1、已知集合 AxZ|2x4，Bx|x22x30，则 AB（ ） A （2，1） B （1，3） C1，0 D0，1，2 2 （3 分）i 为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（ ） A第二象限 B第一象限 C第四象限 D第三象限 3 （3 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 S5a3+16，a11，则 a2+a6（ ） A10 B11 C12 D13 4 （3 分）剪纸是我国的传统工艺，要剪出如图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次 进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字 （ ） A B C D 5 （3 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 a11，S3
2、7，则 a3a5（ ） A64 B729 C64 或 729 D64 或 243 6 （3 分）公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积 求圆周率 ， 他从单位圆内接正六边形算起， 令边数一倍一倍地增加， 即 12， 24， 48， ， 192，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形， 的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候 的近似 值是 3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术” ，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥 细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 刘徽这种想法的 可贵
3、之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想 极其重要，对后世产生了巨大影响按照上面“割圆术” ，用正二十四边形来估算圆周率， 则 的近似值是（ ） （精确到 0.01） （参考数据 sin150.2588） A3.14 B3.11 C3.10 D3.05 第 2 页（共 23 页） 7 （3 分）已知 F1、F2为双曲线 C：（a0，b0）的左、右焦点，点 P 在双 曲线 C 上，且线段 PF1的中点坐标为（0，b） ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D2 8 （3 分）前进中学高二学生会体育部共有 5 人，现需从体育部派遣 4 人，分别担任拔河比 赛
4、活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项 工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有（ ）种派遣方法 A120 B96 C48 D60 9 （3 分）设函数 f（x）sin（x+）+cos（x+） （0，）的最小正周期 为 ，且过点，则下列正确的为（ ） f（x）在单调递减 f（x）的一条对称轴为 f（|x|）的周期为 把函数 f（x）的图象向左平移个长度单位得到函数 g（x）的解析式为 A B C D 10 （3 分）下列函数图象中，函数 f（x）xe|x|（Z）的图象不可能的是（ ） A B C D 11 （3 分）已知，及抛物线方程为 x28（y1）
5、 ，点 P 在抛物线 上，则使得ABP 为直角三角形的点 P 个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 第 3 页（共 23 页） 12 （3 分）已知函数 f（x）（aR） ，若函数 f（x）有四个零点，则 a 的取值范围是（ ） A （，0） B （e，+） C （4，+） D （4，e2） 二、填空题：二、填空题： 13 （3 分）已知实数 x，y 满足，则 z3x+y 的最小值为 14（3分） 在ABC中， BC60， AB2， 且点M满足， 则 15 （3 分）点 P 为曲线 y2x2+ln（4x+1）图象上的一个动点， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则当 取最小值时
6、 x 的值为 16 （3 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 0.5，某多面体的正视图、左视图、俯视图为 同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于 三、解答题：三、解答题： 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 bsinB+a（sinAsinB）csinC （）求角 C 的大小； （）求 sinA+sinB 的取值范围 18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，D 是 AB 的中点，BCAC，AB 2DC2，AA14 （）求证：BC1平面 A1CD； （）求平面 BCC1B1与平面 A1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值 第 4
7、 页（共 23 页） 19当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初三毕业学生进行 体育测试， 是激发学生、 家长和学校积极开展体育活动， 保证学生健康成长的有效措施 某 地区 2019 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1 分钟 跳绳三项测试，三项考试满分为 50 分，其中立定跳远 15 分，掷实心球 15 分，1 分钟跳 绳 20 分 某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况， 随机抽取了 100 名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表： 每分钟跳 绳个数 165，175） 175，185） 185，195）
8、195，205） 205，215） 得分 16 17 18 19 20 （）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 33 分的概率； （）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布 N（，2） ，用样本数据的 平均值和方差估计总体的期望和方差 （结果四舍五入到整数） ， 已知样本方差 S277.8 （各 组数据用中点值代替） 根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时 每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上 学期开始时个数增加 10 个，利用现所得正态分布模型： （）预估全年级恰好有 1000 名学生，正
9、式测试时每分钟跳 193 个以上的人数 （结果 四舍五入到整数） （）若在该地区 2020 年所有初三毕业生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 202 个以上的人数为 ，求随机变量 的分布列和期望 附：若随机变量 X 服从正态分布 N（，2） ，则 P（X+） 0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974 20设函数 f（x）exmx+n，曲线 yf（x）在点（ln2，f（ln2） ）处的切线方程为 xy 第 5 页（共 23 页） 2ln20 （）求 m，n 的值； （）当 x0 时，若 k 为整数，且 x+1（kx）f（x）+x+1，求 k 的最大值 21在圆
10、 x2+y24 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在圆上运 动时，点 M 在线段 PD 上，且，点 M 的轨迹为曲线 C1 （1）求曲线 C1的方程； （2）过抛物线 C2：y28x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，过 F 且与直线 l 垂 直的直线交曲线 C1于另一点 C，求ABC 面积的最小值，以及取得最小值时直线 l 的方 程 22设 A 为椭圆 C1：上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 210cos+240，B 为 C2上任意一点 （）写出 C1参数方程和 C2普通方程；
11、（）求|AB|最大值和最小值 23已知函数 f（x）|2x2a|（aR） ，对xR，f（x）满足 f（x）f（2x） （）求 a 的值； （）若xR，使不等式，求实数 m 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2020 年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：一、选择题： 1 （3 分）已知集合 AxZ|2x4，Bx|x22x30，则 AB（ ） A （2，1） B （1，3） C1，0 D0，1，2 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：A1，0，1，2，3，Bx|1x3，
12、AB0，1，2 故选：D 【点评】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算 2 （3 分）i 为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（ ） A第二象限 B第一象限 C第四象限 D第三象限 【分析】由题意分子分母同乘以 1+i，再进行化简求出实部和虚部即可 【解答】解：1i， 在复平面内对应的点为（1，1） ， 故选：C 【点评】本题考查了复数的除法运算以及几何意义，关键利用共轭复数对分母实数化 3 （3 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 S5a3+16，a11，则 a2+a6（ ） A10 B11 C12 D13 【分析】利用等差数列通项公式求和公式即
13、可得出 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，S5a3+16，a11， 5+d1+2d+16，解得 d 则 a2+a62+611 故选：B 【点评】本题考查了等差数列通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 4 （3 分）剪纸是我国的传统工艺，要剪出如图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次 第 7 页（共 23 页） 进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字 （ ） A B C D 【分析】把剪出“双喜”字对折两次即可得出结论 【解答】解：如图“双喜”字，第一次对折后为； 第二次对折后为； 故选：D 【点评】本题考查了轴对称的应用问题，是基础题 5 （3 分）记 S
14、n为等比数列an的前 n 项和，若 a11，S37，则 a3a5（ ） A64 B729 C64 或 729 D64 或 243 【分析】利用等比数列的通项公式求和公式即可得出 【解答】解：设等比数列an的公比为 q1，a11，S37， 1+q+q27，解得 q2，或3 则 a3a5q664 或 729 故选：C 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 6 （3 分）公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积 求圆周率 ， 他从单位圆内接正六边形算起， 令边数一倍一倍地增加， 即 12， 24， 48， ， 1
15、92，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形， 第 8 页（共 23 页） 的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候 的近似 值是 3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术” ，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥 细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 刘徽这种想法的 可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想 极其重要，对后世产生了巨大影响按照上面“割圆术” ，用正二十四边形来估算圆周率， 则 的近似值是（ ） （精确到 0.01） （参考数据 sin150.2588） A3.14
16、 B3.11 C3.10 D3.05 【分析】连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了 24 个面积相等的 等腰三角形，可以计算出每个等腰三角形的面积，再算出正二十四边形的面积，即可求 出 的近似值 【解答】解：连接圆心与正二十四边形的各个顶点，正二十四边形被分成了 24 个面积相 等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰长为 1，顶角为150，所以每个等腰三角 形的面积 s，所以正二十四边形的面积为 24s 12sin15120.25883.11， 故选：B 【点评】本题主要考查了类比推理，是中档题 7 （3 分）已知 F1、F2为双曲线 C：（a0，b0）的左、右焦点，点 P 在双
17、 曲线 C 上，且线段 PF1的中点坐标为（0，b） ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D2 【分析】利用双曲线的通径的一半为 2b，列出方程，转化求解双曲线的离心率即可 【解答】解：F1、F2为双曲线 C：（a0，b0）的左、右焦点，点 P 在双 曲线 C 上，且线段 PF1的中点坐标为（0，b） ， 可得：2b，可得 2ab， 所以双曲线的离心率为：e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，抓住通径与已知条件的转 第 9 页（共 23 页） 化是解题的关键 8 （3 分）前进中学高二学生会体育部共有 5 人，现需从体育部派遣 4 人，分别担任拔河比 赛
18、活动中的裁判、记录结果、核查人数、维持纪律四项工作，每个人只能担任其中一项 工作，其中体育部的张三不能担任裁判工作，则共有（ ）种派遣方法 A120 B96 C48 D60 【分析】根据题意，分 2 种情况讨论：，选出的 4 人中没有张三，此时将选出的 4 人 全排列，对应 4 项工作即可，选出的 4 人中有张三，需要在其他 4 人中选出 3 人， 再让选出 4 人担任 4 项工作，张三不担任裁判工作，由加法原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，需要先在 5 人中选出 4 人，分 2 种情况讨论： ，选出的 4 人中没有张三，此时将选出的 4 人全排列，对应 4 项工作即可，此时有 A44
19、24 种情况， ，选出的 4 人中有张三，需要在其他 4 人中选出 3 人，再让选出 4 人担任 4 项工作， 张三不担任裁判工作，有 C433A3372 种情况， 则一共有 24+7296 种安排方法； 故选：B 【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题 9 （3 分）设函数 f（x）sin（x+）+cos（x+） （0，）的最小正周期 为 ，且过点，则下列正确的为（ ） f（x）在单调递减 f（x）的一条对称轴为 f（|x|）的周期为 把函数 f（x）的图象向左平移个长度单位得到函数 g（x）的解析式为 A B C D 【分析】首先把三角函数的关系式进行变换，把函
20、数的关系式变形成余弦型函数，进一 步利用函数的性质的应用求出结果 【解答】 解： 函数 f （x） sin （x+） +cos （x+） x+）（0，） ， 第 10 页（共 23 页） 由于函数的最小正周期为 ， 所以 ， 由于函数的图象经过点， 所以， 所以 所以函数 f（x）， 对于f（x）在 x时，2x（0，） ，所以函数单调递减故正确 对于f（x）的一条对称轴为当时，函数取得最小值，故正确 f（|x|），所以函数的周期为 故错误 把函数 f（x）的图象向左平移个长度单位得到函数 g（x），故 错误 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用
21、， 函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于 基础题型 10 （3 分）下列函数图象中，函数 f（x）xe|x|（Z）的图象不可能的是（ ） A B C D 【分析】结合函数定义域，奇偶性以及幂函数的性质分别进行判断即可 【解答】解：A 图象中函数的定义域为 R，函数是偶函数，则 为正偶数时，满足对应 图象， B 图象中函数的定义域为x|x0，函数是偶函数，则 为负偶数时，满足对应图象， 第 11 页（共 23 页） C 图象中函数的定义域为 R，函数是奇函数，则 为正奇数，函数为增函数，且递增的 速度越来越快，故 C 不满足条件 D 图象中函数的定义域为
22、R，函数是奇函数，则 为正奇数，函数为增函数，且递增的 速度越来越快，故 D 满足条件 故选：C 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断结合函数的定义域，奇偶性，得到 是 奇偶数是解决本题的关键难度中等 11 （3 分）已知，及抛物线方程为 x28（y1） ，点 P 在抛物线 上，则使得ABP 为直角三角形的点 P 个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】讨论分别以 P，A，B 为直角顶点的情况，可得ABP 为直角三角形的个数 【解答】解：由题意如图所示，当PAB，PBA 为直角时，即当 PBAB，PAAB 时 有两个点， 当 PAPB，即0，APB 为直角时，设 P（
23、a，） ， （a+，） （a，）0，即（a+） （a）+（） 20， 整理：a4+80a2640，可得由两个根，即有两个 P 点关于 y 轴对称， 综上所述共有 4 个点 P 满足ABP 为直角三角形， 故选：D 【点评】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题 12 （3 分）已知函数 f（x）（aR） ，若函数 f（x）有四个零点，则 第 12 页（共 23 页） a 的取值范围是（ ） A （，0） B （e，+） C （4，+） D （4，e2） 【分析】当 a0 时，显然不符合题意，舍去；当 a0 时，f（x）xalnx 为（1，+） 上的增函数，在区间（1，+）上至多有一个零点，与条
24、件矛盾，不合题意，舍去； 当 a0 时，使 f（x）在（，1上有两个零点，在（1，+）上有两个零点即可 【解答】解：当 a0 时，显然不符合题意，舍去； 当 a0 时，f（x）xalnx 为（1，+）上的增函数，在区间（1，+）上至多有 一个零点，与条件矛盾，不合题意，舍去； 当 a0 时，则 f（x）在（，1上有两个零点，在（1，+）上有两个零点 当 x1 时，f（x）ax2ax+1a（x）2+，由于对称轴是 x，f（0）f（1） 10，故只要 f（）0，即 a4； 当 x1 时，f（x）xalnx，f（x）1，令 f（x）0，则 xa， 当 0a1 时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单
25、调递增，与条件矛盾，不符合题意， 舍去； 当 a1 时，x（1，a）时，f（x）0，f（x）单调递减；当 x（a，+）时，f（x） 0，f（x）单调递增； 且根据不同函数的增长率的知识知，必然存在 x0（a，+） ，使得 f（x0）x0alnx0 0； 故 xa 时 f（x）有极小值，要满足条件，只要 f（a）aalna0，即 ae； 综上所述，a4 且 ae，故 a4； 故选：C 【点评】本题考查了分段函数的零点问题，要分类讨论，注意数形结合，属于中档题 二、填空题：二、填空题： 13 （3 分）已知实数 x，y 满足，则 z3x+y 的最小值为 1 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数
26、为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 第 13 页（共 23 页） 【解答】解：由实数 x，y 满足，作出可行域如图， 联立，解得 A（0，1） ， 化目标函数 z3x+y 为 y3x+z， 由图可知，当直线 y3x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 30+1 1 故答案为：1 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 14（3 分） 在ABC 中， BC60， AB2， 且点 M 满足， 则 6 【分析】根据题意可知ABC 是等边三角形且点 C 是 BM 的中点，将用，表 示，再进行运
27、算 【解答】解：因为在ABC 中，BC60，AB2， 所以ABC 是等边三角形 因为点 M 满足，所以，点 C 是 BM 的中点， 2， 所以（） +222cos120+2226， 故答案为：6 第 14 页（共 23 页） 【点评】本题考查数量积的运算，属于中档题 15 （3 分）点 P 为曲线 y2x2+ln（4x+1）图象上的一个动点， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则当 取最小值时 x 的值为 【分析】求出原函数的导函数，利用基本不等式求得导函数的最小值，再由倾斜角的正 切值等于斜率得答案 【解答】解：由 y2x2+ln（4x+1）， 得 y4x+4x+1+， 当且仅当 4x+1，
28、即 x时，y最小，此时 tan 最小， 最小 故答案为： 【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，过曲线上的某点的切线 的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题 16 （3 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 0.5，某多面体的正视图、左视图、俯视图为 同一图形，粗实线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于 4 【分析】判断出几何体外框架为正方体即可 【解答】解：根据该几何体的三视图可知该几何体外框架为正方体，棱长为 2， 则其外接球的半径 R，所以其体积为 V4， 故答案为：4 【点评】本题考查几何体三视图，几何体外接球体积公式，属于中档题 第 15 页（共 23 页）
29、三、解答题：三、解答题： 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 bsinB+a（sinAsinB）csinC （）求角 C 的大小； （）求 sinA+sinB 的取值范围 【分析】 （）利用正弦定理化简已知等式可得 a（ab）+b2c2，即 a2+b2c2ab， 再利用余弦定理结合 0C，得 C （）根据 C 的度数求出 A+B 的度数，用 A 表示出 B，代入 sinA+sinB 中，利用两角和 与差的正弦函数公式化简，根据 A 的范围得到这个角的范围，利用正弦函数的值域即可 确定出所求式子的范围 【解答】解： （）由 bsinB+a（sinAsinB）csi
30、nC， 及正弦定理 ，得 a（ab）+b2c2，即 a2+b2c2ab， 由余弦定理得 cosC， 结合 0C，得 C （）C， A+BC，即 BA， 则 sinA+sinBsinA+sin（A）sinA+cosA+sinAsinA+cosAsin （A+） ， A（0，） ， A+（ ，） ， sin（A+）（，1， 则 sinA+sinB 的取值范围是（， 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定 义域与值域，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题 18如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，D 是 AB 的中点，BCAC，AB
31、2DC2，AA14 （）求证：BC1平面 A1CD； 第 16 页（共 23 页） （）求平面 BCC1B1与平面 A1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值 【分析】 （） 取 A1B1中点 E， 连结 BE， C1E， 从而 BEA1D， C1ECD， 进而平面 CDA1 平面 C1EB，由此能证明 BC1平面 A1CD （）以 C 为原点，BC 为 x 轴，CC1为 y 轴，CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用 向量法能求出平面 BCC1B1与平面 A1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值 【解答】解： （）证明：取 A1B1中点 E，连结 BE，C1E， 在三棱柱 ABCA1B1C1中
32、，D 是 AB 的中点， BEA1D，C1ECD， DA1DCD，BEC1EE，平面 CDA1平面 C1EB， BC1平面 A1CD （）解：BCAC，D 是 AB 中点，ABDC， AB2DC2，ACBC2，AC2+BC2AB2，ACBC，ACB90， AA1平面 ABC，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 C（0，0，0） ，D（1，0，1） ，A1（0，4，2） ， （1，0，1） ，（0，4，2） ， 平面 BCC1B1的法向量 （0，0，1） ， 设平面 A1CD 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （2，1，2） ， 设平面 BCC1B1与平面 A1CD 所成锐二面角的
33、平面角为 ， 则平面 BCC1B1与平面 A1CD 所成锐二面角的平面角的余弦值为 cos 第 17 页（共 23 页） 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初三毕业学生进行 体育测试， 是激发学生、 家长和学校积极开展体育活动， 保证学生健康成长的有效措施 某 地区 2019 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1 分钟 跳绳三项测试，三项考试满分为 50 分，其中立定跳远 15 分，掷实心球 15 分，
34、1 分钟跳 绳 20 分 某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况， 随机抽取了 100 名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表： 每分钟跳 绳个数 165，175） 175，185） 185，195） 195，205） 205，215） 得分 16 17 18 19 20 （）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 33 分的概率； （）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布 N（，2） ，用样本数据的 平均值和方差估计总体的期望和方差 （结果四舍五入到整数） ， 已知样本方差 S277.8 （各 组数据用中点值代替
35、） 根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时 每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上 学期开始时个数增加 10 个，利用现所得正态分布模型： （）预估全年级恰好有 1000 名学生，正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数 （结果 四舍五入到整数） （）若在该地区 2020 年所有初三毕业生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 202 个以上的人数为 ，求随机变量 的分布列和期望 附：若随机变量 X 服从正态分布 N（，2） ，则 P（X+） 第 18 页（共 23 页） 0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.99
36、74 【分析】 （）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，两人得分之和不大于 33 分， 即两人得分均为 16 分，或两人中 1 人 16 分，1 人 17 分，由此能求出两人得分之和不大 于 33 分的概率 （） （i）求出 192 个，277.8，9，从而正式测试时，202，9，进而 193，+211，由此能求出正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数 （ii）由正态分布模型得，在该地区 2020 年初三毕业生中任取 1 人，每分钟跳绳个数 202 以上的概率为，即 B（3，） ，由此能求出 的分布列和 E（） 【解答】解： （）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，两
37、人得分之和不大于 33 分， 即两人得分均为 16 分，或两人中 1 人 16 分，1 人 17 分， 由题意知：得 16 分的分数为 5 人，得 17 分的人数为 9 人， 两人得分之和不大于 33 分的概率为： P （） （i） 1700.05+1800.09+1900.5+2000.3+2100.06192.3192（个） ， 277.8，9，正式测试时，202，9， 193，+211， P（193）10.8413， 0.84131000841.3841， 正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数为 841 个 （ii）由正态分布模型得，在该地区 2020 年初三毕业生中任取 1 人，
38、第 19 页（共 23 页） 每分钟跳绳个数 202 以上的概率为，即 B（3，） ， P（0）， P（1）， P（2）， P（3）， 的分布列为： 0 1 2 3 P E（） 【点评】本题考查概率、频数的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法， 考查正态分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20设函数 f（x）exmx+n，曲线 yf（x）在点（ln2，f（ln2） ）处的切线方程为 xy 2ln20 （）求 m，n 的值； （）当 x0 时，若 k 为整数，且 x+1（kx）f（x）+x+1，求 k 的最大值 【分析】 （）根据题意，列出方程组，解出即可； （）将
39、原不等式变形为于，构造新函数， 求其最小值即可 【解答】解： （）f（x）exm，易知切线方程的斜率为 1，且过点（ln2，ln2） ， ，解得 m1，n2； （）由（）知，f（x）exx2， x+1（kx）f（x）+x+1即为 x+1（kx） （ex1） ， 当 x0 时，等价于， 令，则， 令 h（x）exx2，由 x0 得，h（x）ex10， 第 20 页（共 23 页） 函数 h（x）在（0，+）上递增， 而 h（1）0，h（2）0，故存在唯一的零点 x0（1，2） ，使得 h（x0）0，即存在唯 一的零点 x0（1，2） ，使得 g（x0）0， 当 x（0，x0）时，g（x）0，g（
40、x）递减，当 x（x0，+）时，g（x）0，g （x）递增， g（x）ming（x0） ， 又 h（x0）0，即，故 g（x0）x0+1（2，3） ， 整数 k 的最大值为 2 【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用导数解不等式，确定参数的范围，属于较 难的题 21在圆 x2+y24 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在圆上运 动时，点 M 在线段 PD 上，且，点 M 的轨迹为曲线 C1 （1）求曲线 C1的方程； （2）过抛物线 C2：y28x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，过 F 且与直线 l 垂 直的直线交曲线 C1于另一点
41、 C，求ABC 面积的最小值，以及取得最小值时直线 l 的方 程 【分析】 （1）由题意设 P，M 的坐标可得 D 的坐标，由向量之间的关系求出 P，M 的坐 标的关系，由相关点法，P 在圆上得出 M 的轨迹方程； （2）设直线 l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长 AB 的长， 再求直线 CF 的方程与曲线 C1联立求出 C 的坐标，求出 CF 的长，由题意 CFAB，即 CF 的长为 C 到 AB 边上的高，求出面积，换元，用导数求出函数在单调性，进而求出面 积的最小值，及此时的直线 l 的方程 【解答】解（1）设 M（x，y） ，P（x，y） ，由题意可知 D（x，
42、0） ，因为，所 以可得 M 是 DP 的中点， ，即， 而 P 在圆 x2+y24 上，所以可得 x2+（2y）24，整理得：1， 所以曲线 C1的方程：1 第 21 页（共 23 页） （2）由题意焦点 F 的坐标（2，0） ，显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为：x my+2，设交点 A（x，y） ，B（x，y） ，联立直线与抛物线的方程：， y28my160，y+y8m，yy16， 所以弦长 AB8（1+m2） ， 由题意可知 CF 的方程为：ym（x2） ，与曲线 C1联立可得： （1+4m2） x216m2x+16m240，x+2，xC， 代入直线 CF 中 yCm
43、（2） ， 即 C 的坐标为 （，） ， 所以 CF， 所以 SABC8（1+m2）16（1+m2）， 令 t1，则 SABC16，令 f（t）（t1） ， f（t），令 f（t）0，t1，t， 当 1，f（t）0，f（t）单调递减 当 t，f（t）0，f（t）单调递增， 所以 t1，+） ，f（）最小，且最小值 f（）， 所以ABC 面积的最小值为 169，且这时，解得 m， 即直线 l 的方程为：xy+2 【点评】考查直线与圆锥曲线的综合应用，属于中难题 第 22 页（共 23 页） 22设 A 为椭圆 C1：上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C2的极
44、坐标方程为 210cos+240，B 为 C2上任意一点 （）写出 C1参数方程和 C2普通方程； （）求|AB|最大值和最小值 【分析】 （）先将直线 l 的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，将曲线 C 的 方程先去分母，再将 ysin，x2+y22代入，化简即可求解； （）先将曲线 C 的方程化为参数形式，再利用两点间的距离公式，结合三角函数求最 值，即可得解 【解答】解： （）椭圆 C1：转换为参数方程为（ 为参数） 曲线 C2的极坐标方程为 210cos+240， 转换为直角坐标方程为 x2+y210x+240， 整理得（x5）2+y21 （）椭圆上点 A（2cos，2sin）
45、到曲线 C2的圆心（5，0）的距离 d ， 当时， 当 cos1 时，|AO|min3， 所以， |AB|min312 【点评】本题考查参数方程与普通方程、直角坐标和极坐标之间的转化、二次函数性质 的应用，两点间的距离公式的应用，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化思想 23已知函数 f（x）|2x2a|（aR） ，对xR，f（x）满足 f（x）f（2x） （）求 a 的值； （）若xR，使不等式，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）由题意可得 f（x）的图象关于直线 x1 对称，再由绝对值函数的对称轴， 可得 a 的值； （）运用绝对值不等式的性质和二次不等式的解法，即可得到所求范围 【解答】解： （）函数 f（x）|2x2a|（aR） ，对xR，f（x）满足 f（x）f（2x） ， 第 23 页（共 23 页） 可得 f（x）的图象关于直线 x1 对称，可得 a1； （）由（）可得 f（x
