1、数列热点问题（专项训练）1.已知a n是公差为 3 的等差数列，数列b n满足 b11，b 2 ，13anbn1 b n1 nb n.(1)求a n的通项公式；(2)求b n的前 n 项和.2.已知数列a n满足 a1 ，且 an1 .12 2an2 an(1)求证：数列 是等差数列；1an(2)若 bna nan1 ，求数列b n的前 n 项和 Sn.3.(2019长郡中学联考)已知a n是等差数列，b n是等比数列，a11，b 12，b 22a 2，b 32a 32.(1)求a n， bn的通项公式；(2)若 的前 n 项和为 Sn，求证： Sn2.anbn4.(2019广州一模)已知数列
2、a n的前 n 项和为 Sn，数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数Snn列.(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列b n满足 5(4 n5) ，求数列b n的前 n 项和 Tn.a1b1 a2b2 anbn (12)n 5.(2019北京延庆区调研)已知公差不为 0 的等差数列a n的首项 a12，且a11，a 21，a 41 成等比数列.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn ，nN *， Sn 是数列b n的前 n 项和，求使 Sn 成立的最大的正整数 n.1anan 1 3196.(2019德州二模)设 Sn 为数列 an的前 n 项和，且 a11，当 n2 时，( n1)
3、a n(n1)Sn1 n(n1) ，nN *.(1)证明：数列 为等比数列；Snn 1(2)记 TnS 1S 2S n，求 Tn.数列热点问题（专项训练）1.已知a n是公差为 3 的等差数列，数列b n满足 b11，b 2 ，13anbn1 b n1 nb n.(1)求a n的通项公式；(2)求b n的前 n 项和.解 (1)由已知，a 1b2b 2b 1，b 11，b 2 ，得 a12.13所以数列a n是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 an3n1.(2)由(1)和 anbn1 b n1 nb n 得 bn1 ，bn3因此b n是首项为 1，公比为 的等比数列.13记b n
4、的前 n 项和为 Sn，则Sn .1 (13)n 1 13 32 123n 12.已知数列a n满足 a1 ，且 an1 .12 2an2 an(1)求证：数列 是等差数列；1an(2)若 bna nan1 ，求数列b n的前 n 项和 Sn.(1)证明 易知 an0，a n1 ，2an2 an ， ，1an 1 2 an2an 1an 1 1an 12又a 1 ， 2，12 1a1数列 是以 2 为首项， 为公差的等差数列.1an 12(2)解 由(1)知， 2 (n1) ，即 an ，1an 12 n 32 2n 3b n 4 ，4（n 3）（n 4） ( 1n 3 1n 4)Sn4 (1
5、4 15) (15 16) ( 1n 3 1n 4)4 .(14 1n 4) nn 43.(2019长郡中学联考)已知a n是等差数列，b n是等比数列，a11，b 12，b 22a 2，b 32a 32.(1)求a n， bn的通项公式；(2)若 的前 n 项和为 Sn，求证： Sn2.anbn(1)解 设a n的公差为 d，b n的公比为 q，由题意得 解得 或 (舍) ，a nn，b n2 n.2q 2（1 d），2q2 2（1 2d） 2，) d 1，q 2，) d 1，q 0 )(2)证明 由(1)知 ，anbn n2nS n ，12 222 323 n 12n 1 n2nSn ，1
6、2 122 223 324 n 22n 1 n 12n n2n 1两式相减得 Sn ，12 12 122 123 124 12n n2n 1121 (12)n 1 12 n2n 1S n2 ，S n2.(12)n 1 n2n4.(2019广州一模)已知数列a n的前 n 项和为 Sn，数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数Snn列.(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列b n满足 5(4 n5) ，求数列b n的前 n 项和 Tn.a1b1 a2b2 anbn (12)n 解 (1)由题意可得： 12( n1)，可得：S n2n 2n.Snn当 n2 时，a nS nS n1 2n 2n
7、2(n1) 2(n1)4n3.当 n1 时，a 11 对上式也成立.a n4n3(nN *).(2) 5(4 n5) ，a1b1 a2b2 anbn (12)n n2 时， 5(4n1) ，a1b1 a2b2 an 1bn 1 (12)n 1 相减可得： (4n3) (n2) ，又 满足上式，anbn (12)n a1b1 12 (4n3) (nN *).b n2 n.数列 bn的前 n 项和 Tn 2 n1 2.anbn (12)n 2（2n 1）2 15.(2019北京延庆区调研)已知公差不为 0 的等差数列a n的首项 a12，且a11，a 21，a 41 成等比数列.(1)求数列a n
8、的通项公式；(2)设 bn ，nN *， Sn 是数列b n的前 n 项和，求使 Sn 成立的最大的正整数 n.1anan 1 319解 (1)设a n的公差为 d.由 a11，a 21，a 41 成等比数列，可得(a 21) 2( a11)( a41)，又 a12，(3d) 23(33d)，解得 d3(d0 舍去)，则 ana 1(n1)d23( n1) 3n1.(2)bn ，1anan 1 1（3n 1）（3n 2） 13( 13n 1 13n 2)Sn13(12 15 15 18 13n 1 13n 2) ，13(12 13n 2) n2（3n 2）则 Sn ，即 ，解得 n12，319
9、 n2（3n 2） 319则所求最大的正整数 n 为 11.6.(2019德州二模)设 Sn 为数列 an的前 n 项和，且 a11，当 n2 时，( n1)a n(n1)Sn1 n(n1) ，nN *.(1)证明：数列 为等比数列；Snn 1(2)记 TnS 1S 2S n，求 Tn.(1)证明 当 n2 时，a nS nS n1 ，所以( n1)(S nS n1 )( n1)S n1 n(n1) ，即(n1)S n2nS n1 n( n1) ，则 2 1，所以 12 ，Snn Sn 1n 1 Snn (Sn 1n 1 1)又 12，故数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.S11 Snn 1(2)解 由(1)知 1 2n1 2 n，所以 Snn2 n n，故Snn (S11 1)Tn(1 22 22n2 n)(1 2n).设 M1222 2n2 n，则 2M12 222 3n2 n1 ，所以M22 22 nn 2n1 2 n1 2n2 n1 ，所以 M( n1)2 n1 2，所以 Tn(n1)2 n1 2 .n（n 1）2
