1、已知集合 Ax|x10，Bx|x25x60，则 AB（ ） A （，1） B （6，1） C （1，1） D （，6） 2 （5 分）设复数 z 满足|z1|1，则 z 在复平面内对应的点为（x，y） ，则（ ） A （x+1）2+y21 B （x1）2+y21 Cx2+（y1）21 Dx2+（y+1）21 3 （5 分）下列函数为奇函数的是（ ） Aysin|x| By|sinx| Cycosx Dyexe x 4 （5 分）袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球从袋中 任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（ ） A B
2、C D1 5 （5 分）等差数列 x，3x+3，6x+6，的第四项等于（ ） A0 B9 C12 D18 6 （5 分） （x2）5展开式中的常数项为（ ） A80 B80 C40 D40 7 （5 分）已知 l，m 是两条不同的直线，m平面 ，则“lm”是“l”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，yR，那么输出的 S 的最大值为（ ） 第 2 页（共 24 页） A0 B1 C2 D3 9 （5 分） 已知 e 为自然对数的底数， 设函数 f （x） （ex1） （x1） k （k1， 2）
3、 ， 则 （ ） A当 k1 时，f（x）在 x1 处取得极小值 B当 k1 时，f（x）在 x1 处取得极大值 C当 k2 时，f（x）在 x1 处取得极小值 D当 k2 时，f（x）在 x1 处取得极大值 10 （5 分）抛物线方程为 x24y，动点 P 的坐标为（1，t） ，若过 P 点可以作直线与抛物线 交于 A，B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点，则直线 AB 的斜率为（ ） A B C2 D2 11 （5 分）已知函数 f（x）为定义域为 R 的偶函数，且满足 f（1+x）f（1x） ，当 x 1， 0时 f （x） x， 则函数 F （x） f （x） +在区间9， 10上
4、零点的个数为 （ ） A10 B12 C18 D20 12 （5 分）已知函数，则下述结论中错误的是（ ） A若 f（x）在0，2有且仅有 4 个零点，则 f（x）在0，2有且仅有 2 个极小值点 B若 f（x）在0，2有且仅有 4 个零点，则 f（x）在上单调递增 C若 f（x）在0，2有且仅有 4 个零点，则 的范围是 第 3 页（共 24 页） D若 f（x）图象关于对称，且在单调，则 的最大值为 9 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量，若，则 14 （5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若
5、 a31，S33，则 a1 15 （5 分）已知双曲线的渐近线与圆 x2+y24x+30 相切，则 该双曲线的离心率为 16 （5 分）在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为 4 的菱形，ABC60，AA1 4，过点 B 与直线 AC1垂直的平面交直线 AA1于点 M，则三棱锥 AMBD 的外接球的 表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分） 已知在ABC 中， 角 A、 B、 C 对应的边分别为 a、 b、 c， bsinB+asinCasinA+csinC （1）求角 B； （2）若 c1，
6、ABC 的面积为，求 C 18（12 分） 某公司新上一条生产线， 为保证新的生产线正常工作， 需对该生产线进行检测 现 从该生产线上随机抽取 100 件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数 14，标准差2，绘制如图所示的频率分布直方图以频率值作为概率估计值 （1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为 X，依据以下不等式评判（P 表示对应事件的概率） ： P（X+）0.6826 P（2X+2）0.9544 P（3X+3）0.9974 评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生 产线，试判断该生产线是否需要检修； （2）将数据不在（2，+2）
7、内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意 抽取 2 件，次品数记为 Y，求 Y 的分布列与数学期望 EY 第 4 页（共 24 页） 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCD1，过棱 PC 的中点 E，作 EFPB 交 PB 于点 F （1）证明：PA平面 EDB； （2） 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为， 求 PA 与面 ABCD 所成角的正弦值 20 （12 分）已知椭圆的短半轴长为，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）设 A，B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点 A 在第一象限，AEx 轴
8、，垂足 为 E，连接 BE 并延长交椭圆于点 D，证明：ABD 是直角三角形 21 （12 分）设函数 f（x）x22ax+2（a+1）lnx（aR） （1）讨论 f（x）的单调区间； （2）证明：若1a3，对任意的 x1，x2（0，+） ，x1x2，有 第 5 页（共 24 页） 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，则按所做的第一题计分.作答时，请用作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角
9、坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为， （t 为参数，0 ） 在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 （1）求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点的直角坐标为（1，2） ，求直线 l 的斜率 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|xa|+|x+|， （实数 a0） （1）当 a1，求不等式 f（x）3 的解集； （2）求证：f（x）2 第 6 页（共 24 页） 2020 年广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科）年广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答
10、案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x10，Bx|x25x60，则 AB（ ） A （，1） B （6，1） C （1，1） D （，6） 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x10x|x1， Bx|x25x60x|1x6， ABxx6（，6） 故选：D 【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）
11、设复数 z 满足|z1|1，则 z 在复平面内对应的点为（x，y） ，则（ ） A （x+1）2+y21 B （x1）2+y21 Cx2+（y1）21 Dx2+（y+1）21 【分析】设 zx+yi（x，yR） ，代入|z1|1，由复数模的计算公式求解 【解答】解：设 zx+yi（x，yR） ， 由|z1|1，得|（x1）+yi|1 （x1）2+y21 故选：B 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）下列函数为奇函数的是（ ） Aysin|x| By|sinx| Cycosx Dyexe x 【分析】利用奇偶性的定义直接判断得出答案 【解答】解
12、：由奇偶函数的定义可知，选项 ABC 显然是偶函数，选项 D 为奇函数 故选：D 【点评】本题考查函数奇偶性的判断，属于基础题 第 7 页（共 24 页） 4 （5 分）袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球从袋中 任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（ ） A B C D1 【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从 15 个球任 取 2 球的取法，而在求“所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球”事件的基
13、本事件个数 时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可 【解答】解：这是一个古典概型，从 15 个球中任取 2 个球的取法有； 基本事件总数为 105； 设“所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球”为事件 A； 则 A 包含的基本事件个数为50； P（A） 故选：B 【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数 原理 5 （5 分）等差数列 x，3x+3，6x+6，的第四项等于（ ） A0 B9 C12 D18 【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出 【解答】解：等差数列an：x，3x+3，6x+6， 2（3x+3）x+6x+6，
14、 解得 x0 此数列的首项 a10，公差 d3 a40+3（41）9 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 6 （5 分） （x2）5展开式中的常数项为（ ） A80 B80 C40 D40 第 8 页（共 24 页） 【分析】利用（）5展开式中的通项公式 Tr+1x2 （5r） （2）rx 3r，令 x 的幂指数为 0，求得 r 的值，即可求得（）5展开式中的常数项 【解答】解：设（）5展开式中的通项为 Tr+1， 则 Tr+1x2 （5r） （2）rx 3r（2）r x10 5r， 令 105r0 得 r2， （）5展开式中的常数项
15、为（2）241040 故选：C 【点评】本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于 中档题 7 （5 分）已知 l，m 是两条不同的直线，m平面 ，则“lm”是“l”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答】解：若已知 l，m 是两条不同的直线，m平面 ，则“lm” ，当 l 在平面 内 时，推不出“l” ， 若已知 l，m 是两条不同的直线， “l” ，能推出 m平面 ，则“lm” ， 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 l，m 是两条不同的直线，m平
16、面 ，则“lm”是“l”的必要而不充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是 解决本题的关键 8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，yR，那么输出的 S 的最大值为（ ） 第 9 页（共 24 页） A0 B1 C2 D3 【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数 S2x+y 的最大值，画出可行域， 求得取得最大值的点的坐标，得出最大值 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是 S2x+y 的 最大值， 画出可行域如图： 当时，S2x+y 的值最大，且最大值为 2 故选：C 【点评】本题借助选择结构的程序框
17、图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判 第 10 页（共 24 页） 断算法的功能是解题的关键 9 （5 分） 已知 e 为自然对数的底数， 设函数 f （x） （ex1） （x1） k （k1， 2） ， 则 （ ） A当 k1 时，f（x）在 x1 处取得极小值 B当 k1 时，f（x）在 x1 处取得极大值 C当 k2 时，f（x）在 x1 处取得极小值 D当 k2 时，f（x）在 x1 处取得极大值 【分析】通过对函数 f（x）求导，根据选项知函数在 x1 处有极值，验证 f（1）0， 再验证 f（x）在 x1 处取得极小值还是极大值即可得结论 【解答】解：当 k1 时，函数 f
18、（x）（ex1） （x1） 求导函数可得 f（x）ex（x1）+（ex1）（xex1） ， f（1）e10，f（2）2e210， 则 f（x）在在 x1 处与在 x2 处均取不到极值， 当 k2 时，函数 f（x）（ex1） （x1）2 求导函数可得 f（x）ex（x1）2+2（ex1） （x1）（x1） （xex+ex2） ， 当 x1，f（x）0，且当 x1 时，f（x）0，当 x0x1 时（x0为极大值点） ，f （x）0，故函数 f（x）在（1，+）上是增函数； 在（x0，1）上是减函数，从而函数 f（x）在 x1 取得极小值对照选项 故选：C 【点评】本题考查了函数的极值问题，考查学
19、生的计算能力，正确理解极值是关键 10 （5 分）抛物线方程为 x24y，动点 P 的坐标为（1，t） ，若过 P 点可以作直线与抛物线 交于 A，B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点，则直线 AB 的斜率为（ ） A B C2 D2 【分析】点差法求出直线的斜率的代数式，再由中点的横坐标可得斜率 第 11 页（共 24 页） 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，两点代入抛物线的方程：，两式 相减可得， 而由题意可得 x1+x2212，所以直线的斜率 k， 故选：A 【点评】考查抛物线的性质，属于基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）为定义域为 R 的偶函数，且满足
20、 f（1+x）f（1x） ，当 x 1， 0时 f （x） x， 则函数 F （x） f （x） +在区间9， 10上零点的个数为 （ ） A10 B12 C18 D20 【分析】条件等价于函数 f（x）与 g（x）图象在9，10上交点的个数，作 出函数 f（x）与 g（x）的图象如图，数形结合即可得到答案 【解答】解：条件等价于函数 f（x）与 g（x）图象在9，10上交点的个数， 因为 f（1+x）f（1x） ，所以函数 f（x）图象关于 x1 对称， 又因为 f（x）为偶函数且当 x1，0时 f（x）x，所以当 x0，1时 f（x）x， g（x）+， 作出函数 f（x）与 g（x）的图象
21、如图： 由图可知，共 10 个交点， 故选：A 【点评】本题考查函数的零点，考查转化思想，数形结合是解决问题的关键，属中档题 12 （5 分）已知函数，则下述结论中错误的是（ ） 第 12 页（共 24 页） A若 f（x）在0，2有且仅有 4 个零点，则 f（x）在0，2有且仅有 2 个极小值点 B若 f（x）在0，2有且仅有 4 个零点，则 f（x）在上单调递增 C若 f（x）在0，2有且仅有 4 个零点，则 的范围是 D若 f（x）图象关于对称，且在单调，则 的最大值为 9 【分析】利用正弦函数的图象和性质对每一个选项逐一分析判断得解 【解答】解：0，2， 类比函数 ysinx 可得，要
22、使 f（x）在0，2有且仅有 4 个零点， 必有 4， 所以所以选项 C 正确； 此时，f（x）在第 1 个零点与第 2 个零点之间有一个 极小值点，在第 3 个零点与第 4 个零点之间有一个 极小值点，故 f（x）在0，2有且仅有 2 个极小值点，故选项 A 正确； ，； 故取 2，此时 时函数不是单调函数，所以选项 B 错误； f （ x ） 图 象 关 于对 称 ， 且 在单 调 ， 4k+1.012 11 时，k，可得 在不单 调， 9 时，k，在单调， 故的最大值为 9故选项 D 正确 故选：B 【点评】本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应 第 13
23、页（共 24 页） 用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 已知向量， 若， 则 2 【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得 2 + 的坐标，进而由向量垂直的判断方 法可得41+20，解可得 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意， （1，2） ， （2，2） ，则 2 + （4，2） ， 若，则41+20， 解可得：2； 故答案为：2 【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题 14 （5 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若
24、 a31，S33，则 a1 1 或4 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解 【解答】解：因为 a31，S33， q1 时，显然满足，此时 a11， q1 时，整理可得，2q2q10， 解可得，q1（舍）或 q，a14， 故答案为：1 或4 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 15 （5 分）已知双曲线的渐近线与圆 x2+y24x+30 相切，则 该双曲线的离心率为 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式列式求解双曲线的 离心率 【解答】解：化圆 x2+y24x+30 为（x2） 2+y21，则圆心坐标为（2，0）
25、，半径为 1 第 14 页（共 24 页） 双曲线的一条渐近线方程为，即 bxay0 由，得 2bc，即 4（c2a2）c2， 解得 e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线距离公式的应用，是中档题 16 （5 分）在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为 4 的菱形，ABC60，AA1 4，过点 B 与直线 AC1垂直的平面交直线 AA1于点 M，则三棱锥 AMBD 的外接球的 表面积为 68 【分析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系设 M（0，2，t） ，由， 可得0，解得 t由 CBCACD，可得ABD 的外接圆的圆心为点 C，则三 棱锥 AMBD
26、 的外接球的球心 G 在直线 CC1上线段 AM 的垂直平分面与 CC1的交点 为球心 G，求出半径即可得出 【解答】解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系 O（0，0，0） ，B（2，0，0） ，D（2，0，0） ，A（0，2，0） ，C1（0，2，4） ， 设 M（0，2，t） ，（2，2，t） ，（0，4，4） ， ，8+4t0，解得 t2|AM|2 CBCACD，ABD 的外接圆的圆心为点 C，则三棱锥 AMBD 的外接球的球心 G 在直线 CC1上 线段 AM 的垂直平分面与 CC1的交点为球心 G（0，2，1） R|GM| 三棱锥 AMBD 的外接球的表面积4R268 故答案为
27、：68 第 15 页（共 24 页） 【点评】本题考查了直四棱柱的性质、菱形的性质、三棱锥的外接球的表面积，考查了 空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分） 已知在ABC 中， 角 A、 B、 C 对应的边分别为 a、 b、 c， bsinB+asinCasinA+csinC （1）求角 B； （2）若 c1，ABC 的面积为，求 C 【分析】 （1）根据正弦定理以及余弦定理建立方程进行求解即可 （2）根据三角形的面积公式进行计算即可 【解答】解： （1）由 bsinB+
28、asinCasinA+csinC 及正弦定理 可得 b2+aca2+c2， 由余弦定理可得， 又因为 B（0，） ， 所以 （2）因为， 所以 a1 又因为， 所以ABC 是等边三角形， 所以 【点评】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公 式建立方程是解决本题的关键难度中等 第 16 页（共 24 页） 18（12 分） 某公司新上一条生产线， 为保证新的生产线正常工作， 需对该生产线进行检测 现 从该生产线上随机抽取 100 件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数 14，标准差2，绘制如图所示的频率分布直方图以频率值作为概率估计值 （1）从该生产线加
29、工的产品中任意抽取一件，记其数据为 X，依据以下不等式评判（P 表示对应事件的概率） ： P（X+）0.6826 P（2X+2）0.9544 P（3X+3）0.9974 评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生 产线，试判断该生产线是否需要检修； （2）将数据不在（2，+2）内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意 抽取 2 件，次品数记为 Y，求 Y 的分布列与数学期望 EY 【分析】 （1）根据频率分布直方图得出 X 落在（12，16） ， （10，18） ， （8，20）上的概率， 从而得出结论； （2）根据二项分布的概率公式得出分布列，并计算数学
30、期望 【解答】解： （1）由频率分布直方图可得：P（12X16）（0.29+0.11）20.8， P（10X18）（0.04+0.29+0.11+0.03）20.94， P（8X20）（0.005+0.04+0.29+0.11+0.03+0.015）20.98， 符合，均不符合，故该生产线需要检修 （2）100 件产品中，次品个数为 100（10.94）6，正品个数为 94， 第 17 页（共 24 页） 故从生产线上任意抽取一件产品，该产品为合格品的概率为 0.94 故抽取 2 件产品，次品个数 Y 的取值可能为 0，1，2， 其中 P（Y0）0.9420.8836，P（Y1）0.940.0
31、60.1128，P（Y2）0.062 0.0036 Y 的分布列为： Y 0 1 2 P 0.8836 0.1128 0.0036 Y 的数学期望为 E（Y）00.8836+10.1128+20.00360.12 【点评】本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，属于中档题 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCD1，过棱 PC 的中点 E，作 EFPB 交 PB 于点 F （1）证明：PA平面 EDB； （2） 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为， 求 PA 与面 ABCD 所成角的正弦值 【分析】
32、 （1）由中位线的性质易得 PAEG，由此即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量公式求解； 【解答】解： （1）证明：连接 AC 交 BD 于 G，则 G 是 AC 的中点，连接 EG， 则 EG 是PAC 的中位线，所以 PAEG， 又因为 PA面 EDB，EG面 EDB， 所以 PA平面 EDB； （2）法一：如图以 D 为原点，方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空 间直角坐标系， 第 18 页（共 24 页） 设 DAa，则 A（a，0，0） ，B（a，1，0） ，C（0，1，0） ，P（0，0，1） ， ， 设，则 F（at，t，1t） ， 又 EFPB，即，解得 设
33、是平面 DEF 的一个法向量，则，即， 方程的一组解为， 显然是面ABCD的一个法向量，依题意有 ，得，结合式得， 因为 PD底面 ABCD， 所以PAD 是 PA 与面 ABCD 所成的角， 【点评】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解空间角问题，考查逻辑推理能 力以及运算求解能力，属于基础题 20 （12 分）已知椭圆的短半轴长为，离心率为 （1）求椭圆的方程； 第 19 页（共 24 页） （2）设 A，B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点 A 在第一象限，AEx 轴，垂足 为 E，连接 BE 并延长交椭圆于点 D，证明：ABD 是直角三角形 【分析】 （1）依题意 b，再结合
34、离心率以及 a2b2+c2，即可求出 a，b，c 的值，从 而求出椭圆方程； （2）法一：设 A（x1，y1） ，D（xD，yD） ，则 B（x1，y1） ，E（x1，0） ，直线 BE 的 方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，得到 kABkAD1，所以 ABAD，即ABD 是直角三角形；法二：设 B（x1，y1） ，D（x2，y2） ，则 A（x1， y1） ，E（x1，0）设直线 BD 的方程为 ykx+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 kABkAD1，所以 ABAD，即ABD 是直角三角形；法三：设 B（x1，y1） ，D（x2， y2） ，则 A（x1，y1） ，E（x1，0）
35、，所以， 因为B（x1，y1） ，D（x2，y2）在椭圆上，所以 ，所以 kABkAD1，所以 ABAD， 即ABD 是直角三角形 【解答】解： （1）依题意可得，所以， 解得 a2， 所以椭圆的方程是； （2）法一：设 A（x1，y1） ，D（xD，yD） ，则 B（x1，y1） ，E（x1，0） ， 直线BE的方程为，与联立得 ， 因为 xD，x1是方程的两个解，所以， 第 20 页（共 24 页） 又因为， 所以，代入直线方程得， ， 所以 ABAD，即ABD 是直角三角形； （2）法二：设 B（x1，y1） ，D（x2，y2） ，则 A（x1，y1） ，E（x1，0） 设直线 BD 的
36、方程为 ykx+m，与联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m240， ， ， 所以 kABkAD1， 所以 ABAD，即ABD 是直角三角形； （2）法三：设 B（x1，y1） ，D（x2，y2） ，则 A（x1，y1） ，E（x1，0） 设，则， ， 因 为B （ x1， y1）， D （ x2， y2） 在 椭 圆 上 ， 满 足 椭 圆 方 程 ， 所 以 ， 所以， 所以 kABkAD1， 所以 ABAD，即ABD 是直角三角形 第 21 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查了椭圆方程，椭圆与直线的位置关系，是中档题 21 （12 分）设函数 f（x）x22ax+2（a+1）ln
37、x（aR） （1）讨论 f（x）的单调区间； （2）证明：若1a3，对任意的 x1，x2（0，+） ，x1x2，有 【分析】 （1）求导得，令 g（x）x2ax+a+1， 然后分0 和0 进行讨论，其中0 时，设 x1、x2是 g（x）0 的两根，需要再 分和两个类别，讨论 x1、x2与 0 的大小，进而得到函数的单调区 间； （2）采用分析法，将证明转化为证明 f（x1）2x1f（x2）2x2 成立，然后构造函数 h（x）f（x）2xx22（a+1）x+2（a+1）lnx，再利用导数证 明 h（x）在（0，+）单调递增即可 【解答】 解： （1） 函数的定义域为 （0，+） ， 令 g（x）
38、x2ax+a+1， 当a24（a+1）0，即时，g（x）0 恒成立， 所以 f（x）的单调增区间是（0，+） ，无减区间 当a24（a+1）0，即或时， 设 g（x）的两个零点为， （i）若，因为 x1+x2a0，x1x2a+10，所以 x1，x2都大于 0， 所以当 x（0，x1）时，g（x）0，即 f（x）0，所以 f（x）单调递增； 当 x（x1，x2）时，g（x）0，即 f（x）0，所以 f（x）单调递减； 当 x（x2，+）时，g（x）0，即 f（x）0，所以 f（x）单调递增 （ii）若，x1+x2a0， 当 x1x2a+10 即时，x1，x2都不为正数，所以当 x（0，+）时，g
39、 （x）0，即 f（x）0，所以 f（x）单调递增； 当 x1x2a+10 即 a1 时，x10x2，所以当 x（0，x2）时，g（x）0，即 f（x） 0，所以 f（x）单调递减； 第 22 页（共 24 页） 当 x（x2，+）时，g（x）0，即 f（x）0，所以 f（x）单调递增 综上所述， 当 a1 时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为 ； 当时，f（x）的单调增区间是（0，+） ，无减区间 当时，f（x）的单调递减区间为，单调 递增区间为， （2）不妨设 0x2x1，要证明，只需证明 f（x1）f（x2）2x1 2x2，只需证明 f（x1）2x1f（x2）2x2， 令 h（x
40、）f（x）2xx22（a+1）x+2（a+1）lnx， 则 因为1a3，所以，所以 h（x）0，h（x）在（0，+）是增函数， 所以当 0x2x1时，h（x2）h（x1） ， 即 f（x1）2x1f（x2）2x2， 故命题得证 【点评】本题考查导数的综合运用，涉及利用导数处理含参函数的单调区间、分类讨论、 构造新函数、分析法等知识和方法，考查学生转化与化归的能力和逻辑推理能力，属于 难题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答
41、题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为， （t 为参数，0 ） 在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 第 23 页（共 24 页） （1）求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点的直角坐标为（1，2） ，求直线 l 的斜率 【分析】 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和中点公式的应用求出结果 【解答】解：
42、（1）直线 l 的参数方程为， （t 为参数，0） 转换为直 角坐标方程为 y2tan（x1） 曲线 C 的极坐标方程为 转换为直角坐标方程为 4x2+y216，整理得 （2）把直线的参数方程代入 4x2+y216，得到：4（1+tcos） 2+（2+tsin） 216， 整理得（3cos2+1）t2+（4sin+8cos）t80， 所以 由于曲线 C 截直线 l 所得线段的中点的直角坐标为（1，2） ， 所以， 即：4sin+8cos0， 解得 ktan2 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换
43、能力及思维能力，属 于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|xa|+|x+|， （实数 a0） （1）当 a1，求不等式 f（x）3 的解集； （2）求证：f（x）2 【分析】 （1）将 a1 代入 f（x）中，然后利用零点分段法解不等式 f（x）3 即可； 第 24 页（共 24 页） （2）利用绝对值三角不等式可得 f（x），再利用基本不等式求出的最小即 可 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）|x1|+|x+1|，因为 f（x）3， 当 x1 时，可得 x1+x+13，； 当1x1 时，可得x+1+x+13，23 不成立； 当 x1 时，可得x+1x13，； 综上所述，原不等式的解集为 （2）， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当 a1 的时等号成立， f（x）2 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，基本不等式和利用综合 法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题
