3.1.2 第1课时 椭圆的简单性质 学案(含答案)

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1、1.2 椭圆的简单性质椭圆的简单性质 第第 1 课时课时 椭圆的简单性质椭圆的简单性质 学习目标 1.依据椭圆的方程研究椭圆的简单性质,并正确地画出它的图形.2.依据几何条件 求出椭圆方程,并利用椭圆方程研究它的性质、图形. 知识点一 椭圆的简单性质 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 范围 axa,byb bxb,aya 顶点 A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0, b) A1(0,a),A2(0,a), B1(b,0),B2(b,0) 轴长 短轴长2b,长轴长2a 焦点

2、( a2b2,0) (0, a2b2) 焦距 |F1F2|2a2b2 对称性 对称轴:x 轴、y 轴 对称中心:原点 离心率 ec a(0,1) 知识点二 离心率对椭圆扁圆程度的影响 如图所示,在 RtBF2O 中,cosBF2Oc a,记 e c a,则 00)的长轴长是 a.( ) 2.椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆.( ) 3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为 10,8,则椭圆的方程为x 2 25 y2 161. ( ) 4.设 F 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点, M 为其上任一点, 则|MF|的最大值为 ac(c 为椭 圆的半焦距).( ) 题型

3、一 椭圆的简单性质 例 1 求椭圆 m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 解 由已知得x 2 1 m2 y2 1 4m2 1(m0), 因为 0b0). 如图所示,A1FA2为一等腰直角三角形,OF 为斜边 A1A2的中线(高),且|OF|c,|A1A2| 2b, 所以 cb3,所以 a2b2c218, 故所求椭圆的标准方程为x 2 18 y2 91. 反思感悟 此类问题应由所给的简单性质充分找出 a, b, c 所应满足的关系式, 进而求出 a, b,在求解时,需注意椭圆的焦点

4、位置. 跟踪训练 2 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3; (2)离心率为 3 2 ,经过点(2,0). 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的特征求方程 解 (1)由题意知 a5,c3,b225916, 焦点所在坐标轴可为 x 轴,也可为 y 轴, 故椭圆的标准方程为x 2 25 y2 161 或 x2 16 y2 251. (2)由 ec a 3 2 , 设 a2k,c 3k,k0,则 bk. 又经过的点(2,0)为其顶点, 故若点(2,0)为长轴顶点,则 a2,b1, 椭圆的标准方程为x 2 4y 21;

5、若点(2,0)为短轴顶点,则 b2,a4, 椭圆的标准方程为x 2 4 y2 161. 题型三 求椭圆的离心率 命题角度 1 依托图形几何性质求离心率 例 3 椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的两焦点为 F1,F2,以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分 正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为_. 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 31 解析 方法一 如图,DF1F2为正三角形,N 为 DF2的中点, F1NF2N, |NF2|OF2|c, |NF1| |F1F2|2|NF2|2 4c2c2 3c, 由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a, 3c

6、c2a,a 31c 2 , ec a 2 31 31. 方法二 注意到焦点三角形 NF1F2中,NF1F230 , NF2F160 ,F1NF290 , 则由离心率的三角形式, 可得 e sinF1NF2 sinNF1F2sinNF2F1 sin 90 sin 30 sin 60 1 1 2 3 2 31. 反思感悟 利用数与形的结合,挖掘几何特征,可借助于 a2b2c2,找到 a 与 c 的关系或 求出 a 与 c,代入 ec a即可得到. 跟踪训练 3 设 F1,F2是椭圆 E:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点,P 为直线 x 3a 2 上一点, F2PF1是底角为 30

7、的等腰三角形,则 E 的离心率为_. 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 3 4 解析 由题意,知F2F1PF2PF130 , PF2x60 . |PF2|2 3 2ac 3a2c. |F1F2|2c,|F1F2|PF2|,3a2c2c, ec a 3 4. 命题角度 2 构建齐次方程(或不等式) 例 4 已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点 P 使得 PF1PF2,则椭圆的离心率的取值范围为_. 考点 椭圆的离心率问题 题点 求离心率的取值范围 答案 2 2 ,1 解析 由 PF1PF2,知F1PF2

8、是直角三角形, 所以|OP|cb,即 c2a2c2, 所以 a 2c, 因为 ec a,00)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶 点为 B,若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 6 6 |F1F2|,求椭圆 C 的离心率. 考点 椭圆的离心率问题 题点 求 a,b,c 的齐次关系式得离心率 解 由题意知 A(a,0),B(0,b), 从而直线 AB 的方程为x a y b1, 即 bxayab0, 又|F1F2|2c, ab a2b2 6 3 c. b2a2c2,3a47a2c22c40, 解得 a22c2或 3a2c2(舍去),e 2 2 . 1.椭圆以两坐标轴为对称轴,

9、并且过点(0,13),(10,0),则焦点坐标为( ) A.( 13,0) B.(0, 10) C.(0, 13) D.(0, 69) 考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D 解析 由题意知,椭圆的焦点在 y 轴上, 且 a13,b10,则 c a2b2 69,故选 D. 2.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于1 2,则 C 的方程是( ) A.x 2 3 y2 41 B.x 2 4 y2 31 C.x 2 4 y2 31 D.x 2 4y 21 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的特征求方程 答案 C 解析 依题意知,所求椭

10、圆的焦点位于 x 轴上, 且 c1,ec a 1 2,即 a2,b 2a2c23, 因此椭圆的方程是x 2 4 y2 31. 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 6 4 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 A 解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,B 为椭圆的上顶点. 依题意可知,BF1F2是正三角形. 在 RtOBF2中,|OF2|c,|BF2|a,OF2B60 , cos 60 c a 1 2, 即椭圆的离心率 e1 2,故选 A. 4.已知椭圆 C:x 2

11、 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 为直径的圆与 直线 bxay2ab0 相切,则 C 的离心率为( ) A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D.1 3 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 A 解析 由题意知,以 A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为 a. 又直线 bxay2ab0 与圆相切, 圆心到直线的距离 d 2ab a2b2a,解得 a 3b, b a 1 3, ec a a2b2 a 1 b a 2 1 1 3 2 6 3 . 故选 A. 5.已知椭圆 x2(m3)y2m(m0)的离心率 e

12、 3 2 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦 点坐标、顶点坐标. 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 解 椭圆方程可化为x 2 m y2 m m3 1(m0), m m m3 mm2 m3 0,m m m3. a2m,b2 m m3,c a 2b2 mm2 m3 . 由 e 3 2 ,得 m2 m3 3 2 ,m1. 椭圆的标准方程为 x2y 2 1 4 1.a1,b1 2,c 3 2 . 椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1; 两焦点坐标分别为 F1 3 2 ,0 ,F2 3 2 ,0 ; 四个顶点坐标分别为 A1(1,0),A2(1,0),B1 0,1 2 ,B2 0,1 2 . 求椭圆离心率的值或取值范围的两种方法 (1)直接法:若已知 a,c 可直接利用 ec a求解.若已知 a,b 或 b,c 可借助于 a 2b2c2求出 c 或 a,再代入公式 ec a求解. (2)方程法:若 a,c 的值不可求,则可根据条件建立 a,b,c 的关系式,借助于 a2b2c2, 转化为关于 a,c 的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂,得到关 于 e 的方程或不等式,即可求得 e 的值或取值范围.

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