1、高考数学高考数学解析几何解析几何专项训练专项训练 一、单选题一、单选题 1已知直线l过点A（a，0）且斜率为 1，若圆 22 4xy上恰有 3 个点到l的距离为 1，则a的值 为( ) A3 2 B 3 2 C2 D 2 2 已知双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab的离心率为 5 2 ， 过右焦点F的直线与两条渐近线分别交 于A，B，且 ABBF uu u ruuu r ，则直线AB的斜率为（ ） A 1 3 或 1 3 B 1 6 或 1 6 C2 D 1 6 3已知点P是圆 22 :3cossin1Cxy 上任意一点，则点P到直线1xy距离的最 大值为（ ） A 2 B
2、2 2 C 21 D 22 4若过点(4,0)A的直线l与曲线 22 (2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A3, 3 B 3, 3 C 33 , 33 D 33 , 33 5已知抛物线C： 2 2xpy的焦点为F，定点2 3,0M，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点 (点B在F，M中间)，且与抛物线C的准线交于点N，若7BNBF ，则AF的长为（ ） A 7 8 B1 C 7 6 D3 6已知双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab 的两个焦点分别为 1 F, 2 F，以 12 FF为直径的圆交双曲线 C于P,Q,M,N四点，且四边形PQMN为正方形，则双
3、曲线C的离心率为（ ） A2 2 B 22 C2 2 D 22 7已知抛物线C： 2 2(0)ypx p的焦点F，点 00 (,6 6) 2 p M xx 是抛物线上一点，以M为圆 心的圆与直线 2 p x 交于A、B两点 （A在B的上方） ， 若 5 sin 7 MFA， 则抛物线C的方程为 （ ） A 2 4yx B 2 8yx C 2 12yx D 2 16yx 8已知离心率为 2 2 的椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 2 F且斜 率为 1 的直线与椭圆E在第一象限内的交点为A，则 2 F到直线 1 F A，y轴的距离之比为（
4、 ） A 2 5 B 3 5 C 2 2 D 2 二、多选题二、多选题 9已知点A是直线:20l xy上一定点，点P、Q是圆 22 1xy上的动点，若 PAQ的最 大值为90，则点A的坐标可以是（ ） A0,2 B1,21 C2,0 D21,1 10 已知抛物线 2 :2C ypx0p 的焦点为F， 直线的斜率为3且经过点F， 直线l与抛物线C 交于点A、B两点（点A在第一象限） ，与抛物线的准线交于点D，若8AF ，则以下结论正确的 是（ ） A4p BDF FA uuu ruur C2BDBF D4BF 三、填空题三、填空题 11已知圆C经过(5,1),(1,3)AB两点，圆心在x轴上，则
5、C的方程为_ 12已知圆 2 2 39xy与直线y xm 交于A、B两点，过A、B分别作x轴的垂线，且与x 轴分别交于C、D两点，若2CD ，则m_ 13已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的焦距为4， 2,3A为C上一点，则C的渐近线方程 为_. 14已知抛物线 2 20ypx p，F为其焦点，l为其准线，过F任作一条直线交抛物线于,A B两 点， 1 A、 1 B分别为A、B在l上的射影，M为 11 AB的中点，给出下列命题： （1） 11 AFB F； （2）AM BM； （3） 1 /AF BM； （4） 1 AF与AM的交点的y轴上； （5） 1 AB与 1 AB
6、交于原点. 其中真命题的序号为_. 四、解答题四、解答题 15已知圆 22 :(2)1Mxy，圆 22 :(2)49Nxy，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆 心P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设不经过点(0,2 3)Q的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且 斜率之和为-2，证明：直线l过定点. 16已知椭圆方程为 22 1 63 xy （1）设椭圆的左右焦点分别为 1 F、 2 F，点P在椭圆上运动，求 1 122 PF PFPFPF的值； （2）设直线l和圆 22 2xy相切，和椭圆交于A、B两点，O为原点，线段OA、OB分别和圆 22 2xy
7、交于C、D两点，设AOB、COD的面积分别为 1 S、 2 S，求 1 2 S S 的取值范围 参考答案参考答案 1D 【解析】 【分析】 因为圆 22 4xy上恰有 3 个点到l的距离为 1，所以与直线l平行且距离为 1 的两条直线，一条与 圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l的距离为 1，根据点到直线的距离公式即可求出a的值 【详解】 直线l的方程为：y xa 即0xya 因为圆 22 4xy上恰有 3 个点到l的距离为 1，所以与直线l平行且距离为 1 的两条直线，一条与 圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为 2，即圆心到直线l的距离为 1 故1 2 a ，解得 2a 故选：D 【点睛】
8、本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在 3 个点到l的距离为 1 转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力， 属于中档题 2B 【解析】 【分析】 根据双曲线的离心率求出渐近线方程， 根据AB BF ， 得到B为AF中点， 得到B与A的坐标关系， 代入到渐近线方程中，求出A点坐标，从而得到AB的斜率，得到答案. 【详解】 因为双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab 的离心率为 5 2 ， 又 2 2 2 c e a 2 2 5 1 4 b a ，所以 1 2 b a ， 所以双曲线渐近线为 1 2 y
9、x 当点A在直线 1 2 yx 上，点B在直线 1 2 yx上时， 设, AA A xy, BB B xy， 由(c,0)F及B是AF中点可知 2 2 A B A B xc x y y ， 分别代入直线方程，得 1 2 1 222 AA AA yx yxc ，解得 2 4 A A c x c y ， 所以, 2 4 c c A ， 所以直线AB的斜率 ABAF kk 4 2 c c c 1 6 ， 由双曲线的对称性得， 1 6 k 也成立. 故选：B. 【点睛】 本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3D 【解析】 【分析】 计算出圆心C到直线10xy 距离的最大值，
10、再加上圆C的半径可得出点P到直线10xy 的距离的最大值. 【详解】 圆C的圆心坐标为3 cos ,sin，半径为1，点C到直线10xy 的距离为 2sin2 3cossin14 sin212 422 d ， 因此，点P到直线1xy距离的最大值为1 2 122 . 故选：D. 【点睛】 本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d，圆的半径为 r，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r，最小值为dr，解题时要熟悉这个结论的应用，属 于中等题. 4D 【解析】 设直线方程为(4)yk x，即40kxyk，直线l与曲线 22 (2)1xy有公共点， 圆心到直线的距离
11、小于等于半径 2 24 1 1 kk d k ， 得 222 1 41, 3 kkk，选择 C 另外，数形结合画出图形也可以判断 C 正确 5C 【解析】 【分析】 由题意画出图形，求出AB的斜率，得到AB的方程，求得p，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物 线方程，求解A的坐标，再由抛物线定义求解AF的长 【详解】 解：如图，过B作BB垂直于准线，垂足为B，则BFBB， 由7BNBF，得7BNBB，可得 1 sin 7 BNB ， 4 3 cos 7 BNB ， 1 tan 4 3 BNB ， 又2 3,0M，AB的方程为 1 2 3 4 3 yx ， 取0x，得 1 2 y ，即 1 0,
12、2 F ，则1p ，抛物线方程为 2 2xy 联立 2 1 2 3 4 3 2 yx xy ，解得 2 3 A y 1217 2326 A AFy 故选：C 【点睛】 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题 6D 【解析】 【分析】 设P、Q、M、N分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出 22 , 22 Pcc ，将 点P的坐标代入双曲线C的方程，即可求出双曲线C的离心率. 【详解】 设双曲线C的焦距为20c c ，设P、Q、M、N分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P、Q关于y轴对称，P、M关于原点对称，P、N关于
13、x轴对称，由 于四边形PQMN为正方形，则直线PM的倾斜角为 4 ，可得 22 , 22 Pcc ， 将点P的坐标代入双曲线C的方程得 22 22 1 22 cc ab ，即 22 2 22 1 22 cc aca ， 设该双曲线的离心率为1e e ，则 22 2 1 221 ee e ，整理得 42 420ee， 解得 2 22e ，因此，双曲线C的离心率为 22 . 故选：D. 【点睛】 本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中 等题. 7C 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义，表示出MF，再表示出MD，利用 5 sin 7 MFA，得到
14、0 x和p之间的关系，将 M点坐标，代入到抛物线中，从而解出 p的值，得到答案. 【详解】 抛物线C： 2 2(0)ypx p， 其焦点,0 2 p F ，准线方程 2 p x ， 因为点 00 ,6 6 2 p M xx 是抛物线上一点， 所以 0 2 p MFx AB所在直线 2 p x ， 设MDAB于D，则 0 2 p MDx， 因为 5 sin 7 MFA， 所以 5 7 MD MF ，即 0 0 5 2 7 2 p x p x 整理得 0 3xp 所以3 ,6 6Mp 将M点代入到抛物线方程，得 2 6 623pp， 0p 解得6p =， 所以抛物线方程为 2 12yx 故选：C.
15、 【点睛】 本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题. 8A 【解析】 【分析】 结合椭圆性质，得到 a,b,c 的关系，设 2 AFx，用 x 表示 112 ,AF FF,结合余弦定理，用 c 表示 x， 结合三角形面积公式，即可。 【详解】 结合 222 2 , 2 c eabc a ，所以2 ,ac bc，设 21 ,2 2AFx AFcx， 12 2FFc，对三角形 12 AFF运用余弦定理 得到 2220 2121212 2cos ,135AFFFAFAFFF ，代入，得到 2 3 xc，即 12 52 2 , 33 AFc AFc，运用三角形面积相等
16、 设 2 F到直线 1 F A距离为 d，则 2121 11 sin 22 AFFFAF d，代入， 得到 2 5 dc，所以 2 F到直线 1 F A，y轴的距离之比为 2 5 【点睛】 本道题考查了余弦定理和三角形面积计算公式，难度较大。 9AC 【解析】 【分析】 设点A的坐标为,2tt，可得知当AP、AQ均为圆 22 1xy的切线时， PAQ 取得最大值 90，可得出四边形APOQ为正方形，可得出 2OA ，进而可求出点A的坐标. 【详解】 如下图所示： 原点到直线l的距离为 22 2 1 11 d ，则直线l与圆 22 1xy相切， 由图可知，当AP、AQ均为圆 22 1xy的切线时
17、， PAQ 取得最大值， 连接OP、OQ，由于PAQ的最大值为90，且90APOAQO，1OPOQ， 则四边形APOQ为正方形，所以22OAOP， 由两点间的距离公式得 2 2 22OAtt ， 整理得 2 22 20tt ，解得0t 或 2，因此，点A的坐标为 0,2或 2,0. 故选：AC. 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆 相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 10ABC 【解析】 【分析】 作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 【详解】 如下图所示： 分别过点A
18、、B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E、M. 抛物线C的准线m交x轴于点P，则PFp，由于直线l的斜率为3，其倾斜角为60， /AE x轴，60EAF，由抛物线的定义可知，AEAF，则AEF为等边三角形， 60EFPAEF ，则30PEF， 228AFEFPFp，得4p ， A 选项正确； 2AEEFPF，又/PF AE，F为AD的中点，则DF FA ，B 选项正确； 60DAE，30ADE， 22BDBMBF（抛物线定义） ，C 选项正确； 2BDBF， 118 333 BFDFAF，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】 本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查
19、数形结合思想的应用，属于中等 题. 11 22 (2)10xy. 【解析】 【分析】 由圆的几何性质得， 圆心在AB的垂直平分线上,结合题意知， 求出AB的垂直平分线方程， 令0y ， 可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】 由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上,结合题意知，AB的垂直平分线为24yx，令 0y ，得 2x，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径 22 (52)(1 0)10，故圆的方程为 22 (2)10xy. 【点睛】 本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 121或7 【解析】 【分析】 设点 11 ,
20、A x y、 22 ,B x y，则有 1,0 C x、 2,0 D x，可得出 12 2CDxx，将直线AB的 方程与圆的方程联立，列出韦达定理，结合 12 2CDxx可求出实数m的值. 【详解】 设点 11 ,A x y、 22 ,B x y，由 2 2 39 yxm xy ， 消去y，得 22 2230xmxm， 2 22 4384690mmmm ， 解得 3 3 23 3 2m . 由韦达定理知， 12 3xxm， 2 12 2 m x x ， 所以 22 22 12121 2 432962CDxxxxx xmmmm ， 整理得 2 670mm，解得 7m 或1，满足. 故答案为：7或
21、1. 【点睛】 本题考查直线与圆的综合问题，涉及弦长的计算，常用几何法（弦心距、弦长的一半、半径长满足勾 股定理）以及代数法（将直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理求解）来计算，考查计算能力，属 于中等题. 133yx 【解析】 【分析】 根据题意可得出该双曲线C的两个焦点的坐标，利用定义可得出a的值，结合双曲线的焦距可求出b 的值，由此可得出双曲线C的渐近线方程. 【详解】 由题意知，双曲线C的左焦点为 1 2,0F ，右焦点为 2 2,0F， 2 2 1 2235AF ， 2 2 2 2233AF ， 由双曲线的定义可得 12 22aAFAF ，1a=， 22 23ba ， 因此，双曲线C
22、的渐近线方程为3yx . 故答案为：3yx . 【点睛】 本题考查双曲线渐近线方程的求解，同时也考查了双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 14 （1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】 （1）由A、B在抛物线上，根据抛物线的定义可知 1 AAAF， 1 BBBF，从而有相等的角，由 此可判断 11 AFB F； （2）取AB的中点C，利用中位线即抛物线的定义可得 11 22 CMAFBFAB，从而可得 AMBM； （3）由（2）知，AM平分 1 A AF，从而可得 1 AFAM，根据AM BM，利用垂直于同一直 线的两条直线平行，可得结论； （4）取 1 AA与y轴
23、的交点D，可得 1 ADOF，可得出 1 AF的中点在y轴上，从而得出结论； （5）设直线AB的方程为 2 p xmy，设点 11 ,A x y、 22 ,B x y，证明出 1 A、O、B三点共线， 同理得出A、O、 1 B三点共线，由此可得出结论. 【详解】 （1）由于A、B在抛物线上，且 1 A、 1 B分别为A、B在准线l上的射影， 根据抛物线的定义可知 1 AAAF， 1 BBBF，则 11 AAFAFA ， 11 BB FBFB， 11 /AA BB， 11 180FAAFBB，则 1111 180AAFAFABB FBFB， 即 11 2180AFABFB， 11 90AFABF
24、B，则 11 90AFB，即 11 AFB F， （1） 正确； （2）取AB的中点C，则 11 22 CMAFBFAB， 90AMB，即AMBM， （2）正确； （3）由（2）知， 1 /CM AA， 1 A AMAMC ， 1 2 CMABAC，AMCCAM， 1 A AMCAM， AM平分 1 A AF， 1 AMAF，由于BM AM， 11 /AF BM， （3）正确； （4）取 1 AA与y轴的交点D，则 1 2 p ADOF， 1/ AAx轴，可知 1 ADEFOE ， 1 AEEF，即点E为 1 AF的中点，由（3）知，AM平分 1 A AF， 1 AM过点E， 所以， 1 AF
25、与AM的交点的y轴上， （4）正确； （5）设直线AB的方程为 2 p xmy，设点 11 ,A x y、 22 ,B x y，则点 11 , 2 p Ay 、 12 , 2 p By ， 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得， 22 20ympyp， 由韦达定理得 2 12 y yp ， 12 2yymp， 直线 1 OA的斜率为 1 2 2 11 2 2 22 2 OA p yyyp k p ppy ， 直线OB的斜率为 22 2 222 2 2 OB yyp k yxy p ， 1 OAOB kk ， 则 1 A、O、B三点共线，同理得出A、O、 1 B三点共线， 所以， 1 A
26、B与 1 AB交于原点， （5）正确. 综上所述，真命题的序号为： （1） （2） （3） （4） （5）. 故答案为： （1） （2） （3） （4） （5）. 【点睛】 本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线定义的应用，考查推理能力，属于中等题. 15 （1） 22 1 1612 xy ； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得到|1PMr，| 7PNr，从而得到 | 8PMPN，得到28,2ac，从而求出椭圆的标准方程； （2）直线l斜率存在时，设 :(2 3)l ykxm m ，代入椭圆方程，得到 12 xx， 12 x x，表示出直线QA与
27、直线QB的斜率， 根据 2 QQAB kk ，得到k，m的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l斜率不存在时，也过 该定点，从而证明直线过定点. 【详解】 （1）设动圆P的半径为r， 因为动圆P与圆M外切，所以|1PMr， 因为动圆P与圆N内切，所以| 7PNr， 则| (1)(7)8 | 4PMPNrrMN， 由椭圆定义可知，曲线C是以( 2,0)M 、(2,0)N为左、右焦点，长轴长为 8 的椭圆， 设椭圆方程为 22 22 1 xy ab (0)ab ， 则4a，2c ，故 222 12bac， 所以曲线C的方程为 22 1 1612 xy . （2）当直线l斜率存在时，设直线: l y
28、kxm， 2 3m ， 联立 22 1 1612 ykxm xy ， 得 222 3484480kxkmxm ， 设点 11 ,A x y 22 ,B x y，则 12 2 2 12 2 8 34 448 34 km xx k m x x k ， 12 12 2 32 3 QQAB yy kk xx 212121 12 2 32 3xkxmxx kxmx x x 1212 12 2(2 3) 2 kx xmxx x x ， 所以 1212 (22)(2 3)0kx xmxx， 即 2 22 4488 (22)(2 3)0 3434 mkm km kk ， 得 2 122 3120mkmk .
29、则(2 3)(2 3)2 3 (2 3)0mmk m， 因为2 3m ，所以2 32 30mk. 即2 32 3mk ， 直线:2 32 3l ykxk(2 3)2 3k x， 所以直线l过定点2 3, 2 3. 当直线l斜率不存在时，设直线:(0)l xt t，且44t ， 则点 2 3 ,12, 4 A tt 2 3 , 12 4 B tt 22 33 122 3122 3 44 QAQB tt kk tt 4 3 t 2 ， 解得2 3t ， 所以直线:2 3l x 也过定点2 3, 2 3. 综上所述，直线l过定点2 3, 2 3. 【点睛】 本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭
30、圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过 定点问题，属于中档题. 16 （1）6； （2） 3 2 2, 2 . 【解析】 【分析】 （1）设点,P x y，由该点在椭圆上得出 22 1 3 2 yx，然后利用距离公式和向量数量积的坐标运 算求出1 122 PF PFPFPF的值； （2）分直线l的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线l的斜率不存在时，可求得 1 2 2 S S ，在直线 l的斜率存在时，设直线l的方程为y kxm ，设点 11 ,A x y、 22 ,B x y，根据直线l与圆 22 2xy相切，得出 22 21mk，并将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将 1
31、 2 S S 表 示为k的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案. 【详解】 （1）由已知， 12 3,0 ,3,0FF，设,P x y， 由 2 22 2 1 2 333 16 62 x PFxyxx ， 同理 2 2 6 2 PFx ，可得 2 12 221 666 222 PFPFxxx ， 22 12 3,3,3xyxyxPFyPF 结合 22 1 63 xy ，得 22 1 3 2 yx，故 22 12 12 11 66 22 PFPFPFPFxx； （2）当直线l的斜率不存在时，其方程为 2x ， 由对称性，不妨设2x ，此时2, 2 ,2,2 ,1,1 ,1, 1ABCD，
32、故 1 2 2 2 1 S S 若直线l的斜率存在，设其方程为y kxm ， 由已知可得 2 2 1 m k ，则 22 21mk ， 设 11 ,A x y、 22 ,B x y，将直线l与椭圆方程联立， 得 222 214260kxkmxm， 由韦达定理得 12 2 4 21 km xx k ， 2 12 2 26 21 m x x k 结合2OCOD及 2222 1122 11 3,3 22 xyyx， 可知 2222 1 1122 2 1 sin 11 2 1 22 sin 2 OA OBAOB S OA OBxyxy S OCODCOD 22 22 12121212 111131 3
33、392 222224 xxxxx xx x 将根与系数的关系代入整理得： 2 22222 1 2 2 2 12636183 1 9 2 21 k mmkm S S k ， 结合 22 21mk ，得 42 1 2 2 2 128447 9 2 21 Skk S k 设 2 21 1tk ， 1 0,1u t ， 则 2 2 1 22 2 178818813 2 91688162, 2222 Stt uu Sttt 1 2 S S 的取值范围是 3 2 2, 2 【点睛】 本题考查直线与椭圆的综合问题的求解，涉及椭圆上点的坐标的应用，同时也考查了直线与椭圆中三 角形面积比值的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.
