1、已知集合 U0，1，2，3，4，5，6，A0，2，4，6，则UA（ ） A0，2，4，6 B2，4，6 C1，3，5 D0，1，3，5 2 （5 分）设 z+2+i，则复数 z 的虚部为（ ） A2 B2i C1 Di 3 （5 分）已知向量 （1，1） ，2 + （4，3） ， （x，2） ，若 ，则 x 的值为 （ ） A4 B4 C2 D2 4 （5 分）已知双曲线 C：y21（a0）的焦距为 2，则 C 的渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 5 （5 分）AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 指数 值不大于 100 时称空气质量
2、为“优良” 如图是某地 4 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的统计 数据，图中点 A 表示 4 月 1 日的 AQI 指数值为 201，则下列叙述不正确的是（ ） A这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日 C这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90 D从 4 日到 9 日，空气质量越来越好 6 （5 分）在ABC 中，若 AB3BC，cosA，则 cosB（ ） A B C D 7 （5 分）如图，圆柱的轴截面 ABCD 为正方形，E 为弧的中点，则异面直线 AE 与 BC 第 2 页（共 22 页） 所成角的余弦值为（ ） A
3、 B C D 8 （5 分）设函数 f（x）+a，若 f（x）为奇函数，则不等式 f（x）的解集为 （ ） A （0，ln2） B （，1n2） C （，ln3） D （0，ln3） 9 （5 分）已知圆 O 的半径为 1，在圆 O 内随机取一点 M，则过点 M 的所有弦的长度都大 于的概率为（ ） A B C D 10 （5 分）设函数 f（x）sinxcosx，若对于任意的 xR，都有 f（2x）f（x） ，则 sin （2）（ ） A B C D 11 （5 分）数学名著九章算术中有如下问题： “今有刍甍（mng） ，下广三丈，袤（m o）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意
4、思为： “今有底面为矩形的屋 脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，高 1 丈，问它的体积是多少？” 现 将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为（单 位：立方丈） （ ） 第 3 页（共 22 页） A5.5 B5 C6 D6.5 12 （5 分）已知函数 f（x），若关于 x 的方程 f（x）a 又有且只有一个 实数根，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，0（，1） B （，0）（，1） C （，1） D0，） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5
5、 分）函数 ylnx+的定义域为 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值为 15 （5 分）已知直线 l：ykx+1 与圆 C：x2+y22x2y+10 相交于 A，B 两点，若|AB| ，则 k 16 （5 分）抛物线 C：y24x 的焦点为 F，动点 P 在抛物线 C 上，点 A（1，0） ，当 取得最小值时，直线 AP 的方程为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题每题为必考题每 一个试题考生都必须作答第一个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考
6、生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn2ann （1）求证an+1为等比数列； （2）求数列Sn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 D1B1的中点 ABAD2，AA1 2 （1）证明：CO平面 AB1D1； （2）求三棱锥 OAB1C 的体积 第 4 页（共 22 页） 19 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）经过点 P（0，1） ，其离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若不经过点 P 的直线 l 与椭圆 C
7、相交于 A，B 两点，且APB90，证明：直线 l 经过定点 20 （12 分）某小学为了解四年级学生的家庭作业用时情况，从本校四年级随机抽取了一批 学生进行调查，并绘制了学生作业用时的频率分布直方图，如图所示 （1）估算这批学生的作业平均用时情况； （2）作业用时不能完全反映学生学业负担情况，这与学生自身的学习习惯有很大关系如 果用时四十分钟之内评价为优异，一个小时以上为一般，其它评价为良好现从优异和 良好的学生里面用分层抽样的方法抽取 300 人，其中女生有 90 人（优异 20 人） 请完成 列联表，并根据列联表分析能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为学习习惯与性 别有关系？
8、 男生 女生 合计 良好 优异 合计 附：，其中 na+b+c+d p（K2k） 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 第 5 页（共 22 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）x2lnxmx3+x，曲线 yf（x）在 x1 处的切线交 y 轴于点 （0，） （1）求 m 的值； （2）若对于（1，+）内的任意两个数 x1，x2，当 2m 时，a（x1+x2） 恒成立，求实数 a 的取值范围 (二二)选考题选考题:共共 10 分分,请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果
9、多做如果多做,则按所做的第一题计则按所做的第一题计 分分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，倾斜角 为 的直线 l 经过点 P（0，） （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程； （2）若直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点 M，N，求|PM|+|PN|的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|xa|+2|x+1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）设不等式 f（x）|2x+4|的解集为 M，若0，3M，求 a 的取值范围
10、第 6 页（共 22 页） 2019 年山东省聊城市高考数学一模试卷（文科）年山东省聊城市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）已知集合 U0，1，2，3，4，5，6，A0，2，4，6，则UA（ ） A0，2，4，6 B2，4，6 C1，3，5 D0，1，3，5 【分析】由全集 U 及 A 求出 A 的补集 【解答】解：集合 U0，1，2，3，
11、4，5，6，A0，2，4，6，则UA1，3，5， 故选：C 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2 （5 分）设 z+2+i，则复数 z 的虚部为（ ） A2 B2i C1 Di 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z+2+i， 复数 z 的虚部为 2 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知向量 （1，1） ，2 + （4，3） ， （x，2） ，若 ，则 x 的值为 （ ） A4 B4 C2 D2 【分析】可求出，从而根据得出 x+40，解出 x4 【解答】解：； ；
12、 x+40； x4 故选：B 第 7 页（共 22 页） 【点评】考查向量坐标的减法和数乘运算，平行向量的坐标关系 4 （5 分）已知双曲线 C：y21（a0）的焦距为 2，则 C 的渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 【分析】由题意可得 c，运用 a，b，c 的关系可得 a，即有双曲线的方程，可得双 曲线的渐近线方程 【解答】解：双曲线 C：y21（a0）的焦距为 2， 可得 c，即 a2+15，解得 a2， 可得双曲线的方程为y21， C 的渐近线方程为 yx 故选：D 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力， 属于基础题 5 （5 分
13、）AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 指数 值不大于 100 时称空气质量为“优良” 如图是某地 4 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的统计 数据，图中点 A 表示 4 月 1 日的 AQI 指数值为 201，则下列叙述不正确的是（ ） A这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日 C这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90 D从 4 日到 9 日，空气质量越来越好 【分析】对 4 个选项分别进行判断，可得结论 【解答】解：这 12 天中，空气质量为“优良”的有 95，85，77，67，7
14、2，92，故 A 正 确； 第 8 页（共 22 页） 这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日，AQI 指数值为 67，故 B 正确； 这 12 天的 AQI 指数值的中位数是99.5，故 C 不正确； 从 4 日到 9 日，AQI 数值越来越低，空气质量越来越好，故 D 正确， 故选：C 【点评】本题考查 AQI 指数值的统计数据的分析，考查学生分析解决问题的能力，属于 中档题 6 （5 分）在ABC 中，若 AB3BC，cosA，则 cosB（ ） A B C D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，由正弦定理可得 sinC1，结合 范围 C（0，） ，可求 C
15、，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式即可计 算得解 cosB 的值 【解答】解：cosA， 可得：sinA， AB3BC， 由正弦定理可得：，可得：，可得：sinC1， C（0，） ， C， cosBcos（A+C）sinAsinCcosAcosC0 故选：A 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，两 角和的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 7 （5 分）如图，圆柱的轴截面 ABCD 为正方形，E 为弧的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为（ ） 第 9 页（共 22 页） A B C D 【分析】由
16、题意知异面直线 AE 与 BC 所成角即为EAD，在EAD 中可求角 【解答】 解：取 BC 的中点 H，连接 EH，AH，EHA90，设 AB2， 则 BHHE1，AH，所以 AE， 连接 ED，ED，因为 BCAD， 所以异面直线 AE 与 BC 所成角即为EAD， 在EAD 中 cosEAD， 故选：D 【点评】本题考查异面直线所成的角，属于简单题 8 （5 分）设函数 f（x）+a，若 f（x）为奇函数，则不等式 f（x）的解集为 （ ） A （0，ln2） B （，1n2） C （，ln3） D （0，ln3） 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（0）+a0，解可得 a 的值，
17、进而分析 f （x）的单调性以及 f（ln3）的值，据此分析可得 f（x）f（x）f（ln3）xln3， 即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）+a，其定义域为 R， 第 10 页（共 22 页） 若 f（x）为奇函数，则有 f（0）+a0，解可得 a， 则 f（x）， 又由 yex+1 为增函数，则 f（x）在 R 上为减函数，且 f（ln3） ， f（x）f（x）f（ln3）xln3， 即不等式的解集为（，ln3） ； 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，关键是求出 a 的值，属于基 础题 9 （5 分）已知圆 O 的半径为 1，在圆 O 内随机取一点
18、M，则过点 M 的所有弦的长度都大 于的概率为（ ） A B C D 【分析】由题意求得 M 点到 O 的距离的范围，再由测度比是面积比得答案 【解答】解：若过点 M 的所有弦的长度都大于， 则 OM， 则 M 点落在以 O 为圆心，以为半径的圆内， 由测度比是面积比可得，过点 M 的所有弦的长度都大于的概率为 故选：D 【点评】本题考查几何概型，明确过 M 且与 OM 垂直的弦长最短是关键，是基础题 10 （5 分）设函数 f（x）sinxcosx，若对于任意的 xR，都有 f（2x）f（x） ，则 sin （2）（ ） A B C D 【分析】利用辅助角公式化积，结合 f（2x）f（x）求
19、得 2，代入 sin（2） ， 再由诱导公式求解 第 11 页（共 22 页） 【解答】解：f（x）sinxcosx， 由 f（2x）f（x） ，得， ，kZ（舍） ，或，kZ 则 2，kZ sin（2）sin（）cos 故选：B 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角差的正弦，是基础题 11 （5 分）数学名著九章算术中有如下问题： “今有刍甍（mng） ，下广三丈，袤（m o）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为： “今有底面为矩形的屋 脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，高 1 丈，问它的体积是多少？” 现 将该楔体的三视图给出，其中
20、网格纸上小正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为（单 位：立方丈） （ ） A5.5 B5 C6 D6.5 【分析】根据三视图知该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，结合图中数据计算该几何 体的体积 【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示； 结合图中数据，计算该几何体的体积为 第 12 页（共 22 页） VV三棱柱2V三棱锥31423115（立方丈） 故选：B 【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题 12 （5 分）已知函数 f（x），若关于 x 的方程 f（x）a 又有且只有一个 实数根，则实数 a 的取值范围为（ ） A （，0（，1）
21、B （，0）（，1） C （，1） D0，） 【分析】由方程的解的个数与函数图象交点个数的相互转化得：关于 x 的方程 f（x）a 又有且只有一个实数根等价于函数 yf（x）的图象与直线 ya 只有一个交点，由导数 研究函数的图象、最值得：当 x0 时，f（x），得：f（x），当 0x 1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0，即 f（x）在（0，1）为增函数，在（1， +）为减函数，f（x）maxf（e），再结合函数 yf（x）的图象与直线 ya 的位 置关系可得解 【解答】解：关于 x 的方程 f（x）a 又有且只有一个实数根等价于函数 yf（x）的图 象与直线 ya 只有一个交点，
22、当 x0 时，f（x）1+， 当 x0 时，f（x）， 得：f（x）， 当 0x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0， 即 f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+）为减函数， f（x）maxf（e）， 综合得：yf（x）的图象与直线 ya 的位置如图所示： 由图可知函数 yf（x）的图象与直线 ya 只有一个交点时实数 a 的取值范围为 a， 故选：B 第 13 页（共 22 页） 【点评】本题考查了方程的解的个数与函数图象交点个数的相互转化及利用导数研究函 数的图象、最值，属中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20
23、分）分） 13 （5 分）函数 ylnx+的定义域为 （0，2 【分析】根据对数函数的定义以及二次根式的性质求出函数的定义域即可 【解答】解：由题意得： ，解得：0x2， 故函数的定义域是（0，2， 故答案为： （0，2 【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查常见函数的性质，是一道基础题 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值为 14 【分析】画出约束条件表示的平面区域，由图形找出最优解，计算目标函数的最大值 【解答】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示， 第 14 页（共 22 页） 由图形知，当目标函数 zx+2y 过点 A 时取得最大值， 由，解得 A（
24、2，6） ， 代入计算 z2+2614， 所以 zx+2y 的最大值为 14 故答案为：14 【点评】本题考查了利用数形结合法求简单的线性规划应用问题，是基础题 15 （5 分）已知直线 l：ykx+1 与圆 C：x2+y22x2y+10 相交于 A，B 两点，若|AB| ，则 k 1 【分析】根据圆心到直线的距离 d 与半径和弦长的关系求出 k 的值即可 【解答】解：圆 C：x2+y22x2y+10，化为： （x1）2+（y1）21， 圆心为 C（1，1） ，半径为 1， 则圆心到直线的距离为 d，即， 解得：k1 故答案为：1 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应
25、用，是基础题 16 （5 分）抛物线 C：y24x 的焦点为 F，动点 P 在抛物线 C 上，点 A（1，0） ，当 取得最小值时，直线 AP 的方程为 x+y+10 或 xy+10 第 15 页（共 22 页） 【分析】设 P 点的坐标为（4t2，4t） ，根据点与点的距离公式，可得（）2 1，再根据基本不等式求出 t 的值，即可求出直线 AP 的方程 【解答】解：设 P 点的坐标为（4t2，4t） ，F（1，0） ，A（1，0） |PF|2（4t21）2+16t216t4+8t2+1 |PA|2（4t2+1）2+16t216t4+24t2+1 （） 2 111 1， 当且仅当 16t2，即
26、 t时取等号， 此时点 P 坐标为（1，2）或（1，2） ， 此时直线 AP 的方程为 y（x+1） ，即 x+y+10 或 xy+10， 故答案为：x+y+10 或 xy+10， 【点评】本题考察了抛物线的定义，转化为基本不等式求解，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题每题为必考题每 一个试题考生都必须作答第一个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知数列an
27、的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn2ann （1）求证an+1为等比数列； （2）求数列Sn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）因为 Sn2ann所以当 n1 时，a1S12a11，解得 a1当 n2 时， Sn2ann，Sn12an1（n1） ，相减化简即可证明 （2）由（1）知 an+12n，可得 an2n1Sn2（2n1）n2n+1n2，利用求和 公式即可得出 【解答】 （1）证明：因为 Sn2ann所以当 n1 时，a1S12a11，即 a11 当 n2 时，Sn2ann，Sn12an1（n1） ， 得：an2an2an11，即 an+12（an1+1） ，又 a1+12， 第 1
28、6 页（共 22 页） 所以an+1为以 2 为首项以 2 为公比的等比数列 （2）解：由（1）知 an+12n 所以 an2n1 所以 Sn2（2n1）n2n+1n2， 所以 Tn2n+24 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 18 （12 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 D1B1的中点 ABAD2，AA1 2 （1）证明：CO平面 AB1D1； （2）求三棱锥 OAB1C 的体积 【分析】 （1）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，由已知证明 COB1D1，求解三角形可得 OCOA，再由线面垂直的判定可
29、得 CO平面 AB1D1； （2）由（1）知，OB1平面 AOC，AOC 为直角三角形，且，然后利用 等积法即可求得三棱锥 OAB1C 的体积 【解答】 （1）证明：在长方体 ABCDA1B1C1D1中， ABAD2，AA12，B1CD1C， O 为 D1B1的中点，COB1D1， 同理 AOB1D1，求解三角形可得 AOOC， AC4，AO2+OC2AC2，即 OCOA B1D1OAO，CO平面 AB1D1； （2）解：由（1）知，OB1平面 AOC，AOC 为直角三角形，且 第 17 页（共 22 页） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 等积法求
30、多面体的体积，是中档题 19 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）经过点 P（0，1） ，其离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若不经过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且APB90，证明：直线 l 经过定点 【分析】 （1） （1）由 e，b1，又 a2b2+c2，即可求出椭圆的方程； （2）设 l：ykx+m，联立椭圆方程，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件可得 （k2+1）x1x2+（kmk） （x1+x2）+m22m+10 （k2+1） （4m24）（kmk） 8km+（m22m+1） （1+4k2）0，化简整理能证明直 线 l 过定点 【解答】解
31、： （1）椭圆 C：+1（ab0）经过点 P（0，1） ，其离心率为 b1，1， a2 故椭圆 C 的方程为：； （2）依题意直线 l 的斜率存在，设不经过点 P 的直线 l 方程为：ykx+m，A（x1，y1） ， B（x2，y2） ， 由得（1+4k2）x2+8kmx+4m240， （8km）24（1+4k2） （4m24）0 第 18 页（共 22 页） ， ， （k2+1）x1x2+（kmk） （x1+x2）+m22m+10 （k2+1） （4m24）（kmk） 8km+（m22m+1） （1+4k2）0， 5m22m30m1，或 m， 直线 l 不经过点 P，m 此时，直线 l 经过
32、定点（0，） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直 线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查方程思想、化归 与转化思想，是一道综合题 20 （12 分）某小学为了解四年级学生的家庭作业用时情况，从本校四年级随机抽取了一批 学生进行调查，并绘制了学生作业用时的频率分布直方图，如图所示 （1）估算这批学生的作业平均用时情况； （2）作业用时不能完全反映学生学业负担情况，这与学生自身的学习习惯有很大关系如 果用时四十分钟之内评价为优异，一个小时以上为一般，其它评价为良好现从优异和 良好的学生里面用分层抽样的方法抽取 300 人，其中女生有
33、 90 人（优异 20 人） 请完成 列联表，并根据列联表分析能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为学习习惯与性 别有关系？ 男生 女生 合计 良好 优异 合计 附：，其中 na+b+c+d p（K2k） 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 第 19 页（共 22 页） 【分析】 （1） 10（350.01+450.02+550.03+650.025+750.01+850.005） 57； （2）优异学生数与良好学生数之比为 0.01： （0.02+0.03）1：5，按照分层抽样得 300 人中优
34、异 50，人，良好 250 人，女生 90 人，男生 210 人，女生优异 20，良好 70，男生 优异 30，良好 180 人， 由此可得列联表，根据列联表计算 K2，结合临界值表可得 【解答】 解：（1） 10 （350.01+450.02+550.03+650.025+750.01+850.005） 57 这批学生的作业平均用时为 57 分钟 （2）优异学生数与良好学生数之比为 0.01： （0.02+0.03）1：5， 按照分层抽样得 300 人中优异 50，人，良好 250 人，女生 90 人，男生 210 人，女生优异 20，良好 70，男生优异 30，良好 180 人， 列联表如
35、下： 男生 女生 合计 良好 180 70 250 优异 30 20 50 合计 210 90 300 K22.8573.841， 故不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为学习习惯与性别有关系 【点评】本题考查了独立性检验，属中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x2lnxmx3+x，曲线 yf（x）在 x1 处的切线交 y 轴于点 （0，） 第 20 页（共 22 页） （1）求 m 的值； （2）若对于（1，+）内的任意两个数 x1，x2，当 2m 时，a（x1+x2） 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求出原函数的导函数，得到 f（1） ，求出 f（1） ，
36、可得切线方程，代入（0， ）即可求得 m 值； （2）把（1）中求得的 m 值代入函数解析式，设 x1x2，把对于（1，+）内的任意两 个数 x1，x2，a（x1+x2）转化为， 设 g（x）f（x）ax2，则 g（x）x2lnxx3+xax2 在（1，+）上为减函数，可 得 g（x）2xlnx+xx2+12ax0 对 x1 恒成立，分离参数 a，再由导数求最值得答 案 【解答】解： （1）由 f（x）x2lnxmx3+x，得 f（x）2xlnx+x3mx2+1， f（1）1m，f（1）23m， 曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 y1+m（23m） （x1） ， 则，解得 m； （2）
37、f（x）x2lnxx3+x， 不妨设 x1x2，对于（1，+）内的任意两个数 x1，x2，a（x1+x2） ， 即有， 设 g（x）f（x）ax2，则 g（x）x2lnxx3+xax2 在（1，+）上为减函数 则 g（x）2xlnx+xx2+12ax0 对 x1 恒成立 可得 2a在（1，+）上恒成立 令 h（x），h（x）0， 则 h（x）在（1，+）上单调递减， h（x）h（1）1 第 21 页（共 22 页） 2a1，即 a 实数 a 的取值范围是，+） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数 学转化思想方法，是中档题 (二二)选考题选考题:共共 1
38、0 分分,请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做如果多做,则按所做的第一题计则按所做的第一题计 分分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，倾斜角 为 的直线 l 经过点 P（0，） （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程； （2）若直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点 M，N，求|PM|+|PN|的最大值 【分析】 （1）由消去 得+y21，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ， （2）将直线 l 的参数方程代入到曲线 C 的方程后，根据参
39、数的几何意义可得最大值 【解答】解： （1）由消去 得+y21， 所以曲线 C 的普通方程为+y21，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， （2）将直线 l 的参数方程（t 为参数）代入到+y21 中并整理得： （+sin2）t2+2tsin+10， 设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1+t2，t1t2 0，t1，t2同号， |PM|+|PN| |t1|+|t2| |t1+t2| 第 22 页（共 22 页） ， （当且仅当 sin时取等） ， |PM|+|PN|的最大值为： 【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知
40、函数 f（x）|xa|+2|x+1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）设不等式 f（x）|2x+4|的解集为 M，若0，3M，求 a 的取值范围 【分析】 （1）代入 a 的值，通过讨论 x 的范围，求出各个区间上的 x 的范围，取并集即 可； （2）问题转化为|xa|2 即 x2ax+2 在0，3恒成立，求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）a1 时，f（x）|x1|+2|x+1|， 若 f（x）4， x1 时，x1+2x+24，解得：x1，故 x1， 1x1 时，1x+2x+24，解得：x1，故1x1， x1 时，1x2x24，解得：x，故x1， 综上，不等式的解集是，1； （2）若0，3M， 则问题转化为|xa|+2|x+1|2x+4|在0，3恒成立， 即|xa|2x+42x22， 故2xa2， 故2xa2x 在0，3恒成立， 即 x2ax+2 在0，3恒成立， 故 1a2， 即 a 的范围是1，2 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常 规题
