 cos（+），则 cos2 15 （5 分） 已知直线 3x4y+a0 与圆 x2+y24x2y+10 相切， 则实数 a 的值为 16 （5 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面为矩形，矩形的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 第 4 页（共 25 页） 的同一个大圆上，点 P 在球面上，且球的表面积为 16，则四棱锥 PABCD 体积的最大 值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。
6、第分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17 （12 分）已知数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 a12，S312 （1）求数列an的通项公式； （2）令 bn2，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，ABC 是边长为 2 的等边三角形，PBPC （1）求证：BCPA； （2）若 PA，M 为线段 PC 上一点，且 PM2MC，求三棱锥 P ABM 的体积 19 （12
7、 分）在考试评价中，客观题难度的计算公式为 pi，其中 pi只为第 i 题的难度， Ri为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数 现对某校高三年级 120 名学生进行一次测试，共 5 道客观题测试前根据对学生的了解， 预估了每道题的难度，如表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 Pi 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 第 5 页（共 25 页） 测试后， 从中随机抽取了 10 名学生， 将他们编号后统计各题的作答情况， 如表所示 （ “” 表示答对 “”表示答错） ： 题号 学生编号 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （1）根据题中数据，将抽样的 1
8、0 名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入 下表： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度 并根据上表估计这 120 名学生中第 5 题的实测答对人数； （2）从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人，求恰好有 1 人答对第 5 题的概率； （3）定义统计量 S（P1P1）2+（P2P2）2+（PnPn）2，其中 Pi为 第 i 题的实测难度，Pi为第 i 题的预估难度（i1，2，n） 规定：若 S0.05，则称 该次测试的难度预估合理，否则为不合理判断本次测试的难度预估是否合理 20 （12 分）已知直线 l 的方程为 xmy0，点 F1，F2分别为椭圆 C：+y
9、21 的 左、右焦点，其中 m1 第 6 页（共 25 页） （1）当直线 l 过右焦点 F2时，求直线 l 的方程； （2）设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）（2axlnx）lnx2ax+2 （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若对任意 x1，+） ，都有 f（x）0，求实数 a 的取值范围 考生在第考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修选修 4-
10、4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数） ， 在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2是圆心为（2，） ，半径 为 1 的圆 （1）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设 M 为曲线 C1上的点，N 为曲线 C2上的点，求|MN|的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|xa|+|x+|（a0） （1）若不等式 f（x）|x+|4x 的解集为x|x1，求实数 a 的值； （2）证明：f（x） 第 7 页（共 25 页） 2019 年山东
11、省日照市高考数学一模试卷（文科）年山东省日照市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每分。在每小题给出的四个选项中，只小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 A1，2，3，4，B2，4，6，则集合 AB 中元素的个数为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】利用并集定义直接求解 【解答】解：集合 A1，2，3，4，B2，4，6， AB1，2，3，4，6， 集合 AB 中元素的个数为 5 个 故选：C 【点评
12、】本题考查并集中元素个数的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 2 （5 分）已知复数 za+i，aR，若|z|2，则 a 的值为（ ） A1 B C1 D 【分析】根据复数求模公式计算即可 【解答】解：za+i，aR， 则|z|2， 解得：a， 故选：D 【点评】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题 3 （5 分）已知向量 （+2，） ， （，1） ，若 ，则实数 的值为（ ） A0 或 3 B3 或 0 C3 D3 【分析】根据得，进行数量积的坐标运算即可求出实数 的值 【解答】解：； ； 解得 3，或 0 第 8 页（共 25 页） 故选：B 【点评
13、】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算 4 （5 分）设 a，b（1，+） ，则“ab”是“logab1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可 【解答】解：a，b（1，+） ， ablogab1， logab1ab， ab 是 logab1 的充分必要条件， 故选：C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关 键 5 （5 分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分 布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分
14、布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生，80 前指 1979 年及以 前出生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条 形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后不一定比 80 后多 【解答】解：在 A 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联
15、网行业从业人 第 9 页（共 25 页） 员中 90 后占 56%，故 A 正确； 在 B 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形 图得到： 56%39.6%22.176%20%， 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20%，故 B 正确； 在 C 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形 图得到： 137%56%9.52% 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多，故 C 正确； 在 D 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形 图得到： 互联网行业中从事技术岗
16、位的人数 90 后不一定比 80 后多，故 D 错误 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 6 （5 分）函数的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由 x时，+，排除 C，D；再由导数研究函数的单调 性即可求得答案 【解答】解：当 x时，+，由此排除 C，D； 当 x0 时，f（x）lnx+，f（x）， 第 10 页（共 25 页） 当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x（1，+）时，f（x）0，f （x）单调递增 图象 A 符合 故选：A 【点评】本题考查函数的图象，考查利用导数研究函数的单调性，是
17、中档题 7 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件则 zxy 的最大值为（ ） A8 B16 C3 D4 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 化 zxy 为 yxz， 由图可知，当直线 yxz 过 A（4，0）时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 4 故选：D 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为 2，四条用虚线表示的线段的 长度均相等，则该几何体的表面积为（ ） 第 11
18、 页（共 25 页） A8 B24 C24+（21） D24+（1） 【分析】 由几何体的三视图得该几何体是棱长为 2 的正方体去掉一个底面半径为 1 高为 2 的圆锥，由此能求出该几何体的表面积 【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是棱长为 2 的正方体去掉一个底面半径为 1 高为 2 的圆锥，如图， 该几何体的表面积： S622r2+rl 2412+ 24+（） 故选：D 【点评】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算 求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题 9 （5 分）赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为
19、周碑算经一书作 序时，介绍了“勾股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得到的正方形是由 4 个全 等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）类比“赵爽弦图” ，赵爽弦图可类似 地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一 个大等边三角形，设 DF2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三 角形的概率是（ ） A B C D 【分析】设 DF2AF2，由余弦定理求出 AC，由几何概型得：在大等边三角形 第 12 页（共 25 页） 中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 p 【解答】解：设 DF2AF2，则 AC， SDEF， 由
20、几何概型得： 在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是： p 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能 力，是中档题 10 （5 分）已知 P（1，2）是函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）图象的一个最高 点，B，C 是与 P 相邻的两个最低点设BPC，若 tan，则 f（x）的图象对称 中心可以是（ ） A （0，0） B （1，0） C （） D （） 【分析】根据题意，利用三角函数的定义可求 BC 的值，再求出 、A 和 的值，写出 f （x）的解析式，从而求出 f（x）图象的一个对称中心 【解答】解：P（ 1，2）
21、是函数 f（x）Asin（x+） （0）图象的一个最高点， B，C 是与 P 相邻的两个最低点，如图所示； A2， BPC，若 tan， 第 13 页（共 25 页） ，解得：BC6， T6，则 ； 2sin（1+）2，可得：1+，解得：， f（x）2sin（x+） ， 令x+k，kZ，可得：x3k，kZ， 可得当 k1 时，x，即 f（x）的图象对称中心可以是（，0） 故选：D 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合思想的应用， 属于中档题 11 （5 分）如图，已知 F1、F2双曲线的左、右焦点，A、B 为双 曲线上关于原点对称的两点，且满足，则双曲线的离心率为
22、（ ） A B C D 【分析】运用锐角三角函数的定义可得，|AF1|2csin，|BF1|2ccos，取左焦点 F1， 第 14 页（共 25 页） 连接 AF1， BF1， 可得四边形 AF2BF1为矩形， 由双曲线的定义和矩形的性质， 可得 2c|cos sin|2a，由离心率公式求解即可 【解答】解：F1、F2双曲线的左、右焦点，在 RtABF1中， |OF1|c， |AB|2c， 在直角三角形 ABF1中，ABF1，可得|AF1|2csin，|BF1|2ccos， 取左焦点 F1，连接 AF1，BF1，可得四边形 AF2BF1为矩形， |BF2|AF2|AF1|AF2|2c|coss
23、in|2a， e， ， cos（+）cos， e， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定 义，考查化简整理的运算能力，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）2cosx （msinx）3x 在（，+）上单调递减，则实数 m 的取值范围是（ ） A1，1 B1， C D （） 【分析】把已知函数解析式变形，由 f（x）在（，+）上单调递减，可得 f（x） 0 在（，+）上恒成立，还原后分离参数，然后分类求解得答案 【解答】解：由于函数 f（x）2cosx （msinx）3x2mcosxsin2x3x 在（，+ 第 15 页（共 25 页）
24、）上单调递减， 得 f（x）2msinx2cos2x30 在（，+）上恒成立， 故有 4sin2x2msinx50， 令 tsinx， 即 4t22mt50 在 t1，1上恒成立， 2mt4t25 在 t1，1上恒成立， 当 t0 时，对于任意 mR 都成立； 当 t0 时，有 m2t， 2t在（0，1上为增函数，则 m； 当 t0 时，有 m2t， 2t在1，0）上为增函数，则 m 实数 m 的取值范围是 故选：C 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法及分类讨论的数 学思想方法，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分
25、，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）若函数 f（x）x2+（3a）x+1 为偶函数，则 a 3 【分析】根据偶函数的定义，构造关于 a 的方程组，容易求出 a 的值 【解答】解：f（x）为偶函数，f（x）f（x） ， x2（3a）x+1x2+（3a）x+1， a3 故答案为：3 【点评】本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义求出 a 值，是解决该类问题的关键 14 （5 分）若 cos（+），则 cos2 【分析】直接利用二倍角的余弦函数公式化简计算即可求出值 【解答】解：cos（+）， ， 第 16 页（共 25 页） cos212 故答案为： 【点评】本题考查了二倍角的余弦函数公式
26、，是基础题 15 （5 分）已知直线 3x4y+a0 与圆 x2+y24x2y+10 相切，则实数 a 的值为 12 或 8 【分析】将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径 r，利用点到直线的距离公式求出 圆心到直线的距离 d，根据直线与圆相切时 dr 列出关于 a 的方程，求出方程的解即可 得到 a 的值 【解答】解：将圆方程化为标准方程得： （x2）2+（y1）24， 圆心（2，1） ，r2， 直线 3x4y+a0 与圆 x24x+y22y+10 相切， 圆心到直线的距离 dr，即2， 整理得：|a+2|10，即 a+210 或 a+210， 解得：a12 或 8 故答案为：12 或 8
27、 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，直线与圆的位置关系由 d 与 r 的大小关系来判断，当 dr 时，直线与圆相交；当 dr 时，直线与圆相切；当 d r 时，直线与圆相离（其中 d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径） 16 （5 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面为矩形，矩形的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 的同一个大圆上，点 P 在球面上，且球的表面积为 16，则四棱锥 PABCD 体积的最大 值为 【分析】先利用基本不等式求出矩形 ABCD 的面积的最大值，然后由 PO平面 ABCD 第 17 页（共 25 页） 时，四棱锥 PABCD 的高取得最大值时
28、，四棱锥 PABCD 的体积取到最大值，利用锥 体体积公式可得出答案 【解答】解：因为球 O 的表面积是 16，所以 S4R216，解得 R2 设矩形 ABCD 的长宽分别为 x、y，则 x2+y2（2R）22xy， 当 且 仅 x y 时 上 式 取 等 号 ， 即 底 面 为 正 方 形 时 ， 底 面 面 积 最 大 ， 此 时 因为点 P 在球面上，所以当 PO底面 ABCD 时，POR， 即 hmaxR2，此时四棱锥 PABCD 体积有最大值为 故答案为： 【点评】本题考查球的内接几何体，考查几何体体积的最值问题，解决本题的关键在于 找出相应点的位置，考查计算能力与推理能力，属于中等
29、题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写岀文字说明、证明分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 17 （12 分）已知数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 a12，S312 （1）求数列an的通项公式； （2）令 bn2，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）设数列an是公差为 d 的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式， 解方程可得公差，即可得到所求通项公式； （2）
30、求得 bn24n，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和 【解答】解： （1）设数列an是公差为 d 的等差数列，由 a12，S312， 可得 32+32d12，解得 d2， 所以 an2+2（n1）2n； （2）bn24n，所以数列bn是首项为 4，公比 q4 的等比数列， 所以数列bn的前 n 项和 Tn（4n1） 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和 运算能力，属于基础题 18 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，ABC 是边长为 2 的等边三角形，PBPC 第 18 页（共 25 页） （1）求证：BCPA； （2）若 PA，M 为线段 P
31、C 上一点，且 PM2MC，求三棱锥 P ABM 的体积 【分析】 （1）取 BC 中点 E，连接 PE，AE，可得 PEBC，AEBC，再由线面垂直的判 定可得 BC平面 PAE，则 BCPA； （2）由PAB90，得 PAAB，结合（1）得到 PA平面 ABC，再由 M 为线段 PC 上一点， 且 PM2MC， 过 M 作 MOAC， 垂直为 O， 则 MO平面 ABC， 且 MO， 然后利用三棱锥 PABC 的体积减去三棱锥 MABC 的体积求三棱锥 PABM 的体积 【解答】 （1）证明：取 BC 中点 E，连接 PE，AE， PBPC，PEBC， 又，ABC 是等边三角形，AEBC，
32、 而 PEAEE，BC平面 PAE，则 BCPA； （2）解：PAB90，PAAB， 又 BCPA，ABBCB， PA平面 ABC， M 为线段 PC 上一点，且 PM2MC，过 M 作 MOAC，垂直为 O， 则 MO平面 ABC， 且 MO PA，ABC 是边长为 2 的等边三角形， VPABMVPABCVMABC 第 19 页（共 25 页） 【点评】本题考查空间中直线与平面，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力 与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 19 （12 分）在考试评价中，客观题难度的计算公式为 pi，其中 pi只为第 i 题的难度， Ri为答对该题的人数
33、，N 为参加测试的总人数 现对某校高三年级 120 名学生进行一次测试，共 5 道客观题测试前根据对学生的了解， 预估了每道题的难度，如表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 Pi 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后， 从中随机抽取了 10 名学生， 将他们编号后统计各题的作答情况， 如表所示 （ “” 表示答对 “”表示答错） ： 题号 学生编号 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第 20 页（共 25 页） 10 （1）根据题中数据，将抽样的 10 名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入 下表： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实
34、测难度 并根据上表估计这 120 名学生中第 5 题的实测答对人数； （2）从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人，求恰好有 1 人答对第 5 题的概率； （3）定义统计量 S（P1P1）2+（P2P2）2+（PnPn）2，其中 Pi为 第 i 题的实测难度，Pi为第 i 题的预估难度（i1，2，n） 规定：若 S0.05，则称 该次测试的难度预估合理，否则为不合理判断本次测试的难度预估是否合理 【分析】 （1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度列表，由此能估计 120 人中答对 第 5 题的人数 （2）记编号为 i 的学生为 Ai（i1，2，3，4，5） ，从这 5 人中随机抽
35、取 2 人，不同的抽 取方法有 10 种 利用列举法能求出从抽样的 5 名学生中随机抽取 2 名恰好有 1 人答对第 5 题的概率 （3）将抽样的 10 名学生中第 i 题的实测难度，作为 120 名学生第 i 题的实测难度求出 方差，能得到该次测试的难度预估是合理的 【解答】解： （1）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表： 题 号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 （3 分） 所以，估计 120 人中有 1200.224 人答对第 5 题 （2）记编号为 i 的学生为 Ai（i1，2，3，4，5） ， 从这 5 人
36、中随机抽取 2 人，不同的抽取方法有 n10 种 其中恰好有 1 人答对第 5 题的抽取方法为： （A1，A2） ， （A1，A3） ， （A1，A4） ， （A2，A5） ， （A3，A5） ， （A4，A5） ，共 6 种 第 21 页（共 25 页） 所以，从抽样的 5 名学生中随机抽取 2 名恰好有 1 人答对第 5 题的概率为 P （3）将抽样的 10 名学生中第 i 题的实测难度，作为 120 名学生第 i 题的实测难度 （0.80.9）2+（0.80.8）2+（0.70.7）2+（0.70.6）2+（0.20.4）20.012 因为 S0.0120.05，所以，该次测试的难度预估
37、是合理的 【点评】本题考查统计表、概率、方差的求法及应用，考查列举法、古典概型等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 20 （12 分）已知直线 l 的方程为 xmy0，点 F1，F2分别为椭圆 C：+y21 的 左、右焦点，其中 m1 （1）当直线 l 过右焦点 F2时，求直线 l 的方程； （2）设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）根据直线过右焦点 F2，代值计算即可求出 m 的值，可直线方程， （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由，根据韦达定理结合向量的运算，以 及原点 O 在以线
38、段 AB 为直径的圆内，可得 x1x2+y1y2（m2+1）（m24）0，解 得即可求出 m 的范围 【解答】解： （1）直线经过 F2（，0） ，得 m22 又m1，m， 故直线的方程为 x2y10， （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由消去 x，得 2y2+my+10， y1+y2，y1y2 由m28（1）0，得 m28，解得2m2 第 22 页（共 25 页） 原点 O 在以线段 AB 为直径的圆内， x1x2+y1y20 x1x2+y1y2（my1+） （my2+）+y1y2（m2+1）（m24）0 m240，解得2m2 又 m1， 1m2， 所以实数 m 的取值范围
39、是（1，2） 【点评】本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算、点与圆的位置关系等基 础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）（2axlnx）lnx2ax+2 （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若对任意 x1，+） ，都有 f（x）0，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）代入 a 的值，求出函数的导数，求出切线方程即可； （2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，结合 f（x）0，确 定 a 的范围即可 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）（2x
40、lnx）lnx2x+2， 函数 f（x）的定义域为（0，+） ， f（x）2（1）lnx， 所以 f（1）0，又 f（1）0， 所以曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处的切线方程为 y0 （2）f（x）lnx， 由题意知 f（1）0，则有2a+20，所以 a1 若 a0，则当 x1 时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递减， 而 f（e2）2ae220，不满足 f（x）0 若 0a1， 当 1x时，f（x）0，f（x）在（1，）上单调递减， 当 x时，f（x）0，f（x）在（，+）上单调递增， 第 23 页（共 25 页） 故 f（x）在1，+）上的最小值为 f（） ， 由题意得 f（
41、）（2+lna）lna0，解得 a， 所以a1 若 a1，则当 x1 时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增，又 f（1）0， 故 x1 时，f（x）0 恒成立 a1 时，01， 当 0x时，f（x）0，f（x）在（0，）上单调递增， 当x1 时，f（x）0，f（x）在（，1）上单调递减， 当 x1 时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增， 故 f（x）在1，+）上的最小值为 f（1） ， 由题意得 f（1）2（1a）0，无解， 综上，实数 a 的取值范围是，1 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 考生在第考生在第
42、 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数） ， 在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2是圆心为（2，） ，半径 为 1 的圆 （1）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设 M 为曲线 C1上的点，N 为曲线 C2上的点，求|MN|的取值范围 【分析】 （1）消去参数 可得 C1 的普通方程为+y21；先得 C2（2，）的直角 坐标为（0，2
43、） ，在写圆的直角坐标方程； （2）先求 C1上的动点 M 与圆心 C2的距离得取值范围，再加上圆的半径 1 可得 【解答】解： （1）消去参数 可得 C1 的普通方程为+y21，（2 分） 第 24 页（共 25 页） 曲线 C2 是圆心为（2，） ，半径为 1 的圆，曲线 C2 的圆心的直角坐标为（0，2） ， C2 的直角坐标方程为 x2+（y2）21； （5 分） （2）设 M（3cos，sin） ，则|MC2| ，（8 分） 1sin1，1|MC2|， 由题意结合图象可得|MN|的最小值为 110，最大值为+1， |MN|的取值范围为0，+1（10 分） 【点评】本题考查了简单曲线的
44、极坐标方程，属中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|xa|+|x+|（a0） （1）若不等式 f（x）|x+|4x 的解集为x|x1，求实数 a 的值； （2）证明：f（x） 【分析】 （1）由题意可得|xa|4x，分类讨论去掉绝对值，分别求得 x 的范围即可求出 a 的值 （2）由条件利用绝对值三角不等式，基本不等式证得 f（x）2 【解答】解： （1）由 f（x）|x+|4x，可得|xa|4x， （a0） ， 当 xa 时，xa4x，解得 x， 这与 xa0 矛盾，故不成立， 当 xa 时，ax4x，解得 x， 又不等式的解集是x|x1，故1，解得 a5 （2）证明：f（x）|xa|+|x+|xa（x+）|a+|， a0， |a+|a+22，当且仅当 a时取等号， 故 f（x） 第 25 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式，绝对值不等式的解法，体现了 转化、分类讨论的数学思想，属于基础题
