1、5 5. .2.32.3 简单复合函数的导数简单复合函数的导数 学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念， 掌 握复合函数的求导法则 知识点 复合函数的导数 1复合函数的概念 一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过中间变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那 么称这个函数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作 yf(g(x) 思考 函数 ylog2(x1)是由哪些函数复合而成的？ 答案 函数 ylog2(x1)是由 ylog2u 及 ux1 两个函数复合而成的 2复合函数的求导法则 一般地，对于由函数 yf(u)和 ug(x
2、)复合而成的函数 yf(g(x)，它的导数与函数 yf(u)，u g(x)的导数间的关系为 yxyu ux， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数 的乘积 1ycos 3x 由函数 ycos u，u3x 复合而成( ) 2函数 f(x)sin(2x)的导数为 f(x)cos 2x.( ) 3函数 f(x)e2x 1的导数为 f(x)2e2x1.( ) 一、求复合函数的导数 例 1 求下列函数的导数： (1)y 1 13x4； (2)ycos(x2)； (3)ylog2(2x1)； (4)ye3x 2. 解 (1)令 u13x，则 y 1 u4u 4， 所以 yu
3、4u 5，u x3. 所以 yxyu ux12u 5 12 13x5. (2)令 ux2，则 ycos u， 所以 yxyu uxsin u 2x2xsin(x2). (3)设 ylog2u，u2x1， 则 yxyuux 2 uln 2 2 2x1ln 2. (4)设 yeu，u3x2， 则 yx(eu) (3x2) 3eu3e3x 2. 反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个 变量求导；计算结果尽量简洁 跟踪训练 1 求下列函数的导数： (1)y 1 12x； (2)y5log2(1x)； (3)ysin 2x
4、 3 . 解 (1) 1 2 = 1 2,yx - - 设 y 1 2 u - ，u12x， 则 yx 1 2 1 2ux - 3 2 2 1 2 u 3 2 = 1 2x - - (2)函数 y5log2(1x)可看作函数 y5log2u 和 u1x 的复合函数， 所以 yxyu ux5(log2u) (1x) 5 uln 2 5 x1ln 2. (3) 设 ysin u，u2x 3， 则 yx(sin u) 2x 3 cos u 22cos 2x 3 . 二、复合函数与导数的运算法则的综合应用 例 2 求下列函数的导数： (1)yln 3x ex ； (2)yx 1x2； (3)yxcos
5、 2x 2 sin 2x 2 . 解 (1)(ln 3x) 1 3x(3x) 1 x， yln 3xe xln 3xex ex2 1 xln 3x ex 1xln 3x xex . (2)y(x 1x2)x 1x2x( 1x2) 1x2 x2 1x2 12x 2 1x2 1x2 . (3)yxcos 2x 2 sin 2x 2 x(sin 2x)cos 2x1 2xsin 4x， y 1 2xsin 4x 1 2sin 4x x 2cos 4x 4 1 2sin 4x2xcos 4x. 反思感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学 过的求导公式，对不易用
6、求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、 化繁为简的目的 (2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公 式，从外层开始由外及内逐层求导 跟踪训练 2 求下列函数的导数： (1)ysin2x 3； (2)ysin3xsin x3； (3)yxln(1x) 解 (1)方法一 y 1cos 2 3x 2 ， y 1 2 cos 2 3x 2 1 3sin 2 3x. 方法二 y2sin x 3cos x 3 1 3 2 3sin x 3cos x 3 1 3sin 2 3x. (2)y(sin3xsin x3) (sin3x)(sin x3)
7、 3sin2xcos xcos x3 3x2 3sin2xcos x3x2cos x3. (3)yxln(1x)xln(1x) ln(1x) x 1x. 三、与切线有关的综合问题 例 3 (1)曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离是( ) A. 5 B2 5 C3 5 D0 答案 A 解析 设曲线 yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线 2xy30 平行 y 2 2x1， 0 = |x xy 2 2x012， 解得 x01， y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0) 切点(1,0)到直线 2xy 30 的距离为 d|203| 41 5， 即曲线 yln(2x1
8、)上的点到直线 2xy30 的最短距离是 5. (2)设 f(x)ln(x1) x1axb(a， bR， a， b 为常数)， 曲线 yf(x)与直线 y3 2x 在(0,0) 点相切求 a，b 的值 解 由曲线 yf(x)过(0,0)点， 可得 ln 11b0，故 b1. 由 f(x)ln(x1) x1axb， 得 f(x) 1 x1 1 2 x1a， 则 f(0)11 2a 3 2a， 即为曲线 yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率 由题意，得3 2a 3 2，故 a0. 反思感悟 (1)求切线的关键要素为切点， 若切点已知便直接使用， 切点未知则需先设再求 两 直线平行与垂直关系与直线
9、的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件 (2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域在解出自变量的值或范围时也要验证其是否 在定义域内 跟踪训练 3 (1)已知函数 f(x)kln x ex (k 为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线 y f(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行，则 k 的值为 答案 1 解析 由 f(x)ln xk ex ， 得 f(x)1kxxln x xex ，x(0，) 由于曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行， 所以 f(1)0，因此 k1. (2)设曲线 yeax在点(0,1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则
10、 a .该切线与坐标轴围 成的面积为 答案 2 1 4 解析 令 yf(x)，则曲线 yeax在点(0,1)处的切线的斜率为 f(0)， 又切线与直线 x2y10 垂直，所以 f(0)2. 因为 f(x)eax， 所以 f(x)(eax)eax (ax)aeax， 所以 f(0)ae0a，故 a2. 由题意可知，切线方程为 y12x，即 2xy10. 令 x0 得 y1；令 y0 得 x1 2. S1 2 1 21 1 4. 1(多选)函数 y(x21)n的复合过程正确的是( ) Ayun，ux21 By(u1)n，ux2 Cytn，t(x21)n D. tx21, ytn 答案 AD 2函数
11、 y(2 0208x)3的导数 y等于( ) A3(2 0208x)2 B24x C24(2 0208x)2 D24(2 0208x)2 答案 C 解析 y3(2 0208x)2(2 0208x) 3(2 0208x)2(8)24(2 0208x)2. 3函数 yx2cos 2x 的导数为( ) Ay2xcos 2xx2sin 2x By2xcos 2x2x2sin 2x Cyx2cos 2x2xsin 2x Dy2xcos 2x2x2sin 2x 答案 B 解析 y(x2)cos 2xx2(cos 2x) 2xcos 2xx2(sin 2x) (2x) 2xcos 2x2x2sin 2x. 4已知 f(x)ln(3x1)，则 f(1) . 答案 3 2 解析 f(x) 3 3x1，f(1) 3 31 3 2. 5曲线 yln(2x)在点(1,0)处的切线方程为 答案 xy10 解析 y 1 2x 1 x2， y| x1 1 121，即切线的斜率是 k1， 又切点坐标为(1,0) yln(2x)在点(1,0)处的切线方程为 y(x1)， 即 xy10. 1知识清单： (1)复合函数的概念 (2)复合函数的求导法则 2方法归纳：转化法 3常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导； 计算结果复杂化
