1、,第2讲 不等式选讲(大题),板块二 专题七 系列4选讲,NEIRONGSUOYIN,内容索引,热点分类突破,真题押题精练,1,PART ONE,热点一 含绝对值不等式的解法,热点二 含绝对值不等式恒成立(存在)问题,热点三 不等式的证明,热点一 含绝对值不等式的解法,1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点； (2)划区间、去绝对值符号； (3)分别解去掉绝对值的不等式； (4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值. 2.用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.,例1 (2019郴州质检)已知函数f
2、(x)|x1|2|x1|. (1)求不等式f(x)3的解集；,解 当x1时，f(x)3x13，,当1x1时，f(x)x33，得x0， 所以0x1，,取值范围.,即m1，n2，所以a2b2， 因为a0，b0，,当且仅当a2b1时等号成立，,跟踪演练1 设函数f(x)|2xa|5x，其中a0. (1)当a3时，求不等式f(x)5x1的解集；,解 当a3时，不等式f(x)5x1， 即|2x3|5x5x1， 即|2x3|1，解得x2或x1， 不等式f(x)5x1的解集为x|x1或x2.,(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值.,解 由f(x)0，得|2xa|5x0，,又a0，,热点二 含绝
3、对值不等式恒成立(存在)问题,绝对值不等式的成立问题的求解策略 (1)分离参数：根据不等式将参数分离，化为af(x)或af(x)的形式. (2)转化最值：f(x)a恒成立f(x)mina；f(x)a有解f(x)maxa；f(x)a无解f(x)maxa；f(x)a无解f(x)mina. (3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值. (4)得结论.,例2 (2019聊城模拟)已知函数f(x)|xa|2|x1|. (1)当a1时，求不等式f(x)4 的解集；,解 当a1时，f(x)|x1|2|x1|， 当x1时，若f(x)4，即x12x24， 解得x1，故x1， 当1x1时，若f(x)4，即1
4、x2x24， 解得x1，故1x1， 当x1时，若f(x)4，即1x2x24，,(2)设不等式f(x)|2x4|的解集为M，若0,3M，求a的取值范围.,解 若0,3M， 则问题转化为|xa|2|x1|2x4|在0,3上恒成立， 即|xa|2x42x22， 故2xa2， 故2xa2x在0,3上恒成立， 即x2ax2在0,3上恒成立， 故1a2， 即a的取值范围是1,2.,跟踪演练2 (2019广州模拟)已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2. (1)解不等式|g(x)|5.,解 由|x1|2|5，得5|x1|25， 所以7|x1|3， 解得2x4. 故所求不等式的解集为(2,4)
5、.,(2)若对任意x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围.,解 因为对任意x1R，都有x2R， 使得f(x1)g(x2)成立， 所以y|yf(x)y|yg(x)， 又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)| |a3|， 当且仅当(2xa)(2x3)0时等号成立， g(x)|x1|22，所以|a3|2， 解得a1或a5， 所以实数a的取值范围为(，51，).,热点三 不等式的证明,1.证明不等式的基本方法有综合法、分析法等，也常用到基本不等式进行证明. 2.对于含有绝对值的不等式，在证明时常用到绝对值三角不等式. 3.对于含有根号的不等式，在证明时可用平方法
6、(前提是不等式两边均为正数). 4.如果所证明命题是否定性命题或唯一性命题，或以“至少”“至多”等方式给出，可以考虑反证法.,(1)解不等式f(x)x1；,解 f(x)x1，即|x1|x3|x1. 当x3时，不等式可化为2x4x1，解得x5. 又x3，3x5. 原不等式的解集为1,5.,证明 由绝对值不等式的性质，,当且仅当(x1)(x3)0，即1x3时，等号成立， c2，即ab2. 令a1m，b1n， 则m1，n1，am1，bn1，mn4，,当且仅当mn2时，等号成立，原不等式得证.,跟踪演练3 已知函数f(x)|3x1|3x1|，M为不等式f(x)6的解集. (1)求集合M；,解 f(x)
7、|3x1|3x1|6.,又26恒成立，,综上，f(x)6的解集Mx|1x1.,(2)若a，bM，求证：|ab1|ab|.,证明 (ab1)2(ab)2a2b22ab1(a2b22ab) a2b2a2b21(a21)(b21). 由a，bM，得|a|0， |ab1|ab|.,2,PART TWO,押题预测,真题体验,(2019全国，理，23)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：,真题体验,证明 因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且abc1，故有,(2)(ab)3(bc)3(ca)324.,证明 因为a，b，c为正数且abc1，故有,3(ab)(bc)(ac),所以(ab)3(bc)3(ca)324.,押题预测,设函数f(x)|x1|2x4|. (1)求不等式f(x)2的解集；,解 由f(x)2，得|x1|2x4|2，,(2)若关于x的不等式f(x)t22t的解集非空，求实数t的取值范围.,解 关于x的不等式f(x)t22t的解集非空， 可得t22tf(x)max， 由f(x)|x1|x2|x2| |x1x2|03， 当且仅当x2时取得最大值3， 可得t22t3，解得3t1.,本课结束,
