1、第第 30 讲讲 解不定方程解不定方程 熟练掌握不定方程的解题技巧； 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程； 学会解不定方程的经典例题。 历史概述历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方 程，因此常称不定方程为丢番图方程中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问 题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的张丘建算经中的百鸡问题标志着中国对不定方 程理论有了系统研究宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来 考点说明考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为 解题的重要方法贯穿在行程问题
2、、数论问题等压轴大题之中在以后初高中数学的进一步学习 中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工 具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。 运用不定方程解应用题步骤运用不定方程解应用题步骤 1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的解 考点一：不定方程与数论考点一：不定方程与数论 教学目标 典例分析 知识梳理 例例 1、把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这 两个数 【解析】这是一道整数分拆的常规题可设拆成的两个数分别为11x和13y，则有：111320
3、01xy，要让 x取最小值，y取最大值可把式子变形为： 2001 1113 15312132122 153 131313 xxxx yx ，可 见 122 13 x 是整数， 满足这一条件的x最小为 7， 且当7x 时，148y 则拆成的两个数分别是7 1177和 148 131924 考点二：不定方程与应用题考点二：不定方程与应用题 例例 1、有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油 桶问：大、小油桶各几个？ 【解析】设有大油桶x个，小油桶y个由题意得： 8544xy 可知844x ，所以0 1 2 3 4 5x 、 、 、由于x、y必须为整数
4、，所以相应的将x的所有可能值代入方 程，可得3x 时，4y 这一组整数解 所以大油桶有3个，小油桶有4个 例例 2、某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有 1 3 的成人各带 一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？ 【解析】设参加的男宾有x人，女宾有y人，则由题意得方程： 1 130100602160 3 xyxy，即 1501202160xy，化简得5472xy这个方程有四组解： 4 13 x y ， 8 8 x y ， 12 3 x y 和 0 18 x y ，但是 由于有 1 3 的成人带着孩子，所以xy能被3
5、整除，检验可知只有后两组满足所以，这个活动共有 1 12312320 3 人或 1 181824 3 人参加 例例 3、甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A配件与一个B配件组成甲每天生产 300 个A配件，或 生产 150 个B配件；乙每天生产 120 个A配件，或生产 48 个B配件为了在 10 天内生产出更多的产品， 二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？ 【解析】假设甲、乙分别有x天和y天在生产A配件，则他们生产B配件所用的时间分别为(10) x天和 (10)y天， 那么10天内共生产了A配件(300120)xy个，共生产了B配件 150( 10)48( 10)19801
6、5048xyxy个要将它们配成套，A配件与B配件的数量应相等，即 3001201980 15048xyxy，得到7528330xy，则 33028 75 y x 此时生产的产品的套数为 33028 30012030012013208 75 y xyyy ，要使生产的产品最多，就要使得y最大，而y最大为 10， 所以最多能生产出13208 101400 套产品 例例 4、有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成，现在由甲、 乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了 整数天，那么丙休息了 天 【解析】设完
7、成这项工程用了a天，其间丙休息了b天根据题意可知： 1111 1 36304848 ab ， 591 1 72048 ab，化简得5915720ab由上式，因为15b与720都是15的倍数，所以59a必须是15的倍 数，所以a是15的倍数，在ab 的条件下，只有15a ，11b 一组解，即丙休息了11天 例例 5、实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共306人 恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间，求每辆大巴车的载 客人数 【解析】设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为x人和y人，那么有：53306xy由于知
8、道中巴车的 载客人数，也就是知道了y的取值范围，所以应该从y入手显然3y被5除所得的余数与306被5除所得的 余数相等，从个位数上来考虑，3y的个位数字只能为 1 或 6，那么当y的个位数是2或7时成立由于y的 值在 20 与 25 之间，所以满足条件的22y ，继而求得48x ，所以大巴车的载客人数为48人 例例 6、公鸡 1 只值钱 5，母鸡一只值钱 3，小鸡三只值钱 1，今有钱 100，买鸡 100 只，问公鸡、母鸡、小鸡 各买几只？ 【解析】设买公鸡、母鸡、小鸡各x、y、z只，根据题意，得方程组 100 1 53100 3 xyz xyz 由3 ， 得148200xy，即： 20014
9、7 25 84 x yx ，因为x、y为正整数，所以不难得出x应为4的倍数，故x 只能为4、8、12，从而相应y的值分别为18、11、4，相应z的值分别为78、81、84所以，方程组的 特殊解为 4 18 78 x y z ， 8 11 81 x y z ， 12 4 84 x y z ，所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买4只、18只、78只或8只、11只、81 只或12只、4只、84只 考点三：不定方程与生活中的应用题考点三：不定方程与生活中的应用题 例例 1、某地用电收费的标准是：若每月用电不超过50度，则每度收5角；若超过50度，则超出部分按每度8 角收费某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这
10、个月甲、乙各用了多少度电？ 【解析】3 元 3 角即 33 角，因为33既不是5的倍数又不是8的倍数，所以甲、乙两用户用电的情况一定是 一个超过了 50 度，另一个则没有超过由于甲用户用电更多，所以甲用户用电超过50度，乙用户用电不足 50度设这个月甲用电50x度，乙用电50y度因为甲比乙多交33角电费，所以有8533xy容 易看出1x ，5y ，可知甲用电51度，乙用电45度 例例 2、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他 薪金350元年终，马小富从两家公司共获薪金7620元他在甲公司打工 个月，在乙公司兼职 个月 【解析】设马小富在甲公
11、司打工a月，在乙公司兼职b月(ab，a、b都是不大于12的自然数)，则有 4703507620ab，化简得4735762ab若b为偶数，则35b的末位数字为0，从而47a的末位数字必 为2，这时6a 但6a 时， 480 35 b 不是整数，不合题意，所以b必为奇数b为奇数时，35b的末位数 字为5，从而47a的末位数字为7，1a 或11a 但1a 时容易看出ab，与ab矛盾所以，11a ， 代入得76247 11357b于是马小富在甲公司打工11个月，在乙公司兼职7个月 例例 3、小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛，一共有 100 道题，每个人各解出其中的 60 道题，有些题 三人都解出来
12、了，我们称之为“容易题”；有些题只有两人解出来，我们称之为“中等题”；有些题只有一人解 出来，我们称之为“难题”已知每个题都至少被他们中的一人解出，则难题比容易题多 道 【解析】设容易题、中等题和难题分别有x道、y道、z道，则 100(1) 32180(2) xyz xyz ，由(1)2(2)得 222(32)200 180xyzxyz，即20zx，所以难题比容易题多 20 道 例例 4、某男孩在2003年2月16日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差，到今天为止正好就是111” 请问：他是在哪一天出生的？ 【解析】设男孩的年龄为x个年和y个月，即12xy个月，由此有方程式：12111xyx
13、，也就是 1111 10 1xy，得到 1 10 11 y x ，由于012y 而且111y 是整数，所以，1y ，10x ，从2003年 2月16日那天退回10年又1个月就是他的生日，为1993年1月16日 课堂狙击课堂狙击 1、甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖问：甲、乙 二人谁搬的砖多？多几块？ 【解析】设甲搬的是18x块，乙搬的是23y块那么1823300xy观察发现18x和300都是6的倍数， 所以y也是6的倍数由于3002313y ，所以y只能为 6 或 12 6y 时18162x ，得到9x ；12y 时1824x ，此时x不是整
14、数，矛盾所以甲搬了162块，乙搬 了138块，甲比乙搬得多，多24块 2、单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有 1 3 的职工各带一个孩子参加男职工每人 种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职 工？【解析】因为有 1 3 的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是3的倍数设男职工有x人，女职工有y 人则职工总人数是xy人，孩子是 3 xy 人得到方程：13103 6216xyxy ，化简得： 5472xy因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当3y 时，12x ；当8y 时，8x ；当13y ， 4x 其中只有31215
15、是3的倍数，符合题意，所以其中有 12 名男职工 实战演练 3、14个大、 中、 小号钢珠共重100克， 大号钢珠每个重12克， 中号钢珠每个重8克， 小号钢珠每个重5克 问： 大、中、小号钢珠各有多少个？ 【解析】设大、中、小号钢珠分别有x个，y个和z个，则： 14(1) 1285100(2) xyz xyz ( 2 )(1)5，得 7330xy 可见7x是 3 的倍数， 又是 7 的倍数， 且小于 30， 所以只能为 21， 故3x ， 代入得3y ，8z 所 以大、中、小号钢珠分别有 3 个、3 个和 8 个 4、某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣 16 件或裤子 20
16、件；乙车间每天能生产上衣 18 件或裤子 24 件现在要上衣和裤子配套，两车间合作 21 天，最多能生产多少套衣服？ 【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x天和y天，则他们用于生产裤子的天数分别为 (21) x天和(21)y天，那么总共生产了上衣(1618 )xy件， 生产了裤子20 (21)24 (21)9242024xyxy件 根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以16189242024xyxy，即67154xy，即 1547 6 y x 那么共生产了 154722 16181618410 633 y xyyy 套衣服要使生产的衣服最多，就要 使得y最小，则x应最大，而x最大为
17、 21，此时4y 故最多可以生产出 22 4104408 33 套衣服 5、每辆大汽车能容纳 54 人，每辆小汽车能容纳 36 人现有 378 人，要使每个人都上车且每辆车都装满， 需要大、小汽车各几辆？ 【解析】设需要大、小汽车分别为x辆、y辆，则有：5436378xy，可化为3221xy可以看出y是 3 的倍数，又不超过 10，所以y可以为 0、3、6 或 9，将0y 、3、6、9 分别代入可知有四组解： 1 9 x y ； 或 3 6 x y ；或 5 3 x y ；或 7 0 x y 即需大汽车 1 辆，小汽车 9 辆；或大汽车 3 辆，小汽车 6 辆；或大汽车 5 辆，小汽车 3 辆
18、；或大汽车 7 辆 6、某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度而 不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分按每度1.50元收费某月甲用户比乙用户多交电 费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元？(用电都按整度数收费) 【解析】由于丙交的电费最少，而且是求甲、乙电费的关键，先分析一下他的用电度数因为乙用户比丙 用户多交3.75元，所以二者中必有一个用电度数小于10度(否则差中不会出现0.05元)，丙用电少，所以丙 用电度数小于10度，乙用电度数大于10度，但是不会超过20度(否则甲、乙
19、用电均超过20度，其电费差应 为1.50的整数倍，而不会是7.10元) 设丙用电(10x)度，乙用电(10y)度，由题意得： 0.450.83.75xy 91675xy 975 16xy 7516 9 y x 所以y是3的倍数，又, x y均为整数，且都大于0小于10 所以3y ， 75163 3 9 x 所以丙用电1037度，交电费0.4573.15元；乙交电费3.153.756.90元，甲交电费 6.907.1014.00元，三户共交电费3.156.9014.0024.05元 7、甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为10分(成绩都是整数)的测验已知：甲得了4分，乙得了最高分， 丙的成绩与甲、
20、丁的平均分相等，丁的成绩刚好等于五人的平均分，戊比丙多2分求乙、丙、丁、戊的成 绩 【解析】法一：方程法 设丁的分数为x分，乙的分数为y分，那么丙的分数为 4 2 x 分，戊的分数为 48 2 22 xx 分，根据“丁的成绩刚好等于五人的平均分”，有 48 54 22 xx xxy ，所以 310xy 因为10xy， 所以31010 1020xy，31010xyx， 得到 20 5 3 x， 故6x ， 代入得8y 所以丁得6分，丙得5分，戊得7分，乙得8分 法二：推理法因为丁为五人的平均分，所以丁不是成绩最低的；丙的成绩与甲、丁的平均分相等，所以 丙在甲与丁之间；又因为戊和乙都比丙的成绩高，
21、所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成绩是最 低的因为甲是4分，所以丁可能是6分或8分(由丙的成绩与甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶数)，经 检验丁得8分时与题意不符，所以丁得6分，则丙得5分，戊得7分，乙得8分 课后反击课后反击 1、某人打靶，8发共打了53环，全部命中在10环、7环和5环上问：他命中10环、7环和5环各几发？ 【解析】假设命中 10 环x发，7 环y发，5 环z发，则 8(1) 107553(2) xyz xyz 由可知7y除以 5 的余数 为 3， 所以4y 、 9如果y为 9， 则76 3 5 3y ， 所以y只能为 4， 代入原方程组可解得1x ，3z 所 以他命
22、中10环1发，7环4发，5环3发 2、小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候若是早晨见面，小花狗叫两 声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们的叫声统计了15天， 发现它们并不是每天早晚都见面在这15天内它们共叫了61声问：波斯猫至少叫了多少声？ 【解析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声，晚上见面共叫5声设在这 15 天内早晨见面x次，晚上见面y 次 根据题意有：3561xy(15x，15y) 可以凑出， 当2x 时，11y ； 当7x 时，8y ； 当12x 时，5y 因为小花狗共叫了2 xy 声，那么xy越大，小花狗就叫得越多，从而
23、波斯猫叫得越少， 所以当12x ，5y 时波斯猫叫得最少，共叫了1 123 527 (声) 3、小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24 条腿”那么小峰养了多少兔和鸡？ 【解析】这是一道鸡兔同笼问题，但由于已知鸡兔腿的总数，而不是鸡兔腿数的差，所以用不定方程求解 设小峰养了x只兔子和y只鸡，由题意得：4224xy即：212xy，122yx 这是一个不定方程，其可能整数解如下表所示： x 0 1 2 3 4 5 6 y 12 10 8 6 4 2 0 由题意xy，且x，y均不为0，所以5x ，2y ，也就是兔有5只，鸡有2只 4、有两小堆砖
24、头，如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍如果相反， 从第二堆中取出若干块放到第一堆中去， 那么第一堆将是第二堆的6倍 问： 第一堆中的砖头最少有多少块？ 【解析】设第一堆砖有x块，则根据第一个条件可得第二堆砖有2300x块 再设从第二堆中取出y块放在第一堆后，第一堆将是第二堆的6倍，可列方程： 62300xyxy ，化简得7180011yx， 那么 77 7180011163 11 y xy 因为x是整数，7与11互质，所以1y应是11的倍数，y最小是10，推知x最小是 7101 1631637170 11 ，所以，第一堆中的砖头最少有170块 5、某次数学竞赛
25、准备了35支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给6支，二等 奖每人发给3支，三等奖每人发给2支，后来改为一等奖每人发13支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1 支那么获二等奖的有 人 【解析】法一：根据“后来改为一等奖每人发13支”，可以确定获一等奖的人数小于3否则仅一等奖就要发 不少于39支铅笔，已超过35支，这是不可能的分别考虑一等奖有2人或者1人的情况： 获一等奖有2人时，改变后这2人共多得136214支，那么得二等奖和三等奖的共少得了 14 支铅笔由于改变后二等奖多得 1 支，三等奖少得 1 支，所以三等奖应比二等奖多14 1 14 人，这样他们 少得的铅笔数正好是
26、一等奖多得的 但此时三等奖至少 14 人， 他们的铅笔总数至少为13214 14035 ， 所以这种情况不可能发生 获一等奖有 1 人时，类似前面情况的讨论，可以确定获三等奖的人数比二等奖多 1362 17 人，所以获二等奖的有 35 137 14 13 (人)经检验，获一等奖1人，获二等奖3人，获三等奖10 人符合题目要求，所以有 3 人获二等奖 法二：设获一、二、三等奖的人数分别有x人、y人、z人，则有方程组： 63235(1) 13435(2) xyz xyz 由(2)2(1)将z消元，则有20535xy，即47xy，显然该方程的正整数解只有 1 3 x y ，继而 可得到10z 所以获
27、二等奖的有 3 人 6、蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有100名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了 参加决赛的人选已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数， 占初赛的女选手人数的12.5%，而且比参加初赛的男选手的人数多参加决赛的男、女选手各有多少人？ 【解析】由于参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数，占初赛 时女选手人数的12.5%，所以参加初赛的男选手人数应是5的倍数，参加初赛的女选手的人数应是8的倍 数设参加初赛的男生为5x人，参加初赛的女生为8y人根据题意可列方程：58100xy 解得 12
28、 5 x y ，或 4 10 x y 又因为参加决赛的女选手的人数，比参加决赛的男选手的人数多，也就是y要比x大，所以第一组解不 合适，只有4x ，10y 满足故参加决赛的男选手为4人，女选手为10人 7、甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到20粒如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的2倍；如果 乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的3倍甲、乙两人共有多少粒糖？ 【解析】设甲、乙原有糖分别为x粒、y粒，甲给乙的数量为z粒，则依题意有： 2() 3() xzyz xzyz ，且 20 20 x y 整理得 230(1) 340(2) xyz xyz 由得23xyz，代入得70zy，即7yz 因20
29、y ，故1z 或2z 若2z ，则14y ，2 14323420x ，不合题意 因而1z ，对应方程组有唯一解17x ，7y ，1z 则甲、乙共有糖17724粒 1、（资优博雅杯）用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然 数之和为_. 【解析】若是四位数abcd，则1616 361000abcd ，矛盾，四位以上的自然数也不可能。 若是两位数ab，则1610ababab，也不可能，故只有三位数abc. 1610010abcabc，化简得2825abc.由于257963bc， 所以1a 或2b .1a 时，9b ，2c ，或4b ，4c ；2a 时，8b ，
30、8c . 所以所有自然数之和为192144288624. 2、 （我爱数学夏令营） 将一群人分为甲乙丙三组， 每人都必在且仅在一组 已知甲乙丙的平均年龄分为37， 23，41.甲乙两组人合起来的平均年龄为29；乙丙两组人合起来的平均年龄为33则这一群人的平均年 龄为 . 【解析】设甲乙丙三组分别有xyz， ，人，依提议有： 直击赛场 372329 234133 xyxy yzyz 由化简可得:3:4x y ，由化简可得:4:5y z ，所以:3:4:5x y z ； 因此，这一群人的平均年龄为 37323441 5 34 345 3、(迎春杯复赛)在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如右图，
31、飞镖的靶子分为三块区域，分别对 应17分、11分和4分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数若恰好投 在两块(或三块)区域的交界线上， 则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数 如果比赛规定恰好投中120 分才能获奖，要想获奖至少需要投中 次飞镖 【解析】 假设投中 17 分、11 分、4 分的次数分别为x次、y次和z次，那么投中飞镖的总次数为xyz 次，而总得分为17114xyz分，要想获奖，必须17114120xyz 由于17120x ，得到6x 当x的值一定后，要使xyz最小，必须使y尽可能大 若6x ，得到11418yz，此时无整数解； 若5x ，得到1143
32、5yz，此时1y ，6z ，5 1612xyz ； 若4x ，得到11452yz，此时y最大为 4，当4y 时2z ，这种情况下10xyz； 若3x ，得到11469yz，此时3y ，9z ，33915xyz ； 若2x ，得到11486yz，此时y最大为 6，当6y 时5z ，这种情况下13xyz； 若1x ，得到114103yz，此时y最大为 9，当9y 时1z ，这种情况下11xyz； 若0x ，得到114120yz，此时y最大为 8，当8y 时8z ，这种情况下16xyz 经过比较可知xyz的值最小为 10，所以至少需要投中 10 次飞镖才能获奖 考点一：不定方程与数论考点一：不定方程与数论 考点二：不定方程与应用题考点二：不定方程与应用题 重点回顾 考点三：不定方程与生活中的应用题考点三：不定方程与生活中的应用题 不定方程的试值技巧不定方程的试值技巧 1、奇偶性 2、整除的特点（能被 2、3、5 等数字整除的特性） 3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质） 本节课我学到 我需要努力的地方是 名师点拨 学霸经验
