1、高考数学高考数学立体几何立体几何专项训练专项训练 一、单选题一、单选题 1用半径为3cm，圆心角为 2 3 的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（ ） A1cm B2 2cm C 2cm D2cm 2已知球的半径为 4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2 2，若球 心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（ ） A6 B8 C10 D12 3若向量a1, 1,2，2,1, 3b ，则ab（ ） A7 B2 2 C3 D10 4设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题： 若m，/n，则mn； 若/ ，m，则m； 若/m，/n，则/m n
2、； 若m，则/m. 其中真命题的序号为（ ） A和 B和 C和 D和 5已知三棱锥PABC的侧棱长相等，底面正三角形ABC的边长为 2，PA 平面PBC时， 三棱锥PABC外接球的表面积为（ ） A 3 2 B 3 2 C D3 6 在三棱锥PABC中， 2 5PAPBPC， 2 3ABACBC， 则三棱锥PABC 外接球的体积是（ ） A36 B 125 6 C 32 3 D50 7已知圆锥SO的底面半径为 3，母线长为 5.若球 1 O在圆锥SO内，则球 1 O的体积的最大值为 （ ） A 9 2 B9 C 32 3 D12 8四面体PABC的四个顶点坐标为002P,，0,0,0A，0,2
3、 3,0B，3, 3,0C，则该 四面体外接球的体积为（ ） A 32 3 B 20 5 3 C20 D 64 2 3 9若点N为点M在平面上的正投影，则记NfM .如图，在棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，记平面 11 ABC D为，平面ABCD为，点P是棱 1 CC上一动点（与C、 1 C不重合） 1 QffP ， 2 QffP .给出下列三个结论： 线段 2 PQ长度的取值范围是 12 , 22 ； 存在点P使得 1/ PQ平面； 存在点P使得 12 PQPQ. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 10如图，在正四棱台 1111 ABCDABC D中，上底面
4、边长为 4，下底面边长为 8，高为 5，点,M N 分别在 1111 ,AB DC上，且 11 1AMD N.过点,M N的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面 与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为 A18 7 B30 2 C6 61 D36 3 二、填空题二、填空题 11一个圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为120的扇形，则该圆锥的体积为_. 12有一个体积为 2 的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1，现将它的长增加 1，宽增加 2，且 体积不变，则所得长方体高的最大值为_； 13已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上， 5,PABC 13,PBAC2 5PCAB，则球
5、O的表面积为_. 14如图,已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4,点E、F分别是线段 11 ABC D、上的动点,点P 是上底面 1111 DCBA内一动点,且满足点P到点F的距离等于点P到平面 11 ABB A的距离,则当点P运 动时,PE的最小值是_. 15已知四边形为矩形, ,为的中点,将沿折起,得到四棱锥 ,设的中点为 ,在翻折过程中,得到如下有三个命题: 平面，且的长度为定值； 三棱锥的最大体积为； 在翻折过程中，存在某个位置，使得. 其中正确命题的序号为_ （写出所有正确结论的序号） 三、解答题三、解答题 16如图，已知正方形ABCD和矩形BDEF所在的平面互相垂直
6、，AC交BD于O点，M为EF 的中点，2,1BCBF （1）求证：/BM平面ACE； （2）求二面角BAFC的大小 17 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD， 1 1 2 PAADAB， 点E、M分别在线段AB、PC上， 且 AEPM ABPC ， 其中01， 连接CE， 延长CE与DA 的延长线交于点F，连接,PE PF ME （）求证：ME 平面PFD； （）若 1 2 时，求二面角A PEF的正弦值； （）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为 5 5 时，求值 参考答案参考答案 1B 【解析】 【分析】 设圆锥的底面半径为 rcm,根据底面圆的周长即
7、扇形的弧长求出半径 r,利用勾股定理可得答案. 【详解】 设圆锥的底面半径为 rcm，由题意底面圆的周长即扇形的弧长， 可得 2r= 2 3, 3 即底面圆的半径为 1，. 所以圆锥的高 2 h312 2 , 故选 B 【点睛】 本题考查圆锥侧面展开图的应用，圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形 的半径等于圆锥的母线长. 2A 【解析】 【分析】 设两圆的圆心为 1 O， 2 O，球心为O，公共弦为AB，中点为E，可知 12 OOEO为正方形，根据 1 2OEOO和 222 OEAEOA，代入长度求解即可. 【详解】 如图，设两圆的圆心为 1 O， 2 O，球心为O，公共弦
8、为AB，中点为E， 因为圆心到这两个平面的距离相等，则 12 OOEO为正方形. 两圆半径相等，设两圆半径为r， 2 1 16OOr， 2 1 2322OEOOr， 又 222 OEAEOA， 2 322216r， 2 9r ，3r .这两个圆的半径之和为 6. 故选 A 【点睛】 本题主要考查了球的几何运算，解题的关键是清楚球心和截面的位置关系，考查了空间想象力，属 于中档题. 3D 【解析】 【分析】 先求出a b 的坐标，再求模长即可. 【详解】 3,0, 1ab则 222 301ab= 10 故选 D. 【点睛】 本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，
9、是基础题. 4A 【解析】 【分析】 逐一分析命题的正误，可得出合适的选项. 【详解】 对于命题， 若/n， 过直线n作平面， 使得a， 则/a n，m，a，ma， mn，命题正确； 对于命题，对于命题，若/ ，m，则m，命题正确； 对于命题，若/m，/n，则m与n相交、平行或异面，命题错误； 对于命题，若m，则m或/m，命题错误. 故选：A. 【点睛】 本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题. 5D 【解析】 【分析】 证明PBCPAC，得出90BPC o ，可得出PBC的外接圆直径为 2BC ，并计算出三 棱锥PABC的侧棱长，然后利用公式 22 2RPABC 可得
10、出外接球的半径R，并利用球体表 面积公式可得出外接球的表面积. 【详解】 如下图所示： 由题意可知，PAPBPC，ABACBC，则PBCPAC，BPCAPC. PA 平面PBC，PC 平面PBC，PAPC，90BPCAPC o ， PBC的外接圆直径为 2BC ，易知三棱锥PABC的侧面都是等腰直角三角形， 22 21 22 PAAB，设三棱锥PABC的外接球半径为R，则 22 23RPABC ，得 3 2 R . 因此，三棱锥PABC的外接球的表面积为 2 2 3 443 2 SR . 故选：D. 【点睛】 本题考查三棱锥的外接球的表面积，分析出几何体的结构，找出合适的模型计算出外接球的半径
11、是 解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6B 【解析】 【分析】 三棱锥PABC是正三棱锥，取 O 为ABC外接圆的圆心，连结 PO ，则PO平面ABC， 设O为三棱锥PABC外接球的球心，外接球的半径为R，可求出OA PO，然后由 2222 OOO AOAR可求出半径，进而求出外接球的体积. 【详解】 由题意，易知三棱锥PABC是正三棱锥， 取 O 为ABC外接圆的圆心，连结 PO ，则PO平面ABC，设O为三棱锥PABC外接球 的球心. 因为2 3ABACBC，所以 2 31 2 23 2 O A . 因为2 5PAPBPC，所以 22 4POPAOA . 设三棱锥PA
12、BC外接球的半径为R，则 2 2 44RR，解得 5 2 R ，故三棱锥PABC外 接球的体积是 3 4125 36 R . 故选 B. 【点睛】 本题考查了三棱锥的外接球体积的求法， 考查了学生的空间想象能力与计算求解能力， 属于中档题. 7A 【解析】 【分析】 设圆锥SO的轴截面为等腰SAB，则球 1 O的体积最大时，球 1 O的轴截面是SAB的内切圆，根 据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积. 【详解】 设圆锥SO的轴截面为等腰SAB，则球 1 O的体积最大时，球 1 O的轴截面是SAB的内切圆，所 以 11 () 22 SAB SAB SOSASBABr，解得： 3
13、2 r ，所以球 1 O的体积的最大值为 9 2 . 故选：A 【点睛】 本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力. 8B 【解析】 【分析】 计算出线段长度，分析出四面体的形状，从而可确定出外接球的球心，根据球心求解出球的半径即 可求解出外接球的体积. 【详解】 由题意知2,4,4,2 3,2 3,2 3PAPBPCABACBC， 所以 222222 ,PAABPBPAACPC，所以 ,PAAB PAAC ， 所以该四面体侧棱PA 底面ABC，且底面是边长为2 3的正三角形，侧棱2PA， 所以底面正三角形的外接圆半径为 2 3 2 2sin60 ，球心必在过PA中点
14、且平行于底面的平面上， 所以球半径 22 215R ，所以球的体积为 3 420 5 5 33 . 故选：B. 【点睛】 本题考查空间几何体的外接球体积计算， 难度一般.求解空间几何体的外接球的问题， 首先要确定出 球心所在的位置，然后根据线段长度求解出外接球的半径，最后即可求解出球的体积或表面积. 9D 【解析】 【分析】 以点D为坐标原点，DA、DC、 1 DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 设点P的坐标为0,1,01aa，求出点 1 Q、 2 Q的坐标，然后利用向量法来判断出命题 的正误. 【详解】 取 1 C D的中点 2 Q，过点P在平面 11 ABC D
15、内作 1 PEC D，再过点E在平面 11 CC D D内作 1 EQCD，垂足为点 1 Q. 在正方体 1111 ABCDABC D中，AD 平面 11 CC D D，PE 平面 11 CC D D， PEAD， 又 1 PEC D， 1 ADC DD，PE平面 11 ABC D，即PE， fPE ， 同理可证 1 EQ，CQ，则 1 ffPfEQ ， 2 ffPfCQ . 以点D为坐标原点，DA、DC、 1 DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 设01CPaa，则0,1,Pa，0,1,0C， 11 0, 22 aa E ， 1 1 0,0 2 a Q ， 2 1
16、1 0, 2 2 Q . 对于命题， 2 2 11 42 PQa ，01a，则 111 222 a，则 2 11 0 24 a ， 所以， 2 2 1112 , 4222 PQa ，命题正确； 对于命题， 2 CQ，则平面的一个法向量为 2 1 1 0, 2 2 CQ ， 1 1 0, 2 a PQa ，令 21 11 3 0 424 aaa CQPQ ，解得 1 0,1 3 a ， 所以，存在点P使得 1/ PQ平面，命题正确； 对于命题， 2 1 1 2 0, 22 a PQ ，令 12 211 0 42 aaa PQ PQ ， 整理得 2 4310aa ，该方程无解，所以，不存在点P使得
17、 12 PQPQ，命题错误. 故选：D. 【点睛】 本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向 量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 10B 【解析】 【分析】 由题意可知，当平面 经过 BCNM 时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；根据正四棱台的 高及 MN 中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积 【详解】 当斜面 经过点BCNM时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时 为等腰梯形，上 底为 MN=4，下底为 BC=8 此时作正四棱台 1111 ABCDABC D俯视图如下： 则 MN 中点在底面的投影到
18、 BC 的距离为 8-2-1=5 因为正四棱台 1111 ABCDABC D的高为 5，所以截面等腰梯形的高为 22 555 2 所以截面面积的最大值为 1 485 230 2 2 S 所以选 B 【点睛】 本题考查了立体几何中过定点的截面面积问题， 关键是分析出截面的位置， 再根据条件求得各数据， 需要很好的空间想象能力，属于难题 11 2 2 3 . 【解析】 【分析】 先求圆锥底面圆的半径，再由直角三角形求得圆锥的高，代入公式计算圆锥的体积即可。 【详解】 设圆锥底面半径为r， 则由题意得 120 23 180 r，解得1r . 底面圆的面积为 2 Sr. 又圆锥的高 22 312 2h
19、 . 故圆锥的体积 112 2 2 2 333 VSh. 【点睛】 此题考查圆锥体积的计算，关键是找到底面圆半径和高代入计算即可，属于简单题目。 12 1 4 ； 【解析】 【分析】 由体积公式得2ab，长宽高变化后体积公式为(1)(2)2abh，这样可用, a b表示h，然后结 合基本不等式求得最值 【详解】 依题意2ab，设新长方体高为h， 则(1)(2)2abh， 222 (1)(2)2242 h abababab 221 42 2442 2ab ，当且仅当 2ab时等号成立 h的最大值为 1 4 故答案为 1 4 【点睛】 本题考查长方体体积，考查用基本不等式求最值，属于中档题型 13
20、29 【解析】 【分析】 将三棱锥PABC补成长方体， 根据棱长求出外接球的半径， 然后求出外接球的表面积， 得到答案. 【详解】 如图所示，将三棱锥PABC补成长方体， 球O为长方体的外接球，边长分别为a，b，c， 则 22 22 22 25 13 20 ab ac bc ， 所以 222 29abc， 所以 29 2 R ， 则球O的表面积为 2 4SR 2 29 4 2 29. 故答案为：29. 【点睛】 本题考查求三棱锥外接球的表面积，属于中档题. 142 5 【解析】 【分析】 通过题意可知当 E,F 分别是AB, 11 C D上的中点，P为正方形 1111 DCBA中心时，PE取最
21、小值，利用 两点间距离计算即可求出. 【详解】 如图建立空间直角坐标系： 设 1 A,04,04,( , ,4),04,04EaDFbabP x yxy剟剟剟剟， 则(0, ,4),(4, ,0),(,0)FbEaPFx by ， 点P到F的距离等于点P到平面 11 ABB A的距离， 222 ()(4)xbyx，整理得P点轨迹方程： 2 () 2 8 by x ， 所以P到平面 11 ABB A的距离PPd ， 2 () 42 8 by dx , 所以 min 2d，此时P与F共线垂直 11 DC, 又 22 |4 162 5PEdPE 当E,F分别是AB, 11 C D上的中点，P为正方形
22、 1111 DCBA中心时，PE取最小值， 此时(2,2,4),(4,2,0)PE，(0,2,4)F. 故答案为：2 5 【点睛】 本题主要考查了利用空间向量求两点间的距离，及结合图形研究最值问题，属于难题. 15 【解析】 【分析】 取的中点 ，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可判断出命题的 正误；由 为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥 的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可判断出命题 的正误；取的中点 ，连接，由，结合得出平面，推出 得出矛盾，可判断出命题的正误. 【详解】 如下图所示： 对于命题，取的中点 ，连接、，则， ，由勾股定理得， 易知，且，、 分别为、的中点，所
23、以， 四边形为平行四边形， 平面，平面，平面，命题正确； 对于命题，由 为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面 平面时，三棱锥体积取最大值， 取的中点 ，则，且， 平面平面，平面平面， 平面，平面， 的面积为， 所以，三棱锥的体积的最大值为， 则三棱锥的体积的最大值为，命题正确； 对于命题， 为的中点，所以， 若，且，平面， 由于平面，事实上，易得， ，由勾股定理可得，这与矛盾，命题错误. 故答案为：. 【点睛】 本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的 判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象
24、能 力，考查逻辑推理能力，属于难题. 16 （1）见解析（2）60 【解析】 【分析】 （1）连结EO，可证/OE BM，从而得到要求证的/BM平面ACE. （2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴建立空间直角坐标系，求出平面CAF的 法向量和平面ABF的法向量后可求二面角的大小. 【详解】 （1）证明：连结EO，AC交BD于O点，M为EF的中点， 四边形BMEO是平行四边形，/OE BM， 又BM 平面ACE，OE 平面ACE，/BM平面ACE （2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴建立空间直角坐标系， 2, 2,0 ,2,0,0 ,2, 2,1 ,0, 2,0BA
25、FC， 0, 2,0 ,0, 2,1 ,2, 2,0ABAFAC ， 设平面CAF的法向量, ,nx y z， 则 220 20 n ACxy n AFyz ， 取2x ，得2, 2, 2n ， 又平面ABF的法向量(1,0,0)m ， 21 cos, 28 n m，而,0,n m，,60n m， 二面角BAFC的平面角为60 【点睛】 线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投 影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面 与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角
26、的计 算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 17 （）证明见解析； （） 6 3 ； （） 3 8 . 【解析】 【分析】 （）在线段PD上取一点N，使得 PN PD ， PNPM PDPC ，证明四边形为平行四边形，得 到/MEAN，然后证明/ME平面PFD （） 以A为坐标原点， 分别以AF，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 求出平面PEA 的一个法向量， 平面PEF的一个法向量利用空间向量的数量积， 求解二面角APEF的正弦值 （）令(0E，h，0)，02h剟，(0, , 1)PEh，求出平面PEA的一个法向量利用空间向量的 数量积转化求解即可 【详解】
27、 （）在线段PD上取一点N，使得 PN PD ， PNPM PDPC ， / /MNDC且 1 MNDC ， AE AB ， 1 AEAB ，/ABDC且ABDC， 且AE MN， 四边形为平行四边形， / /MEAN， 又AN 平面PFD，ME 平面PFD， /ME平面PFD （）以A为坐标原点，分别以AF，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系 (0A ，0，0)， (0P ，0，1)， (0B ，2，0)， ( 1C ，2，0)，( 1D ，0，0)， 1 2 ，(0E，1，0)，(1F，0，0) 设平面PEA的一个法向量为( , , )nx y z， (0,1, 1)PE ，(0,
28、0,1)AP ， 0 0 n PEyz n APz ，令1z ， 1y ， (0,1,1)m ， 设平面PEF的一个法向量为( , , )mx y z， (0,1, 1)PE ，(1,0, 1)PF ， 0 0 mPEyz mPFxz ， 令1z ，1x ，1y ，(1,1,1)m ， 1 13 cos, | |323 m n m n mn ， 2 6 sin,1cos, 3 m nm n ， 二面角APEF的正弦值为 6 3 （）令(0E，h，0)，02h剟，(0, , 1)PEh， 设平面PEA的一个法向量为 1 ( , , )nx y z， (0,2, 1)PB ，( 1,0,0)BC ， 1 1 20 0 n PByz n PBx ，令1y ， 1z， 1 (0,1,2)n 由题意可得： 1 1 2 1 |2|5 |cos,| 5| | 15 PE nh PE n PEn h ， 3 4 h ， 3 4 AE ， 3 8 AE AB 【点睛】 本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法， 考查空间想象能力以及计算能力
