1、 20122018 函数导数文科真题函数导数文科真题 目录目录 2018 高考真题 . 1 一选择题 . 1 二填空题 . 7 三解答题 . 12 2017 高考真题 . 23 一选择题 . 23 二填空题 . 32 三解答题 . 37 2016 高考真题 . 49 一选择题 . 49 二填空题 . 57 三解答题 . 62 2015 高考真题 . 76 一选择题 . 76 二填空题 . 86 三解答题 . 94 2014 高考真题 . 111 一选择题 . 111 二填空题 . 126 三解答题 . 138 2013 高考真题 . 162 一选择题 . 162 二填空题 . 181 三解答题
2、 . 183 2012 高考真题 . 207 一选择题 . 207 二填空题 . 219 三解答题 . 228 1 2018 高考真题高考真题 一选择题（共（共 10 小题）小题） 1 （2018新课标）设函数 f（x）=x3+（a1）x2+ax若 f（x）为奇函数，则 曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ） Ay=2x By=x Cy=2x Dy=x 【解答】解：函数 f（x）=x3+（a1）x2+ax，若 f（x）为奇函数， 可得 a=1，所以函数 f（x）=x3+x，可得 f（x）=3x2+1， 曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线 y=f（x）在
3、点（0，0）处的切线方程为：y=x 故选：D 2 （2018新课标）设函数 f（x）=2 ， 0 1，0 ，则满足 f（x+1）f（2x）的 x 的取值范围是（ ） A （，1 B （0，+） C （1，0） D （，0） 【解答】解：函数 f（x）=2 ， 0 1，0 ，的图象如图： 满足 f（x+1）f（2x） ， 可得：2x0x+1 或 2xx+10， 解得 x（，0） 故选：D 2 3 （2018新课标）函数 f（x）= ; 2 的图象大致为（ ） A B C D 【解答】解：函数 f（x）= ; (;)2 = ; 2 =f（x） ， 则函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除
4、A， 当 x=1 时，f（1）=e1 0，排除 D 当 x+时，f（x）+，排除 C， 故选：B 3 4 （2018新课标）已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1 x）=f（1+x） ，若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（ ） A50 B0 C2 D50 【解答】解：f（x）是奇函数，且 f（1x）=f（1+x） ， f（1x）=f（1+x）=f（x1） ，f（0）=0， 则 f（x+2）=f（x） ，则 f（x+4）=f（x+2）=f（x） ， 即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， f（1）=2， f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12
5、）=f（1）=f（1）=2， f（4）=f（0）=0， 则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0， 则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49） +f（50） =f（1）+f（2）=2+0=2， 故选：C 5 （2018浙江）函数 y=2 |x|sin2x 的图象可能是（ ） A B 4 C D 【解答】解：根据函数的解析式 y=2 |x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数， 故排除 A 和 B 当 x= 2时，函数的值也为 0， 故排除 C 故选：D 6 （2018新课标）下列函数中，其图象与函数 y=lnx 的图
6、象关于直线 x=1 对称 的是（ ） Ay=ln（1x） By=ln（2x） Cy=ln（1+x） Dy=ln（2+x） 【解答】解：首先根据函数 y=lnx 的图象， 则：函数 y=lnx 的图象与 y=ln（x）的图象关于 y 轴对称 由于函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称 则：把函数 y=ln（x）的图象向右平移 2 个单位即可得到：y=ln（2x） 即所求得解析式为：y=ln（2x） 故选：B 7 （2018新课标）函数 y=x4+x2+2 的图象大致为（ ） 5 A B C D 【解答】解：函数过定点（0，2） ，排除 A，B 函数的导数 f（x）=4x3+2x=2x（2
7、x21） ， 由 f（x）0 得 2x（2x21）0， 得 x 2 2 或 0x 2 2 ，此时函数单调递增， 由 f（x）0 得 2x（2x21）0， 得 x 2 2 或 2 2 x0，此时函数单调递减，排除 C， 6 也可以利用 f（1）=1+1+2=20，排除 A，B， 故选：D 8 （2018上海）设 D 是含数 1 的有限实数集，f（x）是定义在 D 上的函数，若 f（x）的图象绕原点逆时针旋转 6后与原图象重合，则在以下各项中，f（1） 的可能取值只能是（ ） A3 B 3 2 C 3 3 D0 【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时 针旋转 6
8、个单位后与下一个点会重合 我们可以通过代入和赋值的方法当 f（1）=3， 3 3 ，0 时， 此时得到的圆心角为 3， 6，0， 然而此时 x=0 或者 x=1 时，都有 2 个 y 与之对应， 而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只能对应一个 y， 因此只有当 x= 3 2 ，此时旋转 6， 此时满足一个 x 只会对应一个 y， 因此答案就选：B 故选：B 9 （2018全国）若函数 f（x）=ax2+1 图象上点（1，f（1） ）处的切线平行于直 线 y=2x+1，则 a=（ ） A1 B0 C1 4 D1 【解答】解：函数 f（x）=ax2+1 的导数为 f（x）=2ax， 可得点（1
9、，f（1） ）处的切线斜率为 2a， 由点（1，f（1） ）处的切线平行于直线 y=2x+1， 可得 2a=2， 7 解得 a=1， 故选：D 10 （2018全国）f（x）=ln（x23x+2）的递增区间是（ ） A （，1） B （1，3 2） C （3 2，+） D （2，+） 【解答】解：令 t=x23x+2=（x1） （x2）0，求得 x1 或 x2， 故函数的定义域为x|x1 或 x2 ，f（x）=lnt， 本题即求函数 t 在定义域内的增区间 结合二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的增区间为（2，+） ， 故选：D 二填空题（共（共 11 小题）小题） 11 （2018新课标
10、）已知函数 f（x）=log2（x2+a） ，若 f（3）=1，则 a= 7 【解答】解：函数 f（x）=log2（x2+a） ，若 f（3）=1， 可得：log2（9+a）=1，可得 a=7 故答案为：7 12 （2018新课标）曲线 y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为 y=2x2 【解答】解：y=2lnx， y=2 ， 当 x=1 时，y=2 曲线 y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为 y=2x2 故答案为：y=2x2 13 （2018浙江）已知 R，函数 f（x）= 4， 24 +3， ，当 =2 时，不等 8 式 f（x）0 的解集是 x|1x4 若函数 f（x）恰有 2
11、 个零点，则 的取值范围是 （1，3（4，+） 【解答】解：当 =2 时函数 f（x）=4， 2 24+3，2，显然 x2 时，不等式 x 40 的解集： x|2x4； x2 时， 不等式 f （x） 0 化为： x24x+30， 解得 1x2，综上，不等式的解集为：x|1x4 函数 f（x）恰有 2 个零点， 函数 f（x）=4， 24+3，的草图如图： 函数 f（x）恰有 2 个零点，则 13 或 4 故答案为：x|1x4； （1，3（4，+） 14 （2018江苏）函数 f（x）=21的定义域为 2，+） 【解答】解：由题意得：2 1， 解得：x2， 函数 f（x）的定义域是2，+） 故
12、答案为：2，+） 15 （2018江苏）函数 f（x）满足 f（x+4）=f（x） （xR） ，且在区间（2，2 9 上，f（x）= 2 ，0 2 |+ 1 2|， 2 0 ，则 f（f（15） ）的值为 2 2 【解答】解：由 f（x+4）=f（x）得函数是周期为 4 的周期函数， 则 f（15）=f（161）=f（1）=|1+1 2|= 1 2， f（1 2）=cos（ 2 1 2）=cos 4= 2 2 ， 即 f（f（15） ）= 2 2 ， 故答案为： 2 2 16 （2018江苏）若函数 f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一 个零点，则 f（x）在1，1上的最
13、大值与最小值的和为 3 【解答】解：函数 f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零 点， f（x）=2x（3xa） ，x（0，+） ， 当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0， 函数 f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=1， f（x）在（0，+）上没有零点，舍去； 当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0 的解为 x 3， f（x）在（0， 3）上递减，在（ 3，+）递增， 又 f（x）只有一个零点， f（ 3）= 3 27+1=0，解得 a=3， f（x）=2x33x2+1，f（x）=6x（x1） ，x1，1， f（x）0 的解集为（1，0） ， f（x）在（1
14、，0）上递增，在（0，1）上递减， f（1）=4，f（0）=1，f（1）=0， f（x）min=f（1）=4，f（x）max=f（0）=1， 10 f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为： f（x）max+f（x）min=4+1=3 17 （2018新课标）已知函数 f（x）=ln（1+2x）+1，f（a）=4，则 f（ a）= 2 【解答】解：函数 g（x）=ln（1+ 2x） 满足 g（x）=ln（1+ 2+x）= 1 1+2=ln（ 1+ 2x）=g（x） ， 所以 g（x）是奇函数 函数 f（x）=ln（1+2x）+1，f（a）=4， 可得 f（a）=4=ln（1+2a）+1，可得
15、ln（1+2a）=3， 则 f（a）=ln（1+2a）+1=3+1=2 故答案为：2 18 （2018上海）设常数 aR，函数 f（x）=1og2（x+a） 若 f（x）的反函数的 图象经过点（3，1） ，则 a= 7 【解答】解：常数 aR，函数 f（x）=1og2（x+a） f（x）的反函数的图象经过点（3，1） ， 函数 f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3） ， log2（1+a）=3， 解得 a=7 故答案为：7 19 （2018上海）已知常数 a0，函数 f（x）= 2 2:的图象经过点 P（p， 6 5） ， Q（q， 1 5） 若 2 p+q=36pq，则 a= 6
16、 11 【解答】解：函数 f（x）= 2 2:的图象经过点 P（p， 6 5） ，Q（q， 1 5） 则： 2 2: + 2 2: = 6 5 1 5 = 1， 整理得：2 +:2:2:2+ 2+:2:2:2=1， 解得：2p +q=a2pq， 由于：2p +q=36pq， 所以：a2=36， 由于 a0， 故：a=6 故答案为：6 20 （2018天津）已知函数 f（x）=exlnx，f（x）为 f（x）的导函数，则 f（1） 的值为 e 【解答】解：函数 f（x）=exlnx， 则 f（x）=exlnx+1 e x； f（1）=eln1+1e=e 故答案为：e 21 （2018天津）已知
17、aR，函数 f（x）= 2 +2+ 2， 0 2+22，0 若对任意 x 3，+） ，f（x）|x|恒成立，则 a 的取值范围是 1 8 ，2 【解答】解：当 x0 时，函数 f（x）=x2+2x+a2 的对称轴为 x=1，抛物线开 口向上， 要使 x0 时，对任意 x3，+） ，f（x）|x|恒成立， 则只需要 f（3）|3|=3， 12 即 96+a23，得 a2， 当 x0 时，要使 f（x）|x|恒成立，即 f（x）=x2+2x2a，在射线 y=x 的下 方或在 y=x 上， 由x2+2x2ax，即 x2x+2a0，由判别式=18a0， 得 a1 8， 综上1 8a2， 故答案为：1
18、8，2 三解答题（共（共 9 小题）小题） 22 （2018新课标）已知函数 f（x）=aexlnx1 （1）设 x=2 是 f（x）的极值点，求 a，并求 f（x）的单调区间； （2）证明：当 a1 时，f（x）0 【解答】解： （1）函数 f（x）=aexlnx1 x0，f（x）=aex1 ， x=2 是 f（x）的极值点， f（2）=ae21 2=0，解得 a= 1 22， f（x）= 1 22e xlnx1，f（x）= 1 22 1 ， 13 当 0x2 时，f（x）0，当 x2 时，f（x）0， f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增 （2）证明：当 a1 时，f（x）
19、lnx1， 设 g（x）= lnx1，则() = 1 ， 当 0x1 时，g（x）0， 当 x1 时，g（x）0， x=1 是 g（x）的最小值点， 故当 x0 时，g（x）g（1）=0， 当 a1 时，f（x）0 23 （2018新课标）已知函数 f（x）=1 3x 3a（x2+x+1） （1）若 a=3，求 f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）只有一个零点 【解答】解： （1）当 a=3 时，f（x）=1 3x 3a（x2+x+1） ， 所以 f（x）=x26x3 时，令 f（x）=0 解得 x=323， 当 x（，323） ，x（3+23，+）时，f（x）0，函数是增函数， 当 x
20、（323，3+23)时，f（x）0，函数是单调递减， 综上， f （x） 在 （， 323） ，（3+23， +） ， 上是增函数， 在 （323，3+23)上 递减 （2）证明：因为 x2+x+1=（x+1 2） 2+3 4 0， 所以 f（x）=0 等价于 3 3(2:1) = 0， 令() = 3 3(2+1) ， 则() = 2(+1)2+2 3(2+1)2 0，仅当 x=0 时，g（x）=0，所以 g（x）在 R 上是增 14 函数； g（x）至多有一个零点，从而 f（x）至多有一个零点 又因为 f（3a1）=6a2+2a1 3=6（a 1 6） 21 60， f（3a+1）=1 3
21、0， 故 f（x）有一个零点， 综上，f（x）只有一个零点 24 （2018浙江）已知函数 f（x）=lnx （）若 f（x）在 x=x1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）8 8ln2； （）若 a34ln2，证明：对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯 一公共点 【解答】证明： （）函数 f（x）=lnx， x0，f（x）= 1 2 1 ， f（x）在 x=x1，x2（x1x2）处导数相等， 1 21 1 1= 1 22 1 2， x1x2， 1 1+ 1 2= 1 2， 由基本不等式得：1 2 12=1+2212 4 ， x1x2，x1x225
22、6， 由题意得 f（x1）+f（x2）=11+22=1 2 12ln（x1x2） ， 设 g（x）=1 2 ，则() = 1 4(4)， 列表讨论： x （0，16） 16 （16，+） g（x） 0 + g（x） 24ln2 15 g（x）在256，+）上单调递增， g（x1x2）g（256）=88ln2， f（x1）+f（x2）88ln2 （）令 m=e （|a|+k） ，n=（|:1 ）2+1， 则 f（m）kma|a|+kka0， f（n）knan（ 1 k）n（ |:1 k）0， 存在 x0（m，n） ，使 f（x0）=kx0+a， 对于任意的 aR 及 k（0，+） ，直线 y=k
23、x+a 与曲线 y=f（x）有公共点， 由 f（x）=kx+a，得 k=; ， 设 h（x）=; ，则 h（x）= ; 2 ;1: 2 =;();1: 2 ， 其中 g（x）= 2 lnx， 由（1）知 g（x）g（16） ， 又 a34ln2，g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0， h（x）0，即函数 h（x）在（0，+）上单调递减， 方程 f（x）kxa=0 至多有一个实根， 综上，a34ln2 时，对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共 点 25 （2018江苏）记 f（x） ，g（x）分别为函数 f（x） ，g（x）的导函数若存 在 x0R，满
24、足 f（x0）=g（x0）且 f（x0）=g（x0） ，则称 x0为函数 f（x）与 g （x）的一个“S 点” （1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x）=x2+2x2 不存在“S 点”； （2）若函数 f（x）=ax21 与 g（x）=lnx 存在“S 点”，求实数 a 的值； （3）已知函数 f（x）=x2+a，g（x）= 对任意 a0，判断是否存在 b0， 使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”，并说明理由 【解答】解： （1）证明：f（x）=1，g（x）=2x+2， 16 则由定义得 = 2 +22 1 = 2 +2 ，得方程无解，则 f（x）=x 与 g（x
25、）=x2+2x2 不存 在“S 点”； （2）f（x）=2ax，g（x）=1 ，x0， 由 f（x）=g（x）得1 =2ax，得 x= 1 2， f（ 1 2）= 1 2=g（ 1 2）= 1 2lna2，得 a= 2； （3）f（x）=2x，g（x）= (;1) 2 ， （x0） ， 由 f（x0）=g（x0） ，假设 b0，得 b0= 20 3 0;10，得 0x01， 由 f（x0）=g（x0） ，得x02+a= 0 0 = 20 2 0;1，得 a=x0 2 20 2 0;1， 令 h（x）=x22 2 ;1a= ;3:32:; 1; ， （a0，0x1） ， 设 m（x）=x3+3x
26、2+axa， （a0，0x1） ， 则 m（0）=a0，m（1）=20，得 m（0）m（1）0， 又 m（x）的图象在（0，1）上不间断， 则 m（x）在（0，1）上有零点， 则 h（x）在（0，1）上有零点， 则存在 b0，使 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S”点 26 （2018新课标）已知函数 f（x）= 2:;1 （1）求曲线 y=f（x）在点（0，1）处的切线方程； （2）证明：当 a1 时，f（x）+e0 【解答】解： （1）() = (2+1)(2+1) ()2 =(:1)(;2) f（0）=2，即曲线 y=f（x）在点（0，1）处的切线斜率 k=2， 曲线 y=f
27、（x）在点（0，1）处的切线方程方程为 y（1）=2x 即 2xy1=0 为所求 17 （2）证明：函数 f（x）的定义域为：R， 可得() = (2+1)(2+1) ()2 =(:1)(;2) 令 f（x）=0，可得1= 2，2= 1 0， 当 x (， 1 )时，f（x）0，x ( 1 ，2)时，f（x）0，x（2，+） 时，f（x）0 f（x）在（， 1 ） ， （2，+）递减，在（ 1 ，2）递增， 注意到 a1 时，函数 g（x）=ax2+x1 在（2，+）单调递增，且 g（2）=4a+1 0 函数 f（x）的图象如下： a1，1 (0，1，则( 1 ) = 1 e， f（x） =
28、1 e， 当 a1 时，f（x）+e0 27 （2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到 工作地的平均用时某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析 显示：当 S 中 x%（0x100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f（x）=30，0 30 2+ 1800 90，30100（单位：分钟） ， 而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回 答下列问题： （1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤 18 时间？ （2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g（x）的表达式；讨论 g（x）的单
29、调性， 并说明其实际意义 【解答】解； （1）由题意知，当 30x100 时， f（x）=2x+1800 9040， 即 x265x+9000， 解得 x20 或 x45， x（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当 0x30 时， g（x）=30x%+40（1x%）=40 10； 当 30x100 时， g（x）=（2x+180 90）x%+40（1x%）= 2 50 13 10x+58； g（x）= 40 10 2 50 13 10+58 ； 当 0x32.5 时，g（x）单调递减； 当 32.5x100 时，g（x）单调递增； 说明该地上班族 S
30、中有小于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为 32.5%时，人均通勤时间最少 28 （2018北京）设函数 f（x）=ax2（3a+1）x+3a+2ex （）若曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线斜率为 0，求 a； （）若 f（x）在 x=1 处取得极小值，求 a 的取值范围 【解答】解： （）函数 f（x）=ax2（3a+1）x+3a+2ex的导数为 f（x）=ax2（a+1）x+1ex 曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线斜率为 0， 19 可得（4a2a2+1）e2=0， 解得 a=1
31、 2； （）f（x）的导数为 f（x）=ax2（a+1）x+1ex=（x1） （ax1）ex， 若 a=0 则 x1 时，f（x）0，f（x）递增；x1，f（x）0，f（x）递减 x=1 处 f（x）取得极大值，不符题意； 若 a0，且 a=1，则 f（x）=（x1）2ex0，f（x）递增，无极值； 若 a1，则1 1，f（x）在（ 1 ，1）递减；在（1，+） ， （， 1 ）递增， 可得 f（x）在 x=1 处取得极小值； 若 0a1，则1 1，f（x）在（1， 1 ）递减；在（ 1 ，+） ， （，1）递增， 可得 f（x）在 x=1 处取得极大值，不符题意； 若 a0，则1 1，f（x
32、）在（ 1 ，1）递增；在（1，+） ， （， 1 ）递减， 可得 f（x）在 x=1 处取得极大值，不符题意 综上可得，a 的范围是（1，+） 29 （2018天津）设函数 f（x）=（xt1） （xt2） （xt3） ，其中 t1，t2，t3R， 且 t1，t2，t3是公差为 d 的等差数列 （）若 t2=0，d=1，求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若 d=3，求 f（x）的极值； （）若曲线 y=f（x）与直线 y=（xt2）63有三个互异的公共点，求 d 的 取值范围 【解答】解： （）函数 f（x）=（xt1） （xt2） （xt3） ， t2=0，d=
33、1 时，f（x）=x（x+1） （x1）=x3x， f（x）=3x21， f（0）=0，f（0）=1， y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y0=1（x0） ， 即 x+y=0； （）d=3 时，f（x）=（xt2+3） （xt2） （xt23） 20 =(2)39（xt2） =x33t2x2+（3229）x23+9t2； f（x）=3x26t2x+3229， 令 f（x）=0，解得 x=t23或 x=t2+3； 当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化情况如下表； x （， t23） t23 （t2 3， t2+3） t2+3 （t2+3 ， +） f（x） + 0 0 +
34、f（x） 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 f（x）的极大值为 f（t23）=(3) 39（3）=63， 极小值为 f（t2+3）=(3) 393=63； （）曲线 y=f（x）与直线 y=（xt2）63有三个互异的公共点， 等价于关于 x 的方程（xt2+d） （xt2） （xt2d）+（xt2）63=0 有三个 互异的实数根， 令 u=xt2，可得 u3+（1d2）u+63=0； 设函数 g（x）=x3+（1d2）x+63，则 曲线 y=f（x）与直线 y=（xt2）63有 3 个互异的公共点， 等价于函数 y=g（x）有三个不同的零点； 又 g（x）=3x2+（1d2） ， 当 d
35、21 时，g（x）0 恒成立，此时 g（x）在 R 上单调递增，不合题意； 当 d21 时，令 g（x）=0，解得 x1= 2;1 3 ，x2= 2;1 3 ； g（x）在（，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减， 在（x2，+）上也单调递增； g（x）的极大值为 g（x1）=g（ 2;1 3 ）=23( 2;1)3 2 9 +630； 21 极小值为 g（x2）=g（ 2;1 3 ）=23( 2;1)3 2 9 +63； 若 g（x2）0，由 g（x）的单调性可知， 函数 g（x）至多有两个零点，不合题意； 若 g（x2）0，即(21) 3 227，解得|d|10， 此时|d|x2，
36、g（|d|）=|d|+630，且2|d|x1； g（2|d|）=6|d|32|d|+630， 从而由 g（x）的单调性可知， 函数 y=g（x）在区间（2|d|，x1） ， （x1，x2） ， （x2，|d|）内各有一个零点，符 合题意； d 的取值范围是（，10）（10，+） 30 （2018全国）x1、x2R，f（0）0，且 f（2x1）+f（2x2）=f（x1+x2）f（x1 x2） （1）求 f（0） ； （2）求证 f（x）为偶函数； （3）若 f（）=0，求证 f（x）为周期函数 【解答】解： （1）f（2x1）+f（2x2）=f（x1+x2）f（x1x2） ， 可令 x1=x2=
37、0，可得 f（0）+f（0）=f（0）f（0） ， 由 f（0）0， 可得 f（0）=2； （2）证明：可令 x1= 2，x2= 2， 则 f（x）+f（x）=f（0）f（x）=2f（x） ， 可得 f（x）=f（x） ， 则 f（x）为偶函数； （3）证明：可令 x1= 2+，x2= 2， 则 f（x+2）+f（）=f（x+）f（）=0， 22 即有 f（x+2）=f（x） ， 将 x 换为 x+2，可得 f（x+4）=f（x+2）=f（x） ， 可得 f（x）为最小正周期为 4 的函数 23 2017 高考真题高考真题 一选择题（共（共 14 小题）小题） 1 （2017新课标）函数 y=
38、 2 1;的部分图象大致为（ ） A B C D 24 【解答】解：函数 y= 2 1;， 可知函数是奇函数，排除选项 B， 当 x= 3时，f（ 3）= 3 2 1;1 2 =3，排除 A， x= 时，f（）=0，排除 D 故选：C 2 （2017新课标）已知函数 f（x）=lnx+ln（2x） ，则（ ） Af（x）在（0，2）单调递增 Bf（x）在（0，2）单调递减 Cy=f（x）的图象关于直线 x=1 对称 Dy=f（x）的图象关于点（1，0）对称 【解答】解：函数 f（x）=lnx+ln（2x） ， f（2x）=ln（2x）+lnx， 即 f（x）=f（2x） ， 即 y=f（x）的
39、图象关于直线 x=1 对称， 故选：C 3 （2017新课标）函数 f（x）=ln（x22x8）的单调递增区间是（ ） A （，2） B （，1） C （1，+） D （4，+） 【解答】解：由 x22x80 得：x（，2）（4，+） ， 令 t=x22x8，则 y=lnt， x（，2）时，t=x22x8 为减函数； x（4，+）时，t=x22x8 为增函数； y=lnt 为增函数， 故函数 f（x）=ln（x22x8）的单调递增区间是（4，+） ， 故选：D 25 4 （2017新课标）函数 y=1+x+ 2 的部分图象大致为（ ） A B C 26 D 【解答】解：函数 y=1+x+ 2
40、，可知：f（x）=x+ 2 是奇函数，所以函数的图 象关于原点对称， 则函数 y=1+x+ 2 的图象关于（0，1）对称， 当 x0 +，f（x）0，排除 A、C，当 x= 时，y=1+，排除 B 故选：D 5 （2017新课标）已知函数 f（x）=x22x+a（ex 1+ex+1）有唯一零点，则 a= （ ） A1 2 B1 3 C1 2 D1 【解答】解：因为 f（x）=x22x+a（ex 1+ex+1）=1+（x1）2+a（ex1+ 1 1） =0， 所以函数 f（x）有唯一零点等价于方程 1（x1） 2=a（ex1+ 1 1）有唯一解， 等价于函数 y=1（x1）2的图象与 y=a（e
41、x 1+ 1 1）的图象只有一个交点 当 a=0 时，f（x）=x22x1，此时有两个零点，矛盾； 当 a0 时，由于 y=1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递 减， 且 y=a（ex 1+ 1 1）在（，1）上递增、在（1，+）上递减， 所以函数 y=1（x1）2的图象的最高点为 A（1，1） ，y=a（ex 1+ 1 1）的图 27 象的最高点为 B（1，2a） ， 由于 2a01，此时函数 y=1（x1）2的图象与 y=a（ex 1+ 1 1）的图象有 两个交点，矛盾； 当 a0 时，由于 y=1（x1）2在（，1）上递增、在（1，+）上递 减， 且 y=a（ex 1+ 1 1
42、）在（，1）上递减、在（1，+）上递增， 所以函数 y=1（x1）2的图象的最高点为 A（1，1） ，y=a（ex 1+ 1 1）的图 象的最低点为 B（1，2a） ， 由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件，即 2a=1，即 a=1 2，符合条件； 综上所述，a=1 2， 故选：C 6 （2017浙江）若函数 f（x）=x2+ax+b 在区间0，1上的最大值是 M，最小值 是 m，则 Mm（ ） A与 a 有关，且与 b 有关 B与 a 有关，但与 b 无关 C与 a 无关，且与 b 无关 D与 a 无关，但与 b 有关 【解答】解：函数 f（x）=x2+ax+b 的图象是开口朝上且以直线 x= 2为对称轴的 抛物线， 当 21 或 20，即 a2，或 a0 时， 函数 f（x）在
