1、 5 夹角的计算夹角的计算 学习目标 1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间的 夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解. 知识点一 直线间的夹角 1.共面直线的夹角 当两条直线 l1与 l2共面时， 我们把两条直线交角中， 范围在 0， 2 内的角叫作两直线的夹角， 如图所示，当两条直线垂直时，夹角为 2. 2.异面直线的夹角 当直线 l1与 l2是异面直线时，在直线 l1上任取一点 A 作 ABl2，我们把直线 l1和直线 AB 的 夹角叫作异面直线 l1与 l2的夹角，如图所示. 两条异面直线的夹角的范围为 0， 2 ，当夹角为 2时，称这两条直线异
2、面垂直. 综上，空间两条直线的夹角的范围是 0， 2 . 3.直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系 空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线l1与l2的方向向量分别为s1， s2. 当 0s1，s2 2时，直线 l1 与 l2的夹角等于s1，s2 ； 当 2s1，s2 时，直线 l1 与 l2的夹角等于 s1，s2. 知识点二 平面间的夹角 1.平面间夹角的概念 如图， 平面 1与 2相交于直线 l， 点 R 为直线 l 上任意一点， 过点 R， 在平面 1上作直线 l1l， 在平面 2上作直线 l2l，则 l1l2R.我们把直线 l1和 l2的夹角叫作平面 1与 2的夹角
3、. 由平面间夹角的概念可知，空间中两个平面的夹角的范围是 0， 2 . 当夹角等于 0 时，两个平面重合；当夹角等于 2时，两个平面互相垂直. 2.两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系 空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定. 已知平面 1与 2的法向量分别为 n1与 n2. 当 0n1，n2 2时，平面 1与 2的夹角等于n1，n2 ； 当 2n1，n2 时，平面 1与 2的夹角等于 n1，n2. 事实上，设平面 1与平面 2的夹角为 ， 则 cos |cosn1，n2|. 知识点三 直线与平面的夹角 1.直线与平面夹角的概念 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与
4、此平面的夹角，如图所示. 2.直线与平面夹角的范围 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角是 0. 如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是 2. 由此可得，直线与平面夹角的范围是 0， 2 . 3.利用向量计算直线与平面夹角的方法 空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定. 设平面 的法向量为 n，直线 l 的方向向量为 a，直线 l 与平面 所成的角为 . 当 0n，a 2时， 2n，a ； 当 2n，a 时，n，a 2. 即 sin |cosn，a|. 1.直线与平面的夹角 与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角 互余
5、.( ) 2.平面间的夹角的大小范围是 0， 2 .( ) 3.平面间的夹角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小.( ) 4.若直线 l平面 ，则 l 与平面 的夹角为 0.( ) 题型一 求直线间的夹角 例 1 已知直线 l1的一个方向向量为 s1(1，0，1)，直线 l2的一个方向向量为 s2(1，2， 2)，求直线 l1和直线 l2夹角的余弦值. 考点 向量法求直线与直线所成的角 题点 向量法求直线与直线所成的角 解 s1(1，0，1)，s2(1，2，2)， coss1，s2 s1 s2 |s1|s2| 12 2 9 2 2 0， 2s1，s2， 直线 l1与直线 l2的夹角为 s
6、1，s2 ， 直线 l1与直线 l2夹角的余弦值为 2 2 . 反思感悟 利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹角与 两条直线的夹角之间的关系.因为两条直线的方向向量的夹角的范围是0，而两条直线的 夹角的范围是 0， 2 ，所以这两者不一定相等，还可能互补. 跟踪训练 1 如图所示， 在三棱柱 OABO1A1B1中， 平面 OBB1O1平面 OAB， O1OB60 ， AOB90 ，且 OBOO12，OA 3，求异面直线 A1B 与 O1A 夹角的余弦值. 考点 向量法求直线与直线所成的角 题点 向量法求直线与直线所成的角 解 以 O 为坐标原点，OA，OB 所在直
7、线分别为 x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 O(0，0，0)，O1(0，1， 3)，A( 3，0，0)，A1( 3，1， 3)，B(0，2，0)， A1B ( 3，1， 3)，O1A ( 3，1， 3). |cosA1B ，O1A |A1B O1A | |A1B |O1A | | 3，1， 3 3，1， 3| 7 7 1 7. 异面直线 A1B 与 O1A 夹角的余弦值为1 7. 题型二 求平面间的夹角 例 2 如图，已知 ABCD 为直角梯形，DABABC90 ，SA平面 ABCD，SAAB BC1，AD1 2.求平面 SAB 与平面 SCD 夹角的余弦值. 考点 向量法求
8、平面与平面的夹角 题点 向量法求平面与平面的夹角 解 如图，以 A 为坐标原点，分别以 AD，AB，AS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直 角坐标系 Axyz， 则 S(0，0，1)，D 1 2，0，0 ，C(1，1，0)，B(0，1，0)， SD 1 2，0，1 ，SC (1，1，1). 设平面 SCD 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 n SD 0，n SC0， 1 2xz0， xyz0， x2z， yz， 令 z1，得 n(2，1，1). 易得BC 是平面 SAB 的一个法向量，且BC(1，0，0)， cosBC ，nBC n |BC |n| 6 3 . 设平面 SAB
9、 与平面 SCD 的夹角为 ，则 cos 6 3 . 反思感悟 利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)分别求出两平面的法向量； (3)求出两个法向量的夹角； (4)确定平面间夹角的大小. 跟踪训练 2 如图，在四棱锥 SABCD 中，SD底面 ABCD，ABDC，ADDC，ABAD 1，DCSD2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC. (1)证明：SE2EB； (2)求平面 ADE 与平面 CDE 夹角的大小. 考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角 (1)证明 以 D 为坐标原点，DA，DC，DS 所在直线
10、分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系 Dxyz， 则 D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)， SC (0，2，2)，BC(1，1，0)，DC (0，2，0). 设平面 SBC 的一个法向量为 m(a，b，c). 由 mSC ，mBC，得 m SC 0， m BC 0， 2b2c0， ab0， 令 b1，则 m(1，1，1). 又设SE EB(0)，则 E 1， 1， 2 1 ， DE 1， 1， 2 1 . 设平面 EDC 的一个法向量为 n(x，y，z). 由 nDE ，nDC ，得 n DE 0， n DC 0，
11、 x 1 y 1 2z 10， 2y0， 令 x2，则 n(2，0，). 由平面 EDC平面 SBC，得 mn，m n0， 20，即 2，SE2EB. (2)解 由(1)知 E 2 3， 2 3， 2 3 ，DE 2 3， 2 3， 2 3 ，EC 2 3， 4 3， 2 3 ，EC DE 0， ECDE. 取线段 DE 的中点 F，则 F 1 3， 1 3， 1 3 ， FA 2 3， 1 3， 1 3 ， FA DE 0，FADE. 向量FA 与EC的夹角或其补角等于平面 ADE 与平面 CDE 的夹角. 计算得 cosFA ，ECFA EC |FA |EC| 1 2， 故平面 ADE 与
12、平面 CDE 夹角的大小为 60 . 题型三 求直线与平面的夹角 例 3 已知直线 l 的一个方向向量为 s(1，0，0)，平面 的一个法向量为 n(2，1，1)，求 直线 l 与平面 夹角的正弦值. 考点 向量法求直线与平面所成的角 题点 向量法求直线与平面所成的角 解 coss，n s n |s|n| 2 1 6 6 3 0， 0s，n 2， 直线 l 与平面 的夹角 2s，n ， sin sin 2s，n coss，n 6 3 . 即直线 l 与平面 夹角的正弦值为 6 3 . 反思感悟 注意公式 sin |cosn，a|中，是线面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平 面的法向量的夹角的余
13、弦值的绝对值，不要记错. 跟踪训练3 如图所示， 已知直角梯形ABCD， 其中ABBC2AD， AS平面ABCD， ADBC， ABBC，且 ASAB.求直线 CS 与底面 ABCD 夹角 的余弦值. 考点 向量法求直线与平面所成的角 题点 向量法求直线与平面所成的角 解 由题设条件知，以 A 为坐标原点，分别以 AD，AB，AS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系 Axyz(如图所示). 设 AB1，则 A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D 1 2，0，0 ，S(0，0，1). AS (0，0，1)，CS(1，1，1). 显然AS 是底面的法向量，它
14、与已知向量CS的夹角为 90 ， 故有 sin cos AS CS |AS |CS| 1 1 3 3 3 ， 0，90， cos 1sin2 6 3 . 1.在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0，1，3)，(2，2，4)，则这两 个平面夹角的余弦值为( ) A. 15 6 B. 15 3 C. 15 3 D. 15 6 或 15 6 考点 向量法求平面与平面的夹角 题点 向量法求平面与平面的夹角 答案 A 解析 由0，1，3 2，2，4 19 4416 212 10 24 15 6 ， 知这两个平面夹角的余弦值为 15 6 ，故选 A. 2.已知在棱长为 2 的正方体 ABC
15、DA1B1C1D1中， E 是 DC 的中点， 建立如图所示的空间直角 坐标系，则直线 AB1与 ED1夹角的余弦值为( ) A. 10 10 B. 10 5 C. 10 10 D. 10 5 考点 向量法求直线与平面的夹角 题点 向量法求直线与平面的夹角 答案 A 解析 A(2，2，0)，B1(2，0，2)，E(0，1，0)，D1(0，2，2)， AB1 (0，2，2)，ED1 (0，1，2)， |AB1 |2 2，|ED1 | 5，AB1 ED1 0242， cosAB1 ，ED1 AB1 ED1 |AB1 |ED1 | 2 2 2 5 10 10 ， 直线 AB1与 ED1夹角的余弦值为
16、 10 10 . 3.已知直线 l1的一个方向向量为 a(1，1，2)，直线 l2的一个方向向量为 b(3，2，0)， 则两条直线夹角的余弦值为_. 考点 向量法求直线与直线所成的角 题点 向量法求直线与直线所成的角 答案 5 78 78 解析 据题意知 cosa，b a b |a|b| 320 6 13 5 78 5 78 78 . 4.已知平面 1的一个法向量为 n1(1，1，3)，平面 2的一个法向量为 n2(1，0，1)， 求这两个平面夹角的余弦值. 考点 向量法求平面与平面的夹角 题点 向量法求平面与平面的夹角 解 n1(1，1，3)，n2(1，0，1)， cosn1，n2 n1 n2 |n1|n2| 13 11 2 2 22 11 0. 故这两个平面夹角的余弦值为|cosn1，n2|2 22 11 . 用坐标法求异面直线的夹角的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角； (4)结合异面直线夹角的范围得到异面直线的夹角.
