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高考数学《解析几何》专项训练及答案解析

1、高考数学高考数学解析几何解析几何专项训练专项训练 一、单选题一、单选题 1已知直线l过点A(a,0)且斜率为 1,若圆 22 4xy上恰有 3 个点到l的距离为 1,则a的值 为( ) A3 2 B 3 2 C2 D 2 2 已知双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab的离心率为 5 2 , 过右焦点F的直线与两条渐近线分别交 于A,B,且 ABBF uu u ruuu r ,则直线AB的斜率为( ) A 1 3 或 1 3 B 1 6 或 1 6 C2 D 1 6 3已知点P是圆 22 :3cossin1Cxy 上任意一点,则点P到直线1xy距离的最 大值为( ) A 2 B

2、2 2 C 21 D 22 4若过点(4,0)A的直线l与曲线 22 (2)1xy有公共点,则直线l的斜率的取值范围为( ) A3, 3 B 3, 3 C 33 , 33 D 33 , 33 5已知抛物线C: 2 2xpy的焦点为F,定点2 3,0M,若直线FM与抛物线C相交于A,B两点 (点B在F,M中间),且与抛物线C的准线交于点N,若7BNBF ,则AF的长为( ) A 7 8 B1 C 7 6 D3 6已知双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab 的两个焦点分别为 1 F, 2 F,以 12 FF为直径的圆交双曲线 C于P,Q,M,N四点,且四边形PQMN为正方形,则双

3、曲线C的离心率为( ) A2 2 B 22 C2 2 D 22 7已知抛物线C: 2 2(0)ypx p的焦点F,点 00 (,6 6) 2 p M xx 是抛物线上一点,以M为圆 心的圆与直线 2 p x 交于A、B两点 (A在B的上方) , 若 5 sin 7 MFA, 则抛物线C的方程为 ( ) A 2 4yx B 2 8yx C 2 12yx D 2 16yx 8已知离心率为 2 2 的椭圆E: 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,过点 2 F且斜 率为 1 的直线与椭圆E在第一象限内的交点为A,则 2 F到直线 1 F A,y轴的距离之比为(

4、 ) A 2 5 B 3 5 C 2 2 D 2 二、多选题二、多选题 9已知点A是直线:20l xy上一定点,点P、Q是圆 22 1xy上的动点,若 PAQ的最 大值为90,则点A的坐标可以是( ) A0,2 B1,21 C2,0 D21,1 10 已知抛物线 2 :2C ypx0p 的焦点为F, 直线的斜率为3且经过点F, 直线l与抛物线C 交于点A、B两点(点A在第一象限) ,与抛物线的准线交于点D,若8AF ,则以下结论正确的 是( ) A4p BDF FA uuu ruur C2BDBF D4BF 三、填空题三、填空题 11已知圆C经过(5,1),(1,3)AB两点,圆心在x轴上,则

5、C的方程为_ 12已知圆 2 2 39xy与直线y xm 交于A、B两点,过A、B分别作x轴的垂线,且与x 轴分别交于C、D两点,若2CD ,则m_ 13已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的焦距为4, 2,3A为C上一点,则C的渐近线方程 为_. 14已知抛物线 2 20ypx p,F为其焦点,l为其准线,过F任作一条直线交抛物线于,A B两 点, 1 A、 1 B分别为A、B在l上的射影,M为 11 AB的中点,给出下列命题: (1) 11 AFB F; (2)AM BM; (3) 1 /AF BM; (4) 1 AF与AM的交点的y轴上; (5) 1 AB与 1 AB

6、交于原点. 其中真命题的序号为_. 四、解答题四、解答题 15已知圆 22 :(2)1Mxy,圆 22 :(2)49Nxy,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆 心P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)设不经过点(0,2 3)Q的直线l与曲线C相交于A,B两点,直线QA与直线QB的斜率均存在且 斜率之和为-2,证明:直线l过定点. 16已知椭圆方程为 22 1 63 xy (1)设椭圆的左右焦点分别为 1 F、 2 F,点P在椭圆上运动,求 1 122 PF PFPFPF的值; (2)设直线l和圆 22 2xy相切,和椭圆交于A、B两点,O为原点,线段OA、OB分别和圆 22 2xy

7、交于C、D两点,设AOB、COD的面积分别为 1 S、 2 S,求 1 2 S S 的取值范围 参考答案参考答案 1D 【解析】 【分析】 因为圆 22 4xy上恰有 3 个点到l的距离为 1,所以与直线l平行且距离为 1 的两条直线,一条与 圆相交,一条与圆相切,即圆心到直线l的距离为 1,根据点到直线的距离公式即可求出a的值 【详解】 直线l的方程为:y xa 即0xya 因为圆 22 4xy上恰有 3 个点到l的距离为 1,所以与直线l平行且距离为 1 的两条直线,一条与 圆相交,一条与圆相切,而圆的半径为 2,即圆心到直线l的距离为 1 故1 2 a ,解得 2a 故选:D 【点睛】

8、本题主要考查直线与圆的位置关系的应用,以及点到直线的距离公式的应用,解题关键是将圆上存在 3 个点到l的距离为 1 转化为两条直线与圆的位置关系,意在考查学生的转化能力与数学运算能力, 属于中档题 2B 【解析】 【分析】 根据双曲线的离心率求出渐近线方程, 根据AB BF , 得到B为AF中点, 得到B与A的坐标关系, 代入到渐近线方程中,求出A点坐标,从而得到AB的斜率,得到答案. 【详解】 因为双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab 的离心率为 5 2 , 又 2 2 2 c e a 2 2 5 1 4 b a ,所以 1 2 b a , 所以双曲线渐近线为 1 2 y

9、x 当点A在直线 1 2 yx 上,点B在直线 1 2 yx上时, 设, AA A xy, BB B xy, 由(c,0)F及B是AF中点可知 2 2 A B A B xc x y y , 分别代入直线方程,得 1 2 1 222 AA AA yx yxc ,解得 2 4 A A c x c y , 所以, 2 4 c c A , 所以直线AB的斜率 ABAF kk 4 2 c c c 1 6 , 由双曲线的对称性得, 1 6 k 也成立. 故选:B. 【点睛】 本题考查求双曲线渐近线方程,坐标转化法求点的坐标,属于中档题. 3D 【解析】 【分析】 计算出圆心C到直线10xy 距离的最大值,

10、再加上圆C的半径可得出点P到直线10xy 的距离的最大值. 【详解】 圆C的圆心坐标为3 cos ,sin,半径为1,点C到直线10xy 的距离为 2sin2 3cossin14 sin212 422 d , 因此,点P到直线1xy距离的最大值为1 2 122 . 故选:D. 【点睛】 本题考查圆上一点到直线距离的最值问题,当直线与圆相离时,圆心到直线的距离为d,圆的半径为 r,则圆上一点到直线的距离的最大值为d r,最小值为dr,解题时要熟悉这个结论的应用,属 于中等题. 4D 【解析】 设直线方程为(4)yk x,即40kxyk,直线l与曲线 22 (2)1xy有公共点, 圆心到直线的距离

11、小于等于半径 2 24 1 1 kk d k , 得 222 1 41, 3 kkk,选择 C 另外,数形结合画出图形也可以判断 C 正确 5C 【解析】 【分析】 由题意画出图形,求出AB的斜率,得到AB的方程,求得p,可得抛物线方程,联立直线方程与抛物 线方程,求解A的坐标,再由抛物线定义求解AF的长 【详解】 解:如图,过B作BB垂直于准线,垂足为B,则BFBB, 由7BNBF,得7BNBB,可得 1 sin 7 BNB , 4 3 cos 7 BNB , 1 tan 4 3 BNB , 又2 3,0M,AB的方程为 1 2 3 4 3 yx , 取0x,得 1 2 y ,即 1 0,

12、2 F ,则1p ,抛物线方程为 2 2xy 联立 2 1 2 3 4 3 2 yx xy ,解得 2 3 A y 1217 2326 A AFy 故选:C 【点睛】 本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线位置关系的应用,考查计算能力,是中档题 6D 【解析】 【分析】 设P、Q、M、N分别为第一、二、三、四象限内的点,根据对称性可得出 22 , 22 Pcc ,将 点P的坐标代入双曲线C的方程,即可求出双曲线C的离心率. 【详解】 设双曲线C的焦距为20c c ,设P、Q、M、N分别为第一、二、三、四象限内的点, 由双曲线的对称性可知,点P、Q关于y轴对称,P、M关于原点对称,P、N关于

13、x轴对称,由 于四边形PQMN为正方形,则直线PM的倾斜角为 4 ,可得 22 , 22 Pcc , 将点P的坐标代入双曲线C的方程得 22 22 1 22 cc ab ,即 22 2 22 1 22 cc aca , 设该双曲线的离心率为1e e ,则 22 2 1 221 ee e ,整理得 42 420ee, 解得 2 22e ,因此,双曲线C的离心率为 22 . 故选:D. 【点睛】 本题考查双曲线离心率的计算,解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标,考查计算能力,属于中 等题. 7C 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义,表示出MF,再表示出MD,利用 5 sin 7 MFA,得到

14、0 x和p之间的关系,将 M点坐标,代入到抛物线中,从而解出 p的值,得到答案. 【详解】 抛物线C: 2 2(0)ypx p, 其焦点,0 2 p F ,准线方程 2 p x , 因为点 00 ,6 6 2 p M xx 是抛物线上一点, 所以 0 2 p MFx AB所在直线 2 p x , 设MDAB于D,则 0 2 p MDx, 因为 5 sin 7 MFA, 所以 5 7 MD MF ,即 0 0 5 2 7 2 p x p x 整理得 0 3xp 所以3 ,6 6Mp 将M点代入到抛物线方程,得 2 6 623pp, 0p 解得6p =, 所以抛物线方程为 2 12yx 故选:C.

15、 【点睛】 本题考查抛物线的定义,直线与圆的位置关系,求抛物线的标准方程,属于中档题. 8A 【解析】 【分析】 结合椭圆性质,得到 a,b,c 的关系,设 2 AFx,用 x 表示 112 ,AF FF,结合余弦定理,用 c 表示 x, 结合三角形面积公式,即可。 【详解】 结合 222 2 , 2 c eabc a ,所以2 ,ac bc,设 21 ,2 2AFx AFcx, 12 2FFc,对三角形 12 AFF运用余弦定理 得到 2220 2121212 2cos ,135AFFFAFAFFF ,代入,得到 2 3 xc,即 12 52 2 , 33 AFc AFc,运用三角形面积相等

16、 设 2 F到直线 1 F A距离为 d,则 2121 11 sin 22 AFFFAF d,代入, 得到 2 5 dc,所以 2 F到直线 1 F A,y轴的距离之比为 2 5 【点睛】 本道题考查了余弦定理和三角形面积计算公式,难度较大。 9AC 【解析】 【分析】 设点A的坐标为,2tt,可得知当AP、AQ均为圆 22 1xy的切线时, PAQ 取得最大值 90,可得出四边形APOQ为正方形,可得出 2OA ,进而可求出点A的坐标. 【详解】 如下图所示: 原点到直线l的距离为 22 2 1 11 d ,则直线l与圆 22 1xy相切, 由图可知,当AP、AQ均为圆 22 1xy的切线时

17、, PAQ 取得最大值, 连接OP、OQ,由于PAQ的最大值为90,且90APOAQO,1OPOQ, 则四边形APOQ为正方形,所以22OAOP, 由两点间的距离公式得 2 2 22OAtt , 整理得 2 22 20tt ,解得0t 或 2,因此,点A的坐标为 0,2或 2,0. 故选:AC. 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的综合问题,考查利用角的最值来求点的坐标,解题时要找出直线与圆 相切这一临界位置来进行分析,考查数形结合思想的应用,属于中等题. 10ABC 【解析】 【分析】 作出图形,利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 【详解】 如下图所示: 分别过点A

18、、B作抛物线C的准线m的垂线,垂足分别为点E、M. 抛物线C的准线m交x轴于点P,则PFp,由于直线l的斜率为3,其倾斜角为60, /AE x轴,60EAF,由抛物线的定义可知,AEAF,则AEF为等边三角形, 60EFPAEF ,则30PEF, 228AFEFPFp,得4p , A 选项正确; 2AEEFPF,又/PF AE,F为AD的中点,则DF FA ,B 选项正确; 60DAE,30ADE, 22BDBMBF(抛物线定义) ,C 选项正确; 2BDBF, 118 333 BFDFAF,D 选项错误. 故选:ABC. 【点睛】 本题考查与抛物线相关的命题真假的判断,涉及抛物线的定义,考查

19、数形结合思想的应用,属于中等 题. 11 22 (2)10xy. 【解析】 【分析】 由圆的几何性质得, 圆心在AB的垂直平分线上,结合题意知, 求出AB的垂直平分线方程, 令0y , 可得圆心坐标,从而可得圆的半径,进而可得圆的方程. 【详解】 由圆的几何性质得,圆心在AB的垂直平分线上,结合题意知,AB的垂直平分线为24yx,令 0y ,得 2x,故圆心坐标为(2,0),所以圆的半径 22 (52)(1 0)10,故圆的方程为 22 (2)10xy. 【点睛】 本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题. 121或7 【解析】 【分析】 设点 11 ,

20、A x y、 22 ,B x y,则有 1,0 C x、 2,0 D x,可得出 12 2CDxx,将直线AB的 方程与圆的方程联立,列出韦达定理,结合 12 2CDxx可求出实数m的值. 【详解】 设点 11 ,A x y、 22 ,B x y,由 2 2 39 yxm xy , 消去y,得 22 2230xmxm, 2 22 4384690mmmm , 解得 3 3 23 3 2m . 由韦达定理知, 12 3xxm, 2 12 2 m x x , 所以 22 22 12121 2 432962CDxxxxx xmmmm , 整理得 2 670mm,解得 7m 或1,满足. 故答案为:7或

21、1. 【点睛】 本题考查直线与圆的综合问题,涉及弦长的计算,常用几何法(弦心距、弦长的一半、半径长满足勾 股定理)以及代数法(将直线方程与圆的方程联立,利用韦达定理求解)来计算,考查计算能力,属 于中等题. 133yx 【解析】 【分析】 根据题意可得出该双曲线C的两个焦点的坐标,利用定义可得出a的值,结合双曲线的焦距可求出b 的值,由此可得出双曲线C的渐近线方程. 【详解】 由题意知,双曲线C的左焦点为 1 2,0F ,右焦点为 2 2,0F, 2 2 1 2235AF , 2 2 2 2233AF , 由双曲线的定义可得 12 22aAFAF ,1a=, 22 23ba , 因此,双曲线C

22、的渐近线方程为3yx . 故答案为:3yx . 【点睛】 本题考查双曲线渐近线方程的求解,同时也考查了双曲线定义的应用,考查计算能力,属于中等题. 14 (1) (2) (3) (4) (5) 【解析】 【分析】 (1)由A、B在抛物线上,根据抛物线的定义可知 1 AAAF, 1 BBBF,从而有相等的角,由 此可判断 11 AFB F; (2)取AB的中点C,利用中位线即抛物线的定义可得 11 22 CMAFBFAB,从而可得 AMBM; (3)由(2)知,AM平分 1 A AF,从而可得 1 AFAM,根据AM BM,利用垂直于同一直 线的两条直线平行,可得结论; (4)取 1 AA与y轴

23、的交点D,可得 1 ADOF,可得出 1 AF的中点在y轴上,从而得出结论; (5)设直线AB的方程为 2 p xmy,设点 11 ,A x y、 22 ,B x y,证明出 1 A、O、B三点共线, 同理得出A、O、 1 B三点共线,由此可得出结论. 【详解】 (1)由于A、B在抛物线上,且 1 A、 1 B分别为A、B在准线l上的射影, 根据抛物线的定义可知 1 AAAF, 1 BBBF,则 11 AAFAFA , 11 BB FBFB, 11 /AA BB, 11 180FAAFBB,则 1111 180AAFAFABB FBFB, 即 11 2180AFABFB, 11 90AFABF

24、B,则 11 90AFB,即 11 AFB F, (1) 正确; (2)取AB的中点C,则 11 22 CMAFBFAB, 90AMB,即AMBM, (2)正确; (3)由(2)知, 1 /CM AA, 1 A AMAMC , 1 2 CMABAC,AMCCAM, 1 A AMCAM, AM平分 1 A AF, 1 AMAF,由于BM AM, 11 /AF BM, (3)正确; (4)取 1 AA与y轴的交点D,则 1 2 p ADOF, 1/ AAx轴,可知 1 ADEFOE , 1 AEEF,即点E为 1 AF的中点,由(3)知,AM平分 1 A AF, 1 AM过点E, 所以, 1 AF

25、与AM的交点的y轴上, (4)正确; (5)设直线AB的方程为 2 p xmy,设点 11 ,A x y、 22 ,B x y,则点 11 , 2 p Ay 、 12 , 2 p By , 将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得, 22 20ympyp, 由韦达定理得 2 12 y yp , 12 2yymp, 直线 1 OA的斜率为 1 2 2 11 2 2 22 2 OA p yyyp k p ppy , 直线OB的斜率为 22 2 222 2 2 OB yyp k yxy p , 1 OAOB kk , 则 1 A、O、B三点共线,同理得出A、O、 1 B三点共线, 所以, 1 A

26、B与 1 AB交于原点, (5)正确. 综上所述,真命题的序号为: (1) (2) (3) (4) (5). 故答案为: (1) (2) (3) (4) (5). 【点睛】 本题考查抛物线的几何性质,涉及抛物线定义的应用,考查推理能力,属于中等题. 15 (1) 22 1 1612 xy ; (2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切,得到|1PMr,| 7PNr,从而得到 | 8PMPN,得到28,2ac,从而求出椭圆的标准方程; (2)直线l斜率存在时,设 :(2 3)l ykxm m ,代入椭圆方程,得到 12 xx, 12 x x,表示出直线QA与

27、直线QB的斜率, 根据 2 QQAB kk ,得到k,m的关系,得到直线所过的定点,再验证直线l斜率不存在时,也过 该定点,从而证明直线过定点. 【详解】 (1)设动圆P的半径为r, 因为动圆P与圆M外切,所以|1PMr, 因为动圆P与圆N内切,所以| 7PNr, 则| (1)(7)8 | 4PMPNrrMN, 由椭圆定义可知,曲线C是以( 2,0)M 、(2,0)N为左、右焦点,长轴长为 8 的椭圆, 设椭圆方程为 22 22 1 xy ab (0)ab , 则4a,2c ,故 222 12bac, 所以曲线C的方程为 22 1 1612 xy . (2)当直线l斜率存在时,设直线: l y

28、kxm, 2 3m , 联立 22 1 1612 ykxm xy , 得 222 3484480kxkmxm , 设点 11 ,A x y 22 ,B x y,则 12 2 2 12 2 8 34 448 34 km xx k m x x k , 12 12 2 32 3 QQAB yy kk xx 212121 12 2 32 3xkxmxx kxmx x x 1212 12 2(2 3) 2 kx xmxx x x , 所以 1212 (22)(2 3)0kx xmxx, 即 2 22 4488 (22)(2 3)0 3434 mkm km kk , 得 2 122 3120mkmk .

29、则(2 3)(2 3)2 3 (2 3)0mmk m, 因为2 3m ,所以2 32 30mk. 即2 32 3mk , 直线:2 32 3l ykxk(2 3)2 3k x, 所以直线l过定点2 3, 2 3. 当直线l斜率不存在时,设直线:(0)l xt t,且44t , 则点 2 3 ,12, 4 A tt 2 3 , 12 4 B tt 22 33 122 3122 3 44 QAQB tt kk tt 4 3 t 2 , 解得2 3t , 所以直线:2 3l x 也过定点2 3, 2 3. 综上所述,直线l过定点2 3, 2 3. 【点睛】 本题考查圆与圆的位置关系,椭圆的定义,求椭

30、圆标准方程,直线与椭圆的位置关系,椭圆中直线过 定点问题,属于中档题. 16 (1)6; (2) 3 2 2, 2 . 【解析】 【分析】 (1)设点,P x y,由该点在椭圆上得出 22 1 3 2 yx,然后利用距离公式和向量数量积的坐标运 算求出1 122 PF PFPFPF的值; (2)分直线l的斜率不存在与存在两种情况讨论,在直线l的斜率不存在时,可求得 1 2 2 S S ,在直线 l的斜率存在时,设直线l的方程为y kxm ,设点 11 ,A x y、 22 ,B x y,根据直线l与圆 22 2xy相切,得出 22 21mk,并将直线l的方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,将 1

31、 2 S S 表 示为k的函数,转化为函数的值域的求解,综合可得出答案. 【详解】 (1)由已知, 12 3,0 ,3,0FF,设,P x y, 由 2 22 2 1 2 333 16 62 x PFxyxx , 同理 2 2 6 2 PFx ,可得 2 12 221 666 222 PFPFxxx , 22 12 3,3,3xyxyxPFyPF 结合 22 1 63 xy ,得 22 1 3 2 yx,故 22 12 12 11 66 22 PFPFPFPFxx; (2)当直线l的斜率不存在时,其方程为 2x , 由对称性,不妨设2x ,此时2, 2 ,2,2 ,1,1 ,1, 1ABCD,

32、故 1 2 2 2 1 S S 若直线l的斜率存在,设其方程为y kxm , 由已知可得 2 2 1 m k ,则 22 21mk , 设 11 ,A x y、 22 ,B x y,将直线l与椭圆方程联立, 得 222 214260kxkmxm, 由韦达定理得 12 2 4 21 km xx k , 2 12 2 26 21 m x x k 结合2OCOD及 2222 1122 11 3,3 22 xyyx, 可知 2222 1 1122 2 1 sin 11 2 1 22 sin 2 OA OBAOB S OA OBxyxy S OCODCOD 22 22 12121212 111131 3

33、392 222224 xxxxx xx x 将根与系数的关系代入整理得: 2 22222 1 2 2 2 12636183 1 9 2 21 k mmkm S S k , 结合 22 21mk ,得 42 1 2 2 2 128447 9 2 21 Skk S k 设 2 21 1tk , 1 0,1u t , 则 2 2 1 22 2 178818813 2 91688162, 2222 Stt uu Sttt 1 2 S S 的取值范围是 3 2 2, 2 【点睛】 本题考查直线与椭圆的综合问题的求解,涉及椭圆上点的坐标的应用,同时也考查了直线与椭圆中三 角形面积比值的取值范围的计算,考查计算能力,属于中等题.