1、123 简单复合函数的导数简单复合函数的导数 学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法 则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如 f(axb)的导数) 知识点 复合函数的概念及求导法则 已知函数 y2x5ln x，yln(2x5)，ysin(x2) 思考 1 这三个函数都是复合函数吗？ 答案 函数 yln(2x5)，ysin(x2)是复合函数，函数 y2x5ln x 不是复合函数 思考 2 试说明函数 yln(2x5)是如何复合的？ 答案 设 u2x5，则 yln u，从而 yln(2x5)可以看作是由 yln u 和 u2
2、x5 复合而 成，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数 思考 3 试求函数 yln(2x5)的导数 答案 yx 1 2x5 (2x5) 2 2x5. 梳理 复合函数求导法则 若 yf(u)，uaxb，则 yxyu ux，即 yxyu a. 1下列函数都是复合函数( ) yx31 x1；ycos x 4 ；y 1 ln x；y(2x3) 4. 2函数 y 1 3x12的导数 y 6 3x13.( ) 3函数 f(x)x(1ax)2(a0)，且 f(2)5，则实数 a 的值为 1.( ) 类型一 简单复合函数求导 例 1 求下列函数的导数 (1)ylog2(2x1)； (2)y2
3、sin 3x 6 ； (3)y 1 12x . 解 (1)设 ylog2u，u2x1， 则 yxyu ux 2 uln 2 2 2x1ln 2. (2)设 y2sin u，u3x 6， 则 yxyu ux2cos u3 6cos 3x 6 . (3)设 y 1 2 u ，u12x， 则 yxyu ux 1 2 u (12x) 1 2 3 2 u (2) 3 2 1 2x . 反思与感悟 (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数求导时分清是对哪个 变量求导计算结果尽量简洁 跟踪训练 1 求下列函数的导数 (1)y 1 2x33； (2)ye 0.
4、05x1； (3)ycos(x)(其中 ， 为常数)； (4)ylog2(53x) 解 (1)y 1 2x33 3 2 23x 是函数 y 3 2 u ，u2x3 的复合函数， 所以 yxyu ux 3 2 u (2x3) 3 2 5 2 u 23 5 2 u 3 5 2 23x . (2)ye 0.05x1是函数 yeu，u0.05x1 的复合函数， 所以 yxyu ux(eu) (0.05x1) 0.05eu0.05e 0.05x1. (3)ycos(x)是 ycos u，ux 的复合函数， 所以 yxyu ux(cos u) (x) sin u sin(x) (4)ylog2(53x)是
5、 ylog2u，u53x 的复合函数， 所以 yxyu ux(log2u) (53x)3 1 uln 2 3 53xln 2 3 3x5ln 2. 类型二 复合函数导数的综合应用 命题角度1 复合函数与导数的运算法则的综合应用 例 2 求下列函数的导数 (1)yln 3x ex ； (2)yx 1x2； (3)yxcos 2x 2 sin 2x 2 . 解 (1)(ln 3x) 1 3x(3x) 1 x. yxln 3xe xln 3xex ex2 1 xln 3x ex 1xln 3x xex . (2)yx(x 1x2) x 1x2x( 1x2) 1x2 x2 1x2 12x 2 1x2
6、1x2 . (3)yxcos 2x 2 sin 2x 2 x(sin 2x)cos 2x1 2xsin 4x， yx 1 2xsin 4x 1 2sin 4x x 2cos 4x 4 1 2sin 4x2xcos 4x. 反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系 学过的求导公式， 对不易用求导法则求导的函数， 可适当地进行等价变形， 以达到化异求同、 化繁为简的目的 (2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公 式，从外层开始由外及内逐层求导 跟踪训练 2 求下列函数的导数 (1)ysin2x 3；(2)ysi
7、n 3xsin x3；(3)y 1 1x；(4)yxln(1x) 解 (1)yx sin2x 3 2sin x 3 x 3 sin x 3 2 3sin x 3cos x 3 1 3sin 2 3x. (2)yx(sin3xsin x3) (sin3x)(sin x3) 3sin2xcos xcos x3 3x2 3sin2xcos x3x2cos x3. (3)yx0 1x 1x 1 2 1 11 2 1 xx x 1 21x 1x 1 x 21x2. (4)yxxln(1x)xln(1x)ln(1x) x 1x. 命题角度 2 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用 例 3 设 f(x)l
8、n(x1) x1axb(a，bR，a，b 为常数)，曲线 yf(x)与直线 y3 2x 在(0,0)点相切，求 a，b 的值 解 由曲线 yf(x)过(0,0)点， 可得 ln 11b0，故 b1. 由 f(x)ln(x1) x1axb，得 f(x) 1 x1 1 2 x1a， 则 f(0)11 2a 3 2a， 此即为曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率 由题意，得3 2a 3 2，故 a0. 所以 a0，b1. 反思与感悟 正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目 隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键 跟踪训练 3
9、已知函数 f(x)ax22ln(2x)(aR)， 设曲线 yf(x)在点(1， f(1)处的切线为 l， 若 l 与圆 C：x2y21 4相切，求 a 的值 解 f(x)a(x2)2 1 2x (2x) 2ax 2 2x， f(1)2a2，又 f(1)a2ln 1a， 切线 l 的方程为 ya2(a1)(x1)， 即 2(a1)xya20. 直线 l 与圆 C：x2y21 4相切， 圆心(0,0)到直线 l 的距离为1 2， |2a| 4a121 1 2，解得 a 11 8 . 1设 f(x)e x，则 f(x)_. 答案 e x 解析 f(x)(x)e xex. 2若 f(x)sin 3x
10、4 ，则 f 4 _. 答案 3 解析 f(x)3cos 3x 4 ， 所以 f 4 3. 3函数 y(12x)4在 x1 2处的导数为_ 答案 0 解析 yx4(12x)3 (12x)8(12x)3， 当 x1 2时，yx0. 4已知 f(x)ln(3x1)，则 f(1)_. 答案 3 2 解析 f(x) 1 3x1 (3x1) 3 3x1， f(1)3 2. 5设曲线 yeax在点(0,1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则 a_. 答案 2 解析 由题意知，yxaeax. 当 x0 时，yxa2. 求简单复合函数 f(axb)的导数 实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数 yf(u)，uaxb 的形式，然后再 分别对 yf(u)与 uaxb 分别求导，并把所得结果相乘灵活应用整体思想把函数化为 y f(u)，uaxb 的形式是关键.
