【精品原创】六年级奥数培优教程讲义第09讲-比的应用(教师版)

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1、 第第 0909 讲讲 比的应用比的应用 教学目标 能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题; 进一步体会比的意义,感受比在生活中的广泛应用,提高解决问题的能力。 在学生学习了比与分数的联系,已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上,把在学生学习了比与分数的联系,已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上,把 比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例,掌握了按比分配的解题方法,不仅能有效比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例,掌握了按比分配的解题方法,不仅能有效 地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行分配的问题,也为以后学习地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行

2、分配的问题,也为以后学习“比例比例”“”“比比 例尺例尺”奠定了基础。奠定了基础。 比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理 倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲,我们讲探讨稍复杂的比是应用题。倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲,我们讲探讨稍复杂的比是应用题。 考点一:简单的数比的应用考点一:简单的数比的应用 我们已经学过比的知识, 都知道比和分数、 除法其实是一回事, 所有比与分数能互相转化。 运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易,化繁为简。 例例 1

3、 1、甲数是乙数的 2/3,乙数是丙数的 4/5,甲、乙、丙三数的比是( ):( ):( )。 【解析】甲、乙两数的比 : 2:3 乙、丙两数的比 : 4:5 甲、乙、丙三数的比 8:12:15 答:甲、乙、丙三数的比是 8:12:15。 典例分析 知识梳理 教学目标 例例 2 2、光明小学将五年级的 140 名学生,分成三个小组进行植树活动,已知第一小组和第二小 组人数的比是 2:3,第二小组和第三小组人数的比是 4:5。这三个小组各有多少人? 【解析】先求出三个小组人数的连比,再按求出的连比进行分配。 一、二两组人数的比 2:3 二、三两组人数的比 4:5 一、二、三组人数的比 8:12:

4、15 总份数:8+12+1535 第一组:1408/3532(人) 第二组:14012/3548(人) 第三组:14015/3560(人) 答:第一小组有 32 人,第二小组有 48 人,第三小组有 60 人。 例例 3 3、甲、乙两校原有图书本数的比是 7:5,如果甲校给乙校 650 本,甲、乙两校图书本数的 比就是 3:4。原来甲校有图书多少本? 【解析】由甲、乙两校原有图书本数的比是 7:5 可知,原来甲校图书的本数是两校图书总数 的 57 7 ,由于甲校给了乙校 650 本,这时甲校的图书占两校图书总数的 43 3 ,甲校给乙校的 650 本图书,相当于两校图书总数的 57 7 43

5、3 84 13 。即: 650( 57 7 43 3 ) 57 7 2450(本) 答:原来甲校有图书 2450 本。 例例 4 4、从前有个农民,临死前留下遗言,要把 17 头牛分给三个儿子,其中大儿子分得 1/2,二 儿子分得 1/3,小儿子分得 1/9,但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不 好分。后来一位邻居顺利地把 17 头牛分完了,你知道这到底是怎么回事吗? 【解析】因为 1/2+1/3+1/917/18,17/181,就是说三兄弟并未将全部牛分完,所以我们 求出三个儿子分牛头数的连比,最后再按比例分配。 三个儿子分牛头数的连比:1/2:1/3:1/99:6:2 总份

6、数:9+6+217 三个儿子各分得牛的头数:179/179(头)176/176(头)172/172 (头) 答:大儿子分得 9 头,二儿子分得 6 头,小儿子分得 2 头。 例例 5 5、两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是 3:1,另一个瓶中酒精 与水的体积之比是 4:1。若把两瓶酒精溶液混合,混合液中酒精与水的体积之比是多少? 【解析】抓住两个瓶子相同的关系,分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分之几再解答。 一个瓶中酒精占瓶子容积的比: 3/(1+3) 3/4 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比: 4/(1+4) 4/5 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比: 3/4+4/5

7、31/20 水占一个瓶子容积的比: 231/20 9/20 混合液中酒精与水的比 31/20:9/2031:9 答:混合液中酒精与水的比是 31:9。 考点二:用比解应用题考点二:用比解应用题 比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理倍 数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。 例例 1 1、甲、乙两个学生放学回家,甲要比乙多走 1/5 的路,而乙走的时间比甲少 1/11,求甲、 乙两人速度的比。 【解析】因为 速度路程时间,所以,甲、乙速度的比 甲时间 甲路程 : 乙时间 乙路程 (1)甲、乙路程的比:(1+1/5):16:5 (2)甲、乙时间的比:1:(1

8、1/11)11:10 (3)甲、乙速度的比:6/11:5/10=12:11 答:甲、乙速度的比是 12:11。 例例 2 2、制造一个零件,甲需 6 分钟,乙需 5 分钟,丙需 4.5 分钟。现在有 1590 个零件的制造 任务分配给他们三个人,要求在相同的时间内完成,每人应该分配到多少个零件? 【解析】先求出工作效率的比,然后根据同一时间内,工作总量的比等于工作效率的比进行解 答。 甲、乙、丙工作效率的比: 1/6:1/5:1/1.515:18:20 总份数:15+18+2053 甲 :159015/53450(个) 乙:159018/53540(个) 丙:159020/53600(个) 答

9、:甲、乙、丙分配到的零件分别是 450 个、540 个、600 个。 例例 3 3、两个服装厂一个月内生产服装的数量是 6:5,两厂西服价格的比是 11:10。已知两厂 这个月内总产值为 6960 万元。两厂的产值各是多少万元? 【解析】因为产值价格产量,所以 甲产值:乙产值(甲价格甲产量):(乙价格乙产量) 两厂的产值比为:(116):(105)66:50 甲厂产值为:696066/(66+50)3960(元) 乙厂产值为:696050/(66+50)3000(元) 答:两厂的产值分别是 3960 万元和 3000 万元。 例例 4 4、A、B 两种商品的价格比是 7:3。如果它们的价格分别

10、上涨 70 元,它们的价格比就是 7: 4,这两种商品原来的价格各是多少元? 【解析】解法一:因为 A、B 两种商品涨价的数值相同,所以涨价后两种商品价格差不变。由 于价格差不变, 所以价格差对应的份数也应该相同。 原价格比7:321:9 现价格比7:428:16 【这样前后项的差都是 12,价格涨了(2821)7 份,是 70 元】 70(2821)10 元 A:1021210(元) B:10990(元) 解法二:由于两种商品的价格不变,选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。 (1)原来 A 商品的几个是价格差的几倍 7(73)7/4 (2)后来 A 商品的价格是价格差的几倍 7(74)7

11、/3 (3)A、B 两种商品的价格差是 70(7/37/4)120(元) (4)原来 A 商品的价格是 120(73)7210(元) (5) 原来 B 商品的价格是 120(73)390(元) 答:A、B 两种商品原来的价格分别是 210 元和 90 元。 例例 5 5、如图是甲、乙、丙三地的线路图,已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是 1:2。 王刚以每小时 4 千米的速度从甲地步行到丙地,李华同时以每小时 10 千米的速度从乙地骑自 行车去丙地,他比王刚早 1 小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米? 【解析】解法一:根据路程的比和速度的比求出时间的比,从而求出王刚和李华所用的时间,

12、再求出各自所走的路程。 王刚和李华所用时间的比 1/4:2/105:4 王刚所用的时间 1(54)55(小时) 甲地到丙地的路程 4520(千米) 甲、乙两地的路程 20(1+2)60(千米) 解法二:如果李华每小时行 428 千米,他将与王刚同时到达丙地。现在他每小时 多行 1082 千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内,李华比应行的路程多行了 101 10 千米。据此,可求出王刚从甲地到丙地的时间。 王刚从甲地到丙地的时间 10 1(1042)5(小时) 甲、乙两地的路程 45(1+2)60(千米) 解法三:如果王刚每小时行 1035 千米,就能和李华同时到达。由此可见,王刚 走完甲地到丙

13、地的路程,用每小时 4 千米的速度和每小时 5 千米的速度相比,所用的时间相差 1 小时。再根据 1 千米的路程,两种速度所用的时间相差 1/41/5 1/20 小时。最后求出甲 地到丙地的路程。 甲地到丙地的路程 1(1/41/(102)20(千米) 甲、乙两地的路程 20(1+2)60(千米) 答:甲、乙两地相距 60 千米。 课堂狙击课堂狙击 1、甲数是乙数的 4/5,乙数是丙数的 5/8,甲、乙、丙三数的比是( ):( ):( )。 【解析】因为甲数:乙数=4:5, 乙数:丙数=5:8; 所以甲:乙:丙=4:5:8; 故答案为:4:5:8 实战演练 2、某农场把 61600 公亩耕地划

14、归为粮田与棉田,它们之间的比是 7:2,棉田与其他作物面积 的比 6:1。每种作物各是多少公亩? 【解析】因为棉田=7:2=21:6,棉田:其他作物=6:1,所以粮田:棉田:其他作物=21:6: 1; 所以粮田的面积为: 61600(21+6+1)21 =616002821 =220021 =46200(公亩) 棉田:61600(21+6+1)6 =22006 =13200(公亩) 其它作物:61600(21+6+1)1=2200(公亩)。 答:粮田的面积是 46200 公亩,棉田的面积是 13200 公亩,其他作物的面积是 2200 公 亩。 3、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多1

15、 5 ,小芳用的时间比小明多 1 8 。求小明和 小芳速度的比。【解析】小明与小芳路程的比是(1+1 5 ):16:5 小明与小芳时间的比是 1:(1+1 8 )8:9 小明与小芳速度的比是:6 8 : 5 9 27:20 4、加工一个零件,甲需 3 分钟,乙需 3.5 分钟,丙需 4 分钟。现在有 1825 个零件需要甲、乙、 丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务,那么各应加工多少个? 【解析】甲、乙、丙效率的比是1 3 : 1 3.5 : 1 4 28:25:21 总份数:28+25+2173 甲应加工的个数:182528 73 700 个 乙应加工的个数:182525 73 600

16、个 丙应加工的个数:182521 73 525 个 5、两块一样重的合金,一块合金中铜与锌的比是 2:5,另一块合金中铜与锌的比是 1:3。现 将两块合金合成一块,求出锌合金中铜与锌的比。 【解析】铜与锌的比是 2:5 的合金中,含铜=2/(2+5)=2/7; 即铜的质量是合金的 2/7。 铜与锌的比是 4:1 的合金中,含铜=4/(4+1)=4/5; 即铜的质量是合金的 4/5。 新合金中含铜=(2/7+4/5)/(1+1)=19/35.(其中 1+1 为两块合金的质量和) 即铜的质量是合金的 19/35。 那么 新合金中含锌=1-19/35=16/35, 新合金中,铜:锌=19/35:16

17、/35=19:16。 5、苹果和梨的单价的比是 6:5,王大妈买的苹果和梨的重量的比是 2:3,共花去 18 元。王 大妈买苹果和梨各花了多少元? 【解析】苹果与梨的总价比为: (62):(53)4:5 苹果:18 4 4+5 8 元 梨 :18 5 4+5 10 元 6、一辆汽车在甲、乙两站间行驶,往返一次共用去 4 小时(停车时间不算在内)。汽车去时 每小时行 45 千米,返回时每小时行 30 千米。甲、乙两地相距多少千米? 【解析】解法一:4( 1 45 + 1 30 )72 千米 解法二:45(4 30 45+30 )72 千米 7、下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与

18、乙地到丙地的路程的比是 2:3。 一辆货车以每小时 40 千米的速度从甲地开往丙地, 一辆客车同时以每小时 50 千米的速度从乙 地开往丙地,客车比火车迟 1 小时到达丙地。求甲、乙两地的路程? 甲 丙 乙 【解析】(1)乙地到丙地的路程 1( 1 50 1 4023 )300 千米 (2)甲、乙两地之间的路程 300(1+2 3 )500 千米 课后反击课后反击 1、黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是 5:4,第二组与第 三组人数的比是 3:2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少 15 人。六年级参加植树的 共有多少人? 【解析】第一小组与第二小组人数之比为:

19、5:4=15:12, 第二小组与第三小组人数比为:3:2=12:8, 第一、第二、第三小组人数比是:15:12:8, 总人数:15(12+8-15)(15+12+8), =15535 =335 =105(人) 答:六年级参加植树的共有 105 人。 2、五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的 1/3,二班与三班参 加比赛人数的比是 11:13,二班比三班少 8 人。一班有多少人参加了数学竞赛? 【解析】二班人数:811/(13-11)=44 人; 三班人数:813/(13-11)=52 人; 一班人数:(44+52)(1-1/3)1/3=48 人。 3、甲走的路程比乙多1

20、 3 ,乙用的时间比甲多 1 4 。求甲、乙的速度比。 【解析】甲、乙路程的比是(1+1 3 ):14:3 甲、乙时间的比是 1:(1+1 4 ):14:5 甲、 乙速度的比是4 4 : 3 5 5:3 4、 大、小两种苹果,其单价比是 5:4,重量比是 2:3。把两种苹果混合,成为 100 千克的 混合苹果,单价为每千克 4.40 元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元? 【解析】两样苹果的总价:4.4100440 元 两种苹果总价的比:(52):(43)5:6 大苹果的总价:440 5 5+6 200 元 大苹果的重量:100 2 2+3 40 千克 大苹果的单价:200405 元 小苹果

21、的单价:5544 元 5、甲书架上的书是乙书架上的4 7 ,两书架上各增加 154 本后,甲书架上的书是乙书架上的 5 6 , 甲、乙两书架上原来各有多少本书? 【解析】解法一:甲、乙原来的比是 4:7 甲、乙后来的比是 5:615:18 甲书架上原有的书:154(154)456 本 乙书架上原有的书:154(187)798 本 解法二:由于甲、乙两个书架上本数的差没有变,因此,以甲、乙两个书架上本书的差 为单位“1”来考虑。 甲、乙两个书架上相差的本数 154( 5 65 4 74 )42 本 原来甲、乙两个书架上的本数 甲:42(74)456 本 乙:42(74)798 本 6、兄弟两人,

22、每年收入的比是 4:3,每年支出的比是 18:13。从年初到年底,他们都结余 720 元。他们每年的收入各是多少元? 【解析】解法一:兄、弟二人收入的是 4:320:15 兄、弟二人支出的比是 18:13 兄一年的收入是 720(2018)207200 元 弟一年的收入是 720(1513)155400 元 解法二:兄弟二人的收入相差 720( 4 43 18 1813 )1800 元 兄、弟每年的收入各是: 兄:1800(43)47200 元 弟:1800(43)35400 元 7、甲做 3000 个零件比乙做 2400 个零件多用 1 小时,甲、乙工作效率的比是 6:5。甲、乙每 小时各做

23、多少个? 【解析】乙:(30005 6 2400)1100 个 甲:1006 5 120 个 1、甲、乙、丙三人承包一项工程,发给他们工资共 1800 元,三人完成这项工程的具体情况是: 甲、乙两人合作 6 天完成了工程的 3 1 ,因为甲有事,由乙、丙合作 2 天完成余下工程的 4 1 ,以 后三人合作 5 天完成了这项工程,按完成量的多少来付劳动报酬,甲、乙、丙各得多少元? 【解析】根据题意可知,甲、乙两人的工作效率之和为 11 6 318 ; 乙、丙两人的工作效率之和为 111 (1)2 3412 ; 甲、乙、丙三人的工作效率之和为 111 (1)(1)5 3410 。 分别可求得甲的工

24、作效率为 111 101260 ,乙的工作效率为 117 1860180 ,丙的工作效率为 112 101845 , 则甲完成的工程量为: 111 65 6060 ,乙完成的工程量为: 791 625 180180 ,丙完成的 工程量为: 214 25 4545 ,三人所完成的工作量之比为 119114 :33:91:56 60 180 45 。 所以,甲应得 33 1800330 339156 元,乙应得 91 330910 33 元,丙应得 56 330560 33 元 2、一个圆柱体的容器中,放有一个长方形铁块。现在打开一个水龙头往容器中注水,3 分钟 时,水恰好没过长方体的顶面,又过了

25、 18 分钟,水灌满容器。已知容器的高度是 50 厘米。长 方体的高度是 20 厘米,那么长方体底面积:容器底面面积等于多少? 【解析】注满容器 20 厘米高的水与 30 厘米高的水所用时间之比为 20:30=2:3。 注 20 厘米的水的时间为12 3 2 18(分),这说明注入长方形铁块所占空间的水要用时间为 12 -3=9(分)。 直击赛场 已知长方形铁块高为 20 厘米,因此它们底的面积比等于它们的体积之比,而它们的体积比 等于所注入时间之比,故长方形底面面积:容器底面面积=9:12=3:4 在学生学习了比与分数的联系,已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上,把在学生学习了比与分

26、数的联系,已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上,把 比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例,掌握了按比分配的解题方法,不仅能有效比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例,掌握了按比分配的解题方法,不仅能有效 地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行分配的问题,也为以后学习地解决生活、工作中把一个数量按照一定的比进行分配的问题,也为以后学习“比例比例”“”“比比 例尺例尺”奠定了基础。奠定了基础。 比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理 倍数关系、解答分数应用题就方

27、便灵活得多。在这一讲,我们讲探讨稍复杂的比是应用题。倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲,我们讲探讨稍复杂的比是应用题。 我们已经学过比的知识,我们已经学过比的知识,都知道比和分数、除法其实是一回事,所有比与分数能互相转都知道比和分数、除法其实是一回事,所有比与分数能互相转 化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易,化繁为简。化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易,化繁为简。 比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理 倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。 本节课我学到了本节课我学到了 我需要努力的地方是我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验

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