1、已知复数 za+i，aR，若|z|2，则 a 的值为（ ） A1 B C1 D 2 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，Bx|x2，则 AB（ ） A （1，3） B （1，3 C1，2） D （1，2） 3 （5 分）已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x+2y30 垂直，则 sin（ ） A B C D 4 （5 分）已知 ab0，c1，则下列各式成立的是（ ） Asinasinb Bcacb Cacbc D 5 （5 分）数列an是等差数列，a11，公差 d1，2，且 a4+a10+a1615，则实数 的 最大值为（ ） A B C D 6 （5 分）某调查机构对全国互联网行业进行调查
2、统计，得到整个互联网行业从业者年龄分 布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生，80 前指 1979 年及以 前出生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 7 （5 分）设 a，b（1，+） ，则“ab”是“logab1”的（ ） 第 2 页（共 25 页） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C
3、充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去 A、B、C 三个不同社区进行帮扶活动， 每人只能去一个社区，每个社区至少一人其中甲必须去 A 社区，乙不去 B 社区，则不 同的安排方法种数为（ ） A8 B7 C6 D5 9（5 分） 正方形 ABCD 的边长为 2， E 是正方形内部 （不包括正方形的边） 一点， 且， 则的最小值为（ ） A B12 C D13 10 （5 分）某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 1） ，则这个几何体的 体积是（ ） A B C16 D32 11 （5 分）已知函数的图象 与直线 ym（x+2） （m
4、0）恰有四个公共点 A（x1，y1） ，B（x1，y2） ，C（x3，y3） ，D （x4，y4） ，其中 x1x2x3x4，则（x4+2）tanx4（ ） A1 B0 C1 D 12 （5 分）已知函数 f（x）m（x1）（x2）exe（e 为自然对数底数） ，若关于 x 的不等式 f（x）0 有且只有一个正整数解，则实数 m 的最大值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若函数 f（x）（xa） （x+3）为偶函数，则 f（2） 第 3 页（共 25 页） 14 （5 分）已知等比数列
5、an的前 n 项和为 Sn，a1+a3 15 （5 分）某市高三理科学生有 15000 名，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布 N （100，2） ，已知 P（80100）0.40，若按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进 行分析，则应从 120 分以上的试卷中抽取的份数为 16 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 点 A，B，以线段 AB 为直径的圆 E 上存在点 P，Q，使得以 PQ 为直径的圆过点 D（2， t） ，则实数 t 的取值范围为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
6、第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17 （12 分）在ABC 角中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若 （1）求角 A； （2）若ABC 的面积为，求ABC 的周长 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC 90，平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点且 PM3MC， （1）求证：平面 PQB平面 PAD； （2）求二面角 MBQC
7、 的大小 19 （12 分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为 5 元/瓶酸奶在试 销售期间足量供应，每天的销售数据按照15，25， （25，35， （35，45， （45，55分组， 得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率 （1）从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于 35 瓶的概率； （2）试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱 50 瓶，批发成 第 4 页（共 25 页） 本 75 元； 小箱每箱 30 瓶， 批发成本 60 元 由于酸奶保质期短， 当天未卖出的只能作废 该 早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱
8、（计算时每个分组取中间值 作为代表，比如销量为（45，55时看作销量为 50 瓶） 设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量 X，批发一小箱时，当天这 款酸奶的利润为随机变量 Y，求 X 和 Y 的分布列和数学期望； 以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？ 注：销售额销量定价；利润销售额批发成本 20 （12 分）已知点 E，F 分别是椭圆的上顶点和左焦点，若 EF 与圆相切于点 T，且点 T 是线段 EF 靠近点 E 的三等分点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 l：ykx+m 与椭圆 C 只有一个公共点 P，且点 P 在第二象限，过坐标原点 O 且与
9、l 垂直的直线 l与圆 x2+y28 相交于 A，B 两点，求PAB 面积的取值范围 21 （12 分）已知函数 u（x）xlnx，v（x）+x1，mR （1）令 m2，求函数 h（x）的单调区间； 第 5 页（共 25 页） （2）令 f（x）u（x）v（x） ，若函数 f（x）恰有两个极值点 x1，x2，且满足 1 e（e 为自然对数的底数）求 x1x2的最大值 考生在第考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy
10、中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2是圆心为，半径 为 1 的圆 （1）求曲线 C1，C2的直角坐标方程； （2）设 M 为曲线 C1上的点，N 为曲线 C2上的点，求|MN|的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|xa|+|x+|（a0） （1）若不等式 f（x）|x+|4x 的解集为x|x1，求实数 a 的值； （2）证明：f（x） 第 6 页（共 25 页） 2019 年山东省日照市高考数学一模试卷（理科）年山东省日照市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析
11、一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知复数 za+i，aR，若|z|2，则 a 的值为（ ） A1 B C1 D 【分析】根据复数求模公式计算即可 【解答】解：za+i，aR， 则|z|2， 解得：a， 故选：D 【点评】本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题 2 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，Bx|x2，则 AB（ ） A （1，3） B （1，3 C1，2） D （1，2）
12、【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x22x30x|1x3， Bx|x2， ABx|1x21，2） 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 3 （5 分）已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x+2y30 垂直，则 sin（ ） A B C D 【分析】倾斜角为 的直线 l 与直线 x+2y30 垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的 关系、同角三角函数基本关系式即可得出 【解答】解：倾斜角为 的直线 l 与直线 x+2y30 垂直， 第 7 页（共 25 页） tan2 则 sin 故选：D 【点评】本
13、题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、同角三角函数基本关系式，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题 4 （5 分）已知 ab0，c1，则下列各式成立的是（ ） Asinasinb Bcacb Cacbc D 【分析】根据指数函数 ycx（c1）为增函数可得 【解答】解：因为 ycx为增函数，且 ab， 所以 cacb， 故选：B 【点评】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题 5 （5 分）数列an是等差数列，a11，公差 d1，2，且 a4+a10+a1615，则实数 的 最大值为（ ） A B C D 【分析】利用等差数列通项公式推导出 ，由 d1，2，能求出实数 取最
14、大 值 【解答】解：数列an是等差数列，a11，公差 d1，2，且 a4+a10+a1615， 1+3d+（1+9d）+1+15d15， 解得 ， d1，2，2+是减函数， d1 时，实数 取最大值为 故选：D 【点评】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 6 （5 分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分 第 8 页（共 25 页） 布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生，80 前指
15、1979 年及以 前出生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条 形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后不一定比 80 后多 【解答】解：在 A 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人 员中 90 后占 56%，故 A 正确； 在 B 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条
16、形 图得到： 56%39.6%22.176%20%， 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20%，故 B 正确； 在 C 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形 图得到： 137%56%9.52% 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多，故 C 正确； 在 D 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形 图得到： 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后不一定比 80 后多，故 D 错误 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算 第 9 页（共 25 页
17、） 求解能力，是基础题 7 （5 分）设 a，b（1，+） ，则“ab”是“logab1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可 【解答】解：a，b（1，+） ， ablogab1， logab1ab， ab 是 logab1 的充分必要条件， 故选：C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关 键 8 （5 分）甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去 A、B、C 三个不同社区进行帮扶活动， 每人只能去一个社区，每个社区至少一人其中甲必须去 A 社
18、区，乙不去 B 社区，则不 同的安排方法种数为（ ） A8 B7 C6 D5 【分析】根据题意，分 2 种情况讨论：，乙和甲一起去 A 社区，此时将丙丁二人安排 到 B、C 社区即可，乙不去 A 社区，则乙必须去 C 社区，分别求出每种情况的安排 方法数目，由加法原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： ，乙和甲一起去 A 社区，此时将丙丁二人安排到 B、C 社区即可，有 A222 种情况， ，乙不去 A 社区，则乙必须去 C 社区， 若丙丁都去 B 社区，有 1 种情况， 若丙丁中有 1 人去 B 社区，先在丙丁中选出 1 人，安排到 B 社区， 剩下 1 人安排到 A
19、或 C 社区，有 224 种情况， 则不同的安排方法种数有 2+1+47 种； 故选：B 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题 9（5 分） 正方形 ABCD 的边长为 2， E 是正方形内部 （不包括正方形的边） 一点， 且， 第 10 页（共 25 页） 则的最小值为（ ） A B12 C D13 【分析】分别以 AB，AD 所在的在直线为 x，y 轴，建立直角坐标系，设 E（x，y） ，根据 ，可求 x+y1（0x2，0y2） ，而（x+2）2+（y+2）2， 根据其几何意义可求 【解答】解：分别以 AB，AD 所在的在直线为 x，y 轴，建立直角坐标系，
20、设 E（x，y） ， 则（2，2） ，（x，y） ， ， 2x+2y2 即 x+y1（0x2，0y2） ， 则（x+2）2+（y+2）2， 其最小值的几何意义是在直线 x+y1 位于正方形内取一点， 使其到 M（2，2）的距离的平方最小， 而 M（2，2）到直线 x+y1 的距离 d 所求的最小值 故选：C 【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，点到直线的距离公式的应用，属于 知识的综合应用 10 （5 分）某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 1） ，则这个几何体的 第 11 页（共 25 页） 体积是（ ） A B C16 D32 【分析】回归到正方体中，该几何体是一
21、个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中 的几何体 ABCD，其体积是正方体体积的，即可得出结论 【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如 图中的几何体 ABCD，其体积是正方体体积的，等于， 故选：A 【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，回归到正方体中，该几何体 是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥是关键 11 （5 分）已知函数的图象 与直线 ym（x+2） （m0）恰有四个公共点 A（x1，y1） ，B（x1，y2） ，C（x3，y3） ，D （x4，y4） ，其中 x1x2x3x4，则（x4+2）tanx4（ ） A1 B0 C1 D
22、【分析】由三角函数图象的作法可得及利用导数求函数图象的切线方程可得：由图知切 点坐标为（x4，cosx4） ，切线方程为：y+cosx4sinx4（xx4） ，又切线过点（2，0） ， 则 cosx4sinx4（2x4） ， 即（x4+2）tanx41，得解 第 12 页（共 25 页） 【解答】 解： 由其图象如 图所示， 当 x，f（x）cosx， f（x）sinx， 由图知切点坐标为（x4，cosx4） ， 切线方程为：y+cosx4sinx4（xx4） ， 又切线过点（2，0） ，则 cosx4sinx4（2x4） ， 即（x4+2）tanx41， 故选：A 【点评】本题考查了三角函数
23、图象的作法及利用导数求函数图象的切线方程，属难度较 大的题型 12 （5 分）已知函数 f（x）m（x1）（x2）exe（e 为自然对数底数） ，若关于 x 的不等式 f（x）0 有且只有一个正整数解，则实数 m 的最大值为（ ） A B C D 【分析】若不等式 f（x）0 有且只有一个正整数解，则 ym（x1）的图象在 yg（x） 图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出 g（x）的最小值，分别画出 yg（x）与 y m（x1）的图象，结合图象可得 【解答】解：f（x）m（x1）（x2）exe0， m（x1）（x2）ex+e0， 设 yg（x）（x2）ex+e， g（x）（x1）ex， 当
24、 x1 时，g（x）0，函数 g（x）单调递增， 当 x1 时，g（x）0，函数 g（x）单调递减， 第 13 页（共 25 页） g（x）g（1）0， 当 x+时，f（x）+，当 x，f（x）e， 函数 ym（x1）恒过点（1，0） ， 分别画出 yg（x）与 ym（x1）的图象，如图所示， ， 若不等式 f（x）0 有且只有一个正整数解，则 ym（x1）的图象在 yg（x）图象的 上方只有一个正整数值， 2mg（3）e3+e， m， 故实数 m 的最大值为， 故选：A 【点评】本题考查了函数图象及单调性，导数的应用，转化思想、数形结合思想，是难 题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共
25、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若函数 f（x）（xa） （x+3）为偶函数，则 f（2） 5 【分析】根据偶函数 f（x）的定义域为 R，则xR，都有 f（x）f（x） ，建立等式， 解之求出 a，即可求出 f（2） 【解答】解：因为函数 f（x）（xa） （x+3）是偶函数， 所以xR，都有 f（x）f（x） ， 所以xR，都有（xa） （x+3）（xa） （x+3） ， 第 14 页（共 25 页） 即 x2+（a3）x3ax2（a3）x3a， 所以 a3， 所以 f（2）（23） （2+3）5 故答案为：5 【点评】本题主要考查了函数奇偶性
26、的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题 14（5分） 已知等比数列an的前n项和为Sn， a1+a3 63 【分析】设等比数列an的公比为 q，利用通项公式及其求和公式即可得出 【解答】解：设等比数列an的公比为 q，a1+a3，a2+a4， ，a1q（1+q2）， 解得 a12，q 63 故答案为：63 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 15 （5 分）某市高三理科学生有 15000 名，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布 N （100，2） ，已知 P（80100）0.40，若按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进 行分
27、析，则应从 120 分以上的试卷中抽取的份数为 10 【分析】由题意结合正态分布曲线可得 120 分以上的概率，乘以 100 可得 【解答】解：数学成绩 服从正态分布 N（100，2） ，P（80100）0.40， P（80120）20.400.80， P（120）（10.80）0.10， 1000.1010， 故答案为：10 【点评】本题考查正态分布曲线，数形结合是解决问题的关键，属基础题 第 15 页（共 25 页） 16 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 点 A，B，以线段 AB 为直径的圆 E 上存在点 P，Q，使得以
28、PQ 为直径的圆过点 D（2， t） ，则实数 t 的取值范围为 2，2+ 【分析】由题意求出以线段 AB 为直径的圆 E 的方程，且点 D 恒在圆 E 外，即圆 E 上存 在点 P、Q，使得 DPDQ，则当 DP、DQ 与圆 E 相切时，PDQ 最大，即PDQ， 由此列出不等式求得 t 的取值范围 【解答】解：抛物线 C：y24x 的焦点为 F（1，0） ， 直线 AB 的方程为：yx1，代入抛物线方程 y24x，消去 y 并整理得：x26y+10， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1+x26，x1x21， y1+y24，则2，即 E 的横坐标为 x2+13， AB 的中
29、点坐标为 E（3，2） ，且|AB|x1+x2+2y1+1+y2+1+24+48， 以线段 AB 为直径的圆 E 的方程为： （x3）2+（y2）216； 由题意知点 D 恒在圆 E 外，圆 E 上存在点 P、Q 使得以 PQ 为直径的圆过点 D（2，t） ， 即圆 E 上存在点 P、Q，使得 DPDQ，则当 DP、DQ 与圆 E 相切时，PDQ 最大， 此时应满足PDQ， 整理得 t24t30， 解得 2t2+； t 的取值范围是2，2+ 故答案为：2，2+ 【点评】本题主要考查直线和抛物线位置关系，以及直线和圆的性质，求出以 PQ 为直 径的方程，结合圆的性质是解决本题的关键综合性较强，难
30、度较大 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17 （12 分）在ABC 角中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若 （1）求角 A； （2）若ABC 的面积为，求ABC 的周长 第 16 页（共 25 页） 【分析】 （1）由正弦定理化简已知等式可得 sinAsinBsinBcosA，结合 sinB0，可求 tanA，结合范围 A（0，） ，可求
31、A （2）利用三角形的面积公式可求 bc8，由余弦定理解得：b+c7，即可得解ABC 的 周长的值 【解答】解： （1）， 由正弦定理可得：sinAsinBsinBcosA， sinB0， 可得：sinAcosA，即：tanA， A（0，） ， A； （2）A，a5， ABC 的面积 2bcsinAbc，可得：bc8， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，可得：25b2+c2bc（b+c）23bc（b+c）2 24， 可得： （b+c）249，解得：b+c7， ABC 的周长 a+b+c5+712 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合 应用，考查了
32、计算能力和转化思想，属于基础题 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC 90，平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点且 PM3MC， （1）求证：平面 PQB平面 PAD； （2）求二面角 MBQC 的大小 第 17 页（共 25 页） 【分析】 （1）推导出 CDBQ，BQAD，从而 BQ平面 PAD，由此能证明平面 PQB 平面以 PAD （2）以 Q 为原点，QA 为 x 轴，QB 为 y 轴，QP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出二面角 MBQC 的大小 【解答】 证明： （1）
33、在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为直角梯形， ADBC，ADC 90， 平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点且 PM3MC， ， CDBQ，BQAD， 平面 PAD平面 ABCDAD，BQ平面 PAD， BQ平面 PBQ，平面 PQB平面 PAD 解： （2）以 Q 为原点，QA 为 x 轴，QB 为 y 轴， QP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 Q（0，0，0） ，B（0，2，0） ，P（0，0，） ，C（1，2，0） ，M（，） ， （0，2，0） ，（，） ， 设平面 BQM 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，0
34、，） ， 平面 BQC 的法向量 （0，0，1） ， 设二面角 MBQC 的大小为 ， 则 cos， 30，二面角 MBQC 的大小为 30 第 18 页（共 25 页） 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为 5 元/瓶酸奶在试 销售期间足量供应，每天的销售数据按照15，25， （25，35， （35，45， （45，55分组， 得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率 （1）从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸
35、奶销量大于 35 瓶的概率； （2）试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱 50 瓶，批发成 本 75 元； 小箱每箱 30 瓶， 批发成本 60 元 由于酸奶保质期短， 当天未卖出的只能作废 该 早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值 作为代表，比如销量为（45，55时看作销量为 50 瓶） 设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量 X，批发一小箱时，当天这 款酸奶的利润为随机变量 Y，求 X 和 Y 的分布列和数学期望； 以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？ 注：销售额销量定价；利润销售额批发成本 【分
36、析】 （1）酸奶每天销量大于 35 瓶的概率为 0.3，不大于 35 瓶的概率为 0.7设“试 销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于 35 瓶”为事件 A，则 表示“这三 天酸奶的销量都不大于 35 瓶” 利用对立事件概率计算公式能求出从试销售期间任选三 第 19 页（共 25 页） 天，其中至少有一天的酸奶销量大于 35 瓶的概率 （2）若早餐店批发一大箱，批发成本为 75 元，依题意，销量有 20，30，40，50 四种 情况分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望；若早餐店批发一小箱， 批发成本为 60 元，依题意，销量有 20，30 两种情况分别求出相应的概率，
37、由此能求 出 Y 的分布列和数学期望 根据中的计算结果，E（X）E（Y） ，从而早餐店应该批发一大箱 【解答】解： （1）根据图中数据，酸奶每天销量大于 35 瓶的概率为（0.02+0.01）10 0.3， 不大于 35 瓶的概率为 0.7 设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于 35 瓶”为事件 A， 则 表示“这三天酸奶的销量都不大于 35 瓶” 所以从试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于 35 瓶的概率： P（A）1P（ ）10.730.657 （2）若早餐店批发一大箱，批发成本为 75 元，依题意，销量有 20，30，40，50 四种 情况 当销量为 20 瓶
38、时，利润为 5207525 元， 当销量为 30 瓶时，利润为 5307575 元， 当销量为 40 瓶时，利润为 54075125 元， 当销量为 50 瓶时，利润为 55075175 元 随机变量 X 的分布列为： X 25 75 125 175 P 0.3 0.4 0.2 0.1 所以 E（X）250.3+750.4+1250.2+1750.180（元） ， 若早餐店批发一小箱，批发成本为 60 元，依题意，销量有 20，30 两种情况 当销量为 20 瓶时，利润为 5206040 元， 当销量为 30 瓶时，利润为 5306090 元 随机变量 Y 的分布列为： Y 40 90 P 0
39、.3 0.7 第 20 页（共 25 页） 所以 E（Y）400.3+900.775（元） 根据中的计算结果，E（X）E（Y） ， 所以早餐店应该批发一大箱 【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、 对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知点 E，F 分别是椭圆的上顶点和左焦点，若 EF 与圆相切于点 T，且点 T 是线段 EF 靠近点 E 的三等分点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 l：ykx+m 与椭圆 C 只有一个公共点 P，且点 P 在第二象限，过坐标原点 O 且与 l 垂直的直线 l与圆 x2+
40、y28 相交于 A，B 两点，求PAB 面积的取值范围 【分析】 （1）如图所示，设|ET|m，|FT|2m，即|EF|3m由EOTOFT，可得： |OT|2|TF|ET|，解得 m又|OT|，可得 b2，c2可得 a2b2+c2，即可得出 （2）设出 P 的坐标，利用导数可得曲线在 P 点处切线的斜率，可得过坐标原点 O 且与 l 垂直的直线 l的方程，求出 P 到直线 l的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基 本不等式求最值 【解答】解： （1）如图所示，设|ET|m，|FT|2m，即|EF|3m 由EOTOFT，可得：|OT|2|TF|ET|， 2m2，解得 m 又|OT|，b2+2，
41、c2+4， a2b2+c26 第 21 页（共 25 页） 椭圆 C 的标准方程为+1， （2）设 P 的坐标为（x0，y0） ，则 y0， （x00） ， 由 y，则 y，则 y|， 过坐标原点 O 且与 l 垂直的直线 l的方程为 yx，即 3xx0y0， 点（x0， ）到直线 3xx0y0 的距离 d， SAPB4， 令 y再令 x02t， （0t6） ， 则 y（9t）+1263 当且仅当 9t，即 t93时取等号， 故PAB 面积的取值范围（0，812 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数 的几何意义，基本不等式，考查了转化与化归思想，函数与方
42、程的思想，分类与整合的 第 22 页（共 25 页） 思想，属于难题 21 （12 分）已知函数 u（x）xlnx，v（x）+x1，mR （1）令 m2，求函数 h（x）的单调区间； （2）令 f（x）u（x）v（x） ，若函数 f（x）恰有两个极值点 x1，x2，且满足 1 e（e 为自然对数的底数）求 x1x2的最大值 【分析】 （1）化简函数 h（x），求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出， （2）函数 f（x）恰有两个极值点 x1，x2，则 f（x）lnxmx0 有两个正根，由此得 到 m（x2x1）lnx2lnx1，m（x2+x1）lnx2+lnx1， 消参数 m 化简整理可得
43、 lnx1x2ln，设 t，构造函数 g（t）（） lnt，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值即可求出 x1x2的最大值 【解答】解： （1）令 m2，函数 h（x）， h（x）， 令 h（x）0，解得 xe， 当 x（0，e）时，h（x）0，当 x（e，+）时，h（x）0， 函数 h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减 （2）f（x）u（x）v（x）xlnxx+1， f（x）1+lnxmx1lnxmx， 函数 f（x）恰有两个极值点 x1，x2， f（x）lnxmx0 有两个正根， lnx1mx10，lnx2mx20， 两式相减可得 lnx2lnx1m（x2x1） ，
44、 两式相加可得 m（x2x1）lnx2lnx1，m（x2+x1）lnx2+lnx1， 第 23 页（共 25 页） lnx1x2ln， 设 t， 1e， 1te， 设 g（t）（）lnt， g（t）， 令 （t）t212tlnt， （t）2t2（1+lnt）2（t1lnt） ， 再令 p（t）t1lnt， p（t）10 恒成立， p（t）在（1，e单调递增， （t）p（t）p（1）11ln10， （t）在（1，e单调递增， g（t）（t）（1）112ln10， g（t）在（1，e单调递增， g（t）maxg（e）， lnx1x2， x1x2 故 x1x2的最大值为 第 24 页（共 25 页） 【点评】本题考查了利用导数求函数的最值和最值，考查了函数与方程的思想，转化与 化归思想，属于难题 考生在第考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2是圆心为，半径 为 1 的圆 （1）求曲线 C1，C2的直角坐标方程； （2）设 M 为曲线 C1上的点，N 为曲线 C2上的点，求|MN|的取值范围
