2012~2018高考函数导数文科真题 教师版

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资源描述

1、 20122018 函数导数文科真题函数导数文科真题 目录目录 2018 高考真题 . 1 一选择题 . 1 二填空题 . 7 三解答题 . 12 2017 高考真题 . 23 一选择题 . 23 二填空题 . 32 三解答题 . 37 2016 高考真题 . 49 一选择题 . 49 二填空题 . 57 三解答题 . 62 2015 高考真题 . 76 一选择题 . 76 二填空题 . 86 三解答题 . 94 2014 高考真题 . 111 一选择题 . 111 二填空题 . 126 三解答题 . 138 2013 高考真题 . 162 一选择题 . 162 二填空题 . 181 三解答题

2、 . 183 2012 高考真题 . 207 一选择题 . 207 二填空题 . 219 三解答题 . 228 1 2018 高考真题高考真题 一选择题(共(共 10 小题)小题) 1 (2018新课标)设函数 f(x)=x3+(a1)x2+ax若 f(x)为奇函数,则 曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) Ay=2x By=x Cy=2x Dy=x 【解答】解:函数 f(x)=x3+(a1)x2+ax,若 f(x)为奇函数, 可得 a=1,所以函数 f(x)=x3+x,可得 f(x)=3x2+1, 曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为:1, 则曲线 y=f(x)在

3、点(0,0)处的切线方程为:y=x 故选:D 2 (2018新课标)设函数 f(x)=2 , 0 1,0 ,则满足 f(x+1)f(2x)的 x 的取值范围是( ) A (,1 B (0,+) C (1,0) D (,0) 【解答】解:函数 f(x)=2 , 0 1,0 ,的图象如图: 满足 f(x+1)f(2x) , 可得:2x0x+1 或 2xx+10, 解得 x(,0) 故选:D 2 3 (2018新课标)函数 f(x)= ; 2 的图象大致为( ) A B C D 【解答】解:函数 f(x)= ; (;)2 = ; 2 =f(x) , 则函数 f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除

4、A, 当 x=1 时,f(1)=e1 0,排除 D 当 x+时,f(x)+,排除 C, 故选:B 3 4 (2018新课标)已知 f(x)是定义域为(,+)的奇函数,满足 f(1 x)=f(1+x) ,若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=( ) A50 B0 C2 D50 【解答】解:f(x)是奇函数,且 f(1x)=f(1+x) , f(1x)=f(1+x)=f(x1) ,f(0)=0, 则 f(x+2)=f(x) ,则 f(x+4)=f(x+2)=f(x) , 即函数 f(x)是周期为 4 的周期函数, f(1)=2, f(2)=f(0)=0,f(3)=f(12

5、)=f(1)=f(1)=2, f(4)=f(0)=0, 则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+02+0=0, 则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(49) +f(50) =f(1)+f(2)=2+0=2, 故选:C 5 (2018浙江)函数 y=2 |x|sin2x 的图象可能是( ) A B 4 C D 【解答】解:根据函数的解析式 y=2 |x|sin2x,得到:函数的图象为奇函数, 故排除 A 和 B 当 x= 2时,函数的值也为 0, 故排除 C 故选:D 6 (2018新课标)下列函数中,其图象与函数 y=lnx 的图

6、象关于直线 x=1 对称 的是( ) Ay=ln(1x) By=ln(2x) Cy=ln(1+x) Dy=ln(2+x) 【解答】解:首先根据函数 y=lnx 的图象, 则:函数 y=lnx 的图象与 y=ln(x)的图象关于 y 轴对称 由于函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称 则:把函数 y=ln(x)的图象向右平移 2 个单位即可得到:y=ln(2x) 即所求得解析式为:y=ln(2x) 故选:B 7 (2018新课标)函数 y=x4+x2+2 的图象大致为( ) 5 A B C D 【解答】解:函数过定点(0,2) ,排除 A,B 函数的导数 f(x)=4x3+2x=2x(2

7、x21) , 由 f(x)0 得 2x(2x21)0, 得 x 2 2 或 0x 2 2 ,此时函数单调递增, 由 f(x)0 得 2x(2x21)0, 得 x 2 2 或 2 2 x0,此时函数单调递减,排除 C, 6 也可以利用 f(1)=1+1+2=20,排除 A,B, 故选:D 8 (2018上海)设 D 是含数 1 的有限实数集,f(x)是定义在 D 上的函数,若 f(x)的图象绕原点逆时针旋转 6后与原图象重合,则在以下各项中,f(1) 的可能取值只能是( ) A3 B 3 2 C 3 3 D0 【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由 12 个点为一组,每次绕原点逆时 针旋转 6

8、个单位后与下一个点会重合 我们可以通过代入和赋值的方法当 f(1)=3, 3 3 ,0 时, 此时得到的圆心角为 3, 6,0, 然而此时 x=0 或者 x=1 时,都有 2 个 y 与之对应, 而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只能对应一个 y, 因此只有当 x= 3 2 ,此时旋转 6, 此时满足一个 x 只会对应一个 y, 因此答案就选:B 故选:B 9 (2018全国)若函数 f(x)=ax2+1 图象上点(1,f(1) )处的切线平行于直 线 y=2x+1,则 a=( ) A1 B0 C1 4 D1 【解答】解:函数 f(x)=ax2+1 的导数为 f(x)=2ax, 可得点(1

9、,f(1) )处的切线斜率为 2a, 由点(1,f(1) )处的切线平行于直线 y=2x+1, 可得 2a=2, 7 解得 a=1, 故选:D 10 (2018全国)f(x)=ln(x23x+2)的递增区间是( ) A (,1) B (1,3 2) C (3 2,+) D (2,+) 【解答】解:令 t=x23x+2=(x1) (x2)0,求得 x1 或 x2, 故函数的定义域为x|x1 或 x2 ,f(x)=lnt, 本题即求函数 t 在定义域内的增区间 结合二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的增区间为(2,+) , 故选:D 二填空题(共(共 11 小题)小题) 11 (2018新课标

10、)已知函数 f(x)=log2(x2+a) ,若 f(3)=1,则 a= 7 【解答】解:函数 f(x)=log2(x2+a) ,若 f(3)=1, 可得:log2(9+a)=1,可得 a=7 故答案为:7 12 (2018新课标)曲线 y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 y=2x2 【解答】解:y=2lnx, y=2 , 当 x=1 时,y=2 曲线 y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 y=2x2 故答案为:y=2x2 13 (2018浙江)已知 R,函数 f(x)= 4, 24 +3, ,当 =2 时,不等 8 式 f(x)0 的解集是 x|1x4 若函数 f(x)恰有 2

11、 个零点,则 的取值范围是 (1,3(4,+) 【解答】解:当 =2 时函数 f(x)=4, 2 24+3,2,显然 x2 时,不等式 x 40 的解集: x|2x4; x2 时, 不等式 f (x) 0 化为: x24x+30, 解得 1x2,综上,不等式的解集为:x|1x4 函数 f(x)恰有 2 个零点, 函数 f(x)=4, 24+3,的草图如图: 函数 f(x)恰有 2 个零点,则 13 或 4 故答案为:x|1x4; (1,3(4,+) 14 (2018江苏)函数 f(x)=21的定义域为 2,+) 【解答】解:由题意得:2 1, 解得:x2, 函数 f(x)的定义域是2,+) 故

12、答案为:2,+) 15 (2018江苏)函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x) (xR) ,且在区间(2,2 9 上,f(x)= 2 ,0 2 |+ 1 2|, 2 0 ,则 f(f(15) )的值为 2 2 【解答】解:由 f(x+4)=f(x)得函数是周期为 4 的周期函数, 则 f(15)=f(161)=f(1)=|1+1 2|= 1 2, f(1 2)=cos( 2 1 2)=cos 4= 2 2 , 即 f(f(15) )= 2 2 , 故答案为: 2 2 16 (2018江苏)若函数 f(x)=2x3ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一 个零点,则 f(x)在1,1上的最

13、大值与最小值的和为 3 【解答】解:函数 f(x)=2x3ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零 点, f(x)=2x(3xa) ,x(0,+) , 当 a0 时,f(x)=2x(3xa)0, 函数 f(x)在(0,+)上单调递增,f(0)=1, f(x)在(0,+)上没有零点,舍去; 当 a0 时,f(x)=2x(3xa)0 的解为 x 3, f(x)在(0, 3)上递减,在( 3,+)递增, 又 f(x)只有一个零点, f( 3)= 3 27+1=0,解得 a=3, f(x)=2x33x2+1,f(x)=6x(x1) ,x1,1, f(x)0 的解集为(1,0) , f(x)在(1

14、,0)上递增,在(0,1)上递减, f(1)=4,f(0)=1,f(1)=0, f(x)min=f(1)=4,f(x)max=f(0)=1, 10 f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为: f(x)max+f(x)min=4+1=3 17 (2018新课标)已知函数 f(x)=ln(1+2x)+1,f(a)=4,则 f( a)= 2 【解答】解:函数 g(x)=ln(1+ 2x) 满足 g(x)=ln(1+ 2+x)= 1 1+2=ln( 1+ 2x)=g(x) , 所以 g(x)是奇函数 函数 f(x)=ln(1+2x)+1,f(a)=4, 可得 f(a)=4=ln(1+2a)+1,可得

15、ln(1+2a)=3, 则 f(a)=ln(1+2a)+1=3+1=2 故答案为:2 18 (2018上海)设常数 aR,函数 f(x)=1og2(x+a) 若 f(x)的反函数的 图象经过点(3,1) ,则 a= 7 【解答】解:常数 aR,函数 f(x)=1og2(x+a) f(x)的反函数的图象经过点(3,1) , 函数 f(x)=1og2(x+a)的图象经过点(1,3) , log2(1+a)=3, 解得 a=7 故答案为:7 19 (2018上海)已知常数 a0,函数 f(x)= 2 2:的图象经过点 P(p, 6 5) , Q(q, 1 5) 若 2 p+q=36pq,则 a= 6

16、 11 【解答】解:函数 f(x)= 2 2:的图象经过点 P(p, 6 5) ,Q(q, 1 5) 则: 2 2: + 2 2: = 6 5 1 5 = 1, 整理得:2 +:2:2:2+ 2+:2:2:2=1, 解得:2p +q=a2pq, 由于:2p +q=36pq, 所以:a2=36, 由于 a0, 故:a=6 故答案为:6 20 (2018天津)已知函数 f(x)=exlnx,f(x)为 f(x)的导函数,则 f(1) 的值为 e 【解答】解:函数 f(x)=exlnx, 则 f(x)=exlnx+1 e x; f(1)=eln1+1e=e 故答案为:e 21 (2018天津)已知

17、aR,函数 f(x)= 2 +2+ 2, 0 2+22,0 若对任意 x 3,+) ,f(x)|x|恒成立,则 a 的取值范围是 1 8 ,2 【解答】解:当 x0 时,函数 f(x)=x2+2x+a2 的对称轴为 x=1,抛物线开 口向上, 要使 x0 时,对任意 x3,+) ,f(x)|x|恒成立, 则只需要 f(3)|3|=3, 12 即 96+a23,得 a2, 当 x0 时,要使 f(x)|x|恒成立,即 f(x)=x2+2x2a,在射线 y=x 的下 方或在 y=x 上, 由x2+2x2ax,即 x2x+2a0,由判别式=18a0, 得 a1 8, 综上1 8a2, 故答案为:1

18、8,2 三解答题(共(共 9 小题)小题) 22 (2018新课标)已知函数 f(x)=aexlnx1 (1)设 x=2 是 f(x)的极值点,求 a,并求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 a1 时,f(x)0 【解答】解: (1)函数 f(x)=aexlnx1 x0,f(x)=aex1 , x=2 是 f(x)的极值点, f(2)=ae21 2=0,解得 a= 1 22, f(x)= 1 22e xlnx1,f(x)= 1 22 1 , 13 当 0x2 时,f(x)0,当 x2 时,f(x)0, f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增 (2)证明:当 a1 时,f(x)

19、lnx1, 设 g(x)= lnx1,则() = 1 , 当 0x1 时,g(x)0, 当 x1 时,g(x)0, x=1 是 g(x)的最小值点, 故当 x0 时,g(x)g(1)=0, 当 a1 时,f(x)0 23 (2018新课标)已知函数 f(x)=1 3x 3a(x2+x+1) (1)若 a=3,求 f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点 【解答】解: (1)当 a=3 时,f(x)=1 3x 3a(x2+x+1) , 所以 f(x)=x26x3 时,令 f(x)=0 解得 x=323, 当 x(,323) ,x(3+23,+)时,f(x)0,函数是增函数, 当 x

20、(323,3+23)时,f(x)0,函数是单调递减, 综上, f (x) 在 (, 323) ,(3+23, +) , 上是增函数, 在 (323,3+23)上 递减 (2)证明:因为 x2+x+1=(x+1 2) 2+3 4 0, 所以 f(x)=0 等价于 3 3(2:1) = 0, 令() = 3 3(2+1) , 则() = 2(+1)2+2 3(2+1)2 0,仅当 x=0 时,g(x)=0,所以 g(x)在 R 上是增 14 函数; g(x)至多有一个零点,从而 f(x)至多有一个零点 又因为 f(3a1)=6a2+2a1 3=6(a 1 6) 21 60, f(3a+1)=1 3

21、0, 故 f(x)有一个零点, 综上,f(x)只有一个零点 24 (2018浙江)已知函数 f(x)=lnx ()若 f(x)在 x=x1,x2(x1x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)8 8ln2; ()若 a34ln2,证明:对于任意 k0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯 一公共点 【解答】证明: ()函数 f(x)=lnx, x0,f(x)= 1 2 1 , f(x)在 x=x1,x2(x1x2)处导数相等, 1 21 1 1= 1 22 1 2, x1x2, 1 1+ 1 2= 1 2, 由基本不等式得:1 2 12=1+2212 4 , x1x2,x1x225

22、6, 由题意得 f(x1)+f(x2)=11+22=1 2 12ln(x1x2) , 设 g(x)=1 2 ,则() = 1 4(4), 列表讨论: x (0,16) 16 (16,+) g(x) 0 + g(x) 24ln2 15 g(x)在256,+)上单调递增, g(x1x2)g(256)=88ln2, f(x1)+f(x2)88ln2 ()令 m=e (|a|+k) ,n=(|:1 )2+1, 则 f(m)kma|a|+kka0, f(n)knan( 1 k)n( |:1 k)0, 存在 x0(m,n) ,使 f(x0)=kx0+a, 对于任意的 aR 及 k(0,+) ,直线 y=k

23、x+a 与曲线 y=f(x)有公共点, 由 f(x)=kx+a,得 k=; , 设 h(x)=; ,则 h(x)= ; 2 ;1: 2 =;();1: 2 , 其中 g(x)= 2 lnx, 由(1)知 g(x)g(16) , 又 a34ln2,g(x)1+ag(16)1+a=3+4ln2+a0, h(x)0,即函数 h(x)在(0,+)上单调递减, 方程 f(x)kxa=0 至多有一个实根, 综上,a34ln2 时,对于任意 k0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共 点 25 (2018江苏)记 f(x) ,g(x)分别为函数 f(x) ,g(x)的导函数若存 在 x0R,满

24、足 f(x0)=g(x0)且 f(x0)=g(x0) ,则称 x0为函数 f(x)与 g (x)的一个“S 点” (1)证明:函数 f(x)=x 与 g(x)=x2+2x2 不存在“S 点”; (2)若函数 f(x)=ax21 与 g(x)=lnx 存在“S 点”,求实数 a 的值; (3)已知函数 f(x)=x2+a,g(x)= 对任意 a0,判断是否存在 b0, 使函数 f(x)与 g(x)在区间(0,+)内存在“S 点”,并说明理由 【解答】解: (1)证明:f(x)=1,g(x)=2x+2, 16 则由定义得 = 2 +22 1 = 2 +2 ,得方程无解,则 f(x)=x 与 g(x

25、)=x2+2x2 不存 在“S 点”; (2)f(x)=2ax,g(x)=1 ,x0, 由 f(x)=g(x)得1 =2ax,得 x= 1 2, f( 1 2)= 1 2=g( 1 2)= 1 2lna2,得 a= 2; (3)f(x)=2x,g(x)= (;1) 2 , (x0) , 由 f(x0)=g(x0) ,假设 b0,得 b0= 20 3 0;10,得 0x01, 由 f(x0)=g(x0) ,得x02+a= 0 0 = 20 2 0;1,得 a=x0 2 20 2 0;1, 令 h(x)=x22 2 ;1a= ;3:32:; 1; , (a0,0x1) , 设 m(x)=x3+3x

26、2+axa, (a0,0x1) , 则 m(0)=a0,m(1)=20,得 m(0)m(1)0, 又 m(x)的图象在(0,1)上不间断, 则 m(x)在(0,1)上有零点, 则 h(x)在(0,1)上有零点, 则存在 b0,使 f(x)与 g(x)在区间(0,+)内存在“S”点 26 (2018新课标)已知函数 f(x)= 2:;1 (1)求曲线 y=f(x)在点(0,1)处的切线方程; (2)证明:当 a1 时,f(x)+e0 【解答】解: (1)() = (2+1)(2+1) ()2 =(:1)(;2) f(0)=2,即曲线 y=f(x)在点(0,1)处的切线斜率 k=2, 曲线 y=f

27、(x)在点(0,1)处的切线方程方程为 y(1)=2x 即 2xy1=0 为所求 17 (2)证明:函数 f(x)的定义域为:R, 可得() = (2+1)(2+1) ()2 =(:1)(;2) 令 f(x)=0,可得1= 2,2= 1 0, 当 x (, 1 )时,f(x)0,x ( 1 ,2)时,f(x)0,x(2,+) 时,f(x)0 f(x)在(, 1 ) , (2,+)递减,在( 1 ,2)递增, 注意到 a1 时,函数 g(x)=ax2+x1 在(2,+)单调递增,且 g(2)=4a+1 0 函数 f(x)的图象如下: a1,1 (0,1,则( 1 ) = 1 e, f(x) =

28、1 e, 当 a1 时,f(x)+e0 27 (2018上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到 工作地的平均用时某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析 显示:当 S 中 x%(0x100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为 f(x)=30,0 30 2+ 1800 90,30100(单位:分钟) , 而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响,恒为 40 分钟,试根据上述分析结果回 答下列问题: (1)当 x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤 18 时间? (2)求该地上班族 S 的人均通勤时间 g(x)的表达式;讨论 g(x)的单

29、调性, 并说明其实际意义 【解答】解; (1)由题意知,当 30x100 时, f(x)=2x+1800 9040, 即 x265x+9000, 解得 x20 或 x45, x(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间; (2)当 0x30 时, g(x)=30x%+40(1x%)=40 10; 当 30x100 时, g(x)=(2x+180 90)x%+40(1x%)= 2 50 13 10x+58; g(x)= 40 10 2 50 13 10+58 ; 当 0x32.5 时,g(x)单调递减; 当 32.5x100 时,g(x)单调递增; 说明该地上班族 S

30、中有小于 32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的; 有大于 32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的; 当自驾人数为 32.5%时,人均通勤时间最少 28 (2018北京)设函数 f(x)=ax2(3a+1)x+3a+2ex ()若曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线斜率为 0,求 a; ()若 f(x)在 x=1 处取得极小值,求 a 的取值范围 【解答】解: ()函数 f(x)=ax2(3a+1)x+3a+2ex的导数为 f(x)=ax2(a+1)x+1ex 曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线斜率为 0, 19 可得(4a2a2+1)e2=0, 解得 a=1

31、 2; ()f(x)的导数为 f(x)=ax2(a+1)x+1ex=(x1) (ax1)ex, 若 a=0 则 x1 时,f(x)0,f(x)递增;x1,f(x)0,f(x)递减 x=1 处 f(x)取得极大值,不符题意; 若 a0,且 a=1,则 f(x)=(x1)2ex0,f(x)递增,无极值; 若 a1,则1 1,f(x)在( 1 ,1)递减;在(1,+) , (, 1 )递增, 可得 f(x)在 x=1 处取得极小值; 若 0a1,则1 1,f(x)在(1, 1 )递减;在( 1 ,+) , (,1)递增, 可得 f(x)在 x=1 处取得极大值,不符题意; 若 a0,则1 1,f(x

32、)在( 1 ,1)递增;在(1,+) , (, 1 )递减, 可得 f(x)在 x=1 处取得极大值,不符题意 综上可得,a 的范围是(1,+) 29 (2018天津)设函数 f(x)=(xt1) (xt2) (xt3) ,其中 t1,t2,t3R, 且 t1,t2,t3是公差为 d 的等差数列 ()若 t2=0,d=1,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; ()若 d=3,求 f(x)的极值; ()若曲线 y=f(x)与直线 y=(xt2)63有三个互异的公共点,求 d 的 取值范围 【解答】解: ()函数 f(x)=(xt1) (xt2) (xt3) , t2=0,d=

33、1 时,f(x)=x(x+1) (x1)=x3x, f(x)=3x21, f(0)=0,f(0)=1, y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程为 y0=1(x0) , 即 x+y=0; ()d=3 时,f(x)=(xt2+3) (xt2) (xt23) 20 =(2)39(xt2) =x33t2x2+(3229)x23+9t2; f(x)=3x26t2x+3229, 令 f(x)=0,解得 x=t23或 x=t2+3; 当 x 变化时,f(x) ,f(x)的变化情况如下表; x (, t23) t23 (t2 3, t2+3) t2+3 (t2+3 , +) f(x) + 0 0 +

34、f(x) 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 f(x)的极大值为 f(t23)=(3) 39(3)=63, 极小值为 f(t2+3)=(3) 393=63; ()曲线 y=f(x)与直线 y=(xt2)63有三个互异的公共点, 等价于关于 x 的方程(xt2+d) (xt2) (xt2d)+(xt2)63=0 有三个 互异的实数根, 令 u=xt2,可得 u3+(1d2)u+63=0; 设函数 g(x)=x3+(1d2)x+63,则 曲线 y=f(x)与直线 y=(xt2)63有 3 个互异的公共点, 等价于函数 y=g(x)有三个不同的零点; 又 g(x)=3x2+(1d2) , 当 d

35、21 时,g(x)0 恒成立,此时 g(x)在 R 上单调递增,不合题意; 当 d21 时,令 g(x)=0,解得 x1= 2;1 3 ,x2= 2;1 3 ; g(x)在(,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减, 在(x2,+)上也单调递增; g(x)的极大值为 g(x1)=g( 2;1 3 )=23( 2;1)3 2 9 +630; 21 极小值为 g(x2)=g( 2;1 3 )=23( 2;1)3 2 9 +63; 若 g(x2)0,由 g(x)的单调性可知, 函数 g(x)至多有两个零点,不合题意; 若 g(x2)0,即(21) 3 227,解得|d|10, 此时|d|x2,

36、g(|d|)=|d|+630,且2|d|x1; g(2|d|)=6|d|32|d|+630, 从而由 g(x)的单调性可知, 函数 y=g(x)在区间(2|d|,x1) , (x1,x2) , (x2,|d|)内各有一个零点,符 合题意; d 的取值范围是(,10)(10,+) 30 (2018全国)x1、x2R,f(0)0,且 f(2x1)+f(2x2)=f(x1+x2)f(x1 x2) (1)求 f(0) ; (2)求证 f(x)为偶函数; (3)若 f()=0,求证 f(x)为周期函数 【解答】解: (1)f(2x1)+f(2x2)=f(x1+x2)f(x1x2) , 可令 x1=x2=

37、0,可得 f(0)+f(0)=f(0)f(0) , 由 f(0)0, 可得 f(0)=2; (2)证明:可令 x1= 2,x2= 2, 则 f(x)+f(x)=f(0)f(x)=2f(x) , 可得 f(x)=f(x) , 则 f(x)为偶函数; (3)证明:可令 x1= 2+,x2= 2, 则 f(x+2)+f()=f(x+)f()=0, 22 即有 f(x+2)=f(x) , 将 x 换为 x+2,可得 f(x+4)=f(x+2)=f(x) , 可得 f(x)为最小正周期为 4 的函数 23 2017 高考真题高考真题 一选择题(共(共 14 小题)小题) 1 (2017新课标)函数 y=

38、 2 1;的部分图象大致为( ) A B C D 24 【解答】解:函数 y= 2 1;, 可知函数是奇函数,排除选项 B, 当 x= 3时,f( 3)= 3 2 1;1 2 =3,排除 A, x= 时,f()=0,排除 D 故选:C 2 (2017新课标)已知函数 f(x)=lnx+ln(2x) ,则( ) Af(x)在(0,2)单调递增 Bf(x)在(0,2)单调递减 Cy=f(x)的图象关于直线 x=1 对称 Dy=f(x)的图象关于点(1,0)对称 【解答】解:函数 f(x)=lnx+ln(2x) , f(2x)=ln(2x)+lnx, 即 f(x)=f(2x) , 即 y=f(x)的

39、图象关于直线 x=1 对称, 故选:C 3 (2017新课标)函数 f(x)=ln(x22x8)的单调递增区间是( ) A (,2) B (,1) C (1,+) D (4,+) 【解答】解:由 x22x80 得:x(,2)(4,+) , 令 t=x22x8,则 y=lnt, x(,2)时,t=x22x8 为减函数; x(4,+)时,t=x22x8 为增函数; y=lnt 为增函数, 故函数 f(x)=ln(x22x8)的单调递增区间是(4,+) , 故选:D 25 4 (2017新课标)函数 y=1+x+ 2 的部分图象大致为( ) A B C 26 D 【解答】解:函数 y=1+x+ 2

40、,可知:f(x)=x+ 2 是奇函数,所以函数的图 象关于原点对称, 则函数 y=1+x+ 2 的图象关于(0,1)对称, 当 x0 +,f(x)0,排除 A、C,当 x= 时,y=1+,排除 B 故选:D 5 (2017新课标)已知函数 f(x)=x22x+a(ex 1+ex+1)有唯一零点,则 a= ( ) A1 2 B1 3 C1 2 D1 【解答】解:因为 f(x)=x22x+a(ex 1+ex+1)=1+(x1)2+a(ex1+ 1 1) =0, 所以函数 f(x)有唯一零点等价于方程 1(x1) 2=a(ex1+ 1 1)有唯一解, 等价于函数 y=1(x1)2的图象与 y=a(e

41、x 1+ 1 1)的图象只有一个交点 当 a=0 时,f(x)=x22x1,此时有两个零点,矛盾; 当 a0 时,由于 y=1(x1)2在(,1)上递增、在(1,+)上递 减, 且 y=a(ex 1+ 1 1)在(,1)上递增、在(1,+)上递减, 所以函数 y=1(x1)2的图象的最高点为 A(1,1) ,y=a(ex 1+ 1 1)的图 27 象的最高点为 B(1,2a) , 由于 2a01,此时函数 y=1(x1)2的图象与 y=a(ex 1+ 1 1)的图象有 两个交点,矛盾; 当 a0 时,由于 y=1(x1)2在(,1)上递增、在(1,+)上递 减, 且 y=a(ex 1+ 1 1

42、)在(,1)上递减、在(1,+)上递增, 所以函数 y=1(x1)2的图象的最高点为 A(1,1) ,y=a(ex 1+ 1 1)的图 象的最低点为 B(1,2a) , 由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件,即 2a=1,即 a=1 2,符合条件; 综上所述,a=1 2, 故选:C 6 (2017浙江)若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间0,1上的最大值是 M,最小值 是 m,则 Mm( ) A与 a 有关,且与 b 有关 B与 a 有关,但与 b 无关 C与 a 无关,且与 b 无关 D与 a 无关,但与 b 有关 【解答】解:函数 f(x)=x2+ax+b 的图象是开口朝上且以直线 x= 2为对称轴的 抛物线, 当 21 或 20,即 a2,或 a0 时, 函数 f(x)在

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