1、 5 夹角的计算夹角的计算 一、选择题 1若平面 的一个法向量为 n1(4,3,0),平面 的一个法向量为 n2(0,3,4),则平面 与平面 夹角的余弦值为( ) A 9 25 B. 9 25 C. 7 25 D以上都不对 考点 题点 答案 B 解析 cosn1,n2 n1 n2 |n1|n2| 9 25,平面 与平面 夹角的余弦值为 9 25. 2若平面 的一个法向量为 n(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a(2,3,3),则直线 l 与平面 夹角的余弦值为( ) A 11 11 B. 11 11 C 110 11 D. 913 33 考点 题点 答案 D 解析 cosa,n a
2、 n |a|n| 833 18 22 4 3 11, 直线 l 与平面 夹角的正弦值为 4 3 11,余弦值为 1 4 3 11 2 913 33 . 3如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N 分别为 A1B1和 BB1的中点,那么 直线 AM 与 CN 夹角的余弦值为( ) A. 3 2 B. 10 10 C.3 5 D. 2 5 考点 题点 答案 D 解析 方法一 AM AA1 A1M ,CN CB BN, AM CN (AA1 A1M ) (CB BN) AA1 BN 1 2. 而|AM |AA1 22A 1M AA1 A1M 2 |AA1 |2|A1M |21
3、1 4 5 2 . 同理|CN | 5 2 . 令 为所求角,则 cos AM CN |AM |CN | 1 2 5 4 2 5. 方法二 如图,以 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DD1所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空 间直角坐标系 Dxyz,则 A(1,0,0), M 1,1 2,1 ,C(0,1,0),N 1,1,1 2 , AM 1,1 2,1 (1,0,0) 0,1 2,1 , CN 1,1,1 2 (0,1,0) 1,0,1 2 . 故AM CN 011 201 1 2 1 2. |AM |02 1 2 212 5 2 , |CN |1202 1 2 2 5 2 . 设
4、 为所求角,cos AM CN |AM |CN | 1 2 5 2 5 2 2 5. 4在正三棱柱 ABCA1B1C1中,已知 AB1,D 在棱 BB1上,且 BD1,则直线 AD 与平 面 AA1C1C 夹角的正弦值为( ) A. 6 4 B 6 4 C. 10 4 D 10 4 考点 题点 答案 A 解析 取 AC 的中点 E,连接 BE, 则 BEAC,以 B 为坐标原点,BE,BB1所在直线分别为 x 轴,z 轴,建立如图所示的空间直 角坐标系 Bxyz, 则 A 3 2 ,1 2,0 ,D(0,0,1),B(0,0,0),E 3 2 ,0,0 , 则AD 3 2 ,1 2,1 ,BE
5、 3 2 ,0,0 . 平面 ABC平面 AA1C1C, 平面 ABC平面 AA1C1CAC,BEAC, BE平面 ABC, BE平面 AA1C1C, BE 3 2 ,0,0 为平面 AA1C1C 的一个法向量 设直线 AD 与平面 AA1C1C 夹角为 , cosAD ,BE 6 4 , sin |cosAD ,BE |6 4 . 5在正四棱锥 SABCD 中,SAAB2,则直线 AC 与平面 SBC 夹角的正弦值为( ) A. 3 6 B. 6 6 C. 3 3 D. 6 3 考点 题点 答案 C 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 由题意得 A(1,1,0),C(1,1,0),B(1,1
6、,0),S(0,0, 2) AC (2,2,0), BS (1,1, 2), CS (1,1, 2) 设平面 SBC 的一个法向量为 n(x,y,z), 则 n BS 0, n CS 0, xy 2z0, xy 2z0, 令 z 2,得 x0,y2,n(0,2, 2) 设直线 AC 与平面 SBC 所成的角为 , 则 sin |cosn,AC | 4 2 2 6 3 3 . 6如图,已知空间四边形 OABC 的各边都相等,E,F 分别为 AB,OC 的中点,则直线 OE 与 BF 夹角的余弦值为( ) A. 2 2 B. 2 4 C.1 3 D.2 3 考点 题点 答案 D 解析 设OA a,
7、OB b,OC c,且|a|b|c|1, 则 a bb cc a1 2. OE 1 2(ab),BF 1 2cb,|OE |BF |3 2 , OE BF 1 2(ab) ( 1 2cb) 1 4a c 1 2a b 1 4b c 1 2|b| 21 2, cosOE ,BF OE BF |OE |BF | 2 3. 直线 OE 与 BF 夹角的余弦值为2 3. 二、填空题 7如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 是 C1C 的中点,O 是底面 ABCD 的中心,P 是 A1B1上的任意点,则直线 BM 与 OP 夹角的大小为_ 考点 题点 答案 2 解析 以 D 为坐标原点,DA,
8、DC,DD1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的 空间直角坐标系 Dxyz,设正方体棱长为 2,A1Px(0x2), 则 O(1,1,0),P(2,x,2),B(2,2,0),M(0,2,1), OP (1,x1,2),BM (2,0,1) 所以OP BM 0, 所以直线 BM 与 OP 夹角的大小为 2. 8如图,平面 PAD平面 ABCD,ABCD 为正方形,PAD90 ,且 PAAD2,E,F 分 别是线段 PA,CD 的中点,则异面直线 EF 与 BD 夹角的余弦值为_ 考点 题点 答案 3 6 解析 以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y
9、轴,z 轴,建立如图所示空间 直角坐标系 Axyz,则 E(0,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0) EF (1,2,1),BD (2,2,0), 故 cosEF ,BD 2 4 3 3 6 . 9在正方体 ABCDA1B1C1D1中,A1B 与平面 BB1D1D 夹角的大小为_ 考点 题点 答案 30 解析 以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的 空间直角坐标系Dxyz, 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1, 则A1(1,0,1), B(1,1,0), A(1,0,0), C(0,1,0) 连接 AC,B
10、D,则 ACBD,ACBB1,BDBB1B,BD,BB1平面 BB1D1D, AC平面 BB1D1D, AC 是平面 BB 1D1D 的一个法向量 A1B (0,1,1),AC (1,1,0), cosA1B ,AC A1B AC |A1B |AC | 010 2 2 1 2, A1B ,AC 60 , A1B 与平面 BB1D1D 夹角为 90 60 30 . 10如图,在空间四边形 OABC 中,OBOC,AOBAOC 3,则 cosOA ,BC 的值 为_ 考点 题点 答案 0 解析 OA BC OA (OC OB ) OA OC OA OB |OA | |OC | cos 3|OA |
11、 |OB | cos 3 1 2|OA |(|OC |OB |)0. cosOA ,BC OA BC |OA |BC |0. 三、解答题 11在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AA13,用过 A1,C1,B 三点的平面截去 长方体的一个角后,得到如图所示的几何体 ABCDA1C1D1.若 A1C1的中点为 O1,求异面直 线 BO1与 A1D1夹角的余弦值 考点 题点 解 如图,以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角 坐标系 Dxyz,则 B(2,2,0),D1(0,0,3),A1(2,0,3),O1(1,1,3), D1A1
12、(2,0,0),BO1 (1,1,3), D1A1 BO1 (2,0,0) (1,1,3)2, |D1A1 |2,|BO1 | 11. cosD1A1 ,BO1 D1A1 BO1 |D1A1 |BO1 | 2 2 11 11 11 . 故异面直线 BO1与 A1D1夹角的余弦值为 11 11 . 12在直三棱柱 A1B1C1ABC 中,ACB90 ,D1,E1分别为 A1B1,A1C1的中点,若 BC CACC1,求直线 BD1与 AE1夹角的余弦值 考点 题点 解 如图,以 C 为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角 坐标系 Cxyz. 设|BC |
13、a,则 A(a,0,0), B(0,a,0),E1 a 2,0,a , D1 a 2, a 2,a , AE1 a 2,0,a,BD1 a 2, a 2,a , AE1 BD1 3 4a 2,|AE 1 | 5 2 a,|BD1 | 6 2 a. cosAE1 ,BD1 AE1 BD1 |AE1 |BD1 | 30 10 . 直线 BD1与 AE1夹角的余弦值为 30 10 . 13如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧面 ABB1A1为矩形,AB2,AA12 2,D 是 AA1 的中点,BD 与 AB1交于点 O,且 CO平面 ABB1A1. (1)证明:BCAB1; (2)若 OCOA,
14、求直线 CD 与平面 ABC 夹角的正弦值 考点 题点 (1)证明 由题意, 四边形 ABB1A1是矩形, D 为 AA1的中点, AB2, AA12 2, AD 2, 在 RtABB1中,tanAB1B AB BB1 2 2 . 在 RtABD 中,tanABDAD AB 2 2 , AB1BABD. 又BAB1AB1B90 , BAB1ABD90 , 即 BDAB1. 又CO平面 ABB1A1,AB1平面 ABB1A1, COAB1,又COBDO,CO,BD平面 BCD, AB1平面 BCD. BC平面 BCD,BCAB1. (2)解 如图,以 O 为坐标原点,分别以 OD,OB1,OC
15、所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建 立空间直角坐标系,则 A 0, 3 3 ,0 ,B 6 3 ,0,0 ,C 0,0, 3 3 , B1 0,2 3 3 ,0 ,D 6 6 ,0,0 . 又CC1 2AD , C1 6 3 ,2 3 3 , 3 3 , AB 6 3 , 3 3 ,0 ,AC 0, 3 3 , 3 3 , DC1 6 6 ,2 3 3 , 3 3 ,CD 6 6 ,0, 3 3 . 设平面 ABC 的一个法向量为 n(x,y,z) 根据 6 3 x 3 3 y0, 3 3 y 3 3 z0. 可得 n(1, 2, 2)是平面 ABC 的一个法向量 设直线 CD 与平面
16、ABC 的夹角为 , 则 sin 15 5 , 直线 CD 与平面 ABC 夹角的正弦值为 15 5 . 四、探究与拓展 14已知三条射线 PA,PB,PC 的两两夹角都是 60 ,则平面 APB 与平面 PBC 夹角的余弦值 为( ) A.1 3 B. 6 3 C. 3 2 D. 3 3 考点 题点 答案 A 解析 在 PA,PB,PC 上取点 D,E,F,使得 PDPEPF,可知三棱锥 DPEF 为正四面 体,取 PE 的中点 H,连接 DH,FH,得DHF 为平面 APB 与平面 PBC 的夹角,设PF a, PE b,PD c,则HD HP PD 1 2bc,HF HP PF 1 2b
17、a,所以 cosHD ,HF HD HF |HD |HF | 1 3. 15.如图所示,在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别是 BC,A1D1的中点 (1)求直线 A1C 与 DE 所成角的余弦值; (2)求直线 AD 与平面 B1EDF 所成角的余弦值; (3)求平面 B1EDF 与平面 ABCD 夹角的余弦值 考点 向量法求面面角 题点 向量法求面面角 解 以 A 为坐标原点,分别以 AB,AD,AA1所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐 标系 Axyz. (1)则 A1(0,0,a),C(a,a,0), D(0,a,0),E a,a 2,0 ,
18、A1C (a,a,a),DE a,a 2,0 , cosA1C ,DE A1C DE |A1C |DE | 15 15 , 故 A1C 与 DE 所成角的余弦值为 15 15 . (2)连接 DB1,ADEADF, AD 在平面 B1EDF 内的射影在EDF 的平分线上 又 B1EDF 为菱形,DB1为EDF 的平分线, 故直线 AD 与平面 B1EDF 所成的角为ADB1. 由 A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0), 得DA (0,a,0),DB1 (a,a,a), cosDA ,DB1 DA DB1 |DA |DB1 | 3 3 , 又直线与平面所成角的范围是 0, 2 , 故直线 AD 与平面 B1EDF 所成角的余弦值为 3 3 . (3)由已知得 A(0,0,0),A1(0,0,a),B1(a,0,a),D(0,a,0),E a,a 2,0 ,则ED a,a 2,0 , EB1 0,a 2,a , 平面 ABCD 的一个法向量为 mAA1 (0,0,a) 设平面 B1EDF 的一个法向量为 n(1,y,z), 由 n ED 0, n EB1 0, 得 y2, z1, n(1,2,1),cosn,m m n |m|n| 6 6 , 平面 B1EDF 与平面 ABCD 夹角的余弦值为 6 6 .