1、2019 年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 Ax|0x2，B0，1，2 ，则 AB（ ）A0 Bx|0x2 C1 ，2 D0 ，1，22 （5 分）已知 i 是虚数单位，若（ 1+i） （a+i）为实数，则实数 a 的值为（ ）A1 B2 C1 D03 （5 分）广东省的学业水平测试成绩是分等级来表示的，考试分为四个成绩等级；24 分及以下不给等级，2549 分为 D，5069 分为 C，7084 分为 B，85100 分
2、为 A培恩中学高二学生参加 2018 年 6 月份学业水平测试的成绩全部在 D 级（含 D 级）以上，该校共有 500 名学生参加了考试，学生成绩等级统计如图所示，该校学业水平测试成绩评价等级为 A 的学生人数是（ ）A205 B185 C85 D254 （5 分）已知椭圆 + 2（ab0）与双曲线 1 的焦点相同，则双曲线的离心率为（ ）A B C D5 （5 分）已知 a，b 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）Aab，b，则 aBa，b ， ，则 abCab，a，则 bD当 a，且 b时，若 b，则 ab6 （5 分）在
3、ABCD 中，E 为 AC 上一点，且 3 ，记 ， ，则 （ 第 2 页（共 25 页）A + B C + D +7 （5 分）将函数 g（x）cos（x+ ）的图象向左平移 个单位长度，得到 yf （x）的图象，则下列说法错误的是（ ）Af（x）的一个周期为 2By f（x）的图象关于直线 x 对称Cf（x+ ）的一个零点为 xDf（x）在（ ，）单调递减8 （5 分）函数 ylog a（x+4）+2（a0 且 a1）的图象恒过点 A，且点 A 在角 的终边上，则 sin2（ ）A B C D9 （5 分）用一段长为 8cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这
4、个模型的最大面积为（ ）A9cm 2 B16cm 2 C4cm 2 D5cm 210 （5 分）函数 f（x ）sin2x+sin x 在 ，的图象大致是（ ）A BC D11 （5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，D 1B 与DC 所成的角是 60，则长方体的外接球表面积是（ ）A16 B8 C4 D4 12 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）f（x）ax，若函数 yg（x）有两个零点，则 a 的取值范围是（ ）第 3 页（共 25 页）A （，0）（0，e） B （，0）（0，
5、 ）C （ ，+） D （， ）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置）13 （5 分）已知函数 f（x ） 是奇函数，则实数 a 的值为 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x +y 的最大值为 15 （5 分） 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象（如图所示） ，不少大树被大风折断某路边树干被台风吹断后（没有完全断开） ，树干与地面成 75角，折断部分与地面成 45角，树干底部与树尖着地处相距 10 米，则大树原来的高度是 &n
6、bsp; 米（结果保留根号）16 （5 分）已知点 O（0，0 ） ，A（2，2） ，点 M 是圆（ x3） 2+（y1） 22 上的动点，则OAM 面积的最大值为 三、解答题：（本大題共 5 小题，共 70 分其中 17 至 21 题为必考题，22、23 題为选考题解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考部分：共 60 分17 （12 分）已知数列a n满足 a11，a n+1 （n N*） （）求 a2，a 3，a 4 的值；（）证明数列 为等差数列；（）设 cna nan+1，求数列c n的前 n 项和 Sn18 （1
7、2 分）如图（1）所示，AD 是ABC 的边 BC 上的高，E，F 分别是 DC，AC 的中点，ADDC6，BD4，分别将 ABD 和CEF 沿着线段 AD 和 EF 折起，使得 B，C 两点重合为点 S，得到几何体 ADSEF，如图（2）所示（）求证：平面 ADEF平面 SDE；（）求几何体 ADSEF 的体积第 4 页（共 25 页）19 （12 分）2018 年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到 100 件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取 10 件作品进行试评若这 10 件作品的成绩如下：65，82，78，86，96，81，73，84，76，59（）请绘
8、制以上数据的茎叶图；（）求该样本的中位数和方差；（）在该样本中，从成绩在平均分以上（含平均分）的作品中随机抽取两件作品，求成绩为 82 分的作品被抽到的概率20 （12 分）设抛物线 C：x 22py（0p8）的焦点为 F，点 P 是 C 上一点，且 PF 的中点坐标为（2， ）（）求抛物线 C 的标准方程；（）动直线 l 过点 A（0，2） ，且与抛物线 C 交于 M，N 两点，点 Q 与点 M 关于 y 轴对称（点 Q 与点 N 不重合） ，求证：直线 QN 恒过定点21 （12 分）已知函数 f（x ） （a R）在 x2 处的切线斜率为 （）求实数 a 的值，并讨论函数 f（x ）的单
9、调性；（）若 g（x）e xlnx+f（x） ，证明：g（x）1选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xoy，已知椭圆的方程为： + 1，动点 P 在椭圆上，O 为原点，线段 OP 的中点为 Q（）以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点 Q 的轨迹的极坐标方程；第 5 页（共 25 页）（）设直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数） ，l 与点 Q 的轨迹交于 M、N 两点，求弦长|MN| 选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1| xa|（a0） （）当 a1 时，求不等式 f（x ）1 的解集；（）若不等式 f（x ）2
10、在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 Ax|0x2，B0，1，2 ，则 AB（ ）A0 Bx|0x2 C1 ，2 D0 ，1，2【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合 Ax|0x2，A 包含的整数有 1，2，B0 ， 1，2，AB1，2故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5
11、 分）已知 i 是虚数单位，若（ 1+i） （a+i）为实数，则实数 a 的值为（ ）A1 B2 C1 D0【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为 0 求解【解答】解：（1+i） （a+ i）（ a1）+ （a+1）i 是实数，a+10，即 a1故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）广东省的学业水平测试成绩是分等级来表示的，考试分为四个成绩等级；24 分及以下不给等级，2549 分为 D，5069 分为 C，7084 分为 B，85100 分为 A培恩中学高二学生参加 2018 年 6 月份学业水平测试的成绩全部在 D
12、 级（含 D 级）以上，该校共有 500 名学生参加了考试，学生成绩等级统计如图所示，该校学业水平测试成绩评价等级为 A 的学生人数是（ ）第 7 页（共 25 页）A205 B185 C85 D25【分析】由扇形统计图能求出评价等级为 A 的人数【解答】解：由扇形统计图得：评价等级为 A 的人数是：50041%205 人故选：A【点评】本题考查该校学业水平测试成绩评价等级为 A 的学生人数的求法，考查扇形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）已知椭圆 + 2（ab0）与双曲线 1 的焦点相同，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【分析】设双
13、曲线的焦距为 2c，由题意可得 2a22b 2a 2+b2，即有 a，b 的关系，结合双曲线的基本量关系和离心率公式，计算可得所求值【解答】解：设双曲线的焦距为 2c，依题意 2a22b 2a 2+b2，即 a23b 2，又 b2c 2a 2，a 23（c 2a 2） ，即 ，双曲线的离心率为 e 故选：D【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查焦点坐标和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题5 （5 分）已知 a，b 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）Aab，b，则 aBa，b ， ，则 abCab，a，则 bD当 a，且 b时，
14、若 b，则 ab【分析】在 A 中，有可能 a，也可能 a；在 B 中，直线 a，b 可能平行，也可能异面；在 C 中，由线面垂直的性质定理得 b ；在 D 中，直线 a，b 也可能异面【解答】解：在 A 中，有可能 a，也可能 a，故 A 错；第 8 页（共 25 页）在 B 中，直线 a，b 可能平行，也可能异面，故 B 错；在 C 中，ab，a，则由线面垂直的性质定理得 b，故 C 正确；在 D 中，直线 a，b 也可能异面，故 D 错故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题6 （5 分）在ABCD 中，E 为
15、AC 上一点，且 3 ，记 ， ，则 （ ）A + B C + D +【分析】可画出图形，根据条件可得出 ，从而得出，进行向量的数乘运算即可【解答】解：如图， ； ； 故选：B【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算7 （5 分）将函数 g（x）cos（x+ ）的图象向左平移 个单位长度，得到 yf （x）的图象，则下列说法错误的是（ ）Af（x）的一个周期为 2By f（x）的图象关于直线 x 对称Cf（x+ ）的一个零点为 x第 9 页（共 25 页）Df（x）在（ ，）单调递减【分析】首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利
16、用余弦型函数的性质求出结果【解答】解：依题设得 ，所以 函数的周期为 T2，故：A 正确，对于 B，当 x 时，函数的值为 1，故：B 正确对于 C 当 x 时，函数 f（ +）cos（ ）0，故：C 正确故选：D【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数和余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型8 （5 分）函数 ylog a（x+4）+2（a0 且 a1）的图象恒过点 A，且点 A 在角 的终边上，则 sin2（ ）A B C D【分析】根据对数函数的图象经过的定点坐标，利用任意角的三角函数的定义，求得sin 和 cos 的值
17、，再利用二倍角的正弦公式，求得 sin2 的值【解答】解：对于函数 ylog a（x+4）+2（a0 且 a1） ，令 x+41，求得x2，y2，可得它的图象恒过 A（3，2） ，则 ，则 sin22sincos ，故选：B【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题9 （5 分）用一段长为 8cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）第 10 页（共 25 页）A9cm 2 B16cm 2 C4cm 2 D5cm 2【分析】设矩形模型的长和宽分别为 x，y，根据题意得出 x+y4，再利用基本不等式可求
18、出这个模型的面积 Sxy 的最大值【解答】解：设矩形模型的长和宽分别为 x，y，则 x0， y0，由题意可得 2（x +y）8，所以 x+y4，所以矩形菜园的面积 Sxy ，当且仅当 xy2 时取等号，所以当矩形菜园的长和宽都为 2cm 时，面积最大，为 4cm2故选：C【点评】本题考查利用基本不等式求最值，解本题的关键在于对代数式的灵活配凑，考查计算能力，属于中等题10 （5 分）函数 f（x ）sin2x+sin x 在 ，的图象大致是（ ）A BC D【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的符号的对应性进行判断即可【解答】解：显然 f（x ）是奇函数，图象关于原点对称，排除 D
19、；在区间（0， ）上，sin2x 0，sinx0，即 f（x）0， 排除 B 和 C；故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的奇偶性以及特殊值的符号是否一致，利用排除法是解决本题的关键11 （5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，D 1B 与DC 所成的角是 60，则长方体的外接球表面积是（ ）A16 B8 C4 D4 第 11 页（共 25 页）【分析】首先由 ABCD，找出异面直线 D1B 与 DC 所成的角转化为ABD 1，利用锐角三角函数计算出 BD1，再由长方体的体对角线即为外接球的直径，可得出外接
20、球的半径，最后利用球体的表面积公式即可得出答案【解答】解：如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，DCAB，相交直线 D1B 与 AB 所成的角是异面直线 D1B 与 DC 所成的角连接 AD1，由 AB平面 ADD1A1，得 ABAD 1在 RtABD 1 中，ABD 1 就是 D1B 与 DC 所成的角，即ABD 160，又 AB2，ABBD 1cos60，所以， ，设长方体 ABCDA 1B1C1D1 外接球半径为 R，则由长方体的对角线就是长方体外接球直径得 4R2D 1B216，则 R2，长方体外接球表面积是 4R216故选：A【点评】本题考查球体表面积的计算，考查异面直线所
21、成角的定义，解决本题的关键就是利用平移法找出异面直线所成的角，并找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力与推理能力，属于中等题12 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）f（x）ax，若函数 yg（x）有两个零点，则 a 的取值范围是（ ）A （，0）（0，e） B （，0）（0， ）C （ ，+） D （， ）【分析】由 g（x）有两个零点，转化为 f（x）与 yax 有两个不同的交点，利用数形结合进行判断即可【解答】解：g（x）有两个零点，即方程 f（x）ax0 有两个不等的实根也就是函第 12 页（共 25 页）数 yf（x）与 yax 有两个交点，如图，作出 yf（x
22、）的图象，而 yax 是过原点的直线，当 a 0 时，求出 yax 与 ylnx 相切时的斜率 a ，数形结合，当且仅当 0a 时，yax 与 yf（x）有两个交点当 a 0 时， yax 与 yf（x）恒有两个交点当 a 0 时， yax 与 yf（x）只有一个交点综上得 a 的取值范围是（，0）（0， ） 故选：B【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题是解决本题的关键二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置）13 （5 分）已知函数 f（x ） 是奇函数，则实数 a 的值为 0 【分析】
23、根据函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可【解答】解：f（x ）是奇函数，所以 f（x） f（x ） ，即 ，则（ax） 2（a+x ） 2，即 a22ax+x 2 a2+2ax+x2，得2ax2ax，即 4ax0，则 4a0，解得 a0故答案为：0【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据奇函数的定义建立方程关系是解决本题第 13 页（共 25 页）的关键14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x +y 的最大值为 4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z2x+y 得 y2x +z
24、，平移直线 y2x +z，由图象可知当直线 y2x +z 经过点 B 时，直线 y2x +z 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 ，即 B（2，0） ，代入目标函数 z2x+y 得 z22+04即目标函数 z2x+y 的最大值为 4故答案为：4【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15 （5 分） 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象（如图所示） ，不少大树被大风折断某路边树干被台风吹断后（没有完全断开） ，树干与地面成 75角，折断部分与地面成 45角，树干底部与树尖着地处相距 1
25、0 米，则大树原来的高度是 5 +5 米（结果保留根号）【分析】根据正弦定理分别求出树干两部分的长度即可【解答】解：设树根部为 O，折断处为 A，树梢为 B，则AOB75，ABO 45，第 14 页（共 25 页）所以OAB60OB 10由正弦定理知， ，所以 OA （米） ， （米） ， （米） 答案： 【点评】本题考查了解三角形的应用，正弦定理，属于基础题16 （5 分）已知点 O（0，0 ） ，A（2，2） ，点 M 是圆（ x3） 2+（y1） 22 上的动点，则OAM 面积的最大值为 6 【分析】求出圆心和半径，结合点到直线的距离公式利用数形结合进行求解即可
26、【解答】解：如图，由题设，得圆心 C（3，1） ，半径 r ， ，直线 OA 的方程为 x+y0，则OAM 边 OA 上的高 h 就是点 M 到直线 OA的距离，圆心 C（3，1）到直线 OA 的距离为 ，可得圆（x3） 2+（y 1） 22 上的点 M 到直线 OA 的距离的最大值为 hmaxd+r3 ，故OAM 面积的最大值 故答案为：6【点评】本题主要考查直线和圆位置关系的应用，结合点到直线的距离公式，利用数形结合是解决本题的关键第 15 页（共 25 页）三、解答题：（本大題共 5 小题，共 70 分其中 17 至 21 题为必考题，22、23 題为选考题解答过程应写出文字说明、证明过
27、程或演算步骤） （一）必考部分：共 60 分17 （12 分）已知数列a n满足 a11，a n+1 （n N*） （）求 a2，a 3，a 4 的值；（）证明数列 为等差数列；（）设 cna nan+1，求数列c n的前 n 项和 Sn【分析】 （）由已知条件，分别令 n1，2，3，计算可得所求值；（）法一、取倒数，结合等差数列的定义可得；法二、运用等差数列的定义，即可得证；（）由（）得 ，a n的通项公式为 ，可得cna nan+1 ，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（）由 a11， ，得 ， ，即 a2，a 3，a 4 的值分别为 ；（） （法一）证明：由 得 ， ，又
28、a11， ，数列 是首项为 ，公差为 2 的等差数列（） （法二）证明：由 a11， ，得 ， ，第 16 页（共 25 页）因此，数列 是首项 ，公差为 2 的等差数列；（）由（）得 ，a n的通项公式为 ，c na nan+1 ，S nC 1+C2+C3+cn 【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，同时考查数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题18 （12 分）如图（1）所示，AD 是ABC 的边 BC 上的高，E，F 分别是 DC，AC 的中点，ADDC6，BD4，分别将 ABD 和CEF 沿着线段 AD 和 EF 折起，使得 B，C 两点重合为点 S，得到几何
29、体 ADSEF，如图（2）所示（）求证：平面 ADEF平面 SDE；（）求几何体 ADSEF 的体积【分析】 （）依题意，AD BC，由翻折的不变性得，ADDE ，ADDS，从而 AD平面 SDE，由此能证明平面 ADEF平面 SDE（）法一：推导出几何体 ADSEF 是四棱锥 SADEF ，EFAD 且 EF AD3，推导出 SO平面 ADEF，设 G 是 SD 的中点，连接 GE，由此能出四棱锥 SADEF 的体积法二：推导出几何体 ADSEF 是四棱锥 SADEF ，四边形 ADEF 为直角梯形，SO 是四棱锥 SADEF 的高，由余弦定理、等面积公式，能求出四棱锥 SADEF 的体积第
30、 17 页（共 25 页）【解答】证明：（）依题意，ADBC，由翻折的不变性得，ADDE，ADDS，（2 分）又 DSDED，DE、DS 平面 SDE， （3 分）AD平面 SDE， （4 分）AD平面 ADEF，平面 ADEF 平面 SDE （5 分）解：（）解法一：由已知得几何体 ADSEF 是四棱锥 SADEF，EF 为ADC 的中位线，EFAD 且 EF AD3 （6 分）由题设得四边形 ADEF 为直角梯形，AD6，DE3，S ADEF （AD +EF）DE （6+3）3 （7 分）在平面 SDE 内，作 SODE，O 为垂足，由（）知平面 ADEF平面 SDE，平面 A
31、DEF平面 SDEDE，SO平面 SDE，SO平面 ADEF，即 SO 是四棱锥 SADEF 的高（8 分）在SDE 中，设 G 是 SD 的中点，连接 GE，依题设知 ESDE3，DS 4，故EGDS，EG （10 分）利用等面积得 SO （11 分）四棱锥 SADEF 的体积为 （12 分）解法二：由已知得几何体 ADSEF 是四棱锥 SADEF ，EF 为ADC 的中位线，EFAD 且 EF AD3 （6 分）由题设得四边形 ADEF 为直角梯形，AD6，DE3，S ADEF （AD +EF）DE （6+3）3 （7 分）在平面 SDE 内，作 SODE，O 为垂足，由（）知
32、 AD平面 SDE，SO平面 SDE， SOAD ，又 ADDED，AD 、DE平面 ADEF，SO平面 ADEF，即 SO 是四棱锥 SADEF 的高 （8 分）在SDE 中，依题设知 ES DE3，DS4，第 18 页（共 25 页）由余弦定理得： ，又DES（0，）sinDES ，故 （10 分）利用等面积得 ， ，（11 分）四棱锥 SADEF 的体积为 （12 分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）2018 年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，
33、某赛区收到 100 件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取 10 件作品进行试评若这 10 件作品的成绩如下：65，82，78，86，96，81，73，84，76，59（）请绘制以上数据的茎叶图；（）求该样本的中位数和方差；（）在该样本中，从成绩在平均分以上（含平均分）的作品中随机抽取两件作品，求成绩为 82 分的作品被抽到的概率【分析】 （）根据题意能绘制茎叶图（）结合茎叶图能求出样本数据的中位数，平均数的方差（）成绩在平均分以上（含平均分）的作品有：78，81，82，84，86，96 共 6 件，从成绩在平均分以上（含平均分）的作品中随机抽取两件作品，利用列举法能求出成绩为82
34、 分的作品被抽取到的概率第 19 页（共 25 页）【解答】解：（）根据题意绘制茎叶图如下：（2 分）（）样本数据的中位数为： （3 分）平均数为 ，方差为（6 分）（）成绩在平均分以上（含平均分）的作品有：78，81，82，84，86，96 共 6 件；（7 分）从成绩在平均分以上（含平均分）的作品中随机抽取两件作品的基本事件有：（78，81） ， （78，82） ， （78，84） ， （78，86） ， （78，96） ， （81，82） ， （81，84） ，（81，86） ，（81，96） ， （82，84） ， （82，86） ， （82，96） ， （84，86） ， （84，9
35、6） ， （86，96）共有 15个；9 分设事件 A 为成绩为 8（2 分）的作品被抽取到，则事件 A 包含的基本事件有：（78，82） ， （81，82） ， （82，84） ， （82，86） ， （82，96）共 5 个；（10 分） （11 分）因此，成绩为 82 分的作品被抽取到的概率为 （12 分）【点评】本题考查茎叶图的作法，考查中位数、平均数、方差、概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20 （12 分）设抛物线 C：x 22py（0p8）的焦点为 F，点 P 是 C 上一点，且 PF 的中点坐标为（2， ）（）求抛物线 C 的标准方程；第 20 页（共
36、 25 页）（）动直线 l 过点 A（0，2） ，且与抛物线 C 交于 M，N 两点，点 Q 与点 M 关于 y 轴对称（点 Q 与点 N 不重合） ，求证：直线 QN 恒过定点【分析】 （）求得抛物线的焦点坐标，运用中点坐标公式，可得 P 的坐标，代入抛物线方程，解得 p，即可得到所求抛物线方程；（）方法一、设出直线 l： ykx+2 ，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 Q（x 1，y 1） ，联立抛物线方程，运用韦达定理和直线的方程，求得 QN 的方程，即可得到定点；方法二、设出直线 QN 的方程为 ykx+b，联立抛物线方程，运用韦达定理和三点共线的条件：斜率相等，即可
37、得到 k，b 的关系，进而得到所求定点【解答】解：（）依题意得 F（0， ） ，设 P（x 0，y 0） ，由 PF 的中点坐标为，得0+x022 且 +y02 ，x 04，y 05 ，P（x 0，y 0）在抛物线 x22py 上，162p（5 ） ，即 p210p+160，解得 p2 或 p8（舍去） ，抛物线 C 的方程为 x24y；（） （法一）依题意直线 l 的斜率存在，设直线 l：ykx+2，M（x 1， y1） ，N（x 2，y 2） ，则 Q（x 1，y 1） ，联立 消去 y 得 x24kx80，显然0，由韦达定理得 ， ，直线 QN 方程为 ，即 ，x 1x28，QN 方程为
38、 ，即直线 QN 方程恒过定点（0，2） （法二）依题意知直线 QN 的斜率存在且不为 0，设直线 QN 方程为 ykx+b，Q （x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，第 21 页（共 25 页）则 M（x 1，y 1） ，联立 消去 y 得 x24kx4b0Q，N 是抛物线 C 上不同两点， 必有0，由韦达定理得 ，M，A，N 三点共线， ，x 1（y 2 2）x 2（y 1 2）0x 1（kx 2+b2）x 2（kx 1+b2）0，2kx 1x2+（b2） （x 1+x2） 0，即 2k（4b）+ （b2）4k0 化简得：kb+2k0，k0，b2，直线 QN 方程为 ykx2，直线
39、 QN 恒过定点（0，2） 【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率和方程的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ） （a R）在 x2 处的切线斜率为 （）求实数 a 的值，并讨论函数 f（x ）的单调性；（）若 g（x）e xlnx+f（x） ，证明：g（x）1【分析】 （）求出函数的导数，求出 a 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）问题等价于 ，设 h（x）xlnx （x 0） ，m （x） （x0） ，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（） （1 分）由切线斜率 k
40、 ，解得a2（2 分） ，其定义域为（，0）（0，+） ，第 22 页（共 25 页）（3 分）令 f'（x）0，解得 x1，故 f（x ）在区间（1，+ ）上单调递增；（4 分）令 f'（x）0，解得 x1，且 x0，故 f（x）在区间（，0）和区间（0，1上单调递减；（5 分）（）证明：由（）知 g（x）e xlnx ，定义域为（0，+） 从而 g（x）1 等价于 ，（6 分）设 h（x）xlnx（x0） ，则 h'（x）lnx+1， 当 x（0， ）时，h'（x）0，当 x（ ，+ ）时，h'（x）0（7 分）故 h（x）在区间（0， ）上单调递减
41、，在区间（ ，+）上单调递增，（8 分）从而 h（x）在（0，+）的最小值为 h（ ） （9 分）设 m（x） （x0） ，则 ，当 x（0，1 ）时，m'（x ）0，当 x（1，+）时，m'（x）0（10 分）故 m（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+ ）上单调递减，从而 m（x）在（0，+ ）的最大值为 m（1） ，综上所述，在区间（0，+）上恒有 h（x）m （x）成立，即 g（x ）1 （12 分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题选修 4-4：坐标系与参数方程第 23 页（共 25 页）22
42、 （10 分）在平面直角坐标系 xoy，已知椭圆的方程为： + 1，动点 P 在椭圆上，O 为原点，线段 OP 的中点为 Q（）以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点 Q 的轨迹的极坐标方程；（）设直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数） ，l 与点 Q 的轨迹交于 M、N 两点，求弦长|MN| 【分析】 （）设点 Q 的坐标为（ x，y） ，则点 P 的坐标为（ 2x，2y） ，然后将点 P 的坐标代入椭圆的方程可得出有关点 Q 的坐标所满足的方程，即为点 Q 的轨迹方程；（）解法一是将直线 l 的参数方程与椭圆 C 的方程联立，消去 x、y，得到关于 t 的二次方程，并
43、列出韦达定理，并利用弦长公式|MN| |t 1t 2|结合韦达定理可求出答案；解法二是将直线 l 的方程化为普通方程，将直线 l 的普通方程与椭圆 C 的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定理与弦长公式可计算出|MN| ；解法三是写出直线 l 与椭圆 C 的极坐标方程，将直线 l 的极坐标方程与椭圆的极坐标方程联立，列出有关 的二次方程，列出韦达定理，结合韦达定理以及|MN| 1 2|可计算出答案【解答】解：（）设点 Q 的坐标为（x，y） ，则点 P 的坐标为（ 2x，2y） ，由点 P 在椭圆上得 ，化解可得： 由 xcos ，ysin ，代入 得 ，化简可得点 Q 轨迹的极坐标方程为 2（
44、3+2sin 2）15（） （法一）把直线 l 参数方程 （t 为参数）代入 得 化简得：所以 ，弦长 ；第 24 页（共 25 页）（法二）由直线 l 参数方程 （t 为参数）知，直线 l 过极点，倾斜角为 ，直线 l 的极坐标方程为 由 解得： 或 弦长 （法三）由直线 l 参数方程 （t 为参数）知，直线 l 的普通方程为 ，联立 解得 弦长 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，同时也考查了参数方程与极坐标方程的应用，考查计算能力与变形能力，属于中等题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +1| xa|（a0） （）当 a1 时，求不等式 f（x ）1 的解集；（）若不等式 f（x ）2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （）去绝对值变分段函数解不等式再相并；（）转化为 f（x ） min2 可得【解答】解：由已知 f（x）|2 x+1|xa | （1 分）第 25 页（共 25 页）（）当 a1 时，f（x ） 由 f（ x）1，得 或或 即 x3 或 x1 或x1（3 分）x3 或 x ，即不等式 f（x）1 的解集x|x 3 或 x （5 分）（）函数 f（x ）的解析式知当 x 时，f（x ）单调递减，当 xa 时，f（x）单调递增，当 xa 时，f（x）单调递增
