1、2019-2020 学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题 12 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡相应的位置）项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡相应的位置） 1 （5 分）双曲线 x24y24 的离心率为（ ） A B C D 2 （5 分） ”mn0”是”方程 mx2+ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）
2、命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为（ ） A对任意 xR，都有 x20 B不存在 xR，都有 x20 C存在 x0R，使得 x020 D存在 x0R，使得 x020 4 （5 分）已知抛物线 y4x2上一点 P 到焦点的距离为 1，则点 P 的纵坐标为（ ） A B C D 5 （5 分）已知集合 AxR|2x8，BxR|1xm+1，若 xB 成立的一个充 分不必要的条件是 xA，则实数 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 D2m2 6 （5 分）已知直线 yx+a 与曲线 ylnx 相切，则 a 的值为（ ） A1 B2 C1 D2 7 （5 分）f（x）的导函数 f（x
3、）满足 f（x）x，则（ ） Af（2）f（1） Bf（2）f（1） Cf（2）f（1） Df（2）f（1） 8 （5 分）设 F1，F2是椭圆+1（ab0）的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使 得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A B C D 第 2 页（共 19 页） 9 （5 分）函数在（0，+）上是增函数，则实数 a 的取值范围是 （ ） A2，+） B2，+） C （，2 D （2，+） 10 （5 分）函数 y2sinx 的图象大致是（ ） A B C D 11 （5 分）已知函数 f（x）x33x+m 只有一个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A2，2 B （，2）（2，
4、+） C （2，2） D （，22，+） 12 （5 分）已知点 A 是抛物线 x24y 的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点，P 在 第 3 页（共 19 页） 抛物线上且满足|PA|m|PB|，当 m 取最大值时，点 P 恰好在以 A，B 为焦点的双曲线上， 则双曲线的离心率为（ ） A B+1 C D1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分，把正确的选项填在答题卡相应的位置）分，把正确的选项填在答题卡相应的位置） 13 （5 分）若不等式|x1|a 成立的充分条件是 0x4，则实数 a 的取值范围是 14 （5 分）已知点
5、 P 在抛物线 y24x 上，则点 P 到点 Q（2，1）的距离与到抛物线的焦点 的距离之和的最小值为 15 （5 分）已知函数 f（x）（x2+ax+2）ex有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）给出下列命题： 到定点（2，3）与定直线 2xy10 的距离相等的点的轨迹是抛物线； 设 A，B 为两个定点，k 为常数且 k0，若|PA|PB|k，则动点 P 的轨迹是双曲线 对任意实数 ，直线 xsin+ycos1 总与某一个定圆相切 在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆； 方程 3x210x+30 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 其中真命题的序号是
6、（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）说明，证明过程和演算步骤） 17 （10 分）设 p：xR，ax22ax30；q：函数 f（x）x2+（a1）x+1 的图象恒在 x 轴的上方； （1）若 p 为真，求实数 a 的取值范围； （2）若“p 且 q”为真，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）已知函数 f（x）+lnx1，aR （1）若曲线 yf（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线平行于直线 yx+1，求实数 a 的 值； （2）讨论函数 yf（x）的单调
7、区间 19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，过点 C（2，0）的直线 l 与抛物线 y24x 相交于点 A、B 两点，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （1）求证：y1y2为定值； （2）若，求直线 l 方程 第 4 页（共 19 页） 20 （12 分）设函数 （1）若 f（x）在2，+）上是减函数，求 a 的取值范围； （2）若 a8，求函数 f（x）的极值 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，椭圆 C 过 点 P（1，） ，直线 PF1交 y 轴于 Q，且2，O 为坐标原点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 M 是椭圆 C
8、的上顶点，过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆 C 于 A，B 两点，设 这两条直线的斜率分别为 k1，k2，且 k1+k22，证明：直线 AB 过定点 22 （12 分）已知函数 f（x）exax1，其中 a 为实数， （1）若 a1，求函数 f（x）的最小值； （2）若方程 f（x）0 在（0，2上有实数解，求 a 的取值范围； 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高二学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高二 （上）期中数学试卷（文科）（上）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题一、选择
9、题（本大题 12 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡相应的位置）项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡相应的位置） 1 （5 分）双曲线 x24y24 的离心率为（ ） A B C D 【分析】由双曲线方程求出三参数 a，b，c，再根据离心率 e求出离心率 【解答】解：双曲线 x24y24，即， a2，b1， c， e 故选：D 【点评】本题的考点是双曲线的简单性质，考查由双曲线的方程求三参数，考查双曲线 中三参数的关系：c2a2+b2 2 （5 分） ”mn0”
10、是”方程 mx2+ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】将方程 mx2+ny21 转化为，然后根据椭圆的定义判断 【解答】解：将方程 mx2+ny21 转化为， 根据椭圆的定义，要使焦点在 y 轴上必须满足，且，即 mn0 反之，当 mn0，可得出0，此时方程对应的轨迹是椭圆 综上证之， ”mn0”是”方程 mx2+ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件 故选：C 第 6 页（共 19 页） 【点评】本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导 3 （5 分）命题“对任意 xR，都有 x20”
11、的否定为（ ） A对任意 xR，都有 x20 B不存在 xR，都有 x20 C存在 x0R，使得 x020 D存在 x0R，使得 x020 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为存在 x0R，使得 x020 故选：D 【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查 4 （5 分）已知抛物线 y4x2上一点 P 到焦点的距离为 1，则点 P 的纵坐标为（ ） A B C D 【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点 p
12、到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出 yp+1，求得 yp 【解答】解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，） ，准线方程为 y， 根据抛物线定义， yp+1， 解得 yp， 故选：C 【点评】本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，常 可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题，是基本知识的考查 5 （5 分）已知集合 AxR|2x8，BxR|1xm+1，若 xB 成立的一个充 分不必要的条件是 xA，则实数 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 D2m2 【分析】先化简集合，再由 xB 成立的一个充分不必要的条件是 xA，A 是 B 的一个子 集
13、求解 【解答】解：AxR|2x8x|1x3， xB 成立的一个充分不必要条件是 xA， 第 7 页（共 19 页） AB， m+13，即 m2 故选：C 【点评】本题主要通过简易逻辑来考查集合间的关系 6 （5 分）已知直线 yx+a 与曲线 ylnx 相切，则 a 的值为（ ） A1 B2 C1 D2 【分析】设二曲线的切点为 P（x0，y0） ，由 y1，可求得 x0，从而可得 y0，代 入直线 yx+a 可求得 a 的值 【解答】解：设二曲线的切点为 P（x0，y0） ，由 y1 得：x01， y0lnx0ln10， P（1，0） 又 P（1，0）在直线 yx+a 上， 1+a0， a1
14、 故选：C 【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求得切点坐标是关键，属于基础 题 7 （5 分）f（x）的导函数 f（x）满足 f（x）x，则（ ） Af（2）f（1） Bf（2）f（1） Cf（2）f（1） Df（2）f（1） 【分析】根据条件构造函数 g（x）f（x），求函数的导数，利用导数研究函数 的单调性即可得到结论 【解答】解：构造函数 g（x）f（x）， 则 g（x）f（x）x， f（x）x， g（x）0， 即函数 g（x）为增函数， g（2）g（1） ， 第 8 页（共 19 页） 即 f（2）f（1）， f（2）f（1）， 故选：A 【点评】本题主要考查导数的应用，
15、利用条件构造函数是解决本题的关键 8 （5 分）设 F1，F2是椭圆+1（ab0）的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使 得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A B C D 【分析】由题意可得 cb，结合隐含条件即可求得椭圆离心率的取值范围 【解答】解：若椭圆上存在点 P，使得， 则 cb，则 c2b2， c2a2c2，即 解得 e（舍）或 e 又 0e1， 椭圆的离心率的取值范围为（，1） 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题 9 （5 分）函数在（0，+）上是增函数，则实数 a 的取值范围是 （ ） A2，+） B2，+） C （，2 D （2，+） 【
16、分析】得出 f（x）0，然后用基本不等式求 a 的取值范围 【解答】解：若函数在（0，+）上是增函数，则 f（x）x+0 恒成立； 即，； a2 故选：B 第 9 页（共 19 页） 【点评】注意得出 a，并理解这个不等式的含义，及对基本不等式的应用 10 （5 分）函数 y2sinx 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据函数的解析式，我们根据定义在 R 上的奇函数图象必要原点 可以排除 A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即 可找到满足条件的结论 【解答】解：当 x0 时，y02sin00 故函数图象过原点， 可排除 A 第 10 页（共 19 页）
17、 又y 故函数的单调区间呈周期性变化 分析四个答案，只有 C 满足要求 故选：C 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、 单调性、奇偶性是我们经常用的方法 11 （5 分）已知函数 f（x）x33x+m 只有一个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A2，2 B （，2）（2，+） C （2，2） D （，22，+） 【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数 f（x）x33x+m 只有一个零 点，则满足极大值小于 0 或极小值大于 0 【解答】解：f（x）x33x+m，f（x）3x23， 由 f（x）0，得 x1 或 x1，此时函数单调递增， 由
18、 f（x）0，得1x1，此时函数单调递减 即当 x1 时，函数 f（x）取得极大值， 当 x1 时，函数 f（x）取得极小值， 要使函数 f（x）x33x+m 只有一个零点，则满足极大值小于 0 或极小值大于 0， 即极大值 f（1）1+3+mm+20，解得 m2 极小值 f（1）13+mm20，解得 m2 综上实数 m 的取值范围：m2 或 m2 故选：B 【点评】本题主要考查三次函数的图象和性质，利用导数求出函数的极值是解决本题的 关键 12 （5 分）已知点 A 是抛物线 x24y 的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点，P 在 抛物线上且满足|PA|m|PB|，当 m 取最大值时
19、，点 P 恰好在以 A，B 为焦点的双曲线上， 则双曲线的离心率为（ ） A B+1 C D1 【分析】过 P 作准线的垂线，垂足为 N，则由抛物线的定义，结合|PA|m|PB|，可得 第 11 页（共 19 页） ，设 PA 的倾斜角为 ，则当 m 取得最大值时，sin 最小，此时直线 PA 与抛物线 相切，求出 P 的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论 【解答】解：过 P 作准线的垂线，垂足为 N， 则由抛物线的定义可得|PN|PB|， |PA|m|PB|， |PA|m|PN| ， 设 PA 的倾斜角为 ，则 sin， 当 m 取得最大值时，sin 最小，此时直线 PA 与抛物线相切，
20、设直线 PA 的方程为 ykx1，代入 x24y，可得 x24（kx1） ， 即 x24kx+40， 16k2160，k1， P（2，1） ， 双曲线的实轴长为 PAPB2（1） ， 双曲线的离心率为+1 故选：B 【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题 的能力，当 m 取得最大值时，sin 最小，此时直线 PA 与抛物线相切，是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分，把正确的选项填在答题卡相应的位置）分，把正确的选项填在答题卡相应的位置） 13 （5 分）若不等式|x1|a 成立的充分条
21、件是 0x4，则实数 a 的取值范围是 3，+ 第 12 页（共 19 页） ） 【分析】先求出不等式|x1|a 的解集为集合 B，再根据条件可知x|0x4B，建立 关于 a 的不等式组，解之从而确定 a 的取值范围 【解答】解：|x1|a1axa+1 由题意可知x0 0x4 是 1axa+1 成立的充分不必要条件 解得 a3 实数 a 的取值范围是3，+） 故答案为：3，+） 【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用， 属于基础题 14 （5 分）已知点 P 在抛物线 y24x 上，则点 P 到点 Q（2，1）的距离与到抛物线的焦点 的距离之和的最小值为
22、3 【分析】如图所示，过点 P 作 PMl，垂足为 M，利用抛物线的定义可得|PM|FP|可 知当 PQx 轴时，点 P、Q、M 三点共线，因此|PF|+|PQ|取得最小值|QM|，求出即可 【解答】解：设准线为 l：x1，焦点为 F（1，0） 如图所示，过点 P 作 PMl，垂足为 M，则|PM|FP| 故当 PQx 轴时，|PF|+|PQ|PM|+|PQ|取得最小值|QM|2（1）3 故答案为：3 【点评】熟练掌握抛物线的定义及其三点共线时|PQ|+|PM|取得最小值是解题的关键 15 （5 分） 已知函数 f （x） （x2+ax+2） ex有极大值和极小值， 则实数 a 的取值范围是
23、（ ，2）（2，+） 【分析】求导函数解：f（x）（2x+a）ex+（x2+ax+2）exx2+（a+2）x+a+2ex，令 g（x）x2+（a+2）x+a+2，（a+2）24（a+2）a24，讨论，得到增减性， 进而确定有无极值 第 13 页（共 19 页） 【解答】解：f（x）（2x+a）ex+（x2+ax+2）exx2+（a+2）x+a+2ex 令 g（x）x2+（a+2）x+a+2， （a+2）24（a+2）a24， 当0 时，即2x2 时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）在（，+） 递增，无极大值也无极小值 当0 时，即 x2 或 x2 时，g（x）有两个零点 x1，x2 （不
24、妨设 x1x2） ， 在（0，x1） ， （x2，+）上，g（x）0，f（x）0，f（x）递增； 在（x1，x2）上，g（x）0，f（x）0，f（x） 递减； xx1 处取到极大值， xx2处取到极小值 故答案为： （，2）（2，+） 【点评】本题考查的是导数的应用去确定有无极值，属于中档题 16 （5 分）给出下列命题： 到定点（2，3）与定直线 2xy10 的距离相等的点的轨迹是抛物线； 设 A，B 为两个定点，k 为常数且 k0，若|PA|PB|k，则动点 P 的轨迹是双曲线 对任意实数 ，直线 xsin+ycos1 总与某一个定圆相切 在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭
25、圆； 方程 3x210x+30 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 其中真命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上） 【分析】由于定点在定直线上，可得点的轨迹是不是抛物线； 利用双曲线的定义即可判断出正误； 对任意实数 ，由于原点（0，0）到直线 xsin+ycos1 的距离 d1，即可判断出正 误； 利用椭圆的定义即可判断出正误； 方程 3x210x+30 的两根：，3；即可判断出正误； 【解答】解：由于定点在定直线上，可得到定点（2，3）与定直线 2xy10 的距 离相等的点的轨迹是直线，不是抛物线，不正确； 设 A，B 为两个定点，k 为常数且 k0，若|PA|PB|k，只有当
26、k|AB|时，动点 P 的轨迹是双曲线，因此不正确 第 14 页（共 19 页） 对任意实数 ， 由于原点 （0， 0） 到直线 xsin+ycos1 的距离 d 1，因此对任意实数 ，直线 xsin+ycos1 总与定圆 x2+y21 相切，正确 在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹，只有当常数大于两定点的距离 时才是椭圆，因此不正确； 方程 3x210x+30 的两根：，3；可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确 其中真命题的序号是 故答案为： 【点评】本题考查了圆锥曲线的定义及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大
27、题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 17 （10 分）设 p：xR，ax22ax30；q：函数 f（x）x2+（a1）x+1 的图象恒在 x 轴的上方； （1）若 p 为真，求实数 a 的取值范围； （2）若“p 且 q”为真，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求出命题 P 是真命题时，判断 a 的值，利用判别式转化求解即可 （2）利用复合命题的真假，判断两个命题的真假关系，列出不等式组，求解即可 【解答】解： （1）p：当 a0 时，30，符合； 当 a0 时， 3a0， 综上，实数 a 的取值范围
28、为：3a0 （2）q：（a1）240，解得1a3 p 为真，实数 a 的取值范围为3a0 “p 且 q”为真，p 假 q 真， ，0a3， 实数 a 的取值范围为：0a3 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，是基本知识的考 第 15 页（共 19 页） 查 18 （12 分）已知函数 f（x）+lnx1，aR （1）若曲线 yf（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线平行于直线 yx+1，求实数 a 的 值； （2）讨论函数 yf（x）的单调区间 【分析】 （1）曲线 yf（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线平行于直线 yx+1，求出 a 的值 （2）分类讨论当
29、a0 时，a0 时，函数 f（x）的单调区间 【解答】解： （1）， ， 曲线 yf（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线平行于直线 yx+1， kf（1）a+11， a2 （2）（x0） ， 当 a0 时，f（x）0 在（0，+）上恒成立， 当 a0 时，令 f（x）0xa， f（x）00xa， 综上，当 a0 时，函数 yf（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，函数 yf（x）在（a，+）上单调递增，在（0，a）上单调递减 【点评】本题考查的是导数的应用：求切线的斜率和单调区间，属于中档题 19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，过点 C（2，0）的直线 l 与抛物线 y
30、24x 相交于点 A、B 两点，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （1）求证：y1y2为定值； （2）若，求直线 l 方程 【分析】 （1）过点 C（2，0）的直线 l 设为 xmy+2，联立抛物线方程，由韦达定理可得 y1y28（定值） （2）结合（1）中得到的 y1+y24m，y1y28，表示出弦长|AB|，让它等于，就 可求出 m 的值，进而得直线 l 的方程 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）证明：设直线 l 方程为 xmy+2， 联立， 消去 x，得 y24my80， y1y28（定值） ； （2）由（1） ，得 y1+y24m，y1y28， ， 解得 m1，
31、 直线 l 方程为 x+y20 或 xy20 【点评】本题考查抛物线和直线相交问题，以及弦长公式，属于中档题 20 （12 分）设函数 （1）若 f（x）在2，+）上是减函数，求 a 的取值范围； （2）若 a8，求函数 f（x）的极值 【分析】 （1）把问题转化为0 在2，+）上恒成立，结合 x 的取值 范围可求出 实数 a 的取值范围 （2）把 a8 代入导函数，根据导函数值的正负求出单调区间即可求出函数 f（x）的 极值 【解答】解： （1）f（x）在2，+）上是减函数， 0 在2，+）上恒成立， 即在2，+）上恒成立， x2，+） ， 当，即 x2 时， 的取值范围为 第 17 页（共
32、 19 页） （2）当 a8 时， ， （x0） 令 f（x）0，得， 令 f（x）0，得， yf（x）在上单调递增，在上单调递减， yf（x）的极小值为，无极大值 【点评】本题考查了函数再区间递减可以转化成恒成立问题求解，以及如何求极值，属 于中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，椭圆 C 过 点 P（1，） ，直线 PF1交 y 轴于 Q，且2，O 为坐标原点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 M 是椭圆 C 的上顶点，过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆 C 于 A，B 两点，设 这两条直线的斜率分别为 k1，k2，且 k1+k22
33、，证明：直线 AB 过定点 【分析】 （1）由椭圆 C 过点，可得，由2，可得 PF2 F1F2，可得 c1，及其 a2b21，联立解出即可得出 （2）对直线 AB 的斜率分类讨论：当直线 AB 的斜率不存在时，利用 k1+k22，及其斜 率计算公式即可得出当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 ykx+m（m1） ，A （x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线方程与椭圆方程联立化为关于 x 的一元二次方程，利用根 与系数的关系、斜率计算公式即可得出 【解答】解： （1）椭圆 C 过点， 2，PF2F1F2，则 c1， a2b21， 由得 a22，b21， 第 18 页（共 19 页
34、） 椭圆 C 的方程为 （2）当直线 AB 的斜率不存在时，设 A（x0，y0） ，则 B（x0，y0） ，由 k1+k22 得 ，得 x01 当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 ykx+m（m1） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， ， 得， ， 即， 由 m1， （1k） （m+1）kmkm+1， 即 ykx+m（m+1）x+mm（x+1）yx， 故直线 AB 过定点（1，1） 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的 根与系数的关系、斜率计算公式、向量共线定理，考查了分类讨论方法、推理能力与计 算能力，属于难题 22 （12 分）已
35、知函数 f（x）exax1，其中 a 为实数， （1）若 a1，求函数 f（x）的最小值； （2）若方程 f（x）0 在（0，2上有实数解，求 a 的取值范围； 【分析】 （1）求出 f（x）ex1，由 f（x）0 得 x0，从而求出函数的单调区间， 进而求出函数的最值 （2）先求出 f（x）exa（0x2） ，再讨论当 a1 时，当 ae2时，当 1 ae2时，时的情况，从而求出 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）ex1，由 f（x）0 得 x0， 当 x0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）内递增； 当 x0 时，f（x）0，f（x）在（，0）内递减； 第 19 页（共 19
36、页） 函数 f（x）在 x0 处取得最小值 f（0）0 （2）f（x）exa（0x2） ， 当 a1 时，f（x）0，f（x）在（0，2内递增； f（x）f（0）0，方程 f（x）0 在（0，2上无实数解； 当 ae2时，f（x）0，f（x）在（0，2内递减； f（x）f（0）0，方程 f（x）0 在（0，2上无实数解； 当 1ae2时，由 f（x）0 得 xlna， 当 0xlna 时，f（x）0，f（x）递减；当 lnax2 时，f（x）0，f（x）递增； 又 f（0）0，f（2）e22a1，由 f（2）e22a10 得 故 a 的取值范围为 【点评】本题考查导函数的应用求函数最值，以及参数取值范围，属于中档题
