1、立体几何热点问题（专项训练）1(一题多解)(2018浙江卷)如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A 1A，B 1B，C 1C 均垂直于平面ABC， ABC 120，A 1A4，C 1C1，AB BCB 1B2.(1)证明：AB 1平面 A1B1C1；(2)求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值2.(2019石家庄模拟)在四棱锥 PABCE 中，PA底面 ABCE，CD AE ，AC 平分BAD，G 为 PC 的中点，PAAD2，BC DE ，AB3，CD2 ，F，M 分别为3BC，EG 上一点，且 AFCD.(1)求 的值，使得 CM平面 AFG；EMMG(2)求直线 CE 与平
2、面 AFG 所成角的正弦值3(2018北京卷)如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，CC 1平面 ABC，D，E，F，G 分别为AA1，AC，A 1C1，BB 1 的中点， ABBC ，AC AA 1 2.5(1)求证：AC平面 BEF；(2)求二面角 BCDC 1 的余弦值；(3)证明：直线 FG 与平面 BCD 相交4(2019长沙雅礼中学、河南实验中学联考) 如图(1)，菱形 ABCD 的边长为12，BAD60，AC 与 BD 交于 O 点将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到三棱锥BACD，如图(2)，点 M 是棱 BC 的中点，DM6 .2(1)求证：平面 ODM平面 AB
3、C；(2)求二面角 MADC 的余弦值5(2019济宁模拟)如图，四边形 ABCD 是正方形，四边形 BDEF 为矩形，ACBF，G 为EF 的中点(1)求证：BF平面 ABCD；(2)二面角 CBGD 的大小可以为 60吗，若可以求出此时 的值，若不可以，请说明理BFBC由6.已知在直角梯形 ABCD 中，AB90，ADAB1，BC 2，将CBD 沿 BD折起至CBD，使二面角 C BDA 为直角(1)求证：平面 ADC平面 ABC.(2)若点 M 满足 ， 0 ，1，当二面角 MBDC 为 45时，求 的值AM AC 2019 年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍专题 08 立体几何热点问题
4、（专项训练）1(一题多解)(2018浙江卷)如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A 1A，B 1B，C 1C 均垂直于平面ABC，ABC 120，A 1A4，C 1C1，AB BCB 1B2.(1)证明：AB 1平面 A1B1C1；(2)求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值法一 (1)证明 由 AB2，AA 14，BB 12，AA 1AB，BB 1AB 得 AB1A 1B12 ，所2以 A1B AB AA ，21 21 21由 AB1A 1B1.由 BC2，BB 12，CC 11，BB 1BC ，CC 1BC 得 B1C1 ，5由 ABBC2 ，ABC 120得 AC2 ，3由
5、 CC1AC，得 AC1 ，13所以 AB B 1C AC ，21 21 21故 AB1B 1C1，又 A1B1B 1C1B 1，因此 AB1平面 A1B1C1.(2)解 如图，过点 C1 作 C1DA 1B1，交直线 A1B1 于点 D，连接 AD.由 AB1平面 A1B1C1，AB 1平面 ABB1，得平面 A1B1C1平面 ABB1，由 C1DA 1B1 得 C1D平面 ABB1，所以C 1AD 是 AC1 与平面 ABB1 所成的角由 B1C1 ，A 1B12 ，A 1C1 得5 2 21cosC 1A1B1 ，sinC 1A1B1 ，67 17所以 C1D ，故 sinC 1AD .
6、3C1DAC1 3913因此，直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值是 .3913法二 (1)证明 如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz.由题意知各点坐标如下：A(0， ，0)，B(1，0，0)， A1(0， ，4)，B 1(1，0，2) ，C 1(0， ，1)3 3 3因此 (1 ， ，2)，AB1 3(1 ， ，2)， (0，2 ，3) A1B1 3 A1C1 3由 0 得 AB1A 1B1.AB1 A1B1 由 0 得 AB1A 1C1，A 1B1A 1C1A 1，AB1 A1C1 所以 AB1平面 A
7、1B1C1.(2)解 设直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角为 .由(1)可知 (0 ，2 ，1)， (1 ， ，0)， (0，0，2)AC1 3 AB 3 BB1 设平面 ABB1 的法向量 n(x ，y ，z) 由 即nAB 0，nBB1 0，) x 3y 0，2z 0， )令 y1，则 x ，z0，3可得平面 ABB1 的一个法向量 n( ，1，0)3所以 sin |cos ，n| .AC1 |AC1 n|AC1 |n| 3913因此，直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值是 .39132.(2019石家庄模拟)在四棱锥 PABCE 中，PA底面 ABCE，CD AE ，A
8、C 平分BAD，G 为 PC 的中点，PAAD2，BC DE ，AB3，CD2 ，F，M 分别为3BC，EG 上一点，且 AFCD.(1)求 的值，使得 CM平面 AFG；EMMG(2)求直线 CE 与平面 AFG 所成角的正弦值解 (1)在 RtADC 中，ADC 为直角，tanCAD ，则CAD60 ，又 AC 平分BAD，BAC60，232 3AB3，AC 2AD4，在ABC 中，由余弦定理可得 BC ，13DE .连接 DM，当 时，AG DM，13EMMG EDDA 132又 AFCD，AFAGA，平面 CDM平面 AFG，又 CM平面 CDM，CM平面 AFG.(2)分别以 DA，
9、 AF，AP 为 x，y，z 轴的正方向，A 为原点，建立空间直角坐标系 Axyz ，如图所示，则 A(0，0，0) ， C(2，2 ， 0)，D(2，0，0)，P(0 ，0，2)，E (2 ，0，0)，3 13可得 G(1， ，1) ，3则 ( 1， ，1) ， (0 ，2 ，0)，AG 3 CD 3( ，2 ，0) CE 13 3设平面 AFG 的法向量为 n(x，y，z)，AFCD， 即AG n 0，CD n 0，) x 3y z 0， 23y 0， )令 x1，得平面 AFG 的一个法向量为 n(1，0，1) 直线 CE 与平面 AFG 所成角的正弦值为|cos ，n | .CE 13
10、13 12 2 26103(2018北京卷)如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，CC 1平面 ABC，D，E，F，G 分别为AA1，AC，A 1C1，BB 1 的中点， ABBC ，AC AA 1 2.5(1)求证：AC平面 BEF；(2)求二面角 BCDC 1 的余弦值；(3)证明：直线 FG 与平面 BCD 相交(1)证明 在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，因为 CC1平面 ABC，所以四边形 A1ACC1 为矩形又 E，F 分别为 AC，A 1C1 的中点，所以 ACEF.因为 ABBC，所以 ACBE.又 EFBEE，所以 AC平面 BEF.(2)解 由(1)知 ACEF，AC
11、 BE，EFCC 1，又 CC1平面 ABC，所以 EF平面 ABC，因为 BE平面 ABC，所以 EFBE.如图建立空间直角坐标系 Exyz，由题意得 B(0，2，0)，C(1，0，0) ，D(1，0，1) ，F(0，0，2)，G(0 ，2，1)所以 (1，2，0)，BC (1，2，1) BD 设平面 BCD 的法向量为n(x 0，y 0，z 0)，则 即nBC 0，nBD 0，) x0 2y0 0，x0 2y0 z0 0.)令 y01，则 x02，z 04.于是 n(2 ， 1，4)又因为平面 CC1D 的法向量为 (0，2，0) ，EB 所以 cosn， .EB nEB |n|EB |
12、2121由题知二面角 BCDC 1 为钝角，所以其余弦值为 .2121(3)证明 由(2)知平面 BCD 的法向量为 n(2，1，4)， (0，2，1)FG 因为 n 20(1)2(4) (1)20，所以直线 FG 与平面 BCD 相交FG 4(2019长沙雅礼中学、河南实验中学联考) 如图(1)，菱形 ABCD 的边长为12，BAD60，AC 与 BD 交于 O 点将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到三棱锥BACD，如图(2)，点 M 是棱 BC 的中点，DM6 .2(1)求证：平面 ODM平面 ABC；(2)求二面角 MADC 的余弦值(1)证明 四边形 ABCD 是菱形，BAD6
13、0，DAO 30，OBAC，ODAC.在 Rt ADO 中，AD12，ODAD sin 306.M 是 BC 的中点，OM BC6.12又 MD6 ，OD2OM2MD2，DOOM.2OM平面 ABC，AC平面 ABC，OMACO，OD平面 ABC.又OD平面 ODM，平面 ODM平面 ABC.(2)解 由题意得，ODOC，OBOC.由(1)知，OD平面 ABC，OB平面 ABC，OBOD.以 O 为原点，OD，OC，OB 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图则 D(6，0，0)，A (0，6 ，0)，3M(0，3 ，3) ，3故 (0 ，9 ，3)， (6，6 ，0
14、) AM 3 AD 3设平面 MAD 的法向量为 m(x，y，z)，则 即mAM 0，mAD 0，) 93y 3z 0，6x 63y 0.)令 y ，则 x3，z9.3平面 MAD 的一个法向量为 m(3， ，9) 3易得平面 ACD 的一个法向量为 n(0 ，0，1)cos m，n .mn|m|n| 39331由图可知二面角 MADC 为锐二面角故二面角 MADC 的余弦值为 .393315(2019济宁模拟)如图，四边形 ABCD 是正方形，四边形 BDEF 为矩形，ACBF，G 为EF 的中点(1)求证：BF平面 ABCD；(2)二面角 CBGD 的大小可以为 60吗，若可以求出此时 的
15、值，若不可以，请说明理BFBC由(1)证明 四边形 ABCD 是正方形，四边形 BDEF 为矩形，BFBD ，又ACBF， AC，BD 为平面 ABCD 内两条相交直线，BF平面 ABCD.(2)解 假设二面角 CBG D 的大小可以为 60，由(1)知 BF平面 ABCD，以 A 为原点，分别以 AB，AD 为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设 ABAD 2，BFh(h0)，则 A(0，0，0) ， B(2，0，0)， D(0，2，0) ，C (2，2，0)，EF 的中点 G(1，1，h)，(1，1，h) ， (0，2，0)BG BC 设平面 BCG 的法向量为 n( x，
16、y，z) ，则 即 取 n(h，0，1) BG n 0，BC n 0，) x y hz 0，2y 0， )由于 ACBF， ACBD ，AC平面 BDG，平面 BDG 的法向量为 (2，2，0)AC 由题意得 cos 60 ，|nAC |n|AC | 2hh2 1 4 4解得 h1，此时 .BFBC 12当 时，二面角 CBG D 的大小为 60.BFBC 126.已知在直角梯形 ABCD 中，AB90，ADAB1，BC 2，将CBD 沿 BD折起至CBD，使二面角 C BDA 为直角(1)求证：平面 ADC平面 ABC.(2)若点 M 满足 ， 0 ，1，当二面角 MBDC 为 45时，求
17、的值AM AC (1)证明 在原梯形 ABCD 中，作 DEBC 于点 E，连接 BD，如图(1)图(1)AB 90，ADAB 1，四边形 ABED 是正方形，BE DE AB1.BC2，EC 1，DBC DCB45 ，CDB 90，即 CDBD .折起之后，在BCD 中，CDBD.二面角 CBDA 为直角，即平面 CDB平面 ABD，平面 CBD平面 ABDBD，CD平面 ABD.AB平面 ABD，CDAB.又ABAD，CDADD，AB平面 ADC.AB平面 ABC，平面 ADC平面 ABC.(2)解 由(1)可得 DA，DE， DC 两两垂直，图(2)以 D 为原点，DA，DE，DC 所在
18、直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图 (2)，则 D(0，0，0)，C(0，0， )，B (1，1 ，0)，A(1，0，0) 2设 M(x，y，z )， (1， 1，0)，DB (1，1， )， (1，0， )BC 2 AC 2 ，AM AC x 1 ，y 0，z 2，) x 1 ，y 0，z 2，)即点 M 的坐标为(1，0， ) ( ，1， )2 BM 2设平面 MBD 的法向量为 m(x 1，y 1，z 1)，则 即mBM 0，mDB 0，) x1 y1 2z1 0，x1 y1 0， )令 x11，则 y11，z 1 . 12平面 MBD 的一个法向量为 m .(1， 1， 12)设平面 BCD 的法向量为 n( x2，y 2，z 2)，则 即nDB 0，nBC 0，) x2 y2 0， x2 y2 2z2 0，)令 x21，则 y21，z 20，平面 BCD 的一个法向量为 n(1 ，1，0)二面角 MBDC 为 45，|cosm，n| ，即 ，22 |mn|m|n| 22 ， 2.21 1 ( 12)2 2 22 ( 12)2 0，1， ，解得 . 12 2 13 的值为 .13
