1、高考数学高考数学排列组合二项式定理排列组合二项式定理专项训练专项训练 一、单选题一、单选题 1张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要 排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这 6 个人的入园顺序的排法种数是（ ） A12 B24 C36 D48 2将甲、乙、丙、丁四人分配到A、B、C三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A学 校的不同分配方法有（ ） A18种 B24种 C32种 D36种 33 男 2 女共 5 名同学站成一排合影，则 2 名女生相邻且不站两端的概率为（ ） A 1 6 B 1 5 C 1 4 D 1 3 4元旦晚会期间，
2、高三二班的学生准备了 6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2 个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外 2 个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不 同编排种数为 A48 B36 C24 D12 5用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（ ） A72 B144 C150 D180 6石家庄春雨小区有 3 个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有 4 名水暖 工，现要求这 4 名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ ） 种 A12 B24 C36 D72 7若 0 3sinmxdx ，则二
3、项式 1 2 m x x 的展开式中的常数项为（ ） A6 B12 C60 D120 8 6 (1)(1)axx的展开式中， 3 x项的系数为-10，则实数a的值为（ ） A 2 3 B2 C2 D 2 3 9今有某种产品50个，其中一级品45个，二级品5个，从中取3个，出现二级品的概率是（ ） A 3 5 3 50 C C B 123 555 3 50 CCC C C 3 45 3 50 1 C C D 1221 545545 3 50 C CC C C 10如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色， 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同
4、的涂色方法有（ ） A192 B336 C600 D以上答案均不对 二、多选题二、多选题 11 8 4 1 1 2 x x 展开式中系数最大的项（ ） A第 2 项 B第 3 项 C第 4 项 D第 5 项 12对于二项式 3* 1 n xnN x ，以下判断正确的有（ ） A存在 * nN，展开式中有常数项； B对任意 * nN，展开式中没有常数项； C对任意 * nN，展开式中没有x的一次项； D存在 * nN，展开式中有x的一次项. 三、填空题三、填空题 13已知 6 (1 2 ) x展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则 b a _. 14若多项式 910 210 019
5、10 111xxaaxaxax，则 2 a _. 15某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 12345 Aa a a a a，其中A的各位数中 a (k=2,3,4,5) k 出现 0 的概率为 1 3 ，出现 1 的概率为 2 3 ，记 2345 Xaaaa，当程序运行一次 时，X的数学期望E X _ 四、解答题四、解答题 16有一名高二学生盼望 2020 年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取： 2020 年 2 月通过考试进入国家数学奥赛集训队 （集训队从 2019 年 10 月省数学竞赛一等奖中选拔） ： 2020 年 3 月自主招生考试通过并且达到 2
6、020 年 6 月高考重点分数线， 2020 年 6 月高考达到该校 录取分数线（该校录取分数线高于重点线） ，该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且 估计自己通过各种考试的概率如下表 省数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 0.5 0.6 0.9 0.7 若该学生数学竞赛获省一等奖， 则该学生估计进入国家集训队的概率是 0.2.若进入国家集训队， 则提 前录取，若未被录取，则再按、顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取. （注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） （）求该学生参加自主招生考试的概率； （）求该学生参加考试的次数X的分布
7、列及数学期望； （）求该学生被该校录取的概率. 参考答案参考答案 1B 【解析】 分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安 排在中间即可得到结论 详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有 2 2 A种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位 家长安排在两位男家长的中间，共有 23 23 A A种方法由分步乘法计数原理可得所有的排法为 223 223 24A A A 种 故选 B 点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步 相乘” 2B 【解析】 【分析】 根据题意， 分两种情况讨论： 其他三人中有一
8、个人与甲在同一个学校， 没有人与甲在同一个学校， 由加法原理计算可得答案 【详解】 解：根据题意，分两种情况讨论， 其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有 112 322 12C A A 种情况， 没有人与甲在同一个学校，则有 122 232 12C C A 种情况； 则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有12 1224种； 故选：B 【点睛】 本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题 3B 【解析】 【分析】 算出基本事件总数，算出 2 名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数，由此能求出 2 名女生相邻且 不站两端的概率 【详解】 解：3 男 2 女共 5 名同学站成一
9、排合影， 基本事件总数 5 5 120nA， 2 名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数 232 232 24mA A A， 2 名女生相邻且不站两端的概率为 241 1205 m p n 故选：B 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 4C 【解析】 【分析】 根据题意，分3步进行分析：将歌曲节目排在首尾；将2个小品节目安排在歌曲节目的中间； 排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个 空位，由分步计数原理计算可得结论. 【详解】 分3步进行： 歌曲节目排在首尾，有 2 2 2A种排法. 将2
10、个小品节目安排在歌曲节目的中间，有 2 2 2A种排法. 排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有 3 个空位， 将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，有 21 23 6A A 种排法. 则这2个节目出场的不同编排种数为2 2 624 种，故选 C. 【点睛】 本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2） 不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊顺序问题，先让所有元素全 排列，然后除以有限制元素的全排列数. 5B 【解析】 【分析】 根据题意，符合奇数的个位数字只能从 1，3，5 中选取；千位数字去掉个位
11、数字选用的和 0 还剩下四 个数字中选择，最后再排百、十位数字。 【详解】 根据题意，符合奇数的个位数字只能从 1，3，5 中选取，组成没有重复数字的四位奇数分三步； 第一步，排个位，共有 1 3 C种方法； 第二步，排千位，共有 1 4 C种方法； 第三步，排百、十位，共有 2 4 A种方法； 所以，可组成 112 344 144C C A 个四位奇数，故答案选 B。 【点睛】 本题主要考查简单排列组合和计数原理的应用。 6C 【解析】 【分析】 4 人分配到 3 个家庭，有一家去 2 人由此利用排列组合的知识可得 【详解】 4 名水暖工分配到 3 个家庭，其中有 2 人去同一家，因此分配方
12、案数为 23 43 36C A 故选：C 【点睛】 本题考查排列组合的综合应用，解题方法是分组分配法 7C 【解析】 【分析】 先由微积分基本定理求得m，然后由二项展开式通项公式求出常数项 【详解】 0 3sinmxdx 0 3cos|3(coscos0)6x ， 6 11 22 m xx xx ，其展开式通项公式为 3 6 66 2 166 1 (2 )()2 r rrrrr r TCxC x x ， 令 3 60 2 r，4r ，常数项为 24 56 260TC 故选：C 【点睛】 本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，掌握这两个定理是解题基础 8B 【解析】 【分析】 根据产生 3 x
13、项的来源，计算出 6 (1)x展开式中 32 ,x x的系数即可求出 【详解】 6 (1)x展开式的通项公式为 16 rr r TC x ，分别令2,3xx，可求得 2 x的系数为 2 6 15C ， 3 x的系数为 3 6 20C ， 故 6 (1)(1)axx的展开式中， 3 x项的系数为1 20 1510a，解得2a 故选：B 【点睛】 本题主要考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数，属于基础题 9C 【解析】 【分析】 事件“出现二级品”的对立事件为“全是一级品”，计算出对立事件的概率，然后利用对立事件的概 率公式计算出所求事件的概率. 【详解】 由题意知，事件“出现二级品”的对立
14、事件为“全是一级品”， 事件“全是一级品”的概率为 3 45 3 50 C C ，由对立事件的概率可知，出现二级品的概率是 3 45 3 50 1 C C ， 故选 C. 【点睛】 本题考查古典概型概率的计算，解题时，事件中出现了至少问题，可以利用对立事件的概率公式来计 算，也可以利用分类讨论思想来求解，考查计算能力，属于中等题. 10C 【解析】 【分析】 根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论 【详解】 解：E，F，G分别有 4，3，2 种方法， 当A与F相同时，A有 1 种方法，此时B有 2 种， 1 C若与F相同有C有 1 种方法，同时D有 3 种方法
15、， 2若C与F不同，则此时D有 2 种方法， 故此时共有：4 3 2 1 21 3 1 2240 种方法； 当A与G相同时，A有 1 种方法，此时B有 3 种方法， 1若C与F相同，C有 1 种方法，同时D有 2 种方法， 2若C与F不同，则D有 1 种方法， 故此时共有：4 3 2 1 31 2 1 1216 种方法； 当A既不同于F又不同于G时，A有 1 种方法， 1若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有 2 种方法； 2若B不同于F，则B有 1 种方法， ()若C与F相同则C有 1 种方法同时D有 2 种方法； ()若C与F不同则必与A相同，C有 1 种方法，同时D有 2 种方法； 故
16、此时共有：4 3 2 11 1 2 11 2 1 2144 种方法； 综上共有240 216 144600种方法 故选：C 【点睛】 本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏本题属于难题 11BC 【解析】 【分析】 根据 8 4 1 1 () 2 x x 的展开式的通项公式，求出展开式中各项系数，即得展开式中系数最大的项 【详解】 解： 8 4 1 1 () 2 x x 的展开式的通项公式为 3 4 8 4 188 4 1 11 ()()( ) 22 r rrrrr r TCxC x x ， 其展开式的各项系数依次为 1、4、7、7、 35 8 、 7 4 、 7
17、16 、 1 16 、 1 256 ， 所以，展开式中系数最大的项是第 3 项和第 4 项 故选：BC 【点睛】 本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，属于基础题 12AD 【解析】 【分析】 利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。 【详解】 设二项式 3* 1 n xnN x 展开式的通项公式为 1r T ， 则 34 1 1 =( )() rn rrrr n rnn TCxC x x ， 不妨令4n，则1r 时，展开式中有常数项，故答案 A 正确，答案 B 错误； 令3n，则1r 时，展开式中有x的一次项，故 C 答案错误，D 答案正确。 故答案选 AD 【点睛】 本题考
18、查二项式定理， 关键在于合理利用通项公式进行综合分析， 考查学生分析问题解决问题的能力， 属于中档题。 1312 【解析】 【分析】 由()nab的二项展开式的通项 1 Cr n rr rn Tab ，可知 6 (1 2 ) x展开式的二项式系数为 6( 0,1,6) r Cr ，当3r 时，二项式系数的最大值为a， 6 (1 2 ) x展开式的系数为 62 ( 0,1,6) rr Cr ，当满足 11 66 11 66 22 22 rrrr rrrr CC CC 时，系数的最大值为b，求解即可. 【详解】 由题意可知 6 (1 2 ) x展开式的二项式系数为 6( 0,1,6) r Cr ，
19、 当3r 时，取得最大值 3 6 20aC 6 (1 2 ) x展开式的系数为 62 ( 0,1,6) rr Cr ， 当满足 11 66 11 66 22 22 rrrr rrrr CC CC 时，系数最大. 即 1 1 6!6! 22 !?(6)!(1)!?6(1)! 6!6! 22 !?(6)!(1)!?6(1)! rr rr rrrr rrrr 12 61 21 7 rr rr ，即 12(6) 2(7) rr rr 解得11 14 33 r 又0,1,6r 4r 时，系数的最大值为 44 62 240bC 则 240 12 20 b a 故答案为：12 【点睛】 本题考查二项式定理，
20、求二项式系数最大值时，列出不等式组 11 66 11 66 22 22 rrrr rrrr CC CC 是解决本题的关键. 属于一道较难的题. 1446 【解析】 【分析】 把 210 xx化为 210 (1)2(1) 1 (1) 1xxx ，按照二项式定理展开， 可得 2 (1)x的系数 2 a的 值. 【详解】 210210 (1)2(1) 1 (1) 1xxxxx 20101982910 1010101010 (1)2(1) 1(1)(1)(1)(1)xxCxCxCxCxC 2910 012910 (1)(1)(1)(1)aa xaxa xax, 8 210 146aC , 故答案为 4
21、6 【点睛】 本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的 性质，属于中档题. 15 8 3 【解析】 【分析】 X的可能取值分别为 0，1，2，3，4 分别计算对应概率，写出分布列计算数学期望得到答案. 【详解】 由题意知X的可能取值分别为 0，1，2，3，4； X0表示这 4 个数字都是 0，则 4 11 (0) 381 P X ； 1X 表示这 4 个数字中有一个为 1，则 3 1 4 128 (1) 3381 P XC ； 同理 22 2 4 1224 (2) 3381 P XC ； 3 3 4 1232 (3) 3381 P XC ； 4
22、216 (4) 381 P X ； 所以X的分布列为， X 0 1 2 3 4 P 1 81 8 81 24 81 32 81 16 81 计算数学期望为 182432168 01234 81818181813 EX 故答案为： 8 3 【点睛】 本题考查了分布列，数学期望正确计算各种情况的概率是关键，意在考查学生的计算能力. 16 （）0.9.（）分布列见解析；数学期望 3.3； （）0.838 【解析】 【分析】 （）设该生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队时间分别为A，B则 1 ( )()PP AP AB， 然后利用互斥事件的概率公式进行求解； （）X的可能取值为 2，3，4，然后分
23、别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求 解即可； （） 设自主招生通过并且高考达重点线录取、 自主招生未通过且高考达该校线录取的事件分别为C、 D，该学生被该校录取的事件分为三种事件，AB、C、D，分别求出对应的概率，最后相加即可 【详解】 解： （）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A，B， 则( )0.5P A ，( )0.2P B ， 1 ( )()PP AP AB1 0.50.5 (1 0.2)0.9 . 即该学生参加自主招生考试的概率为 0.9. （）该该学生参加考试的次数X的可能取值为 2，3，4 (2)( ) ( )0.5 0.20.1P X
24、P A P B； (3)( )1 0.50.5P XP A ； (4)( ) ( )0.5 0.80.4P XP A P B. 所以X的分布列为 X 2 3 4 P 0.1 0.5 0.4 ()2 0.1 3 0.54 0.43.3E X . （）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分 数线录取的事件分别为C，D. ()0.1P AB ，( )0.9 0.6 0.90.486P C ，()0.9 0.4 0.70.252P D ， 所以该学生被该校录取的概率为 2 ()( )( )0.838PP ABP CP D. 【点睛】 本题考查离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望与方差
