精品六年级奥数培优教程讲义第24讲环形线路教师版

1、 第第 0909 讲讲 比的应用比的应用 教学目标 能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题； 进一步体会比的意义，感受比在生活中的广泛应用，提高解决问题的能力。 在学生学习了比与分数的联系，已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上，把在学生学习了比与分数的联系，已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上，把 比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例，掌握了按比分配的解题方法，不仅能有效比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例，掌握了按比分配的解题方法，不仅能有效 地解决生活、工作中把一个数。

2、第第 1212 讲讲 浓度应用题浓度应用题 明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系； 浓度三角的应用； 会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解； 利用方程解复杂浓度问题。 一、浓度问题中的基本量一、浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的溶质：通常为盐水中的“盐盐”，糖水中的，糖水中的“糖糖”，酒精溶液中的，酒精溶液中的“酒精酒精”等；等； 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等；溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等； 溶液：溶质和溶液的混合液体；溶液：溶质和溶液的混合液体； 浓度。

3、 第第 0505 讲讲- -转化单位“转化单位“1 1” 学会用转化单位“1”的方法解答分数应用题； 灵活应用所学的方法解应用题； 把不同的数量当作单位把不同的数量当作单位“1”“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。，得到的分率可以在一定的条件下转化。 如果甲是乙的如果甲是乙的a a b b ，乙是丙的 ，乙是丙的c c d d ，则甲是丙的 ，则甲是丙的ac ac bdbd ；如果甲是乙的 ；如果甲是乙的a a b b ，则乙是甲的 ，则乙是甲的b b a a ；如果甲的 ；如果甲的 a a b b 等于乙的 等于乙的c c d d ，则甲是乙的 ，则甲是乙的c c d d a a b b。

4、第第 0707 讲讲 假设法解题假设法解题 初步学会运用“假设”的策略分析数量关系，并能根据问题的特点确定合理的解题步 骤； 在解决实际问题过程的不断反思中，感受假设的策略对于解决特定问题的价值，进一步 发展分析、综合和简单推理能力； 养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯，积累解决问题的经验，增强解 决问题的策略意识，获取解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。 当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假。

5、第第 0101 讲讲 定义新运算定义新运算 学会理解新定义的内容； 理解新定义内容的基础上能够解决用新定义给出的题目； 学会自己总结解题技巧。 一、一、 知识概念知识概念 1、 定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计 算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。算顺。

6、第第 1414 讲讲 圆类面积圆类面积计算计算 熟练掌握圆类面积计算的八种方法：相加法、相减法、重新组合法、割补法、平移法、旋 转法、对称添补法、重叠法； 能运用上述方法快速解题。 圆圆的面积的面积： 2 r，扇形，扇形的面积：的面积： 2 360 r 。 。 。 无特殊说明，圆周率都取无特殊说明，圆周率都取=3.14=3.14。 考点考点 1 1：相加：相加法法 将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图 形的面积。 例例 1 1、下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面。

7、第第 21 讲讲 逻辑推理逻辑推理问题问题 学会对一个问题进行分析、推理； 利用我们的推理来解决一些较简单的问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、 勇于探索的意志品质。 一、推理问题一、推理问题 解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。通常， 我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。 二、解题策略二、解题策略 解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑： 1、选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；。

8、第第 0808 讲讲 代数法解题代数法解题 读懂题目表达的意思； 能够快速找出所给题目已知量及未知量； 用之母（x）代替未知量，列方程解题。 解应用题时，用字母代表题中的未知数；参加列式、计算，从而求得未知数的解题方法，解应用题时，用字母代表题中的未知数；参加列式、计算，从而求得未知数的解题方法， 叫做代数法；代数法也就是列方程解应用题的方法；为顺利地学好用代数法解应用题，应注叫做代数法；代数法也就是列方程解应用题的方法；为顺利地学好用代数法解应用题，应注 意以下几个问题；意以下几个问题； 1 1、切实理解题意。。

9、第第 2 27 7 讲讲 同余法解题同余法解题 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和 同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 一、带余除法的定义及性质一、带余除法的定义及性质 一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0）,若有 ab=qr，也就是 abqr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r 时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商 (2)当0r 时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或不完全商 二、三大余数定理：二、三大余数定理。

10、第第 0606 讲讲 设数法解题设数法解题 读懂题目表达的意思； 能够快速找出所给题目中缺少的条件； 能够设出所缺条件，列出式子求解。 在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，但在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，但 仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入法设数代入法”， 即对题目中即对题目中“缺少缺少”的条件，随便假设一个数代入（当。

11、第第 2828 讲讲- -“牛吃草”问题“牛吃草”问题 明确牛吃草问题中，必须把草的生长与牛吃的草问题，分开来分析解决，避免复杂错乱。 能够了解问题中的基本不变量并会求出，清楚牛吃草中等量的关系，能够利用求出的不变 量来求解变化的问题。 一、专题引入一、专题引入 英国物理学家牛顿曾经编了这样一道数学题：牧场上有一片草，每天生长的一样快，这片 草可供 10 头牛吃 22 天，或者供 16 头牛吃 10 天，如果供 22 头牛可吃几天？这道题就是有名 的牛吃草问题，也叫牛顿问题。 解决这一问题的关键是:在牛吃草的同时，草每天也在不断均匀。

12、 第第 1111 讲讲 周期工程问题周期工程问题 了解工作量、工作时间及工作效率的意思； 能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率； 理解三者之间的关系，并用三者关系解题。 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法； （1 1） 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； （2 2） 根据题目中的实际情况能够正确进行单位根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；的统一。

13、第第 2 25 5 讲讲 流水行船问题流水行船问题 掌握流水行船的基本概念； 能够准确处理流水行船中相遇和追及的速度关系。 一、参考系速度一、参考系速度 通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为 0”的行程问题，例如当我们 研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度 的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。 二、参考系速度二、参考系速度“水速水速” 但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为 0 的参考系，因为水本身也是 在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速。

14、第第 1818 讲讲 加法、乘法原理加法、乘法原理 理解加法、乘法原理的类型； 会用加法、乘法原理解应用题。 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用一类中 的一种方法就可以完成，并且几类方法是互不影响的。在每一类方法中，又有几种可能的做法，那么考虑 完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决。 还有这样的一种情况就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方 法，要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决。 加法原理：加法。

15、第第 2626 讲讲 综合趣味题综合趣味题 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律； 在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案； 熟练掌握通过简单操作、染色、数论等综合知识解决策略问题。 实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力， 激发学生探索数学规 律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青 睐的这类题目的原因。 在日常生活中，常有一些妙趣横生、带有智力测试性质的问题，如：3 个小朋友同时唱一 首歌要 3 分钟，100 个小朋友同时唱这首歌要几分钟？。

16、第第 1616 讲讲 比较数的大小比较数的大小 小数的大小比较常用方法； 分数的大小比较常用方法； 数的估算时常用方法。 一、小数的大小比较常用方法一、小数的大小比较常用方法 为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位 数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式) 二二、分分数的大数的大小比较常用方法小比较常用方法 通分母：分子小的分数小. 通分子：分母小的分数大. 比倒数：倒数大的分数小. 与 1 相减比较法：分别与 1 相减，差大的分数小(适用于真分数) 重要结。

17、第第 2222 讲讲 行程问题行程问题 环形路线上的相遇和追及问题； 速度行程问题与比例关系； 钟面上的行程问题。 问题问题回顾回顾 例例 1 1、一条船顺水航行 48 千米，再逆水航行 16 千米，共用了 5 小时；这知船顺水航行 32 千米，再逆水航 行 24 千米，也用 5 小时。求这条船在静水中的速度。 【解析】这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下： 顺水 逆水 时间 48 千米 16 千米 5 小时 32 千米 24 千米 5 小时 比较条件可知，船顺水航行 48 千米，改为 32 千米，即少行了 48-32=16（千米），那么逆水行程就由 16 千 米增加到 2。

18、第第 2020 讲讲 抽屉原理抽屉原理 理解抽屉原理的基本概念、基本用法； 掌握用抽屉原理解题的基本过程； 能够构造抽屉进行解题； 利用最不利原则进行解题； 利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。 一、一、知识点介绍知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理， 它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一 些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的 数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用许多看起来 相当复杂，甚至无从下。

19、第第 29 讲讲 综合推理综合推理 学会对一个问题进行分析、推理； 利用我们的推理来解决一些较简单的问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇 于探索的意志品质。 解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算，通常是计算与推理交替进 行，而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相 结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生，也是小学数学竞赛中比较流行的 题型。 解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。统称。

20、第第 24 讲讲 环形线路环形线路 掌握流水行船的基本概念； 能够准确处理流水行船中相遇和追及的速度关系。 本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及 的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一 个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用： 路程和=相遇时间 速度和 路程差=追及时间 速度差 二、解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是 同。