1、第第 0303 讲讲 分数的简便运算分数的简便运算 换元：换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式； 循环小数与分数拆分：循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算， 涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题。 一、一、换元换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另另一个量去代替它，从而使问题得到简一个量去代替它，从而使问题得到简化，化， 这叫换元法这叫换元法换元的实质是转化换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简，将复杂的式子化繁为简 二二、循环小数化分数循环小数化分数 1 1、循
2、环小数化分数结论：循环小数化分数结论： 纯循环小数纯循环小数 混循环小数混循环小数 分子分子 循环节中的数字所组成的数循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不 循环部分数字所组成的数的差循环部分数字所组成的数的差 分母分母 n n 个个 9 9， 其中， 其中 n n 等于循环节所含的等于循环节所含的 数字个数数字个数 按循环位数添按循环位数添 9 9，不循环位数添，不循环位数添 0 0，组成分母，组成分母， 其中其中 9 9 在在 0 0 的左侧的左侧 0. 9 a a ； 0. 99 ab ab ； 1 0.0 991099
3、0 abab ab ； 0. 990 abca abc ， 2 2、单位分数的拆分：单位分数的拆分： 例：例： 1 10 = = 11 2020 = = 11 = = 11 = = 11 = = 11 分析：分数单位的拆分，主要方法是：分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母从分母 N N 的的约数中任意找出两个约数中任意找出两个 m m 和和 n,n,有：有： 知识梳理 教学目标 11() ()()() mnmn NN mnN mnN mn = = 11 AB 本题本题 1010 的约数有的约数有:1,10,2,5.:1,10,2,5.。 例如：选例如：选 1 1 和和 2 2，有：，有：
4、 11(12)1211 1010(12)10(12)10(12)3015 本题具体的解有：本题具体的解有： 111111111 1011110126014351530 考点一：考点一：换元换元 例例 1 1、计算： 33333333 13579111315 【解析】原式 333333333 123414152414 2 2 333 1515 1 8127 4 22 57600 278 4 8128 例例 2 2、计算： 23456 111111 1 333333 【解析】法一：利用等比数列求和公式。 原式 7 1 11 3 1 1 3 7 13264 11 32729 法二：错位相减法 典例分
5、析 设 23456 111111 1 333333 S 则 2345 11111 331 33333 S ， 6 1 33 3 SS，整理可得 364 1729S 例例 3 3、计算： 22222222 (246100 )(13599 ) 1239 109832 1 【解析】原式 22222222 2 (21 )(43 )(65 )(10099 ) 10 (21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(10099) 100 12349910050501 50 1001002 例例 4 4、计算： 2222222222 1223344520002001 1 22 33 44 52
6、000 2001 【解析】原式 2222222222 1223344520002001 1 21 22 32 33 43 44 54 52000 20012000 2001 1223344520002001 2132435420012000 2132435199920012000 ()() 1223344200020002001 2000 20002000 222224000 20012001 个2相加 例例 5 5、计算： 1111111111 (1)()(1)() 2424624624 【解析】令 111 1 246 a， 111 246 b，则： 原式 11 ()() 66 abab 1
7、1 66 abbaba 1 () 6 ab 11 1 66 考点二：考点二：循环小数与分数互化循环小数与分数互化 例例 1 1、某学生将1.23乘以一个数a时，把1.23误看成 1.23，使乘积比正确结果减少 0.3.则正确 结果该是多少? 【解析】由题意得：1.231.230.3aa ，即：0.0030.3a ，所以有： 33 90010 a 解 得90a ， 所以 111 1.231.23 9090111 90 a 例例 2 2、真分数 7 a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是 1992， 那么a是多少? 【解析】1=0.142857 7 ， 2 7 =0.2
8、85714，3 7 =0.428571，4 7 =0.571428，5 7 =0.714285， 6 7 =0.857142因 此，真分数 7 a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是 1+4+2+8+5+7=27， 又因为 199227=7321,27-21=6，而 6=2+4，所以 . =0.857142 7 a ，即6a 例例 3 3、在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立 （1） 11111111111 102020 ； （2） 111 10 【解析】单位分数的拆分，主要方法是从分母N的约数中任意找出两个数m和n，有： 111 ()()() mnmn NN mnN
9、mnN mnAB ， 从分母n的约数中任意找出两个m和n (mn)，有： 111 ()()() mnmn NN mnN mnN mnAB （1） 本题10的约数有：1，10，2，5 例如：选 1 和 2，有： 1121211 1010(12)10(12)10(12)3015 ； 从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m和n，它们的数值虽然不同， 但是如果m和n的比值相同，那么最后得到的A和B也是相同的本题中，从 10 的约 数中任取两个数， 共有 2 4 410C 种，但是其中比值不同的只有 5 组：(1，1)；(1， 2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题共可拆分成 5
10、 组具体的解如下： 11111111111 10202011110126014351530 （2）10 的约数有 1、2、5、10，我们可选 2 和 5： 1525211 1010 (52)10 (52)10 (52)615 例例 4 4、所有分母小于 30 并且分母是质数的真分数相加，和是_。 【解析】小于 30 的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29 共十个，分母为 17 的真分 数相加，和等于 11621531489 ()()()()8 1717171717171717 171 2 。 类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的和是 13 1517111
11、 113 117119123 1291 2222222222 11 123568911 1459 22 例例 5 5、若 111 2004ab ，其中 a、b 都是四位数，且 ab，那么满足上述条件的所有数对（a,b） 是 【解析】2004 的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有： 11211 20042004(12)2004(12)60123006 11311 20042004(13)2004(13)80162672 12311 20042004(23)2004(23)50103340 13411 20042004(34)2004(34)4676350
12、7 课堂狙击课堂狙击 1、计算：计算：1 992983 974951 【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式 实战演练 原式 504950495048504850 150 1 222222 50495048501 2222 50491249 2222 50491249 2 1 5049495099 6 2 504949 25 33 49 2510033 492567 82075 2、看规律 32 11， 332 123， 3332 1236，试求 33.3 6714 【解析】原式 33.333.3 1214125 22 1231412345 22 1051510
13、5 15 105 1590 12010800 3、 11111111111111 (1)()(1)() 23423452345234 【解析】设 111 234 a ，则原式化简为： 111 1(1 555 aaaa( + )( +)-+)= 4、 1111111111111111 11213141213141511121314151213141 【解析】设 1111 11213141 a， 111 213141 b， 原式 11 5151 abab 11 5151 abaabb 1 () 51 ab 111 5111561 5、计算 （1）0.291 0.1920.3750.526 （2）0
14、.330 0.186 【解析】（1）原式 29119213755265 999990999990 291375521 191 999990 666330 1 999990 （2）原式 3301861 999990 330 185 999990 5 81 6、将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后 一位小数是多少? 【解析】0.0270.179672 2717967211796724856 0.004856 99999999937999999999999 循环节有 6 位， 1006=164， 因此第 100 位小数是循环节中的第 4 位 8
15、， 第 10l 位是 5 这 样四舍五入后第 100 位为 9 7、纯循环小数0.abc写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数_abc 【解析】如果直接把0.abc转化为分数,应该是 999 abc ,因此,化成最简分数后的分母应该是 999 的 约数,我们将999分解质因数得: 3 999337,这个最简分数的分母应小于58,而且大于29,否 则该分数就变成了假分数了,符合这个要求的999的约数就只有 37 了,因此,分母应当为 37,分 子就是583721,也就是说 21 0. 999372737 abcabc abc ,因此21 27567abc . 8、在下面的括号里填上不同的
16、自然数，使等式成立 1111111 10 【解析】先选 10 的三个约数，比如 5、2 和 1，表示成连减式521和连加式521 则： 1111111 1041020804016 如果选 10、5、2，那么有： 1111111 103615173485 另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差， 再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成 了 3 个单位分数的和或差了比如，要得到 1111 10 ，根据前面的拆分随意选 取一组，比如 111 101260 ，再选择其中的一个分数进行拆分，比如 111 1213156 ，所以 11
17、11 101360156 课后反击课后反击 1、计算：1 2323 43 458 9 10 【解析】原式 2222 221331441991 3333 23492349 2 123912349 2 45451980 2、 2 1239123911239239 ()()(1)() 23410234102234103410 【解析】设 1239 23410 t ，则有 222 11111 (1)()() 222222 t ttt ttttt 3、计算 11 11 21 11 31 11 43 11 4 1 2009 2009 【解析】设3N 1 1 4 1 2009 . 原式= 1 1 2 N +
18、 1 1 1 1 1 N = 1 21N N + 1 1 1 N N = 1 1 2121 NN NN . 4、(7.886.775.66)(9.31 10.9810)(7.886.775.6610)(9.31 10.98) 【解析】换元的思想即“打包”，令7.886.775.66a ，9.31 10.98b ， 则原式a(10b)(10a )b (10aba)(10abb) 101010abaabb (ab) 10(7.886.775.669.31 10.98) 100.020.2 5、有 8 个数，0.51， 2 3 , 5 9 ,0.51, 24 13 , 47 25 是其中 6 个，如
19、果按从小到大的顺序排列时，第 4 个数 是0.51，那么按从大到小排列时，第 4 个数是哪一个数? 【解析】 2 =0.6 3 , 5 =0.5 9 , 24 0.5106 47 , 13 =0.52 25 显然有0.51060.510.510.520.50.6即 241352 0510.51 472593 ， 8个数从小到大排列第4个是0.51， 所以有 241352 0.510.51 472593 口 口(“”，表示未知的那 2 个数).所以，这 8 个数从大到 小排列第 4 个数是0.51 6、如果 111 2009AB ，AB，均为正整数，则B最大是多少？ 【解析】要将 1 N 按照如
20、下规则写成 11 AB 的形式： 111 ()()() mnmn NN mnN mnN mnAB ，其 中m和n都是N的约数。如果要让B尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n尽可能地小 而m尽可能地大，因此应当m取最大的约数，而n应取最小的约数，因此2009m ，1n ，所 以20092008B . 7、20078.5 8.51.5 1.5101600.3 【解析】原式20078.51.58.51.5101600.3 2007108.51.5101600.3 200771600.3 12.50.312.2 8、计算 111111111111111111 11 2345234562345623
21、45 【解析】【解析】 设 1111 1 2345 A， 1111 2345 B 原式 11 66 ABAB 11 66 ABAABB 11 66 AB 1 6 (AB) 1 6 9、 2002 2009 和 1 287 化成循环小数后第 100 位上的数字之和是_. 【解析】如果将 2002 2009 和 1 287 转化成循环小数后再去计算第 100 位上的数字和比较麻烦，通过观 察计算我们发现 20021 1 2009287 ，而10.9 ，则第 100 位上的数字和为 9. 1、(希望杯一试)如果 111 207265009A ，则A_（4 级） 【解析】 111112591 2072
22、650098 7 377 37 25125920082008 ，所以A=2008. 2、(走美杯初赛)小虎是个粗心大意的孩子，在做一道除法算式时，把除数 5 6 看成了 5 8 来计算， 算出的结果是 120，这道算式的正确答案是_ 。 【解析】根据题意可知，被除数为 5 12075 8 ，所以正确的答案为 5 7590 6 。 3、(中环杯初赛)一根铁丝，第一次剪去了全长的 1 2 ，第二次剪去所剩铁丝的 1 3 ，第三次剪去 所剩铁丝的 1 4 ， 第2008次剪去所剩铁丝的 1 2009 ，这时量得所剩铁丝为1米，那么原来的 铁丝长 米。 【解析】第2007次剪去后剩下的铁丝为 1200
23、9 1(1) 20092008 (米)，第2006次剪去后剩下的铁丝长 为 2009120092008 (1) 2008200820082007 ， 依次可以得出， 原来的铁丝长为 200920082 2009 200820071 （米） 。 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式；换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式； 循环小数与分数拆分：掌循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算， 涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题。涉及
24、循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题。 一、一、换元换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另另一个量去代替它，从而使问题得到简化，一个量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法这叫换元法换元的实质是转化换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简，将复杂的式子化繁为简 重点回顾 名师点拨 直击赛场 二二、循环小数化分数循环小数化分数 1 1、循环小数化分数结论：循环小数化分数结论： 纯循环小数纯循环小数 混循环小数混循环小数 分子分子 循环节中的数字所组成的数循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环小数去掉小数点后
25、的数字所组成的数与不 循环部分数字所组成的数的差循环部分数字所组成的数的差 分母分母 n n 个个 9 9， 其中， 其中 n n 等于循环节所含的等于循环节所含的 数字个数数字个数 按循环位数添按循环位数添 9 9， 不循环位数添， 不循环位数添 0 0， 组成分母， 组成分母， 其中其中 9 9 在在 0 0 的左侧的左侧 0. 9 a a ； 0. 99 ab ab ； 1 0.0 9910990 abab ab ； 0. 990 abca abc ， 2 2、单位分数的拆分：单位分数的拆分： 例：例： 1 10 = = 11 2020 = = 11 = = 11 = = 11 = = 11 分析：分数单位的拆分，主要方法是：分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母从分母 N N 的约数中任意找出两个的约数中任意找出两个 m m 和和 n,n,有：有： 11() ()()() mnmn NN mnN mnN mn = = 11 AB 本题本题 1010 的约数有的约数有:1,10,2,5.:1,10,2,5.。 例如：选例如：选 1 1 和和 2 2，有：，有： 11(12)1211 1010(12)10(12)10(12)3015 本题具体的解有：本题具体的解有： 111111111 1011110126014351530 本节课我学到 学霸经验 我需要努力的地方是
