1、20202020 年高考质量监测考试高三数学（年高考质量监测考试高三数学（理理）试题）试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项：注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3.考试结束后，将答题卡交回. 一一、选择题（本大题共、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给
2、出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的） 1.已知集合 ln1Mx yx， x Ny ye，则MN （ ） A.1,0 B.1, C.0, D.R 2.已知复数 5i 5i 2i z ，则z （ ） A.5 B.5 2 C.3 2 D.2 5 3.已知 3 log2a ， 0.2 log0.3b ， 11 tan 3 c ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A.cba B.bac C.cab D.bca 4.已知ABC中，则“sincosAB”是“ABC是直角三角形”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若过抛物线
3、2 1 4 yx焦点的直线与抛物线交于 A、B 两点（不重合） ，则OA OB（O 为坐标原点）的值是 （ ） A.3 B. 3 4 C.3 D. 3 4 6.聊斋志异中有： “挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术” ， 在数学中，我们称形如以下形式的等式具有 “穿 墙术” ： 22 22 33 ， 33 33 88 ， 44 44 1515 ，则按照以上规律，若 mm mm nn 具有“穿墙 术” ，则 m，n 满足的关系式为（ ） A.21nm B.21nm C. 2 1nm D. 2 1nm 7.已知函数 2 2cosf xxx，若 fx是 f x的导函数，则函数 fx的图象大致是（ ） A.
4、 B. C. D. 8.执行下面的程序框图，若输出的结果是 16，则空白框中应填（ ） A.1nn，SSn B.2nn，SSn C.SSn，1nn D.SSn，2nn 9.已知函数 sincosf xxx（0， 2 ）的图象向右平移 3 个单位长度得到函 数 g x的图象，若函数 g x的最小正周期为， 3 x 为函数 g x的一条对称轴，则函数 g x的一个 单调递增区间为（ ） A.0, 6 B., 2 C. 5 , 36 D., 6 3 10.分子间作用力是存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼 此因静电作用而产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦
5、尔斯相互作用今有两个惰性气体原子，原子 核正电荷的电荷量为 q， 这两个相距 R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能 U， 其计算式子 为 2 1212 1111 Ukcq RRxxRxRx ，其中，kc为静电常量， 1 x、 2 x分别表示两个原子的负 电 中 心 相 对 各 自 原 子 核 的 位 移 . 已 知 12 12 1 xx RxxR R ， 1 1 1 x RxR R ， 2 2 1 x RxR R ，且 1 2 11xxx ，则 U 的近似值为（ ） A. 2 12 3 kcq x x R B. 2 12 3 kcq x x R C. 2 12 3 2kcq x
6、x R D. 2 12 3 2kcq x x R 11.过双曲线 22 22 1 xy ab （0ab）的右焦点 2 F的直线在第一、 第四象限交两渐近线分别于 P， Q 两点， 且90OPQ，O 为坐标原点，若OPQ内切圆的半径为 3 a ，则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B. 5 2 C.10 D. 10 2 12.设函数 2 ln x e f xtxx xx 恰有两个极值点，则实数 t 的取值范围是（ ） A. 1 , 2 B. 1 , 2 C. 1 , 2 33 ee D. 1 , 23 e 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共
7、20 分）分） 13.已知向量1,2a ，2,bx的夹角余弦值为 4 5 ，则x_. 14.若1,6a，则函数 2 xa y x 在区间2,内单调递增的概率是_. 15. 6 3 1 12xx x 的展开式中 3 x项的系数是_.（用数字作答） 16.已知四棱锥PABCD中， 底面ABCD是梯形， 且ADBC，ADDC，224ADDCCB， APPD，PAPD，2 2PC ，AD的中点为 E，则四棱锥PBCDE外接球的表面积为_. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17
8、.（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前 n 项和 2 38 n Snn，数列 n b是等差数列，且 1nnn abb . （1）求数列 n b的通项公式； （2）令 1 1 2 n n nn n a c b ，求数列 n c的前 n 项和 n T. 18.（本小题满分 12 分） 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 1000 多年，在九章算术中，将底面 为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qian du） ；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的 四棱锥，鳖臑（bie nao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵 111 ABCABC中，ABAC.
9、 （1）求证：四棱锥 11 BA ACC为阳马； （2）若 1 2CCBC，当鳖臑 1 CABC体积最大时，求锐二面角 11 CABC的余弦值. 19.（本小题满分 12 分） 设椭圆 C： 22 22 1 xy ab （0ab）的离心率为 1 2 e ，椭圆 C 上一点 P 到左右两个焦点 1 F， 2 F的距离 之和是 4. （1）求椭圆的方程； （2）已知过 2 F的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，且两点与左右顶点不重合，若 111 FMFAFB，求四边 形 1 AMBF面积的最大值. 20.（本小题满分 12 分） 在全面抗击新冠肺炎（COVID 19）疫情的特殊时期，市教育局提出
10、“停课不停学”的口号，鼓励学生 进行线上学习.某位高中数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级 随机选取了 45 名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于 5 小时的有 19 人，余下的人中， 在检测考试中数学平均成绩不足 120 分的占 8 13 ，统计成绩后得到如下2 2列联表： 分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计 线上学习时间不少于 5 小时 4 19 线上学习时间不足 5 小时 合计 45 （1）请完成上面的2 2列联表，并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时 间有关” （2）按照分层抽样的方法，在上述
11、样本中从分数不少于 120 分和分数不足 120 分的两组学生中抽取 9 名 学生，设抽到不足 120 分且每周线上学习时间不足 5 小时的人数是 X，求 X 的分布列（概率用组合数进行 表示） ； 若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于 120 分的学生中随机抽取 20 人，求这些人中每 周线上学习时间不少于 5 小时的人数 Y 的期望和方差. 附：临界值表 P（ 2 0 Kk） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacb
12、d ，其中nabcd . 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 2ln1 a f xx x ，aR. （1）当1a 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； （2）求函数 f x在1,上的极值： （3）设函数 2 lng xxax，若2a，且对任意的实数 1,xe ，不等式 2 4g xe恒成立（e 是自然对数的底数） ，求实数 a 的取值范围. 【选考题】请考生在第【选考题】请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，请用作答时，请用 2B 铅铅 笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑笔在答题卡上
13、把所选题目对应的题号涂黑. 22.（本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 xt ymt （t 为参数，mR）以原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 3 12sin （0，0,）. （1）求曲线 1 C、 2 C的直角坐标方程； （2）设 P、Q 分别为 1 C、 2 C上的动点，若 P、Q 间距离的最小值为2 2，求实数 m 的值. 23.（本小题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知正实数 x，y 满足1xy （1）解关于 x 的不等式 5 2 2 xyxy；
14、（2）证明： 22 11 119 xy . 2019-2020 学年高考质量监测考试学年高考质量监测考试 高三数学（高三数学（理理）参考答案）参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A D A D A D C D B C 【解析】 1. ln11,Mx yx ， 0, x Ny ye，0,MN. 2. 5i 2i5i 5i5i1 i 2i5 z ，故 2 2 5 217z . 3.因为 33 log2log31a ， 0.20.2 0log0.
15、3log0.21b， 112 tantan30 33 c ，故01cba . 4.若sincosAB，则 2 AB 或 2 AB ，不能推出ABC是直角三角形；若 2 A ，则 sincosAB，所以ABC是直角三角形也不能推出sincosAB；故“sincosAB”是“ABC是 直角三角形”的既不充分也不必要条件 5.抛物线为 2 4xy，焦点为0,1F，设AB：1ykx， 11 ,A x y， 22 ,B x y，由 2 1 4 ykx xy 有 2 440xkx，所以 12 4x x ， 2 1212 1 1 16 y yx x，故 1 212 3OA OBx xy y. 6.由题可知：
16、 2 222 222 3321 ， 2 333 333 8831 ， 2 444 444 151541 ，可归纳： 2 1 mmm mmm nnm ，所以 2 1nm. 7. 2 2cosf xxx， 22sinfxxx， 22cos0fxx，所以 fx单调递增，由 于 00 f ；故当0x 时， 00fxf，当0x时， 00fxf. 8.A 选项，若空白处是1nn，SSn时，14i 成立，2n，022S ，24i 成立， 所以3n ，2 3 5S ，34i 成立，所以4n，4 59S ，44i 成立，所以5n ， 5 914S ，54i 不成立，故14S ，不符合题意；B 选项，若空白处是2
17、nn，SSn时， 14i 成立，3n ，033S ，24i 成立， 所以5n ，5 38S ，34i 成立， 所以7n， 8 715S ，44i 成立，所以9n，15 924S ，54i 不成立， 故24S ，不符合题意； C 选项，若空白处是SSn，1nn时，14i 成立，1S ，2n，24i 成立，所以3S ， 3n ，34i 成立， 所以6S ，4n，44i 成立， 所以10S ，5n ，54i 不成立， 故10S ， 不符合题意； D 选项， 若空白处是SSn，2nn时，14i 成立，1S ，3n ，24i 成立， 所以4S ，5n ，34i 成立，所以9S ，7n，44i 成立，所以
18、16S ，9n，54i 不成立，故16S ，符合题意. 9.由题意知， 2sin 4 f xx ，所以 2sin 334 g xfxx ，因为 g x的最小正周期为，所以 2 ，解得2，所以 2 2sin 2 34 g xx ，由 3 x 为 g x的一条对称轴， 则 42 k （kZ） ， 即 3 4 k （kZ） ， 因为 2 ， 可得 4 ， 所 以 函 数 7 2 s i n26gxx ， 令 7 222 262 kxk （kZ）， 解 得 5 36 kxk ， （kZ） ，当0k 时， 5 36 x . 10. 2 1221 1111 Ukcq RRxxRxRx 2 1212 111
19、1 111 kcq xxxx RRR RR R R 2 1212 111 1 111 kcq xxxx R RRR 222 2 12121122 1111 xxxxxxxxkcq RRRRRRR 2 12 3 2kcq x x R . 11.如图，设OPQ的内切圆圆心为 M，则 M 在 x 轴上 过点 M 分别作MNOP于 N，MTPQ于 T，由 2 F POP得四边形MTPN为正方形，由焦点到渐近 线的距离为 b，得 2 F Pb，又 2 OFc，所以OPa，由 1 3 NPMNa，得 2 3 a NO ，所以 1 1 3 tan 2 2 3 a MNb NOM aNO a ，故 22 15
20、 11 22 b e a . 12.因为 2222 12 12 1212 1 x x x e xxt xet x xex fxt xxxxx ，（0x ） . 因为 f x恰有两个极值点，所以 0fx恰有两个不同的解，显然1x 是其一解，另一解由方程 0 2 x e t x 来确定，且此解不等于 1.令 2 x e g x x （0x ） ，则 2 1 0 2 x xe gx x ，故函数 g x 在0,上单调递增，从而 1 0 2 g xg，且 1 3 e g.所以，当 1 2 t 且 3 e t 时，函数 f x恰有 两个极值点，即实数 t 的取值范围是 1 , 2 33 ee . 二、填
21、空题（本大题，二、填空题（本大题，4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.1 14. 3 5 15.300 16. 28 3 【解析】 13.由题意有 4 5 a bab，即 2 4 2254 5 xx，解得1x 或11x，验证11x不成立 14.函数 2 xa y x 在区间2,单调递增， 2 22 10 axa y xx ， 在2,恒成立， 2 ax在 2,恒成立，4a ，又因为1,6a，1,4a ， 所以函数 2 xa y x 在区间2,内单调递增的概率是 4 13 6 15 . 15. 6 1 2x x 展开式的通项为 3 6 6 6 2 166 1 22
22、 k k k kkk k TCxCx x ，0k ，1，6，由题意， 令 3 60 2 k， 得4k ； 令 3 63 2 k， 得2k ， 故 6 1 2x x 的展开式中， 常数项为 42 56 260TC， 含 3 x项为 2433 36 2240TCxx，所以 6 3 1 12xx x 的展开式中 3 x项系数为60240300. 16. 28 3 【解析】由题得，PEAD，BC ED，又90ADC，四边形BCDE是正方形，ADBE， PEEBE，AD 平面PBE，又BCAD，BC平面PBE，所以90PBC.则有 222 PBBCPC，即 2 22 22 2PB ，解得2PB . 球心
23、 O 到 B，C，D，E 四点距离相等，设 O 在平面BCDE的投影为 H， 那 么OHHB，OHHC，OHHD，OHHE， 设OHh， 则 有 222 OBhHB， 222 OChHC， 222 ODhHD， 222 OEhHE， 又O BO CO DO ER， HBHCHDHE. BCDE是正方形，平面BCDE上且到 B， C， D， E 四点距离相等的点即为正方形BCDE的对称中心， 即对角线的交点，则2HBHCHDHE. 22222 2ROBHBhh，过 P 作PFEB于 F，AD 平面PBE， PFAD，ADEBE，PF平面BCDE，即 F 是点 P 在平面BCDE的投影. PBE是
24、等边三角形，3PF， 1 1 2 HFED， 2 2 222 31ROPPFhHFh，与 22 2Rh联立解得 2 7 3 R ， 则 2 28 4 3 SR .故答案为： 28 3 . 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分）分） 17.【解析】 （1）由题意知，当2n时， 1 65 nnn aSSn ， 又当1n 时， 11 11aS，经检验当1n 时 1 11a 适合上式，所以65 n an. 设数列 n b的公差为 d，由 112 223 abb abb ，即 1 1 112 1723 bd bd ， 可解得 1 4b ，3d ，所以31 n bn.
25、（2）由（1）知 1 1 66 31 2 33 n n nn n cn n ，又 123nn Tcccc，得 2341 32 23 24 212n n Tn ， 3452 232 23 24 212n n Tn ， 两式作差，得 23412 32 222212 nn n Tn 22 4 21 341232 2 1 n nn nn ， 所以 2 32n n Tn . 18.【解析】 （1） 1 A A底面ABC，AB 面ABC， 1 A AAB. 又ABAC， 1 A AACA，AB面 11 ACC A， 又四边形 11 ACC A为矩形，四棱锥 11 BA ACC为阳马. （2）ABAC，2B
26、C ， 22 4ABAC，又 1 CC 底面ABC，且 1 2CC 1 22 1 11112 323323 CABC ABAC VCCAB ACAB AC ， 当且仅当2ABAC时， 1 1 3 CABC VAB AC 取最大值. ABAC， 1 A A底面ABC， 以 A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则 2,0,0B， 0, 2,0C， 1 0,0,2A， 1 0, 2,2C. 1 2,0, 2AB ， 2, 2,0BC ， 11 0, 2,0AC . 设面 1 ABC的一个法向量 1112 ,nx y z，由 11 2 0 0 nAB nBC ，得 1 2, 2,1n ， 同理得
27、平面 11 ABC的一个法向量 2 2,0,1n 12 12 12 15 cos, 5 n n n n nn ，所以锐二面角 11 CABC的余弦值为 15 5 . 19.【解析】 （1）依题意，24a ，2a ， 因为 1 2 e ，所以1c ， 222 3bac 所以椭圆 C 方程为 22 1 43 xy . （2）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，设直线AB为：AB：1xmy， 则由 22 1 1 43 xmy xy ，消去 x 可得： 2 2 31412myy， 即 22 34690mymy，其中 222 3636 3414410mmm ， 12 2 6 34 m yy m
28、 ， 12 2 9 34 y y m 因为 111 FMFAFB，所以四边形 1 AMBF是平行四边形， 设平面四边形 1 AMBF的面积为 S， 则 1 2 2 12121212 2 11 222424 234 ABF m SSFFyyyyy y m ， 设 2 1tm，则 22 1mt（1t ） ， 所以 2 1 2424 1 31 3 t S t t t ，因为1t ，所以 1 34t t ，所以 0,6S ， 所以四边形 1 AMBF面积的最大值为 6. 20.【解析】 （1） 分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计 线上学习时间不少于 5 小时 15 4 19 线上学习时
29、间不足 5 小时 10 16 26 合计 25 20 45 2 2 45 15 16 10 4 7.2876.635 25 20 19 26 K 有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”. （2）由分层抽样知，需要从不足 120 分的学生中抽取 20 94 45 人 X 的可能取值为 0，1，2，3，4， 4 4 4 20 0 C P X C ， 31 416 4 20 1 C C P X C ， 4 20 22 316 2 C C P X C ， 13 416 4 20 3 C C P X C ， 4 16 4 20 4 C P X C . 所以，X 的分布列： X 0
30、 1 2 3 4 P 4 4 4 20 C C 31 416 4 20 C C C 22 416 4 20 C C C 13 416 4 20 C C C 4 16 4 20 C C 从全校不少于 120 分的学生中随机抽取 1 人，此人每周上线时间不少于 5 小时的概率为 15 0.6 25 ，设从 全校不少于 120 分的学生中随机抽取 20 人，这些人中每周线上学习时间不少于 5 小时的人数为 Y，则， 20,0.6YB 故 20 0.612E Y ， 20 0.61 0.64.8D Y . 21.【解析】 （1） 当1a 时， 1 2ln1f xx x ， 2 21x fx x ， 所
31、以 11 f ， 12f， 所以曲线 yf x 在点 1,1f处的切线方程为10xy . （2） 2 2xa fx x ， 1,x. 当2a时， 0fx， f x在1,上单调增，所以 f x无极值； 当2a时，令 0fx，得 2 a x ，列表如下： x 1, 2 a 2 a , 2 a fx 0 f x 极小值 所以 f x的极小值为2ln3 22 aa f . 综上所述，当2a时， f x无极值； 当2a时， f x的极小值为2ln3 2 a ，无极大值. （3）因为 2ln1 a gxxaxxa f x x . 由题意，对任意1,xe的， 2 4g xe恒成立，所以 2 2 2 104
32、4 ge g eeae ， 解得3eae ，又2a，所以23ae . 当21a 时，因为1,xe，所以0xa，当且仅当1ax时，取等号. 由（2）知， f x在1,e上单调增，所以 110f xfa . 所以 0gx，当且仅当1ax时，取等号， 所以 g x在1,e上单调增，则 2 max 4g xg ee ， 解得3eae ，此时，21a . 当13ae时，由（2）知， f x在1,e上单调递增，且 110 30 fa a f e e ， 又 2ln0f aa，所以存在 0 1,xa，且 0 1,xe，使得 0 0f x， 即 0 0 2ln10 a x x ，得 000 2lnxaxx .
33、 所以 0gx的解为 0 x和 a，列表如下： x 0 1,x 0 x 0, x a a , a gx 0 0 g x 极大值 极小值 所以 2 00 g xxe， 2 0 ln4xe，即 232 00 lnxxe， 又 0 1xe，所以 232 00 lnxxe恒成立，此时，13ae. 综上所述，实数 a 的取值范围为2,3e. 22.【解析】 （1）消去参数可得 1 C的直角坐标方程为：0xym， 曲线 2 C变成 2 C的直角坐标方程为： 2 2 1 3 x y（0y ）. （2）设 3cos ,sinQ，0,， 则 Q 到 1 C的距离 2sin 3cossin 3 22 m m d
34、，又 4 , 333 . 由 P、Q 间距离的最小值为2 2知： 当0m时，不符合题意； 当0m时，24m得6m； 当0m时，34m，得43m . 综上，43m 或6m. 23.【解析】 （1）因为1xy，且0x ，0y 5 2 2 xyxy可化为： 01 5 221 2 x xx ，即 01 1 21 2 x xx ， 又即 01 11 21 22 x xxx ，可解得 1 1 6 x，所以不等式的解集为 1 ,1 6 证明二 因为1xy，且0x ，0y ， 22 2222 1111 11 xy xyxy 2222 1111111xxyyx yy xxyxy xyxyxy 2 22 119 2 xy xy ，当且仅当 1 2 xy时，等号成立.
