1、 1 2020 届华美高三届华美高三 4 月份网上考试文数试题月份网上考试文数试题 第卷 选择题（60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1集合， ，则（ ） A B C D 2设复数满足，则在复平面内的对应点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量,则的充要条件是 （ ） A B C D 4设是等差数列 的前 n 项和，则（ ） A2 B3 C5 D7 5如图所示，在平行六面体中， 设，是的中点， 试用，表示（ ） A B C D 6在条件下，目标函数 的最大值为 40，
2、 则的最小值是（ ） A B C D2 7若双曲线（，）的一条渐近线被圆 所截 |1Ay yx 2 |20Bx xx AB 2,)0,11,20,2 z 11 7i zi z (1,2),(2,1)axb ab 1 2 x 1x5x 0x n S n a 19 95S 71013 aaa 1111 ABCDABC D 1 AAa ABbADc NBC abc 1 AN 1 2 abc abc 1 2 abc 1 2 abc 260 20 2 xy xy xy 0,0zaxby ab 51 ab 7 4 9 4 5 2 C: 22 22 1 xy ab 0a0b 2 2 24xy 2 得的弦长为
3、 2，则的离心率为 （ ） A2 B C D 8某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位： 万元）如图 2 所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ） A B C D 9“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，并作为计 算圆的周长、 面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形， 并由此而求得了圆周率为 3.1415 和 3.1416 这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率 计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学 利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在 正
4、六边形内的频率为 0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周 率近似值为（ ） （参考数据：） A3.1419 B3.1417 C3.1415 D3.1413 10用二分法求函数零点的近似值时，如果确定零点所处的初始区 间为，那么的取值范围为（ ） A B C D 11已知函数，下列结论中不正确的是（ ） C 32 2 3 3 6.25%7.5%10.25%31.25% 3 2.0946 0.8269 2 log2f xxax 1 1 ( , ) 4 2 a ,2 5 ( ,) 2 5 2, 2 5 (,2)( ,) 2 ( )cos sin2f xxx 3 A的图象关于点 中心对称 B的图象
5、关于直线对称 C的最大值为 D既是奇函数，又是周期函数 12 已知是函数 的零点，是函数的 零点，且满足，则实数的最小值是（ ）. A-1 B C D 第卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_ 14已知数列满足 ， ，则_ 15图是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图， 已知图中从左向右第一组的频数为 4000.在样本中记月收入（单位：元）在， ，的人数依次为 ，.图是统计月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则输出的 _.（用数字作答） 16正方体的棱长为
6、 2, 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意 两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时, ( )yf x,0( )yf x 2 x ( )yf x 3 2 ( )yf x 1 x 1 ln2f xxx 2 x 2 244g xxaxa 12 1xxa 1 2 222 222 22 1 45 xy n a 1 1 2 nn n aa 1 1a n a 1000,1500 1500,20002000,25002500,3000 3000,35003500,4000 1 A 2 A 6 A S 1111 ABCDABC D MN PMN 4 的取值范围是_. 三、解答题
7、：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （12 分）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆 所 在的平面，且 （）若为线段的中点，求证平面； （）求三棱锥体积的最大值； （）若，点在线段上， 求的最小值 18（12 分）在中，内角，所对的边分别为， ， 已知. （1）求角的大小； （2）若的面积，且，求. 19 （12 分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近个月广告投 入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表： PM PN ABOCO ,A B 1 DACC D PABC 2BC EPB CEOE ABCABC
8、a b c 2222 coscosbcaacCcA A ABC 25 3 4 ABC S5a sinsinBC 6 x y 5 月份 广告投入量 收益 他们分别用两种模型，分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行 残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值： （）根据残差图，比较模型，的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； （）残差绝对值大于的数据被认为是异常数据，需要剔除： （）剔除异常数据后求出（）中所选模型的回归方程； （）若广告投入量时，该模型收益的预报值是多少？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截 距的最小二乘估计分别为：，. 20 （12 分）已知点是椭圆的右焦点，点， 分
9、别 123456 24681012 14.2120.3131.831.1837.8344.67 ybxa bx yae x y 6 1 ii i x y 6 2 1 i i x 7301464.24364 2 18x 11 ( ,)x y 22 (,)xy(,) nn xy ybxa $ 1 2 1 ()() () n ii i n i i xx yy b xx 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy xnx aybx $ F 2 2 2 1(0) 1 x ya a ( ,0)M m(0, )Nn 6 是轴，轴上的动点，且满足.若点满足（为坐标原 点） （）求点的轨迹的方程；
10、（）设过点任作一直线与点的轨迹交于，两点，直线，与直线分 别交于点，试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由 21 （12 分）已知函数. 求的最小值. 若.求证：存在唯一的极大值点，且 选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系中，曲线：(为参数，实数)，曲线： (为参数， 实数).在以为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 射线（，） 与交于，两点， 与交于， 两点， 当 时，；当时，. (1) 求，的值； (2) 求 的最大值. 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数. （1）求不等
11、式的解集； （2）记的最大值为 m，且正实数 a，b 满足，求的最小值. 2020 届华美高三届华美高三 4 4 月份网上考试文数答题卡月份网上考试文数答题卡 满分满分 150150 分，考试用时分，考试用时 120120分钟分钟 命题人：刘金华命题人：刘金华 x y 0MN NF P 2OMONPO O PC FPABOAOB xa STSTF lng xxx 1 g x 2 2 f xxxg x f x 0 x 22 0 2ef x xOy 1 C cos sin xaa ya ， ， 0a 2 C cos , sin xb ybb 0bO x : l 00 2 1 C OA 2 C OB
12、0 | 2OA 2 | 4OB a b 2 2|OAOA OB ( ) |1|2|f xxx 1f x f x 11 22 m abab ab 7 班级：班级： 姓名：姓名： 座位号：座位号： 得分：得分： 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.解： 18. 解： 8 19.
13、解： 20.解： 9 21. 解： 10 22 23. 解： 11 2020 届华美高三届华美高三 4 4 月份网上考试文数试题答案月份网上考试文数试题答案 1D 2C 3D 12 4C 【解析】 ， .本题选择 C 选项. 5A 【解析】是的中点， .故选：A. 6B 【解析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知： 当时，有最大值为， 即， 故. . 当，即时等号成立. 故选：. 7A 【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为 ，圆心到渐近线距离为，则点到直线 的距离为， 即， 整理可得， 双曲线的离心率故选 A 8A 【解析】水费开支占总开支的百分比为.故选：A 119 1911
14、9 19() 95,95,10 2 aa Saa 119 7101371310119 () ()()5 2 aa aaaaaaaa NQBC 11 111 222 ANA AABBNabBCabADabc 8,10xy 810zab4081040zab4520ab 51151125419 4525252 100 2020204 ba ab ababab 254ba ab 104 , 33 abB 22 22 10,0 xy ab ab 0bxay2,0 22 213d 2,0 0bxay 22 202 3 bab d c ab 22 2 4() 3 ca c 22 4ca 2 2 42 c e
15、 a 250 20%6.25% 250450 100 13 9A 【解析】设圆的半径为，则圆的面积为，正六边形的面积为 ，因而所求该实验的概率为，则 .故选 A 10C【解析】由零点存在性定理，可知， 即，解得 11C 【解析】对于 A 中，因为， 则，所以， 可得的图象关于中心对称，故 A 正确； 对于 B，因为， ，所以， 可得的图象关于直线对称，故 B 正确； 对于 C，化简得， 令， 因为的导数， 所以当或时，函数为减函数； 当时，函数为增函数， 因此函数的最大值为或时的函数值，结合 ， r 2 r 2 133 3 6 222 rrr 2 2 3 3 3 3 2 0.8269 2 r
16、r 3 3 3.1419 2 0.8269 0 2 1 4 1 ff 02 2 5 2 1 2 2 1 log 4 1 2 4 1 log 22 aaaa 2 5 2 a 22fxcosxsinxcosxsin x （）（）（） 22fxcosx sinxcosxsin x 0fxfx（） （） yf x （ ） 0（ ， ） 22sin2 222 fxcosxsinxsinxsin xxsin x （）（）（）（） cossin2sin sin2 222 fxxxxx （）（）（） 22 fxfx （） （） yf x （ ） 2 x 22 2221f xcosxsin xcos xsinx
17、sinxsin x（ ）（） tsinx 2 2 1f xg ttt（ ） （） （）11t 2 2 1g ttt（） （） 2 262 1313g tttt （）（） 3 1, 3 t 3 ,1 3 t 0g t g t 33 , 33 t 0g t g t g t1t 3 3 t 34 3 10 39 gg 14 可得的最大值为，由此可得 f(x)的最大值为，而不是，所以不正确； 对于 D， 因为， 所以是奇函数， 因为， 所以为函数的一个周期，得的一个周期，得为周期函数， 可得既是奇函数，又是周期函数，所以正确，故选 C. 12A 【解析】因为， 所以当 时，当时， 所以在上递减， 在上
18、递增， 所以， 所以 ， 又因为，所以， 因为对应的，且有零点， （1）当时，或， 所以，所以，所以， （2）当时，或， 此时，所以， 综上可知：，所以. 故选：A. 13 【解析】 由双曲线的相关性质可知， 双曲线的焦点为， 顶点为 ， 所以椭圆的顶点为，焦点为， 因为，所以椭圆的方程为，故答案为。 g t 4 3 9 4 3 9 3 2 sin2sin2fxcosxxcosxxf x f x 2cos 2sin 42sin2fxxxcosxxf x 2 f x f x f x f x 11 12, 22 x fxx xx 2, 1x ( ) 0fx f x2, 11, min 10f xf
19、 1 1x 12 1xx 2 20x 2 244g xxaxa 2 444aa g x 2 4440aa 22 2a 22 2a 20 00 20 g g a 880 440 20 a a a 122 2a 2 4440aa 22 2a 22 2a 2 2,0xa 22 2a 12 2 2a min 1a 22 1 95 xy 22 :1 45 xy C-= ( 3,0)( 2 0)? ( 3,0)( 2 0)? 222 5bac=-= 22 1 95 xy 22 1 95 xy 15 14 【解析】 即答案为. 15 6000 【解析】 因为月收入在的频率为， 且有 4000 人， 则样本的
20、容量， 由图知输出的， 故答案为：6000. 16 【解析】连接，如下图所示： 设球心为,则当弦的长度最大时，为球的直径， 由向量线性运算可知 正方体的棱长为 2，则球的半径为 1， 1 2 1 2n 1 1 , 2 nn n aa 1 1a 121321nnn aaaaaaaa 21 1 1 1 2 1111 12 1 1 2222 1 2 n n n 1 2 1 2n 1000,15000.0008 5000.4 4000 10000 0.4 n 1 SA 2 A 6 1000040006 00.0A 0,2 PO OMNMN OMPM PNPOPOON 2 POPO OOMONPOM O
21、N 2 POPOONOM ONOM 1111 ABCDABC D 0,1OMOONOMN 16 所以， 而 所以， 即 故答案为：. 17 （）详见解析； （）； （） 【解析】 （）在中，因为，为的中点， 所以又垂直于圆所在的平面，所以 因为，所以平面 （）因为点在圆上， 所以当时，到的距离最大，且最大值为 又，所以面积的最大值为 又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为 （）在中，所以 同理，所以 在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如 图所示当，共线时，取得最小值 又因为，所以垂直平分， 即为中点从而， 亦即的最小值为 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积 2 OM
22、POPOONONOM 2 1PO 1, 3PO 2 10,2PO 0,2PM PN 0,2 1 3 26 2 CCDC CD C DC D C CC1 2 C 1 2 11 2 C1C 11 1 1 33 190 22 112 C2 CC CC C CC CCC 2626 222 CC C 26 2 17 18 （）； （） . 【解析】 （）因为，所以由 ， 即，由正弦定理得， 即， ，即， ，. （） ， ， ，即， . 19 （1）应该选择模型，理由见解析（2） （）（） 【解析】 （）应该选择模型，因为模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明 模型拟合精度越高，回归方程的预报精度
23、越高. （） （）剔除异常数据，即月份为的数据后，得 ； . ； . ； ， 所以关于的线性回归方程为：. （）把代入回归方程得：，故预报值约为万元. 3 A 3 2222 coscosbcaacCcA 2 2coscoscosbcAacCcA 2 coscoscosbAaCcA2sin cossin cossin cosBAACCA 2sin cossinBAA CsinsinsinA CBB 2sin cossinBABsin2cos10BA 0Bsin0B 1 cos 2 A 0A 3 A 1325 3 sin 244 ABC SbcAbc 25bc 22222 251 cos 22 2
24、52 bcabc A bc 22 50bc 2 502 25100bc 10bc sinsin sinsin AA BCbc aa 3 sin 2 103 5 A bc a 38.04yx62.04 3 1 7 667.2 5 x 1 30 631.829.64 5 y 5 1 1464.246 31.81273.44 ii i x y 5 2 2 1 3646328 i i x 5 1 5 22 1 ii i i i x ynxy b xnx 1273.445 7.2 29.64 3285 7.2 7.2 206.4 3 68.8 29.643 7.28.04 a ybx y x38.04
25、y x 18x 3 188.046 .2 04y 62.04 18 20 （1）（2）经过 【解析】 （）椭圆右焦点的坐标为， .，由，得. 设点的坐标为，由，有， ，代入，得. 即点的轨迹的方程为. （）解法一：设直线的方程为， 则：，：. 由得，同理得. ，则. 由得，. 则.因此，以线段为直径的圆经过点. 解法二：当时，则：，：. 由，得点的坐标为，则， 由，得点的坐标为，则. 2 4yax 2 2 2 1(0) 1 x ya a F,0a ,NFan,MNm n 0MN NF 2 0nam P, x y 2OMONPO ,02 0,mnxy 2 mx y n 2 0nam 2 4yax
26、 PC 2 4yax AB xtya 2 1 1 , 4 y Ay a 2 2 2 , 4 y By a OA l 1 4a yx y OB l 2 4a yx y 1 4a yx y xa 2 1 4 , a Sa y 2 2 4 , a Ta y 2 1 4 2 , a FSa y 2 2 4 2 , a FTa y 4 2 12 16 4 a FS FTa y y 2 4 xtya yax 22 440yatya 2 12 4y ya 4 222 2 16 4440 4 a FS FTaaa a STF ABx,2A aa, 2B aa OA l2yx OB l2yx 2yx xa S,
27、 2Saa2 , 2FSaa 2yx xa T,2Taa2 ,2FTaa 19 . 当不垂直轴时，设直线 的方程为， ， 同解法一，得. 由，得，. 则. 因此，以线段为直径的圆经过点. 21； 证明见解析. 【解析】 ，. 当时，即函数在上单调递减； 当时，即函数在上单调递增. . 由知， 设，则 当时，；当时，所以在上单调 递减，在上单调递增. 又，所以在有唯一零点，在有 唯一零点 1， 且当时，； 当时， 当时， 22220FS FTaaaa AB x AB0yk xak 2 1 1 , 4 y Ay a 2 2 2 , 4 y By a 4 2 12 16 4 a FS FTa y y
28、 2 4 yk xa yax 22 440kyayka 2 12 4y ya 4 222 2 16 4440 4 a FS FTaaa a STF 1 1 e 2 1 lng xxx0x ln1gxx 1 0xe 0gx g x 1 0,e 1 xe 0g x g x 1, e 11 min g xg ee 2 1 2 lnf xxxxx 22 lnfxxx 22 lnh xxx 1 2hx x 1 0, 2 x 0h x 1 , 2 x 0h x h x 1 0, 2 1 , 2 2 0h e 1 0 2 h 10h h x 1 0, 2 0 x 1 , 2 0 0,xx 0h x 0,1
29、xx 0h x 1,x 20 . 因为，所以是的唯一极大值点 . 由得，故 . 由得 ， 由，可知， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 综上所述，存在唯一的极大值点，且. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，转化思想，属于难题. 22(1)，；(2) 【解析】(1)由曲线：（为参数，实数） ， 化为普通方程为，展开可得， 所以其极坐标方程为，即， 由题意可得当时，所以. 曲线：(为参数，实数)， 化为普通方程为，展开可得, 所以其极坐标方程为，即， 由题意可得当时，所以. (2)由(1)可得，的极坐标方程分别为 ，. 所以 0h x fxh x 0 xx f x
30、 0 0fx 00 ln21xx 000 1f xxx 0 0,1x 0 1 4 fx 1 0fe 1 0 1 2 xe f x 0 0,x 1 0, x e 12 0 f xf ee f x 0 x 22 0 2ef x 1a 2b 4 24 1 C cos , sin xaa ya 0a 222 ()xaya 22 20xyax 2 2cos0a 2 cosa 02OA 1a 2 C cos , sin xb ybb 0b 222 ()xybb 22 20xyby 2 2sin0-b 2 sinb 2 4OB2b 1 C 2 C2cos4sin 2 2|OAOA OB 2 8cos8sin
31、cos4sin24cos24 21 ， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值. 23 （1）； （2） 【解析】 （1）当时，恒成立， 当时，解得， 当时，不成立，无解， 综上，原不等式的解集为 （2）由（1）， ，当且仅当，即时等号成立， 的最小值是 4 2sin 24 4 0 2 5 2, 444 2 42 8 2 2|OAOA OB 4 24 1,) 4 9 2x ( )1 (2)31f xxx 2x 12x ( )1221 1f xxxx 12x 1x ( )(1)231f xxx 1,) 3m 11 3 22abab 111 (2 )(2)() 922 ababab abab 122 (2) 922 abab abab 122 (22) 922 abab ab ab 4 9 22 22 abab abab 2 9 ab a b 4 9
