1、在复平面内，复数（i 为虚数单位）对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知集合 Ax|3x1，Bx|x+10，则 AB（ ） A （，1） B （，0） C （1，0） D （1，1） 3 （5 分）已知 8 位学生的某次数学测试成绩的茎叶图如图，则下列说法正确的是（ ） A众数为 7 B极差为 19 C中位数为 64.5 D平均数为 64 4 （5 分）已知双曲线的一个焦点 F（2，0） ，一条渐近线的斜率 为，则该双曲线方程为（ ） A B C D 5 （5 分）将函数的图象向左平移个单位，得到函数 g（x）的图象， 则下列说法正确的是（ ） A
2、g（x）的最小正周期为 2 B C是 g（x）图象的一条对称轴 Dg（x）是偶函数 6 （5 分） “不等式 x22x+m0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） Am1 Bm1 Cm0 Dm2 7 （5 分）已知函数 g（x）f（x）+x2是奇函数，当 x0 时，函数 f（x）的图象与函数 y log2x 的图象关于 yx 对称，则 g（1）+g（2）（ ） 第 2 页（共 22 页） A7 B9 C11 D13 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） A0 B C1 D1 9 （5 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2，b3，C
3、60， 则 tanA（ ） A B C D 10 （5 分）某几何体的三视图如图，其中侧视图为半圆，则该几何体的表面积为（ ） A6+4 B6+3 C9+4 D9+3 11 （5 分） “珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著算法统综中有 一首“竹筒容米”问题： “家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四 节三升八， 唯有中间两节竹， 要将米数次第盛， 若有先生能算法， 也教算得到天明 ”（ 【注】 四升五：4.5 升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量 ）用你所学的数学知识求得中间 两节竹的容积为（ ） A2.2 升 B2.3 升 C2.4 升 D2.5 升 12
4、（5 分）点 A、B 分别为椭圆的左、右顶点，F 为右焦点，C 为短 第 3 页（共 22 页） 轴上不同于原点 O 的一点，D 为 OC 的中点，直线 AD 与 BC 交于点 M，且 MFAB，则 该椭圆的离心率为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量 （3，2） ， （1，1） ，若（ ） ，则 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2x+3y 的最小值为 15 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足，若 am与 Sm的等差中项为 11，则 m 的值为
5、16 （5 分）若 f（x）kx+bg（x） ，则定义直线 ykx+b 为曲线 f（x） ，g（x）的“分界直 线” 已知，则 f（x） ，g（x）的“分界 直线”为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生要根据要求作答 （一）必考题为选考题，考生要根据要求作答 （一）必考 题：共题：共 60 分分 17 （12 分） （文）已知函数的最小正周 期为 4 （1）求 的值； （2）求 f（x）的单
6、调递增区间 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABAD，ADBC，AD2BC 4，PB，M 是线段 AP 的中点 （1）证明：BM平面 PCD； （2）当 PA 为何值时，四棱锥 PABCD 的体积最大？并求此最大值 第 4 页（共 22 页） 19 （12 分）某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活 动；跑步、游泳、健身操等体育活动该中学共有高一学生 300 名，要求每位学生必须 选择参加其中一项活动，现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况 进行统计，得到数据如下： 男生 女生 参加文化活动 参加体育活动 参
7、加 文 化 活 动 参 加 体 育 活 动 学习积极性高 80 36 100 24 学习积极性不 高 20 24 10 6 （1）在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取 6 名，再从这 6 名学生中抽取 2 人了 解家庭情况，求 2 人中至少有 1 名女生的概率； （2）是否有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关？请说明你的 理由 附：参考公式：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635 10.828 20 （12 分）已知抛物线 E：y22px（p0）上一点 M（4，y0）到焦点 F 的距离为 5 （1）
8、求抛物线 E 的方程； 第 5 页（共 22 页） （2）直线 l 与圆 C：x2+y24x0 相切且与抛物线 E 相交于 A，B 两点，若AOB 的面 积为 4（O 为坐标原点） ，求直线 l 的方程 21 （12 分）已知函数 （1）判断 f（x）的单调性； （2）若 f（x）0 在（1，+）上恒成立，且 f（x）0 有唯一解，试证明 a1 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题 计分计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy
9、 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（0，02） ，点 A 为曲线 C1 上的动点，点 B 在线段 OA 的延长线上，且满足|OA|OB|6，点 B 的轨迹为 C2 （1）求 C1，C2的极坐标方程； （2）设点 C 的极坐标为（2，0） ，求ABC 面积的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x5|+|x1| （1）求 f（x）的最小值 m； （2）若正实数 a，b 满足，求证： 第 6 页（共 22 页） 2019 年山东省临沂市高考数学一模试卷（文年山东省临沂市高考数学一模试卷（文科）科） 参
10、考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）在复平面内，复数（i 为虚数单位）对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的除法运算法则化简求解，得到复数的对应点的坐标，判断即可 【解答】解：复数1+i 复数（i 为虚数单位）对应的点（1，1）在第二象限 故选：B 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力 2 （5 分）已知
11、集合 Ax|3x1，Bx|x+10，则 AB（ ） A （，1） B （，0） C （1，0） D （1，1） 【分析】求解不等式化简集合 A、B，然后直接利用交集运算得答案 【解答】解：3x130，x0，A（，0） ， x+10，x1，B（1，+） ， AB（1，0） 故选：C 【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题 3 （5 分）已知 8 位学生的某次数学测试成绩的茎叶图如图，则下列说法正确的是（ ） A众数为 7 B极差为 19 C中位数为 64.5 D平均数为 64 【分析】根据茎叶图中的数据求得这组数据的众数、极差、中位数和平均数 【解答】解：根据茎叶图中的数据
12、知，这组数据的众数为 67，A 错误； 极差是 755718，B 错误； 第 7 页（共 22 页） 中位数是64.5，C 正确； 平均数为 60+（31+1+2+7+7+12+15）65，D 错误 故选：C 【点评】本题考查了利用茎叶图求众数、极差、中位数和平均数的应用问题，是基础题 4 （5 分）已知双曲线的一个焦点 F（2，0） ，一条渐近线的斜率 为，则该双曲线方程为（ ） A B C D 【分析】由题意可得 c2，求得双曲线的渐近线方程可得 a，b 的关系式，解方程可得 a， b，进而得到双曲线方程 【解答】解：由题意可得 c2，即 a2+b24， 双曲线的渐近线方程为 yx， 由题
13、意可得， 解得 a1，b， 则双曲线的方程为 x21， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力， 属于基础题 5 （5 分）将函数的图象向左平移个单位，得到函数 g（x）的图象， 则下列说法正确的是（ ） Ag（x）的最小正周期为 2 B C是 g（x）图象的一条对称轴 Dg（x）是偶函数 【分析】根据三角函数的平移关系求出 g（x）的解析式，结合三角函数的周期性，奇偶 第 8 页（共 22 页） 性，对称性分别进行判断即可 【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数 g（x） 的图象， 即 g（x）sin2（x+）+sin（2x+）sin
14、（2x+）cos2x， 则 g（x）的最小正周期 T，故 A 错误， g（）cos（2）cos，故 B 错误， Cg（）cos（2）cos1，即不是 g（x）图象的一条 对称轴，故 C 错误， Dg（x）cos（2x）cos2xg（x） ，即 g（x）是偶函数，故 D 正确， 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出函数的解 析式是解决本题的关键 6 （5 分） “不等式 x22x+m0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） Am1 Bm1 Cm0 Dm2 【分析】由二次不等式恒成立问题得： ： “不等式 x22x+m0 在 R 上恒成立”的充要
15、条 件为： “ （2）24m0“即”m1“， 由充分必要条件得： “m2“是”m1“的充分不必要条件，即“不等式 x22x+m0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是： ”m2“，得解 【解答】 解： “不等式 x22x+m0 在 R 上恒成立” 的充要条件为： “ （2） 24m0 “即” m1“， 又“m2“是”m1“的充分不必要条件， 即“不等式 x22x+m0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是： ”m2“， 故选：D 【点评】本题考查了二次不等式恒成立问题及充分必要条件，属简单题 7 （5 分）已知函数 g（x）f（x）+x2是奇函数，当 x0 时，函数 f（x）的图象与函
16、数 y log2x 的图象关于 yx 对称，则 g（1）+g（2）（ ） A7 B9 C11 D13 【分析】由 x0 时，函数 f（x）的图象与函数 ylog2x 的图象关于 yx 对称可得出，x 第 9 页（共 22 页） 0 时，f（x）2x，从而得出 x0 时，g（x）2x+x2，再根据 g（x）是奇函数即可求 出 g（1）+g（2）的值 【解答】解：x0 时，f（x）的图象与函数 ylog2x 的图象关于 yx 对称； x0 时，f（x）2x； x0 时，g（x）2x+x2，又 g（x）是奇函数； g（1）+g（2）g（1）+g（2）（2+1+4+4）11 故选：C 【点评】考查奇函
17、数的定义，以及互为反函数的两函数图象关于直线 yx 对称，指数函 数和对数函数互为反函数 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） A0 B C1 D1 【分析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可 【解答】解：第一次循环，k1，Scos01，k1+12，k4 不成立， 第二次循环，k2，S1+cos1+，k2+13，k4 不成立 第三次循环，k3，S+cos1，k3+14，k4 不成立 第四次循环，k4，S1+cos110，k4+15，k4 成立 输出 S0， 故选：A 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键 9 （5 分）已知ABC 的内
18、角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2，b3，C60， 第 10 页（共 22 页） 则 tanA（ ） A B C D 【分析】利用余弦定理列出关系式，将 a，b 及 cosC 的值代入即可求出 c 的值，进而根 据正弦定理可求 sinA，利用同角三角函数基本关系式即可得解 【解答】解：在ABC 中，a2，b3，C60， 由余弦定理得：c2a2+b22abcosC4+967，解得：c 由正弦定理，可得：sinA， ab，A 为锐角， cosA，tanA 故选：B 【点评】此题考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式以及特殊角的三角 函数值的综合应用，熟练掌握余弦定理是解
19、本题的关键，属于基础题 10 （5 分）某几何体的三视图如图，其中侧视图为半圆，则该几何体的表面积为（ ） A6+4 B6+3 C9+4 D9+3 【分析】根据三视图知该几何体是半圆柱体， 结合图中数据计算该几何体的表面积即可 【解答】解：根据三视图知，该几何体是半圆柱体， 画出图形如图所示； 结合图中数据，计算该几何体的表面积为： S212+213+234+6 故选：A 第 11 页（共 22 页） 【点评】本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题 11 （5 分） “珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著算法统综中有 一首“竹筒容米”问题： “家有九节竹一茎，为
20、因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四 节三升八， 唯有中间两节竹， 要将米数次第盛， 若有先生能算法， 也教算得到天明 ”（ 【注】 四升五：4.5 升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量 ）用你所学的数学知识求得中间 两节竹的容积为（ ） A2.2 升 B2.3 升 C2.4 升 D2.5 升 【分析】设从下至上各节容积分别为 a1，a2，a9，则an是等差数列，设公差为 d， 由题意利用等差数列通项公式列出方程组，由此能求出中间两节的容积 【解答】解：设从下至上各节容积分别为 a1，a2，a9， 则an是等差数列，设公差为 d， 由题意得， 解得 a11.6，d0.1， 中间两节的容积为：a
21、4+a5（1.60.13）+（1.60.14）2.5（升） 故选：D 【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题， 注意等差数列的性质的合理运用 12 （5 分）点 A、B 分别为椭圆的左、右顶点，F 为右焦点，C 为短 轴上不同于原点 O 的一点，D 为 OC 的中点，直线 AD 与 BC 交于点 M，且 MFAB，则 该椭圆的离心率为（ ） A B C D 【分析】 设 M 在第一象限，设 M 坐标，求直线 BM 方程， 得 C 点坐标，求直线 AM 方程， 得 D 点坐标，由 D 为 OC 的中点，得 a、c 数量关系，进一步得离心率 【解答】解：设 M（
22、c，y0）在第一象限， 第 12 页（共 22 页） 又 B（a，0） ， 直线 BM 方程：y C（0，） ，又 A（a，0） 直线 AM 方程：y D（0，） ，D 为 OC 的中点， 2，2（ac）c+a， a3c，e 故选：B 【点评】本题考查了椭圆的离心率的求法，考查了直线方程，考查了方程思想 二、二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量 （3，2） ， （1，1） ，若（ ） ，则 【分析】 可求出， 根据即可得出， 进行数量积的坐标运算即可求出 【解答】解：； ； ； 解得 故答案为： 【点评】
23、考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法、数乘和数量积的运算 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2x+3y 的最小值为 8 【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形求得最优解，再计算目标函数的最小 第 13 页（共 22 页） 值 【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示， 由图形知，当目标函数 z2x+3y 过点 A 时，z 取得最小值； 由，求得 A（1，2） ； z2x+3y 的最小值是 21+328 故答案为：8 【点评】本题考查了线性规划的应用问题，解题时常用“角点法” ，其步骤为：由约束 条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函
24、数，验证 求出最优解 15 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足，若 am与 Sm的等差中项为 11，则 m 的值为 3 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的前 n 项和，再利 用等差中项求出结果 【解答】解：数列an的前 n 项和为 Sn，满足， 当 n2 时， 得：， 即：， 第 14 页（共 22 页） 当 n1 时，a11， （首项符合通项） ， 故：， 则：， 答 am与 Sm的等差中项为 11， 故：， 整理得：3m27， 解得：m3 故答案为：3 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前 n 项和公 式的应用，主
25、要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 16 （5 分）若 f（x）kx+bg（x） ，则定义直线 ykx+b 为曲线 f（x） ，g（x）的“分界直 线” 已知，则 f（x） ，g（x）的“分界 直线”为 yx1 【分析】求得 f（x） ，g（x）的交点（1，0） ，可得所求直线过（1，0） ，即 bk，由 kxk（x）在 x1 恒成立，运用判别式小于等于 0，化简可得 k1，可得直线 方程为 yx1，再证 x1xlnx 在 x1 恒成立，通过函数 yxlnxx+1，求得导数， 判断单调性，即可得到所求结论 【解答】解：由 f（1）ln10，g（1）（11）0， 则 f（x） ，g（x
26、）的图象存在交点（1，0） ， 且 f（x） ，g（x）在1，+）递增， 可得直线 ykx+b 必过（1，0） ，即 bk， 由 kx+bg（x） ，即 kxk（x）在 x1 恒成立， 即有（2k1）x22kx+10， 可得 2k10，且4k24（2k1）0， 解得 k1， 即有直线方程为 yx1， 第 15 页（共 22 页） 下面证明 x1xlnx 在 x1 恒成立， 由 yxlnxx+1 的导数为 y1+lnx1lnx， 由 x1 可得 lnx0，即有函数 yxlnxx+1 在 x1 递增， 可得 xlnxx1 在 x1 恒成立， 则 f（x） ，g（x）的“分界直线”为 yx1 故答案
27、为：yx1 【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查转化思想和恒成立思想解 放，注意运用构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生要根据要求作答 （一）必考题为选考题，考生要根据要求作答 （一）必考 题：共题：共 60 分分 17 （12 分） （文）已知函数的最小正周 期为 4 （1）求 的值； （2）求 f（x）的单调递增区间 【分析
28、】 （1）利用三角函数中的恒等变换应用可求得 f（x）sin（2x+） ，利用其最 小正周期为 4 可求得 ； （2）由（1）知，f（x）sin（x+） ，利用正弦函数的单调性即可求得 f（x）的单 调递增区间 【解答】解： （1）f（x）sinxcosx+cos2x sin2x+cos2x+ sin（2x+） ， T4， （2）f（x）sin +2kx+2k，kZ 第 16 页（共 22 页） +4kx+4k，kZ f（x）的单调递增区间为+4k，+4k（kZ） 【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的周期性与单调性， 属于中档题 18 （12 分）如图，在四棱锥 PAB
29、CD 中，PA平面 ABCD，ABAD，ADBC，AD2BC 4，PB，M 是线段 AP 的中点 （1）证明：BM平面 PCD； （2）当 PA 为何值时，四棱锥 PABCD 的体积最大？并求此最大值 【分析】 （1）取 PD 中点 N，易证 MNCB 为平行四边形，进而得 BM，CN 平行，得证； （2）设 PAx（0） ，把体积表示为关于 x 的函数，借助不等式求得最大值 【解答】解： （1）证明：取 PD 中点 N，连接 MN，CN， M 是 AP 的中点， MNAD 且 MN， ADBC，AD2BC， MNBC，MNBC， 四边形 MNCB 是平行四边形， MBCN， 又 BM平面 P
30、CD，CN平面 PCD， BM平面 PCD； （2）设 PAx（0x4） ， PA平面 ABCD， PAAB， ， 第 17 页（共 22 页） AB， 又ABAD，AD2BC4， VPABCD 16， 当且仅当 x，即 x4 时取等号， 故当 PA4 时，四棱锥 PABCD 的体积最大，最大值为 16 【点评】此题考查了线面平行，线面垂直，棱锥体积，不等式等，难度适中 19 （12 分）某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活 动；跑步、游泳、健身操等体育活动该中学共有高一学生 300 名，要求每位学生必须 选择参加其中一项活动，现对高一学生的性别、学习积极性及选
31、择参加的文体活动情况 进行统计，得到数据如下： 男生 女生 参加文化活动 参加体育活动 参 加 文 化 活 动 参 加 体 育 活 动 学习积极性高 80 36 100 24 第 18 页（共 22 页） 学习积极性不 高 20 24 10 6 （1）在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取 6 名，再从这 6 名学生中抽取 2 人了 解家庭情况，求 2 人中至少有 1 名女生的概率； （2）是否有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关？请说明你的 理由 附：参考公式：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635
32、 10.828 【分析】 （1）由表中数据，选择参加体育活动的男生有 36+2460 人，女生有 24+630 人，再列举出从这 6 名学生中抽取 2 人的所有组合和至少有 1 名女生的组合，再根据古 典概型的概率公式可得； （2）先得 22 列联表，再根据公式计算 K2与临界值表比较可得 【解答】解： （1）由表中数据，选择参加体育活动的男生有 36+2460 人，女生有 24+6 30 人， 按性别从中分层抽取 6 名，应抽取 4 名男生，2 名女生， 记男生为 a，b，c，d，女生为 e，f，从这 6 名学生中抽取 2 人的所有组合为： （a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （
33、a，e） ， （a，f） ， （b，c） ， （b，d） ， （b，e） ， （b，f） ， （c，d） ， （c，e） ， （c，f） ， （d，e） ， （d，f） ， （e，f） ，共 15 种， 其中至少有 1 名女生的组合的有： （ae） ， （a，f） ， （b，e） ， （b，f） ， （c，e） ， （c，f） ， （d，e） ， （d，f） ， （e，f）共 9 种， 所以 2 人中至少有 1 名女生的概率为 （2）由表知： 选择参加文化活动 没有选择参加文化活 动 合计 学校积极性高 180 60 240 学习积极性不高 30 30 60 第 19 页（共 22 页） 合计
34、 210 90 300 K214.3， 14.310.828， 有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关 【点评】本题考查了独立性检验，属中档题 20 （12 分）已知抛物线 E：y22px（p0）上一点 M（4，y0）到焦点 F 的距离为 5 （1）求抛物线 E 的方程； （2）直线 l 与圆 C：x2+y24x0 相切且与抛物线 E 相交于 A，B 两点，若AOB 的面 积为 4（O 为坐标原点） ，求直线 l 的方程 【分析】 （1）由抛物线的定义求出 p 的值，即可得出抛物线的方程； （2）设直线 l 的方程为 xmy+n，设点 A（x1，y1） 、B（x2，y2
35、） ，根据直线 l 与圆 C 相 切得出 m 与 n 所满足的第一个关系式，将直线 l 的方程联立，列出韦达定理，计算出|AB| 以及原点 O 到直线 l 的距离 d，然后利用三角形的面积公式计算出AOB 的面积，得出 m 与 n 所满足的第二个关系式，然后将两个关系式联立，求出 m 和 n 的值，即可得出直 线 l 的方程 【解答】解： （1）由抛物线的定义知，所以，p2， 因此，抛物线 E 的方程为 y24x； （2）由题意知，直线 l 与 y 轴不垂直，设直线 l 的方程为 xmy+n 直线 l 与圆 C 相切，又圆 C 的圆心为（2，0） ，所以，4m2n24n， 设点 A（x1，y1
36、） 、B（x2，y2） ，由，消去 x 得，y24my4n0， 由韦达定理得 y1+y24m，y1y24n 则 ， 又原点 O 到直线 l 的距离为， 第 20 页（共 22 页） ， ，（m2+n）n24， 又 4m2n24n，解得 n2 当 n2 时，m21 不成立； 当 n2 时，m23， 经检验，所求直线方程为，即 【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，以及韦达定理设而不 求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题 21 （12 分）已知函数 （1）判断 f（x）的单调性； （2）若 f（x）0 在（1，+）上恒成立，且 f（x）0 有唯一解，试证明 a
37、1 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为2lnx0+0，令 g（x0）2lnx0+，根据函数的 单调性证明即可 【解答】解： （1）函数的定义域是（0，+） ， f（x）+xa， 易知 x2ax20 有两根，x10，x2， 故 f（x）在（0，）递减，在（，+）递增； （2）a0，1， f（x）在（1，+）上有唯一零点 x0， 又 f（x）+xa，+x0a0， 要使 f（x）0 在区间（1，+）恒成立，且 f（x）0 有唯一解， 第 21 页（共 22 页） 须 f（x0）0，即2lnx0+（+1）ax00， 由得： 2lnx0+（+1
38、）x0（+x0）0， 故2lnx0+0， 令 g（x0）2lnx0+， 显然 g（x0）在（1，+）递减， g（1）20，g（2）2ln2+0， 1x02， 又a+x0在（1，+）递增， 故 a1 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题 计分计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，以坐
39、标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（0，02） ，点 A 为曲线 C1 上的动点，点 B 在线段 OA 的延长线上，且满足|OA|OB|6，点 B 的轨迹为 C2 （1）求 C1，C2的极坐标方程； （2）设点 C 的极坐标为（2，0） ，求ABC 面积的最小值 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （2）利用（1）的结论，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 转换为直角坐标方程为：x2+（y1）21， 转换为极坐标方程为：2sin， 设点 B 的极坐标为（，） ，点 A 的
40、极坐标为（0，0） 则：|OB|，|OA|0， 且满足|OA|OB|6， 第 22 页（共 22 页） 整理得：， 即：sin3 （2）点 C 的极坐标为（2，0） ， 则：|OC|3， 所以：， |32sin2| 当 sin1 时，SABC的最小值为 1 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角 形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x5|+|x1| （1）求 f（x）的最小值 m； （2）若正实数 a，b 满足，求证： 【分析】 （1）根据绝对值不等式|a+b|ab|便可得出|x5|+|x1|4，从而得出 f（x） 的最小值为 4，即得到 t4； （2）利用柯西不等式即可证明 【解答】 （1）解 f（x）|x5|+|x1|（x5）（x1）|4； f（x）的最小值 m 为 4； （2）证明：a0，b0，+， （+）12+（）2（1+）264 【点评】考查绝对值不等式公式：|a|+|b|ab|，以及柯西不等式的应用，属于中档题
