1、第第 29 讲讲 综合推理综合推理 学会对一个问题进行分析、推理； 利用我们的推理来解决一些较简单的问题； 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇 于探索的意志品质。 解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算，通常是计算与推理交替进 行，而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相 结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生，也是小学数学竞赛中比较流行的 题型。 解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。统称从已知条件 出发可以推出两个或两个以上结论，而又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这就
2、要善 于运用排除法、反证法逐一试验。 当感到题中条件不够时，要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻 找隐蔽条件。 例例 1、甲、乙两队进行象棋对抗赛，甲队的三人是张、王、李，乙队的三人是赵、钱、孙，按照以往的比 赛成绩看，张能胜钱，钱能胜李，李能胜孙，但是第一轮的三场比赛他们都没有成为对手请问：第一轮 比赛的分别是谁对谁？ 【解析】根据上述分析可知： 张能胜钱，说明第一轮只会碰赵或者孙； 钱能胜李，说明第一轮只会碰张，或者是王； 李能胜孙，说明第一轮只会碰赵或者钱 知识梳理 典例分析 教学目标 综上所述： 第一轮比赛是张与孙，王与钱，李与赵 答：第一轮比赛是张与孙，王与钱，李与赵
3、 例例 2、甲、乙、丙三名选手参加马拉松比赛，起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲的位置共发 生了 7 次变化比赛结束时甲是第几名？（注：整个比赛过程中没有出现三人跑在同一位置的情形） 【解析】据题意可知，当甲与共交换了奇数次位置时，甲一定是第二名； 偶数次时，甲一定不在第二名 所以甲共交换了 7 次位置时，7 是奇数，则甲一定是在第二名 答：比赛的结果甲是第二名 例例 3、6 支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分，平局各 得 1 分，请问： （1）各队总分之和最多是多少分？最少是多少分？ （2）如果在比赛中出现了 6 场平局，那么各队总
4、分之和是多少？ 【解析】（1）每支球队赛 5 场，全胜得分最多： 5 3=15（分） 最少得分就是全输得 0 分： 答：各队总分之和最多是 15 分，最少是 0 分 （2）6 5 2=15（场） 6 2+（156） 3 =12+27 =39（分） 答：那么各队总分之和是 39 分 例例 4、编号为 1、2、3、4、5、6 的同学进行围棋比赛，每 2 个人都要赛 1 盘现在编号为 1、2、3、4、5 的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等请问：编号为 6 的同学赛了几盘？ 【解析】因为是每 2 个人都要赛 1 盘，所以可以这样推理： 5 号赛了 5 场，说明他与 1，2，3，4，6，各赛了 1
5、场； 1 号赛 1 场，那么 1 号只跟 5 号赛了 1 场； 4 号赛了 4 场，除了跟 5 号赛 1 场，另外 3 场是跟 2，3，6 号； 那么 2 号此时分别和 5 号、4 号已赛了 2 场； 3 号赛了 3 场，除了和 4 号，5 号之外，又和 6 号赛了 1 场 将上述推理过程用图表示为： 答：此时 6 号已经赛了 3 场 例例 5、甲、乙、丙、丁、戊五个同学的各科考试成绩如表，已知： 每门功课五个人的分数恰巧分别为 l、2、3、4、5； 五个人的总分互不相同，且从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊； 丙有四门功课的分数相同请你把表格补充完整 语文 数学 英语 音乐 美术 总分
6、 田 24 乙 丙 丁 4 戊 3 5 【解析】因为甲得 24 分，而戊得英语得 5 分，所以甲的英语只能得 4 分，根据题意可得甲的其它科目都得 5 分；而戊是最后一名，且语文 3 分，英语 5 分，所以其它科目就是 1，2，4 分，因为是最后一名，甲得分 数是 5 或者是 4，所以戊的分数不会出现 4 分和 2 分，只能是 1 分，据此戊得 11 分； 语文 数学 英语 音乐 美术 总分 田 5 5 4 5 5 24 乙 丙 丁 4 戊 3 1 5 1 1 11 而丙有四门功课的分数相同，且每门功课五个人的分数恰巧分别为 l、2、3、4、5，丙得分最少是 13 分， 所以丙的成绩如下： 语
7、文 数学 英语 音乐 美术 总分 田 5 5 4 5 5 24 乙 丙 1 3 3 3 3 13 丁 4 戊 3 1 5 1 1 11 所以乙的数学是 2 分，英语是 1 或者 2 分，音乐是 2 或者 4 分，美术是 2 或者 4 分，语文是 2 或者 4 分， 且乙的总分小于 19 分大于 13 分，据此乙的成绩分别是 4，2，1，4，4；进而推出丁的成绩即可 根据上述分析及其题意得出他们的成绩如下： 数学 英语 音乐 美术 总分 田 5 4 5 5 24 乙 2 1 4 4 15 丙 3 3 3 3 13 丁 4 2 2 2 12 戊 1 5 1 1 11 例例 6、九个外表完全相同的小
8、球，重量分别是 1，2，9为了加以区分，它们都被贴上了数字标签，可 是有一天，不知被哪个调皮鬼重新乱贴了一通我们用天平做了两次称量，得到如下结果： （1）； （2）=，请问：号小球的重量是多少？ 【解析】根据分析及其题意可得： 必须有一个是 8，一个是 9 的； 所以是 5，6，7 都可以 （1）当=5 时， =1，=4 则 1+2+3+5+6=17 不符合题意； =2，=3 时， 则：1+2+4+5+6=18， 显然不合适； （2）当=6 时， =2，=4 则：1+2+3+5+6=17 不合适； =1，=5 则 1+2+3+4+6=16 故此是 8 和 9 中的一个，是 1，是 5，是 6，
9、就是 2，3，4 中的一个， 所以是 7； （3）当=7 时， +17 不符合题意 答：号小球的重量是 7 例例 7、在一次射击练习中，甲、乙、丙三位战士打了四发子弹，全部中靶，其中命中情况如下： （1）每人四发子弹命中的环数各不相同； （2）每人四发子弹命中的总环数均为 17 环； （3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另外两发命中的环数与丙其中两发一样； （4）甲与丙只有一发环数相同； （5）每人每发子弹的最好成绩不超过 7 环 问：甲与丙命中的相同环数是几？ 【解析】根据（1）、（2）、（5）三个条件，可以列举出四个加数互不相同，且最大加数不超过 7，总和 为 17 的所有情况
10、： 1+3+6+7=17； 1+4+5+7=17； 2+3+5+7=17； 2+4+5+6=17； 因为（3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另外两发命中的环数与丙其中两发一样； 只有算式中的加数 2、3、5、7 中的不同的两对分别出现在两个算式中； 算式的加数也符合（4）甲与丙只有一发环数相同； 所以： 甲：1，3，6，7 乙：2，3，5，7 丙：2，4，5，6 所以：甲与丙的相同环数为 6 例例 8、9 个小朋友从前到后站成一列现在将红黄蓝三种颜色的帽子各三顶分别戴在这些小朋友的头上每 个小朋友都只能看到站在他前面的小朋友帽子的颜色后来统计了一下，发现他们看到的红颜色帽子的总 次
11、数等于他们看到的黄颜色帽子的总次数，也等于他们看到的蓝颜色帽子的总次数已知从前往后数第三 个小朋友戴着红帽子，第六个小朋友戴着黄帽子，请问：最后一个小朋友戴着什么颜色的帽子？ 【解析】（1+2+3+4+8） 3 =36 3 =12（次） 第三个人是红帽子，已经被 6 个人看到，所以剩下两顶帽子要么是在第 4 和第 8，要么是 第 5 和第 7，这样两顶帽子被看到的次数是 6，6+6=12，刚好； 最后一个小朋友不可能是戴红帽子，他也不可能带黄帽子：因为第 6 个是黄帽子，被 3 个人看到，如果最 后一个是黄帽子，那么就没人看到了，剩下的一顶黄帽子即使被第一个小朋友戴，也才被 8 个人看到， 3
12、+0+8=11 所以最后一个小朋友戴的是蓝帽子； 例例 9、现有 A、B、C 共 3 支足球队举行单循环比赛，即每两队之间都要比赛一场比赛积分的规定是胜一 场积 2 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分，表 1 是一张记有比赛详细情况表格，但是，经过核对，发现表 中恰好有 4 个数字是错误的，请你把正确的结果填入表 2 中 表 1 场数 胜 负 平 进球 失球 积分 A 2 2 0 1 0 2 3 B 2 1 1 0 3 6 2 C 1 2 1 2 0 1 1 表 2 场数 胜 负 平 进球 失球 积分 A B C 【解析】根据题意及其条件可得： 场数 胜 负 平 进球 失球 积分 A 2
13、1 0 1 6 2 3 B 2 1 1 0 3 6 2 C 2 0 1 1 0 1 1 课堂狙击课堂狙击 1.甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘到现在为止，甲已经赛了 4 盘，乙 赛了 3 盘，丙赛了 2 盘，丁赛了 1 盘问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？ 【解析】用五个点分别表示参加比赛的五个人，如果某两人已经赛过，就用线段把代表这两个人的点连接 起来，因为甲已经赛了 4 盘，除了甲以外还有 4 个点，所以甲与其他 4 个点都有线段相连（见左下图）， 因为丁只赛了 1 盘，所以丁只与甲有线段相连， 因为乙赛了 3 盘，除了丁以外，乙与其他三个点都有线段相连（见右
14、上图）， 因为丙赛了 2 盘，右上图中丙已有两条线段相连，所以丙只与甲、乙赛过， 由上页右图清楚地看出，小强赛过 2 盘，分别与甲、乙比赛， 答：小强赛过 2 盘，分别与甲、乙比赛 2.有 10 名选手参加乒乓球单打比赛，每名选手都要和其它选手各赛一场，而且每场比赛都分出胜负，请问： （1）总共有多少场比赛？ （2）这 10 名选手胜的场数能否全都相同？ （3）这 10 名选手胜的场数能否两两不同？ 实战演练 【解析】（1） 10（101）=45（场）， 答：一共要进行 45 场比赛 （2）4510=4（个）5（场） （不相同，有余数） 答：这 10 名选手胜的场数不相同 （3）45 可以分成
15、 1，2，3，4，5，6，7，8，9，0 的数列 （有五列，是整数，可以） 答：这 10 名选手胜的场数可以两两不同 3. 5 支球队进行单循环赛， 每两队之间比赛一场， 每场比赛胜者得 3 分， 负者得 0 分， 打平则双方各得 1 分， 最后 5 支球队的积分各不相同，第三名得了 7 分，并且和第一名打平请问：这 5 支球队的得分，从高到 低依次是多少？ 【解析】由题意可知，每支球队进行了 4 场比赛， 第三名得了 7 分，并且和第一名打平，那么另三场只能是两胜一负； 因各队得分都不相同，第一名平一场，另三场只能胜，积 33+1=10 分，也就是胜 2、4、5 名； 第二名只能是三胜一负，
16、积 33+0=9 分也就是胜 3、4、5； 第三名胜 4、5，负 2，平 1； 第四名为负 1、2、3，第五名也负 1、2、3 名； 又因各队比分不同则 4 胜 5 积 3 分， 则第五名全负，积 0 分； 即： 第一名：10 分， 第二名：9 分， 第三名：7 分， 第四名：3 分， 第五名：0 分 答：第一名：10 分，第二名：9 分，第三名：7 分，第四名：3 分，第五名：0 分 4. 红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出 3 名队员参赛比赛规则如下：参赛的 9 名队员进行单循 环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得 9 分，第二名得 8 分， 第九名
17、得 1 分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体 名次最后，比赛结果没有并列名次其中个人评比的情况是：第一名是一位黄队队员，第二名是一位蓝 队队员，相邻的名次的队员都不在同一个队团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分 16 分；第二名 是红队，第三名是蓝队请问：红队队员分别得了多少分？ 【解析】1）由于 1 到 9 名分数分别是 9 到 1 分，那么总共 9 人总分就是 45 分 2）由于团队第一名 16 分，第二名只能是小于等于 15，第三名小于等于 14而总分是 45所以第二，第三 只能分别是 15 分，14 分（因为 16+15+14=45，没
18、有其他组合等于 45 分） 因此第二名红对共得 15 分 3）由于单打前两名分别由黄队和蓝队的队员获得因此红对个人得分最多的一个小于等于 7 分又因为相 邻名次没有同队的人员，所以红对的三人得分可能是 7，5，3 或者 7，4，2 等几种（没有列全）但是红 队总分能达到 15 分的组合只有 7+5+3=15 所以红对队员分别得了 7，5，3 分 答：红队队员分别得了 7，5，3 分 5.一次考试共有 10 道判断题，正确的画“”，错误的画“”，每道题 10 分，满分为 100 分甲、乙、丙、丁 4 名同学的解答及甲、乙、丙 3 名同学得分如下表所示丁应得 90 分 题号 学生 1 2 3 4
19、5 6 7 8 9 10 得分 甲 70 乙 70 丙 60 丁 【解析】由于 A、B 有 1、4、6、9 这四道题答案相同，6 道题答案不同 且每人都是 70 分，所以 4 道答案相同的题都答对了，6 道答案不同的题各对了 3 道； 由此可知第 1、4、6、9 题的答案分别是、； 由于丙的 1、4、6、9 题的答案分别是、；所以丙的这四道题答错，又丙得 60 分， 所以丙的其他题目全部答对，即 2，3，5，7，8，10 的答案分别是，、 这 10 道题的答案分别是： 所以丁的只的 2 题，扣 10 分，得 90 分 故答案为：90 6.五行（火水木金土）相生相克，其中每一个元素都生一个，克一
20、个，被一个生和被一个克，水克火是我们 熟悉的，有一个俗语叫做“兵来将挡，水来土掩”，是说土能克水另外，水能生木，火能生土请把五行的 相生相克关系画出来 【解析】根据五行相生：水生木木生火火生土土生金金生水 五行相克：木克土土克水水克火火克金金克木 得出图为： 7. 4 支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分，平局各得 1 分比赛结果，各队的总得分恰好是 4 个连续的自然数问：输给第一名的队的总分是多少？ 【解析】4（41）2=6 场， 即共要进行 6 场比赛 又各队的总得分恰好是四个连续的自然数 则第一名肯定不能是胜两场，否则得分不连续， 只胜一场
21、的队有两个，另外两个队伍一场都没胜，因为胜一场至少 3 分， 一场没胜至多 3 分得分只能是 5、4、3、2 或 4、3、2、1 如果是 4、3、2、1，3 分的队伍需要输两场，也就是别的至少两个队伍得到至少 3 分， 但最后两名都没胜过，因此不可能是 4、3、2、1只能是 5、4、3、2 由此可得： 第一名：1 胜 2 平 0 负 5 分 （甲） 胜乙平丙平丁 第二名：1 胜 1 平 1 负 4 分 （乙） 胜丁平丙负甲 第三名：0 胜 3 平 0 负 3 分 （丙） 平甲平乙平丁 第四名：0 胜 2 平 1 负 2 负 （丁） 平甲负乙平丙 所以输给第一名的是乙，总分为 4 分 8.A、B
22、、C、D 四个足球队进行循环比赛赛了若干场后，A、B、C 三队的比赛情况如表：问：D 赛了几 场？D 赛的几场的比分各是多少？ 场数 胜 平 负 进球 失球 A 3 2 1 0 2 0 B 2 1 1 0 4 3 C 2 0 0 2 3 6 D 【解析】由分析可知，4 个队共赛 43=12 场，去掉重复的情况，实际只赛了 122=6 场，结合表中比赛情况 可知：A 赛了 3 场有一场是跟 D 进行的，B、C 各赛了 2 场，都没有跟 D 进行，所以 D 队一共赛了 1 场， 是跟 A 进行的，由于 A 的 1 平是跟 B 进行的，两场胜利是跟 C、D 进行的，所以 D 队与 A 队比赛的比分
23、是 0：1 答：D 对只与 A 对赛了 1 场比分是 0：1 9.一次象棋比赛共有 10 位选手参加，他们分别来自甲、乙、丙 3 个队每人都与其余 9 人比赛一盘，每盘 胜者得 1 分，负者得 0 分，平局各得 0.5 分结果乙队平均得分为 3.6 分，丙队平均得分为 9 分，那么甲队 平均得多少分？ 【解析】据题意，可得 10 名选手共赛：1092=45 盘，总分为 45 分； 因为丙队平均得分为 9 分，而最多只能有一人得分为 9 分， 可得丙队有 1 人，而且 9 盘比赛全部获胜， 则甲乙两队总得分为：459=36 分； 根据题意，可得每个人的得分是整数或整数加上 0.5 分， 可得乙队
24、的总得分，即 3.6 乘以乙队的人数是整数或整数加上 0.5 分， 利用穷举法，可得乙队的人数只能是 5， 则甲队的人数是：95=4（人）， 故甲队平均得分是： （363.65）4 =184 =4.5（分） 答：甲队平均得 4.5 分 课后反击 1.有 A、B、C 三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共失 2 球；B：进 4 球，失 5 球；C： 有一场踢平，进 2 球，失 8 球则 A 与 B 两队间的比分是多少？ 【解析】总进球=总失球 A 进球+4+2=2+5+8 A 进球=9 A 全胜 那么 B 与 C 打平 又因为 B 比 C 多进 2 球 那么 B 对 A 进的球 比
25、 C 对 A 进的球 多 2 个 又因为 A 只失 2 球 那么 B 对 A 进 2 球 C 对 A 进 0 球 那么 B：C=2：2 那么 A：B=3；2 答：A 与 B 两队间的比分是 3：2 2.赵、钱、孙、李、周 5 户人家，每户至少订了 A、B、C、D、E 这 5 种报纸中的一种已知赵、钱、孙、 李分别订了其中的 2、2、4、3 种报纸，而 A、B、C、D 这 4 种报纸在这 5 户人家中分别有 1、2、2、2 家 订户周姓订户订有这 5 种报纸中的几种？报纸 E 在这 5 户人家中有几家订户？ 【解析】赵钱孙李订的份数：2+2+4+3=11 份 A，B，C，D 订的份数：1+2+2
26、+2=7 份 根据题意可知周至少订了 1 份 所以 5 人一共最少订了 11+1=12 份 那么订 E 的就有 127=5 户 如果周订的不止 1 份，假设周至少订了 2 份 那么 5 人订报总数至少为 11+2=13 份 那么订 E 的至少有：137=6 户，这与一共有 5 户矛盾 所以周只能订 1 种，订 E 的有 5 户 答：周姓订户订有这 5 种报纸中的 1 种，报纸 E 在这 5 户人家中有 5 家订户 3.A、B、C、D、E、F 六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在 3 个 场地各进行一场比赛，已知第一天 B 对 D，第二天 C 对 E，第三天 D
27、对 F，第四天 B 对 C 请问：第五天与 A 队比赛的是哪支队伍？ 【解析】第二天 A 不能对 B，否则 A 对 B、D 对 F 与第三天 D 对 F 矛盾，所以应当 B 对 F、A 对 D 第三天 A 也不能对 B，否则 C 对 E 与第二天 C 对 E 矛盾，应当 B 对 E（不能 B 对 C，与第四天矛盾），A 对 C 第四天 B 对 C，D 对 E，A 对 F，所以第五天 A 对 B 答：第五天与 A 队比赛的是 B 支队伍 4. A、B、C、D、E 五位同学分别从不同的途径打听到五年级数学竞赛获得第一名的那位同学的情况： A 打听到的：姓李，是女同学，13 岁，东城区； B 打听到
28、的：姓张，是男同学，11 岁，海淀区； C 打听到的：姓陈，是女同学，13 岁，东城区； D 打听到的：姓黄，是男同学，11 岁，西城区； E 打听到的：姓张，是男同学，12 岁，东城区 实际上第一名同学的情况在上面都出现过，而且这五位同学的消息都仅有一项正确，那么第一名的同学应 该是哪个区的，今年多少岁呢？ 【解析】由于五位同学打听到的情况，每人仅有一项是正确的，所以，这位获第一名的同学不可能姓李或 陈，这是因为 A，C 打听到的情况除了姓什么不一样外其他都一样，如姓李是正确的，那么就不是女同学， 不是 13 岁，不是东城区，这样 C 打听到的姓陈又是正确的，互相矛盾如果姓张，B，E 打听到
29、的姓什么 是正确的，其他是不正确的，即不是男同学，不是 11，12 岁，不是海淀区，东城区那么，只能是女同学， 13 岁，西城区，这样，A 打听到的就有两项是正确的，显然矛盾，那么，最后剩下 D，D 打听到的姓黄应 是正确的又由 D 知不是男同学，是女同学；再看 A 和 D 可知年龄不是 11 岁，13 岁，不是东城区也不是 西城区人，而是 12 岁，海淀区 综上所述，获第一名的同学：姓黄，女，12 岁，海淀区 答：那么第一名的同学应该是海淀区的，姓黄，女，12 岁 5. 10 名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次，已知胜一场得 2 分，平一场得 1 分，负一场不得 分比赛结果：选手们
30、所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多 20 分，第四名 得分与后四名所得总分相等，问：前六名的分数各为多少？ 【解析】设第 k 名选手的得分为 ak（1k10），依题意得：a1a2a3a9a10 a11+2（91）=17， a2a11=16， a3+20=a1+a2， 所以 a313 ， 又后四名棋手相互之间要比赛=6 场，每场比赛双方的得分总和为 2 分， 所以 a7+a8+a9+a1012， 所以 a412而a3a4+113，所以由得：a3=13， 所以 a1+a2=33， 所以 a1=17，a2=16，又因为a1a31=12， 所以 a4=12， 因为 a1+a2
31、+a3+a8+a9+a10=2=90，所以17+16+13+12+a5+a6+12=90， 而 a5+a6a5+a51， 即：a510frac12 ，又a5a 4=12， 则 a5=11，a6=9， 答：前六名得分分别是：17 分，16 分，13 分，12 分，11 分，9 分 6. 阿奇和 8 个好朋友去李老师家玩，李老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个两位数， 这 9 个两位数互不相同，且每个小朋友只能看见别人帽子上的数 李老师在纸上写了一个自然数 A，问这 9 位同学：“你们知道自己帽子上的数能否被 A 整除吗？知道的请举 手，”结果有 4 人举手 李老师又问：“现在你们知
32、道自己帽子上的数能否被 24 整除吗？知道的请举手”结果有 6 人举手 已知阿奇两次都举手了，并且这 9 位同学都足够聪明且从不说谎请问：除了阿奇之外的人帽子上 8 个两 位数的总和是多少？ 【解析】知道自己帽子上的数能否被 A 整除的人=知道自己的帽子的数不能被 A 整除，也就是说 9 个两位 数只有 5 个能被 A 整除，所以 5A99，6A100，所以 A 只能在 1719 中取数 同理，知道自己帽子上的数能否被 24 整除的人=知道自己的帽子的数不能被 24 整除，24 的倍数有 24，48， 72，96，按理应该有 5 人举手才对，那么说明至少有一个人肯定知道自己能被 24 整除，同时也说明了 A 只 能是 18，因为 24 的倍数里 72 能同时被 18 整除 所以，其他 8 个人帽子上的两位数分别是：18，36，54，（72），90，24，48，96，所以总和是 438 重点回顾 （1）学会对一个问题进行分析、推理； （2）利用我们的逻辑推理来解决一些推理的问题； 重点和难点突破：重点和难点突破： （1）理解每一个题的逻辑关系； （2）掌握推理的一般方法。 本节课我学到了 我需要努力的地方是 学霸经验 名师点拨
