1、2018-2019 学年吉林省第二实验学校八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）点（1，2）关于原点的对称点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （2，1） 2 （3 分）在 RtABC 中，C90，AB13，AC12，则 sinB 的值是（ ） A B C D 3 （3 分）下列选项中，矩形具有的性质是（ ） A四边相等 B对角线互相垂直 C对角线相等 D每条对角线平分一组对角 4 （3 分）河堤横断面如图所示，斜坡 AB 的坡度1：，BC5 米，则 AC 的长是（ ） 米 A5
2、B5 C15 D10 5 （3 分）已知点 A（1，y1） ，B（2，y2）在抛物线 y（x+1）2+2 上，则下列结论正确 的是（ ） A2y1y2 B2y2y1 Cy1y22 Dy2y12 6 （3 分）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛 36 场设有 x 个队参赛，根据题意，可列方程为（ ） Ax（x1）36 Bx（x+1）36 Cx（x1）36 Dx（x+1）36 7 （3 分） 九章算术记载“今有邑方不知大小，各中开门出北门三十步有木，出西门 七百五十步见木问邑方有几何？”意思是：如图，点 M、点 N 分别是正方形 ABCD 的 边 AD、AB 的中点，MEAD
3、，NFAB，EF 过点 A，且 ME30 步，NF750 步，则正 第 2 页（共 26 页） 方形的边长为（ ） A150 步 B200 步 C250 步 D300 步 8 （3 分）如图，点 A（m，5） ，B（n，2）是抛物线 C1：yx22x+3 上的两点，将抛物 线 C1向左平移，得到抛物线 C2，点 A，B 的对应点分别为点 A，B若曲线段 AB 扫过 的面积为 9（图中的阴影部分） ，则抛物线 C2的解析式是（ ） Ay（x5）2+1 By（x2）2+4 Cy（x+1）2+1 Dy（x+2）22 二、填空題（本題共二、填空題（本題共 6 小題，每小题小題，每小题 3 分，共分，共
4、 18 分）分） 9 （3 分）若二次函数 yax2+bx 的图象开口向下，则 a 可以为 （写出一个即可） 10 （3 分）二次函数 yax2+bx+c 的函数值 y 自变量 x 之间的部分对应值如表：此函数图象 的对称轴为 x 1 0 1 4 y 4 1 4 1 11 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，BC5，若 DEAC，CEBD， 则 OE 的长为 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 与DEF 位似，原点 O 是位似中心， 第 3 页（共 26 页） ，若 AB1.5，则 DE 13 （3 分）如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形
5、ABCD 内，装饰图中的三角 形顶点 E，F 分别在边 AB，BC 上，三角形的边 GD 在边 AD 上，若图 1 正方形中 MN 1，则 CD 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴负半轴上，顶点 B 在 x 轴正半轴上 若抛物线 pax210ax+8 （a0） 经过点 C、 D， 则点 B 的坐标为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15 （5 分）计算：4cos30（2）0+（） 1 16 （5 分）解方程：x2x10 17 （6 分）如图 1，在 66 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个
6、小正方形 的顶点叫做格点ABC 的顶点在格点上点 D 是 BC 的中点，连接 AD （1）在图 2、图 3 两个网格图中各画出一个与ABC 相似的三角形，要求所画三角形的 顶点在格点上，相似比各不相同，且与ABC 的相似比不为 1； （2）tanCAD 第 4 页（共 26 页） 18 （7 分）新定义：a，b，c为二次函数 yax2+bx+c（a0，a，b，c 为实数）的“图象 数” ，如：yx2+2x+3 的“图象数”为1，2，3 （1）二次函数 yx2x1 的“图象数”为 （2）若“图象数”是m，m+1，m+1的次函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值 19 （8 分）如图，在A
7、BC 中，ABAC，D 为 BC 中点，AEBD，且 AEBD （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）连接 CE 交 AB 于点 F，若 BE2，AE2，求 EF 的长 20 （8 分）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 78m，从甲的顶部 A 处测得乙的顶 部 D 处的俯角为 48，测得底部 C 处的俯角为 58，求乙建筑物的高度 CD （结果取整数，参考数据：tan581.60，tan481.11） 21 （8 分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G 等为代表的战略性 新兴产业，据统计，目前广东 5G 基站的数量约 1.5 万座，计划到 2020 年底
8、，全省 5G 基 站数是目前的 4 倍，到 2022 年底，全省 5G 基站数量将达到 17.34 万座 （1）计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是多少万座？ 第 5 页（共 26 页） （2）按照计划，求 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率 22 （9 分） 【感知】如图在等边ABC 和等边ADE 中，连接 BD，CE，易证：ABD ACE； 【探究】如图ABC 与ADE 中，BACDAE，ABCADE，求证：ABD ACE； 【应用】如图，点 A 的坐标为（0，6） ，ABBO，ABO120，点 C 在 x 轴上运 动，在坐标平面内作点 D，使
9、 ADCD，ADC120，连结 OD，则 OD 的最小值 为 23 （10 分）抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1，该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A 和 B，与 y 轴的交点为 C，其中 A（1，0） （1）写出 B 点的坐标 ； （2）求抛物线的函数解析式； （3）若抛物线上存在一点 P，使得POC 的面积是BOC 的面积的 2 倍，求点 P 的坐 标； （4）点 M 是线段 BC 上一点，过点 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 D，求线段 MD 长度 的最大值 24 （12 分）如图，在ABC 中，ACB90，AC8，BC6CDAB 于点 D点 P 从点 A 出发，以每秒
10、 1 个单位长度的速度沿线段 AB 向终点 B 运动在运动过程中，以 第 6 页（共 26 页） 点 P 为顶点作长为 2，宽为 1 的矩形 PQMN，其中 PQ2，PN1，点 Q 在点 P 的左侧， MN 在 PQ 的下分，且 PQ 总保持与 AC 垂直设 P 的运动时间为 t（秒） （t0） ，矩形 PQMN 与ACD 的重叠部分图形面积为 S（平方单位） （1）求线段 CD 的长； （2）当矩形 PQMN 与线段 CD 有公共点时，求 t 的取值范围； （3）当点 P 在线段 AD 上运动时，求 S 与 t 的函数关系式 第 7 页（共 26 页） 2018-2019 学年吉林省第二实验
11、学校八年级（下）期末数学试卷学年吉林省第二实验学校八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）点（1，2）关于原点的对称点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （2，1） 【分析】坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x，y） ，即关于原点的 对称点，横纵坐标都变成相反数 【解答】解：根据中心对称的性质，得点（1，2）关于原点的对称点的坐标为（1， 2） 故选：B 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的
12、对称点，横纵坐标都变成相 反数 2 （3 分）在 RtABC 中，C90，AB13，AC12，则 sinB 的值是（ ） A B C D 【分析】根据题意在 RtABC 中，C90，AB13，AC12，直接运用三角函数的 定义求解 【解答】解：AB13，AC12 sinB 故选：B 【点评】本题主要考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是画出图形便可 直观解答 3 （3 分）下列选项中，矩形具有的性质是（ ） A四边相等 B对角线互相垂直 C对角线相等 第 8 页（共 26 页） D每条对角线平分一组对角 【分析】根据矩形的性质可判断 【解答】解：矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且
13、相等， 选项 C 正确 故选：C 【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键 4 （3 分）河堤横断面如图所示，斜坡 AB 的坡度1：，BC5 米，则 AC 的长是（ ） 米 A5 B5 C15 D10 【分析】RtABC 中，已知坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比，通过解直角 三角形即可求出水平宽度 AC 的长 【解答】解：RtABC 中，BC5 米，tanA1：； tanA， ACBCtanA55米， 故选：A 【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，解题的关键是熟 练掌握坡度的定义，此题难度不大 5 （3 分）已知点 A（1，y1）
14、 ，B（2，y2）在抛物线 y（x+1）2+2 上，则下列结论正确 的是（ ） A2y1y2 B2y2y1 Cy1y22 Dy2y12 【分析】分别计算自变量为 1 和 2 对应的函数值，然后对各选项进行判断 【解答】解：当 x1 时，y1（x+1）2+2（1+1）2+22； 当 x2 时，y2（x+1）2+2（2+1）2+27； 所以 y2y12 故选：D 第 9 页（共 26 页） 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其 解析式 6 （3 分）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛 36 场设有 x 个队参赛，根据题意，可列方程为（
15、） Ax（x1）36 Bx（x+1）36 Cx（x1）36 Dx（x+1）36 【分析】关系式为：球队总数每支球队需赛的场数236，把相关数值代入即可 【解答】解：设有 x 个队参赛，根据题意，可列方程为： x（x1）36， 故选：A 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场 数的等量关系，注意 2 队之间的比赛只有 1 场，最后的总场数应除以 2 7 （3 分） 九章算术记载“今有邑方不知大小，各中开门出北门三十步有木，出西门 七百五十步见木问邑方有几何？”意思是：如图，点 M、点 N 分别是正方形 ABCD 的 边 AD、AB 的中点，MEAD，NFAB
16、，EF 过点 A，且 ME30 步，NF750 步，则正 方形的边长为（ ） A150 步 B200 步 C250 步 D300 步 【分析】根据题意，可知 RtAENRtFAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可 以求得正方形的边长 【解答】解：设正方形的边长为 x 步， 点 M、点 N 分别是正方形 ABCD 的边 AD、AB 的中点， AMAD，ANAB， AMAN， 由题意可得，RtAEMRtFAN， ， 第 10 页（共 26 页） 即 AM23075022500， 解得：AM150， AD2AM300 步； 故选：D 【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本
17、题的关键是明 确题意利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答 8 （3 分）如图，点 A（m，5） ，B（n，2）是抛物线 C1：yx22x+3 上的两点，将抛物 线 C1向左平移，得到抛物线 C2，点 A，B 的对应点分别为点 A，B若曲线段 AB 扫过 的面积为 9（图中的阴影部分） ，则抛物线 C2的解析式是（ ） Ay（x5）2+1 By（x2）2+4 Cy（x+1）2+1 Dy（x+2）22 【分析】由题意知，图中阴影部分的面积是平行四边形的面积，根据点 A、B 的坐标求得 该平行四边形的一高为 3， 结合平行四边形的面积公式求得底边长为 3， 即平移距离是 3， 结合平移规律解答
18、【解答】解：yx22x+3（x2）2+1 曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中的阴影部分） ，点 A（m，5） ，B（n，2） 3BB9， BB3， 即将函数 y （x2） 2+1 的图象沿 x 轴向左平移 3 个单位长度得到一条新函数的图象， 新图象的函数表达式是 y（x+1）2+1 故选：C 【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根 据已知得出线段 BB的长度是解题关键 第 11 页（共 26 页） 二、填空題（本題共二、填空題（本題共 6 小題，每小题小題，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）若二次函数 yax2+bx 的图象开口向
19、下，则 a 可以为 1 （写出一个即可） 【分析】图象开口向下，a0 可确定 a 的值 【解答】解：图象开口向下，a0， a1， （答案不唯一） 故答案为：1 【点评】本题考查了二次函数的性质，注意二次函数图象开口方向与系数 a 的关系 10 （3 分）二次函数 yax2+bx+c 的函数值 y 自变量 x 之间的部分对应值如表：此函数图象 的对称轴为 直线 x2 x 1 0 1 4 y 4 1 4 1 【分析】根据抛物线的对称性，x0、x4 时的函数值相等，然后列式计算即可得解 【解答】解：x0、x4 时的函数值都是1 相等， 此函数图象的对称轴为直线 x2， 即直线 x2 故答案为：直线
20、x2 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数图象的对称性 11 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，BC5，若 DEAC，CEBD， 则 OE 的长为 5 【分析】由菱形的性质可得 BCCD5，ACBD，由题意可证四边形 ODEC 是矩形， 可得 OECD5 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， BCCD5，ACBD， DEAC，CEBD， 四边形 ODEC 是平行四边形，且 ACBD， 第 12 页（共 26 页） 四边形 ODEC 是矩形， OECD5 故答案为 5 【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，证明四边形 ODEC 是矩形是解题
21、 的关键 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 与DEF 位似，原点 O 是位似中心， ，若 AB1.5，则 DE 4.5 【分析】利用位似的性质得，然后利用比例的性质计算 DE 的长 【解答】解：ABC 与DEF 位似，原点 O 是位似中心， ， ， ， ， DE31.54.5 故答案为 4.5 【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相 交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 13 （3 分）如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形 ABCD 内，装饰图中的三角 形顶点 E，F 分别在边 AB，BC
22、 上，三角形的边 GD 在边 AD 上，若图 1 正方形中 MN 1，则 CD 第 13 页（共 26 页） 【分析】根据七巧板中图形分别是等腰直角三角形和正方形计算 PH 的长，即 FF的长， 作高线 GG，根据直角三角形斜边中线的性质可得 GG的长，即 AE 的长，可得结论 【解答】解：四边形 MNQK 是正方形，且 MN1， MNK45， RtMNO 中，OMON， NLPLOL， PN， NQ1， PQ1， PQH 是等腰直角三角形， PHFFBE， 过 G 作 GGEF， GGAEMN， CDABAE+BE+ 故答案为： 【点评】本题主要考查了正方形的性质、七巧板、等腰直角三角形的性
23、质及勾股定理等 知识熟悉七巧板是由七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两 块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形） 、一块正方形和一块平行四边 第 14 页（共 26 页） 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴负半轴上，顶点 B 在 x 轴正半轴上若抛物线 pax210ax+8（a0）经过点 C、D，则点 B 的坐标为 （4， 0） 【分析】根据抛物线 pax210ax+8（a0）经过点 C、D 和二次函数图象具有对称性， 可以求得该抛物线的对称轴和 CD 的长， 然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得 AO 的 长，从而可以求
24、得 OB 的长，进而写出点 B 的坐标 【解答】解：抛物线 pax210ax+8a（x5）225a+8， 该抛物线的顶点的横坐标是 x5，当 x0 时，y8， 点 D 的坐标为： （0，8） ， OD8， 抛物线 pax210ax+8（a0）经过点 C、D，CDABx 轴， CD5210， AD10， AOD90，OD8，AD10， AO6， AB10， OB10AO1064， 点 B 的坐标为（4，0） ， 故答案为： （4，0） 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答 本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答 三、解答题（本题共三、
25、解答题（本题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15 （5 分）计算：4cos30（2）0+（） 1 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值进而化简 第 15 页（共 26 页） 得出答案 【解答】解：原式421+3 221+3 2 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 16 （5 分）解方程：x2x10 【分析】找出 a，b，c 的值，计算出根的判别式的值大于 0，代入求根公式即可求出值 【解答】解：这里 a1，b，c1， 2+46， x 【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键 17 （6 分）如图 1，
26、在 66 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形 的顶点叫做格点ABC 的顶点在格点上点 D 是 BC 的中点，连接 AD （1）在图 2、图 3 两个网格图中各画出一个与ABC 相似的三角形，要求所画三角形的 顶点在格点上，相似比各不相同，且与ABC 的相似比不为 1； （2）tanCAD 【分析】 （1）利用相似三角形的性质得出相似比为以及的三角形即可； （2）利用勾股定理结合锐角三角函数关系求出即可 【解答】解： （1）如图所示：EFM 和ABC即为所求； （2）DC，AC2， tanCAD 第 16 页（共 26 页） 故答案为： 【点评】本题主要考查了相似变换以及相
27、似三角形的性质，利用相似三角形的判定方法 得出是解题关键 18 （7 分）新定义：a，b，c为二次函数 yax2+bx+c（a0，a，b，c 为实数）的“图象 数” ，如：yx2+2x+3 的“图象数”为1，2，3 （1）二次函数 yx2x1 的“图象数”为 ，1，1 （2）若“图象数”是m，m+1，m+1的次函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值 【分析】 （1）利用“图象数”的定义求解； （2）根据新定义得到二次函数的解析式为 ymx2+（m+1）x+m+1，然后根据判别式的 意义得到（m+1）24m（m+1）0，从而解 m 的方程即可 【解答】解： （1）二次函数 yx2x1 的
28、“图象数”为，1，1； 故答案为，1，1； （2）二次函数的解析式为 ymx2+（m+1）x+m+1， 根据题意得（m+1）24m（m+1）0， 解得 m11，m2 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程 19 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，AEBD，且 AEBD （1）求证：四边形 AEBD 是矩形； （2）连接 CE 交 AB 于点 F，若 BE2，AE2，求 EF 的长 第 17 页（共 26 页） 【分析】 （1）根据有一个角是直角的平
29、行四边形是矩形即可判断 （2）证明AEFBCF，推出，由此即可解决问题 【解答】 （1）证明：AEBD，AEBD， 四边形 AEBD 是平行四边形， ABAC，D 为 BC 的中点， ADBC， ADB90， 四边形 AEBD 是矩形 （2）解：四边形 AEBD 是矩形， AEB90， AE2，BE2， BC4， EC2， AEBC， AEFBCF， ， EFEC 【点评】本题考查了矩形的判定和性质相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 20 （8 分）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 78m，从甲的顶部 A 处测得乙的顶 部 D 处的俯角为
30、48，测得底部 C 处的俯角为 58，求乙建筑物的高度 CD （结果取整数，参考数据：tan581.60，tan481.11） 第 18 页（共 26 页） 【分析】作 AECD 交 CD 的延长线于点 E，根据正切的定义分别求出 CE、DE，结合图 形计算即可 【解答】解：如图，作 AECD 交 CD 的延长线于点 E，则四边形 ABCE 是矩形， AEBC78m， 在 RtACE 中，tanCAE， CEAEtan58781.60124.8（m） 在 RtADE 中，tanDAE， DEAEtan48781.1186.58（m） CDCEDE124.886.5838（m） 答：乙建筑物的高
31、度 CD 约为 38m 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟 记锐角三角函数的定义是解题的关键 21 （8 分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G 等为代表的战略性 新兴产业，据统计，目前广东 5G 基站的数量约 1.5 万座，计划到 2020 年底，全省 5G 基 站数是目前的 4 倍，到 2022 年底，全省 5G 基站数量将达到 17.34 万座 （1）计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是多少万座？ （2）按照计划，求 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率 第 19 页（共 26 页）
32、 【分析】 （1）2020 年全省 5G 基站的数量目前广东 5G 基站的数量4，即可求出结论； （2）设 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 x，根据 2020 年底 及 2022 年底全省 5G 基站数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得 出结论 【解答】解： （1）1.546（万座） 答：计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是 6 万座 （2）设 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 x， 依题意，得：6（1+x）217.34， 解得：x10.770%，x22.7（舍去） 答：2020 年
33、底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 70% 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解 题的关键 22 （9 分） 【感知】如图在等边ABC 和等边ADE 中，连接 BD，CE，易证：ABD ACE； 【探究】如图ABC 与ADE 中，BACDAE，ABCADE，求证：ABD ACE； 【应用】如图，点 A 的坐标为（0，6） ，ABBO，ABO120，点 C 在 x 轴上运 动，在坐标平面内作点 D，使 ADCD，ADC120，连结 OD，则 OD 的最小值为 【分析】探究：由DAEBAC，推出，可得，由此即可解决问题 应用：先判定A
34、BOADC，得出，再根据BADOAC，得出ACO ADB，进而得到ABDAOC90，得到当 ODBE 时，OD 最小，最后过 O 作 OFBD 于 F，根据OBF30，求得 OFOB，即 OD 最小值为；作 B 关 于 y 轴的对称点 B，则同理可得 OD 最小值为 第 20 页（共 26 页） 【解答】解：探究：如图中， BACDAE，ABCADE， DAEBAC，DABEAC， ， ， ABDACE 应用：当点 D 在 AC 的下方时，如图1 中，作直线 BD，由DACDCA BAOBOA30，可得ABOADC， ，即， 又BADOAC， ACOADB， ABDAOC90， 当 ODBE
35、时，OD 最小， 过 O 作 OFBD 于 F，则BOF 为 Rt， A 点的坐标是（0，6） ，ABBO，ABO120， 易得 OB2， 第 21 页（共 26 页） ABO120，ABD90， OBF30， OFOB， 即 OD 最小值为； 当点 D 在 AC 的上方选，如图2 中，作 B 关于 y 轴的对称点 B，作直线 DB，则同 理可得：ACOADB， ABDAOC90， 当 ODBE 时，OD 最小， 过 O 作 OFBD 于 F，则BOF为 Rt， A 点的坐标是（0，6） ，ABBO，ABO120， 易得 OB2， ABO120，ABD90， OBF30， OFOB， 即 OD
36、 最小值为 故答案为： 【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、含 30角的直角三 角形的性质的综合应用， 解决问题的关键是作辅助线， 利用垂线段最短进行判断分析 解 题时注意：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半 23 （10 分）抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1，该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A 和 B，与 y 轴的交点为 C，其中 A（1，0） （1）写出 B 点的坐标 （3，0） ； 第 22 页（共 26 页） （2）求抛物线的函数解析式； （3）若抛物线上存在一点 P，使得POC 的面积是BOC 的面积的 2 倍，求点 P 的坐
37、标； （4）点 M 是线段 BC 上一点，过点 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 D，求线段 MD 长度 的最大值 【分析】 （1）函数的对称轴为：x1，点 A（1，0） ，则点 B（3，0） ； （2）用两点式函数表达式即可求解； （3）POC 的面积是BOC 的面积的 2 倍，则|xP|2OB6，即可求解； （4）MDx3（x22x3）x2+3x，即可求解 【解答】解： （1）函数的对称轴为：x1，点 A（1，0） ，则点 B（3，0） ， 故答案为（3，0） ； （2）函数的表达式为：y（x+1） （x3）x22x3； （3）POC 的面积是BOC 的面积的 2 倍，则|xP|2OB6，
38、 当 x6 时，y3612321， 当 x6 时，y36+12345， 故点 P（6，21）或（6，45） ； （4）将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为：yx3， 第 23 页（共 26 页） 设点 M（x，x3） 、点 D（x，x22x3） ， 则 MDx3（x22x3）x2+3x， 10，MD 有最大值， 当 x时，其最大值为： 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，难度 不大 24 （12 分）如图，在ABC 中，ACB90，AC8，BC6CDAB 于点 D点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 A
39、B 向终点 B 运动在运动过程中，以 点 P 为顶点作长为 2，宽为 1 的矩形 PQMN，其中 PQ2，PN1，点 Q 在点 P 的左侧， MN 在 PQ 的下分，且 PQ 总保持与 AC 垂直设 P 的运动时间为 t（秒） （t0） ，矩形 PQMN 与ACD 的重叠部分图形面积为 S（平方单位） （1）求线段 CD 的长； （2）当矩形 PQMN 与线段 CD 有公共点时，求 t 的取值范围； （3）当点 P 在线段 AD 上运动时，求 S 与 t 的函数关系式 【分析】 （1）由勾股定理得出 AB10，由ABC 的面积得出 ACBCABCD，即可得出 CD 的长； （2）分两种情形：当
40、点 N 在线段 CD 上时，如图 1 所示，利用相似三角形的性质求 第 24 页（共 26 页） 解即可当点 Q 在线段 CD 上时，如图 2 所示，利用相似三角形的性质求解即可 （3）首先求出点 Q 落在 AC 上的运动时间 t，再分三种情形：当 0t时，重叠 部分是矩形 PMYH，如图 4 所示，当t时，重合部分是矩形 PMNQ，SPQ PN2当t时，如图 5 中重叠部分是五边形 PQMJI，分别求解即可 【解答】解： （1）ACB90，AC8，BC6， AB10， SABCACBCABCD， ACBCABCD，即：8610CD， CD； （2）在 RtADC 中，AD，BDABAD10
41、， 当点 N 在线段 CD 上时，如图 1 所示： 矩形 PQMN，PQ 总保持与 AC 垂直， PNAC， NPDCAD， PDNADC， PDNADC， ，即：， 解得：PD， 第 25 页（共 26 页） tADPD， 当点 Q 在线段 CD 上时，如图 2 所示： PQ 总保持与 AC 垂直， PQBC，DPQDBC， ，即：， 解得：DP， tAD+DP+， 当矩形 PQMN 与线段 CD 有公共点时，t 的取值范围为t； （3）当 Q 在 AC 上时，如图 3 所示： PQ 总保持与 AC 垂直， PQBC，APQABC， ，即：， 解得：AP， 第 26 页（共 26 页） 当 0t时，重叠部分是矩形 PMYH，如图 4 所示： PQBC， APHABC， ，即：， PH， SPHPN； 当t时，重合部分是矩形 PMNQ，SPQPN2 当t时，如图 5 中重叠部分是五边形 PQMJI， SS矩形PNMQSJIN2 （t）1（t） t2+t 【点评】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，矩形的性质，相似三角形的判 定和性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于 中考压轴题
