1、6.4 平面向量的应用平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例 学习目标 1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.能用向量方法解决简单的力学问题和其 他实际问题.3.培养学生运算能力，分析和解决实际问题的能力. 知识点一 向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点二 向量方
2、法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 思考 物理问题中有哪些量是向量？它们与向量的哪些运算相关？ 答案 物理中的向量： 物理中有许多量， 比如力、 速度、 加速度、 位移都具有大小和方向， 因而它们都是向量.力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量 加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解， 运动的叠加
3、也用到了向量的加法.动量mv是数乘向量.力所做的功就是作用力F与物体在 力 F 的作用下所产生的位移 s 的数量积. 1.若ABC 为直角三角形，则有AB BC0.( ) 2.若向量AB CD ，则 ABCD.( ) 3.功是力 F 与位移 s 的数量积.( ) 4.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.( ) 一、利用向量证明平面几何问题 例 1 如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AFDE. 证明 方法一 设AD a，AB b， 则|a|b|，a b0. 又DE DA AE ab 2， AF ABBFba 2， 所以AF DE ba 2 ab 2 a
4、 2 2 3 4a b b2 2 1 2|a| 21 2|b| 20. 故AF DE ，即 AFDE. 方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)， F(2,1)，则AF (2,1)，DE (1，2). 因为AF DE (2,1) (1，2)220， 所以AF DE ，即 AFDE. 反思感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)利用线性运算证明的四个步骤 选取基底.用基底表示相关向量.利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.把几何 问题向量化. (2)利用坐标运算证明的四个步骤 建立适当的平面直角坐标系.把相关向量坐
5、标化.用向量的坐标运算找出相应关系.把 几何问题向量化. 跟踪训练 1 已知 O，A，B 是平面上不共线的三点，直线 AB 上有一点 C，满足 2AC CB 0， (1)用OA ，OB 表示OC ； (2)若点 D 是 OB 的中点，证明四边形 OCAD 是梯形. (1)解 因为 2AC CB0， 所以 2(OC OA )(OB OC )0， 2OC 2OA OB OC 0， 所以OC 2OA OB . (2)证明 如图，DA DO OA 1 2OB OA 1 2(2OA OB ). 故DA 1 2OC .即 DAOC，且 DAOC，故四边形 OCAD 为梯形. 二、利用向量解决平面几何求值问
6、题 例 2 如图，已知|p|2 2，|q|3，p，q 的夹角为 4，若AB 5p2q，ACp3q，D 为 BC 的中点，则|AD |_. 答案 15 2 解析 由题意知 2AD AB AC， 因为AB 5p2q，ACp3q， 所以 2AD AB AC6pq， 所以 2|AD |6pq| 362 22122 23cos 43 215，所以|AD|15 2 . 反思感悟 (1)用向量法求长度的策略 根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2a2求解. 建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若 a(x，y)，则|a| x2y2. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 几何法：
7、选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表 示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. 坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等 问题转化为代数运算. 跟踪训练 2 在ABC 中， 已知 A(4,1)， B(7,5)， C(4,7)， 则 BC 边上的中线 AD 的长是( ) A.2 5 B.5 5 2 C.3 5 D.7 5 2 答案 B 解析 BC 的中点为 D 3 2，6 ，AD 5 2，5 ， |AD |5 5 2 . 三、向量在物理中的应用 例 3 一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方
8、向与水流方向成 30角，则水流速度为_ km/h. 答案 5 3 解析 如图所示，船速|v1|5 km/h，水流速度为 v2， 实际航行方向 v 与水流方向 v2成 30 角， |v2| |v1| tan 30 5 3(km/h). 反思感悟 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型. (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解理论参数值. (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. 跟踪训练 3 一物体在力 F1(3，4)，F2(2，5)，F3(3,1)的共同作用下从点 A(1,1)移 动到点
9、 B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功为_. 答案 40 解析 F1(3，4)，F2(2，5)，F3(3,1)， 合力 FF1F2F3(8，8). 又AB (1,4)， F AB 8(1)(8)440， 即三个力的合力做的功等于40. 1.在ABC 中，若(CA CB) (CACB)0，则ABC( ) A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 答案 C 解析 (CA CB) (CACB)CA2CB20，即|CA|CB|，CACB，则ABC 是等腰三 角形. 2.已知 A，B，C，D 四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形
10、为( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案 A 解析 AB (3,3)，CD (2，2)， AB 3 2CD ，AB 与CD 共线. 又|AB |CD |，该四边形为梯形. 3.当两人提起重量为|G|的旅行包时， 两人用力方向的夹角为 ， 用力大小都为|F|， 若|F|G|， 则 的值为( ) A.30 B.60 C.90 D.120 答案 D 解析 作OA F1，OB F2，OC G(图略)， 则OC OA OB ， 当|F1|F2|G|时，OAC 为正三角形， 所以AOC60 ，从而AOB120 . 4.在ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD 1 3AB 1 2AC
11、 ，则SABD SABC等于( ) A.2 3 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 2 答案 D 解析 因为AD 1 3AB 1 2AC ，所以点 D 在 AB 边的中位线上，从而有 S ABD1 2SABC. 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0,0)，B(1,1)， 则AB AC_. 答案 1 解析 由已知得 A(1,0)，C(0,1)， 所以AB (0,1)，AC(1,1). 所以AB AC1. 1.知识清单： (1)平面几何中的向量方法. (2)向量在物理中的应用. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：要注意选择恰当的基底.
