1、第第 2222 讲讲 行程问题行程问题 环形路线上的相遇和追及问题； 速度行程问题与比例关系； 钟面上的行程问题。 问题问题回顾回顾 例例 1 1、一条船顺水航行 48 千米，再逆水航行 16 千米，共用了 5 小时；这知船顺水航行 32 千米，再逆水航 行 24 千米，也用 5 小时。求这条船在静水中的速度。 【解析】这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下： 顺水 逆水 时间 48 千米 16 千米 5 小时 32 千米 24 千米 5 小时 比较条件可知，船顺水航行 48 千米，改为 32 千米，即少行了 48-32=16（千米），那么逆水行程就由 16 千 米增加到 24 千米，
2、这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的 168=2 倍。所以“逆水航行 16 千 米”，可转换为“顺水航行 162=32（千米），这样船 5 小时一共顺水航行 48+32=80（千米），船顺水速 为 805=16 千米，船逆水速为 162=8（千米）。船静水速为（16+8）2=12（千米）。 例例 2 2、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步。甲每秒跑 3 米，乙每秒跑 7 米。如果他们的第四 次相遇点与第五次相遇点的距离是 150 米，求A、B两点间的距离为多少米？ BDECA 教学目标 知识梳理 【解析】（法一）画图分析知甲、乙速度比为：:3:7SSVV 乙乙甲甲 ，第四次相
3、遇甲乙共走：4217 （个全程），甲走了：3721（份）在C点，第五次相遇甲乙共走：5219（个全程），甲走了：39 27（份）在D点,已知CD是 150 米，所以AB的长度是 1506（3+7）250（米）。 （法二）也有不画图又比较快的方法：第四次相遇：（241）320 余数为 1 则在x的位置，第五次 相遇：（251）320 余数为 7 则在7x的位置，x表示速度基数716xxx， 6150x ， 1010 1506250x （米），即全程AB为 250 米。 考点一：环型跑道考点一：环型跑道行程问题行程问题 例例 1、如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长 300 米的正方形
4、。甲、乙两人分别从两个对角 处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走 90 米，乙每分走 70 米，那么经过多少时间甲才能看到乙？ 乙乙 甲甲 【解析】当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长。 当甲、乙之间的距离等于 300 米时，即甲追上乙一条边（300米）需300907015（分）， 此时甲走了90 153004.5（条）边， 所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。但是甲只要再走0.5条边就可以看到乙了，即甲从出发走5条边 后可看到乙，共需 2 30059016 3 （分），即16分40秒。 例例 2 2、甲乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方
5、形ABCD，其中100AD 米，80AB 米，已知水流从左到右，速度为每秒 1 米，甲乙两名选手从A处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆 典例分析 时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快 1 米， （AB、CD边上视为静水），两人第一次相遇在CD边 上的P点，4CPCD，那么在比赛开始的 5 分钟内，两人一共相遇几次？（5 次） P C DA B 【解析】设乙的速度为x米/秒，则可列得方程： 8080410010080-804 +1+1+1+1xxxx 解得：3x 。所以甲的速度为4米/秒。 甲游一圈需要 1 93 3 秒，乙游一圈需要 1 128 3 秒。5 分钟内，甲游了 3 圈还多
6、20 秒，乙游了 2 圈还多 1 43 3 秒。 多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了 5 圈。所以两人共相遇了 5 次。 例例 3 3、如图，在长为 490 米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长 50 米，甲、乙两人同时从A、B两点 出发反向奔跑 两人相遇后， 乙立刻转身与甲同向奔跑， 同时甲把速度提高了 25， 乙把速度提高了 20 结 果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一 开始算起，甲一共跑了多少米。 【解析】相遇后乙的速度提高 20，跑回B点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为5:6，所以所花 时间的比为6:5。 设甲在相遇时
7、跑了 6 单位时间，则相遇后到跑回A点用了 5 单位时间。设甲原来每单位时间的速度V甲，由 题意得：651 25%490VV 甲甲 解得：40V 甲 。 从A点到相遇点路程为406240，所以 100 490502406 3 V 乙 。 B A 两人速度变化后，甲的速度为40125%50，乙的速度为 100 120%40 3 ，从相遇点开始，甲追上 乙时，甲比乙多行一圈， 甲一共跑了 490（5040）502402690（米）。 注：对于环形跑道问题，抓住相遇（或追及的）的路程和（或路程差）恰好都是一圈。（这是指同地出发 的情况，不同地，则注意两地距离在其中的影响）。 另外，本题涉及量化思想，
8、即将比中的每一份看作一个单位，进一步来说，一个时间单位乘以一个速度单 位，得到一个路程单位。 考点二：钟面行程问题考点二：钟面行程问题 例例 1 1、某小组在下午 6 点多开了一个会，刚开会时小张看了一下手表，发现那时手表的分针和时针垂直。下 午 7 点之前会就结束了，散会时小张又看了一下手表，发现分针与时针仍然垂直，那么这个小组会共开了 分钟。 【解析】 分针每分钟转 1 60 圈， 时针每分钟转 1 720 圈。 分针要比时针多转 1 2 圈， 需要 111360 26072011 （分） 。 例例 2 2、某工厂的一只走时不够准确的计时钟需要 69 分钟（标准时间）时针与分针才能重合一次
9、。工人每天 的正常工作时间是 8 小时，在此期间内，每工作一小时付给工资 4 元，而若超出规定时间加班，则每小时 付给工资 6 元。如果一个工人照此钟工作小时，那么他实际上应得工资多少元？ 【解析】时钟的一圈有 60 小格，分针每分钟走 1 格，时针每分钟走 5 60 1 12 格。 时针和分针从一次重合到下一次重合，分针应比时针多走一圈，因此需要时间 1720 601 1211 （分钟）。 于是依题设可知，计时钟的 720 11 分钟相当于标准时间的 69 分钟。 从而用此钟计时的 8 小时，实际上应该是 72013 8698 1130 （小时）， 那么工人实际上应得的工资为 13 8463
10、4.6 30 元。 例例 3 3、一个挂钟每天慢 30 秒。一个人在 3 月 23 日 12 时校正了挂钟，到 4 月 2 日 14 时至 15 时之间，挂钟 的时针与分针重合在一起时，标准时间应该是 4 月 2 日_时_分_秒（精确到秒）。 【解析】从 3 月 23 日 12 时到 4 月 2 日 12 时共 10 天，挂钟慢了 301060=5（分）此时挂钟显示 11 时 55 分。 因为时针与分针两次重合时间为 1720 601 1211 （分）； 所以从标准时间 4 月 2 日 12 时到所求时刻，挂钟走的时间为 510 5652135 1111 （分）； 相当于标准时间 106060
11、24 135135.956 1160602430 (分)2 时 15 分 57 秒 所求时刻为 14 时 15 分 57 秒。 课堂狙击课堂狙击 1、王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走 70 米，能在图书馆闭馆前 2 分钟到达，如果每分钟走 50 米， 就要超过闭馆时间 2 分钟，求教室到图书馆的路程有多远？ 【解析】设从教室去图书馆闭馆时所用时间是 x 分钟 702502 7014050100 7050100140 12 xx xx xx x （）（） 70122700（） （米）。 2、甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是20米/分，下山的速度 都是30
12、米/分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息30分钟后返回，两人在距山顶480米处再次相遇。 山道长 米。 【解析】甲、乙两人相遇后如果甲继续行走4802024（分钟）后可以返回山顶，如果乙不休息，那么这 个时候乙应该到达山脚， 所以这个时候乙还需要30分钟到达山脚， 也就是距离山脚还有30 30900（米） ， 所以山顶到山脚的距离为90024203090012002100（）（米）。 3、小明在 1 点多钟时开始做奥数题，当他做完题时，发现还没到 2：30，但此时的时针和分针与开始做题 时正好交换了位置，你知道小明做题用了多长时间，做完题时是几点吗？ 【解析】在不到 1.5 小时的时间内，时
13、针与分针正好交换了一下位置，说明两针在此时间内共转了一圈， 则经 15 60155 1213 分钟。 两针在此时间内共转了一圈，所以时针实际转了 11 1 1213 圈，所以开始做作业时分针在时针前 1 13 圈，做 实战演练 完作业时时针在分针前 1 13 圈， 2 点的时候， 时针在分针前 1 6 圈， 所以还要经过 11114 1 61312143 小时， 即 125 5143分，小明所以做完作业时是 2 点 125 5143分。 4、有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有 200厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每
14、秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺 时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从点A出发，那么当两个机器人 在跑道上第3迎面相遇时，机器人甲距离出发点A点多少厘米? 200100200 A 【解析】第一次在 1 B点相遇，甲、乙共跑了 400 厘米(见左下图)。 B1 A B2B1 A 第二次在 2 B点相遇（要排除甲还没有第二次上长跑道时可能发生的相遇事件），甲、乙共跑了 700 厘米(见 右上图)。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了 700 厘米。共用时间(400+700+700)(6+4)=180(秒)， 甲跑了 6180=1080(厘米)，距A点 4003
15、1080=120(厘米)。 5、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程 要走 15 分钟 有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站 他出发的时候， 恰好有一辆电车到达乙站 在 路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出问他从乙站到甲站用 了多少分钟？ 【解析】先让学生用分析间隔的方式来解答： 骑车人一共看到 12 辆车，他出发时看到的是 15 分钟前发的车，此时第 4 辆车正从甲发出骑车中，甲站 发出第 4 到第 12 辆车，共 9 辆，有 8 个 5 分钟的间隔，时间是5 840 （分钟） 再引导学生用
16、柳卡的运行图的方式来分析： 第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站由于每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出发，所以把表 示甲站与乙站的直线等距离划分，每一小段表示 5 分钟 第二步：因为电车走完全程要 15 分钟，所以连接图中的 1 号点与P点（注意：这两点在水平方向上正好有 3 个间隔，这表示从甲站到乙站的电车走完全程要 15 分钟），然后再分别过等分点作一簇与它平行的平行 线表示从甲站开往乙站的电车 第三步：从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么从P点引出的 粗线必须和 10 条平行线相交，这正好是图中从 2 号点至 12 号点引出的平行线 从图中可以
17、看出，骑车人正好经历了从P点到Q点这段时间，因此自行车从乙站到甲站用了5 840 （分 钟） 对比前一种解法可以看出，采用运行图来分析要直观得多！ 课后反击课后反击 1、小张和小王早晨8点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时60千米小王步行，速度为每 小时4千米如果小张到达乙地后停留1小时立即沿原路返回，恰好在10点整遇到正在前往乙地的小王那 么甲、乙两地之间的距离是 千米 【解析】因为小张和小王相遇时恰好经过了两个甲地到乙地的距离，而这个过程中小张开车1个小时，小王 步行2个小时，他们一共所走的路程是：60 14268 (千米)，所以甲、乙两地之间的距离是： 68234(千米) 2
18、、如下图，某城市东西路与南北路交会于路口A甲在路口A南边 560 米的B点，乙在路口A甲向北， 乙向东同时匀速行走 4 分钟后二人距A的距离相等 再继续行走 24 分钟后， 二人距A的距离恰又相等 问： 甲、乙二人的速度各是多少？ 【解析】本题总共有两次距离A相等，第一次：甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程那么甲、乙 两人共走了 560 米，走了 4 分钟，两人的速度和为：5604140 (米/分)。第二次：两人距A的距离又相 等，只能是甲、乙走过了A点，且在A点以北走的路程乙走的总路程那么，从第二次甲比乙共多走了 560 米，共走了42428(分钟)，两人的速度差：5602820(米/分
19、)，甲速乙速140，显然甲速要 比乙速要快；甲速乙速20，解这个和差问题，甲速14020280（）(米/分)，乙速1408060(米 /分) 3、如图，A、B两地位于圆形公路一条直径的两个端点。一天上午 8 点甲从A出发， 沿顺时针方向步行，同时乙从B出发，骑自行车沿逆时针方向行进。8 点 40 分时乙将 自行车放在路边， 自己改为步行。 当甲走到自行车停放地点时， 就骑上自行车继续前进。 结果在10点的时候两人同时到达A地。已知两人步行速度相同，都是每小时 5 千米， 而甲骑自行车的速度是乙骑车速度的 3.5 倍，求乙骑车的速度。 【解析】根据题意，可知乙骑了 2 3 小时，步行了 4 3
20、小时。由于甲乙步行速度相同，所以甲应步行 4 3 小时后 骑上自行车，骑了 2 3 小时后到达A地。因为甲的路程是乙的路程的 2 倍，所以乙骑 4 3 小时，步行 8 3 小时等 于甲骑 2 3 小时， 步行 4 3 小时。 而甲骑自行车的速度是乙骑车速度的 3.5 倍， 所以甲骑 2 3 小时相当于乙骑 7 3 小 时。5( 8 3 - 4 3 )( 7 3 - 4 3 )= 20 3 (千米/小时)，所以乙骑车的速度是 20 3 千米/小时。 4、一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上。它们同时 出发，按顺时针方向沿着圆周爬行，速度分别是10厘米
21、/秒、5厘米/秒、3厘米/秒，3只爬虫出发后多少 时间第一次到达同一位置？ 【解析】先来详细讨论一下： 先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置。 开始时,他们相差30厘米,每秒钟B能追上C的路程为 5-3=2(厘米)；305315(秒) 因此，15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米,需要 905345(秒)。 B与C到达同一位置,出发后的秒数是15，60，105，150，195， 再看看A与B什么时候到达同一位置。 第一次是出发后301056(秒)，以后再要到达同一位置是A追上B一圈,需要9010518(秒)。 A与B到达同一位置,出发后的
22、秒数是6，24，42，60，78，96 对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒 3 只爬虫到达同一位置。 5、如图，长方形的长AD与宽AB的比为5:3，E、F为AB边上的三等分点，某时刻，甲从A点出发沿长 方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从E、F出发沿长方形顺时针运动甲、乙、丙三人的速度比为 4:3:5他们出发后12分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少 分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？ F E D C B A 【解析】长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重 合，并且另一个点恰好在该长方形边的
23、对边上。 所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况。 将长方形的宽3等分，长5等分后，将长方形的周长分割成16段，设甲走4段所用的时间为1个单位时间， 那么一个单位时间内，乙、丙分别走3段、5段，由于4、3、5两两互质，所以在非整数单位时间的时候， 甲、乙、丙三人最多也只能有1个人走了整数段。所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的 情况。 对于甲的运动进行讨论： 时间（单位时间） 2 4 6 8 10 12 14 16 地点 C A C A C A C C 对于乙的运动进行讨论： 时间（单位时间） 2 3 10 11 18 19 26 27 地点 D C B A D
24、C B A 对于丙的运动进行讨论： 时间（单位时间） 2 3 10 11 18 19 26 27 地点 C B A D C B A D 需要检验的时间点有2、3、10、11、 2个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件。 3个单位时间的时候甲在AD上，三人第一次构成最大三角形所以一个单位时间相当于4分钟。 10个单位时间的时候甲、乙、丙分别在C、B、A的位置第二次构成最大三角形。 所以再过40分钟。三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形。 6、如图,学校操场的 400 米跑道中套着 300 米小跑道,大跑道与小跑道有 200 米路程相重甲以每秒 6 米的 速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒
25、4 米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A处出 发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米? 乙 甲 乙甲 A B 乙 甲 乙甲 A 【解析】根据题意可知，甲、乙只可能在AB右侧的半跑道上相遇 易知小跑道上AB左侧的路程为 100 米,右侧的路程为 200 米,大跑道上AB的左、 右两侧的路程均是 200 米 我们将甲、乙的行程状况分析清楚 当甲第一次到达B点时,乙还没有到达B点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA某处 而当乙第一次到达B点时，所需时间为200450秒,此时甲跑了6 50300米,在离B点300200100 米处 乙跑出小跑道到达A点需要100425秒,则甲又
26、跑了625150米,在A点左边(100150)20050米 处 所以当甲再次到达B处时,乙还未到B处,那么甲必定能在B点右边某处与乙第二次相遇 从乙再次到达A处开始计算,还需(40050)(64)35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了 502535110秒 所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了6 110660米 1、（奥数网杯）电子玩具车A与B在一条轨道的两端同时出发，相向而行。已知A比B的速度快50%，根 据推算，第 2007 2007次相遇点与第 2008 2008次相遇点相距 58 厘米，这条轨道长_ 厘米。 直击赛场 9876 543210 【解析】A、B两车速度比为1 50% :1
27、3:2；第 2007 2007次相遇点的位置在： 2007 32 200715 mod10； 第 2008 2008次相遇点的位置在： 2008 32 200813 mod10所以这条轨道长58535145 （厘米）。 2、（第五届“走进美妙的数学花园”决赛）如图，甲、乙两只蜗牛同时从A点出发，甲沿长方形ABCD逆 时针爬行，乙沿AOD逆时针爬行若10AB ，14BC ，10AODO，且两只蜗牛的速度相同，则当 两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为多少? C B O BA 【解析】很显然，在这幅地图上最长的距离是长方形的对角线，如果两只蜗牛同时处于一条对角线的两端， 那么
28、这是这两只蜗牛之间的距离达到最大值.对角线有两条所以也应该分为两种情况： 情况一；甲在C点，乙在A点，这种情况下乙走了整数圈，甲走了若干圈又一条短边，一条长边，设乙走 了x圈，甲已走了y圈.则可以列出不定方程：10 10 1410 14 10 1410 14xy。 化简为344824xy， 由于等式右边是 24 的倍数， 所以 x 至少应该取 12， 此时8y ， 两只蜗牛共走了 816。 情况二：甲在B点，乙在D点，这种情况下乙走了若干圈又 20，甲走了若干圈又 10，设两只蜗牛分别行走 了x圈和y圈，则可以列出不定方程：34204810xy 化简为17524xy，11x 是方程的最小解，此
29、时8y ，两只蜗牛一共行走了 788. 显然情况二最先发生，所以当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为 788。事实 上两只蜗牛在走过情况二之后各走了 14，就变成了情况一的情形，如果在讨论两种情况之前就想到这一点， 就可以少讨论一种情况了。 3、（第五届“走进美妙的数学花园”决赛）小王 8 点骑摩托车从甲地出发前往乙地，8 点 15 追上一个骑车 人小李开大客车 8 点 15 从甲地出发前往乙地，8 点半追上这个骑车人小张 8 点多也从甲地开小轿车出 发前往乙地，速度是小李的 1.25 倍当他追上骑车人后，速度提高了 20结果小王、小李、小张三人一 同于 9 点整到达乙
30、地小王、小李、骑车人的速度始终不变骑车人从甲地出发时是几点几分，小张从甲 地出发时是 8 点几分几秒？ 【解析】不妨设从甲地到乙地的距离为单位“1”，小王从甲地到乙地一共用了 1 小时，所以小王的速度为 1，小李从甲地到乙地一共用了 45 分钟（即 3 4 小时），所以小李的速度为 4 3 ，小王追上骑车人时，走了总 路程的 11 1 44 ，而小李追上骑车人时，走了总路程的 411 333 ，可见骑车人在两次被追上之间走了总路程 的 111 3412 ，所以骑车人的速度为 111 1243 ，因为骑车人 8 点 15 被小王追上时已经走了总路程的四分之 一，所以骑车人的出发时间是 113 4
31、34 小时以前，即 7 点 30 分。 4、（第九届中环杯）如图，A 、B是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在B点，两人同时出发，相 向而行他们在离A点100米的C点第一次相遇亮亮到达B点后返回A点，明明到达A点后返回B点， 两人在离B点80米的D点第二次相遇整个过程中，两人各自的速度都保持不变求A 、B间的距离要 求写出关键的推理过程 80米100米 ABDC 第4题 【解析】第一次相遇，两人共走了一个全程，其中亮亮走了100米，从开始到第二次相遇，两人共走了三个 全程， 则亮亮走了100 3300 (米) 亮亮共走的路程为一个全程多80米， 所以道路长30080220（米） 几个基本量之
32、间的运算关系几个基本量之间的运算关系 1、基本关系：路程速度*时间； 2、相遇问题（相向而行）：相遇时两种运动物体的行程和等于总路程(相遇时间相等)； 关系式： 甲走的路程+乙走的路程=总路程； 3、追击问题：同时不同地：前者走的路程+两者间距离=追者走的路程，同地不同时：前者所用时间-多 用时间=追这所用时间； 追及路程速度差=追及时间 追及路程追及时间=速度差 速度差追及时间=追及路程 重点回顾 追及路程速度差=追及时间 追及路程追及时间=速度差 速度差追及时间=追及路程 4、环形跑道 同向追及：前者走的路程-后者走的路程=环形周长； 反向相遇：甲走的路程+乙走的路程=环形周长。 解题方法
33、解题方法: : 1，审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间” 就是从此时开始计时，“多长时间 后”就是从开始计时 看地点是指 是同地还是两地甚至更多。 看方向是同向、背向还是相向 看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对 我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断。 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差。比如“用 10 秒钟快比慢多跑 100 米” 我们立刻知道快慢的速度差。这个是追击问题经常用到的，同过路程差求速度差 。 2，简单题利用公式 3，复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来。相遇问题就找路程和， 追击问题就找路程差 本节课我学到 名师点拨 学霸经验 我需要努力的地方是
