1、第第 0101 讲讲 定义新运算定义新运算 学会理解新定义的内容； 理解新定义内容的基础上能够解决用新定义给出的题目； 学会自己总结解题技巧。 一、一、 知识概念知识概念 1、 定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计 算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知
2、道，这是一种人）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如： *、等来表示的一种运算。等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适 合于各种运算定律的。合于各种运算定律的。 2、一般的解题步骤是一般的解题步骤是: : 一是认真审题，深刻理解新定义的内容；一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。三
3、是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 例例 1 1、对于任意数 a，b，定义运算“*”： a*b=a b-a-b。求 12*4 的值。 【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=124-12-4=48-12-4=32 例例 2 2、假设 a b = ( a + b ) b 。求 8 5 。 典例分析 知识梳理 教学目标 【解析】该题的新运算被定义为: a b 等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里 面的和，再算后面的商。这里 a 代表数字 8，b 代表数字 5。 8 5 = （8 + 5） 5 = 2.6 例例 3 3、如果 ab=ab-(a+b)。求 6（
4、92）。 【解析】根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“”就是一种新的运算符号。 6（92） =692-（9+2） =67 =67-（6+7） =42-13 =29 例例 4 4、如果 13=1+11+111；25=2+22+222+2222+22222；82=8+88。 求 65。 【解析】仔细观察发现“”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二 位数，三位数，“”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规 律进行解答。 65=6+66+666+6666+66666=74070 例例 5 5、如果规定2=123，3=234，4=345， 计算（ 2 1 - 3 1 ）
5、 3 2 。 【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为X=（X-1） X （X+1）。由于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。 （ 2 1 - 3 1 ） 3 2 = 2 1 3 2 - 3 1 3 2 = 3 1 - 3 1 3 2 = 3 1 （1- 3 2 ） = 432 1 （1- 432 321 ） = 432 1 （1- 4 1 ） = 432 1 4 3 = 32 1 例例 6、规定 ab=5a+ 2 1 ab-3b。求（85）X=264 中的未知数。 【解析】根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。 （
6、85）X=264 （5 8 + 2 1 8 5-3 5）X=264 45X=264 5 45+ 2 1 45 X-3X=264 225+ 2 45 X- 2 6X =264 225+ 2 39 X=264 2 39 X=39 X=2 课堂狙击 1、A，B 表示两个数，定义 A B 表示(A+B) 2， 求(1)(3 17) 29； (2)(1 9) 9 6。 【解析】定义新运算符号“ ”表示 A B=(A+B) 2，即两个数做“ ”运算就是求这两个数的平 均值。如：3 17=(3+17) 2=10，再用 10 与 29 做运算，10 29=(10+29) 2=19.5 (1)原式=(3+17)
7、 2 29 (2)原式=(1+9) 2 9 6 =20 2 29 =5 9 6 实战演练 =10 29 =(5+9) 2 6 =(10+29) 2 =7 6 =39 2 =(7+6) 2 =19.5 =6.5 2、A，B 表示两个数，定义 A*B=2A-B。试求： (1)(8.56.9)*5 (2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35) 【解析】定义新运算符号“*”表示 A*B=2A-B，即前面数的两倍与后面数之差；所以 （1）原式=2（8.56.9）-5 =176.9-5 =117.3-5 =112.3 3、 已知 a， b 是任意自然数， 我们规定： ab ab1,2abab
8、,那么4(68)(35)？ 【解析】原式4(68 1)(3 52)41313 413 13 1425425298。 4、表示( )2,(2008 2010)2009MN_ 【解析】原式200820102 *20092009*20092009200922009 。 5、已知 2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702. 求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若 1*x=123，求 x. 【解析】观察两个已知等式可以发现， “*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数， 且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加 数的个数。 （
9、1）3*3=3+33+333=369 （2）4*5=4+44+444+4444+44444=49380 （3）提示：因为 1* x=1+11+111+=123 所以倒着算：123-1=122 122-11=111 111-111=0 即：1+11+111=1*3=123 从而可知 x=3 6、已知 53=567，36=345678，按此规定计算： （1）（43）+（62） （2）（32）（43） 【解析】观察两个已知等式可以发现，“”定义为由前面的数开始称后面数一次加 1，相乘 （2）原式=90*26 =290-26 =180-26 =154 个数为“”之后的数字。 （1）原式=456+67=
10、120+42=162 （2）原式=（34）（456） =12120 =1440 7、设 AB=2（A+B）-2（AB）， 计算：（1）（124）13； （2）70（184）。 【解析】观察已知等式可知：“”定义表示的是两个数和的 2 倍与商的 2 倍的差。如：12 4=2（12+4）-2（124）=26 （1）原式=2（12+4）-2（124） 13 =216-23 13 =2613 =2（26+13）-2（2613） =239-22 =78-4 =74 （2）原式=702（18+4）-2（184） =70222-24.5 =7035 =2(70+35)-2(7035) =206 8、规定 a
11、b=(a+b) (a-b)，按此规定计算: (1)2115 (2)(189) 2 【解析】观察已知等式可以发现，“”定义为两数之和与两数只差的商，即 ab=(a+b) (a-b)；所以有 （1）原式=（21+15）（21-15） =366 =6 9、小辉用电脑设计了 A，B，C，D 四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数. 装置 A:将输入的数加上 5；装置 B:将输入的数除以 2；装置 C:将输入的数减去 4；装置 D:将 （2）原式=（18+9）（18-9）2 =32 =（3+2）（3-2） =5 输入的数乘 3.这些装置可以连 接，如果装置 A 后面连接装置 B，就写成 AB，
12、输入 1 后，经过 AB 输出了 3.那么，输入 9，经过 ABCD 输出几? 【解析】ABCD=(9+5)2-43=9 所以输出的是 9 课堂反击 1、定义新运算为 ab（a1） b，求的值。6（34）。 【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 由 ab（a1） b 得，34（31） 44 41；6（34）61（61） 17。 2、P、Q表示数，*P Q表示 2 PQ ，求 3*(6*8) 【解析】 6837 3*(6*8)3*()3*75 22 。 3、如果&10abab,那么2&5 。 【解析】2&525 102.5。 4、如果 ab 表示32ab,例如 45=3 4-
13、2 5=2,那么,当 x5 比 5x 大 5 时, x 。 【解析】根据题意 x55x(3x2 5)(3 52x)5x25,由 5x255,解得 x6. 5、对于任意的两个自然数a和b，规定新运算：(1)(2)(1)a ba aaab，其中a、b表 示自然数.如果(3) 23660x，那么x等于几？ 【解析】方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个乘数。36606061，即： 6023660，则360x；60345，即 3360,所以3x 。 方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是y23660，y2(1)366060 61y y， 所以60y ，那么也就有 x360，603
14、45，即 3360，所以x3。 6、对于非零自然数 a 和 b，规定符号的含义是：ab 2 mab ab （m 是一个确定的整数）。 如果 1423，那么 34 等于_。 【解析】根据 14=23，得到 1423 2 1 42 2 3 mm ，解出 m6。所以， 6 3411 34 2 3 412 。 7、对于数dcba、，规定，2abcd，已知7，求 x 的 值。 【解析】根据新定义的算式，列出关于 x 的等式，解出 x 即可。将 1、3、5、x 代入新定义的 运算得：2 1 35x1x，又根据已知7，故 1x7，x6。 8、规定:62=6+66=72 23=2+22+222=246, 14
15、=1+11+111+1111=1234，75=？ 【解析】75=7+77+777+7777+77777=86415。 9、规定ab(2)(1)aaab, 计算：（21）（1110）_。 【解析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用 10 次，然后再求和。但是我们 注意到要求的 10 项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中 ba1，所以，我们 不妨把 ba1 代入原定义 ab(2)(1)aaab就变成了 ab(2)(1)(1)aaaa 2 a，所以 21 2 2，32 2 3，32 2 11，则原式 2 2 2 3 2 4 2 11 11 1223 1505 6 。 1、规定运
16、算“”，a是b的倍数时，abab1；b是a的倍数时，abba1； a不是b的倍数时，b也不是a的倍数时，ab13，根据上面的规定，计算 1426626296286 。 【解析】1426626296286 （266 141）26296286 2026296286 13296286 13286 286 131 23 2、 定义新运算：ab5amb， 其中a，b是任意两个不同的数，m为常数， 如275 2 7m，（1）已知2319，则35 ，53 ，（2）当时m ， 该运算满足交换律。 直击赛场 【解析】（1）先求新运算中的常数m。因为235 23m10m319，解得m3， 所以定义的新运算是ab5
17、ab3，于是355 33 530，535 53 334。 （2）要使该运算满足交换律，即abba，根据新运算的定义，有ab5amb， ba5bma，所以5amb5bma，即5ab5mbma ，m5，因此当m5 时，该运算满足交换律。 3、定义新运算，使它的运算规则是：xyxyxy，按此规则计算：42.5 ， 2.54 。 【解析】42.54 2.54 2.5101.68.4。 4、对于数a和b，规定运算如下：abba34 ，请比较： 5.12.3 2.35.1。(填“”、“”或“”) 【解析】5.12.34 5.13 2.320.46.927.3。 2.35.14 2.33 5.19.215.324.5。所以 5.12.3 2.35.1。 新定义运算注意的问题新定义运算注意的问题: (1)新定义运算一般不满足运算定律新定义运算一般不满足运算定律 如如:abba a(bc) (ab) c (a*b) c(ac)*(bc) (2)“+”“”“-”“”“”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序”“”“”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序. 本节课我学到了 我需要努力的地方是 学霸经验 名师点拨
