1、1.2 椭圆的简单性质椭圆的简单性质 第第 1 课时课时 椭圆的简单性质椭圆的简单性质 学习目标 1.依据椭圆的方程研究椭圆的简单性质，并正确地画出它的图形.2.依据几何条件 求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形. 知识点一 椭圆的简单性质 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 范围 axa，byb bxb，aya 顶点 A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0， b) A1(0，a)，A2(0，a)， B1(b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长2b，长轴长2a 焦点
2、( a2b2，0) (0， a2b2) 焦距 |F1F2|2a2b2 对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点 离心率 ec a(0，1) 知识点二 离心率对椭圆扁圆程度的影响 如图所示，在 RtBF2O 中，cosBF2Oc a，记 e c a，则 00)的长轴长是 a.( ) 2.椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆.( ) 3.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为 10，8，则椭圆的方程为x 2 25 y2 161. ( ) 4.设 F 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点， M 为其上任一点， 则|MF|的最大值为 ac(c 为椭 圆的半焦距).( ) 题型
3、一 椭圆的简单性质 例 1 求椭圆 m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 解 由已知得x 2 1 m2 y2 1 4m2 1(m0)， 因为 0b0). 如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2| 2b， 所以 cb3，所以 a2b2c218， 故所求椭圆的标准方程为x 2 18 y2 91. 反思感悟 此类问题应由所给的简单性质充分找出 a， b， c 所应满足的关系式， 进而求出 a， b，在求解时，需注意椭圆的焦点
4、位置. 跟踪训练 2 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5，焦点到椭圆中心的距离为 3； (2)离心率为 3 2 ，经过点(2，0). 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的特征求方程 解 (1)由题意知 a5，c3，b225916， 焦点所在坐标轴可为 x 轴，也可为 y 轴， 故椭圆的标准方程为x 2 25 y2 161 或 x2 16 y2 251. (2)由 ec a 3 2 ， 设 a2k，c 3k，k0，则 bk. 又经过的点(2，0)为其顶点， 故若点(2，0)为长轴顶点，则 a2，b1， 椭圆的标准方程为x 2 4y 21；
5、若点(2，0)为短轴顶点，则 b2，a4， 椭圆的标准方程为x 2 4 y2 161. 题型三 求椭圆的离心率 命题角度 1 依托图形几何性质求离心率 例 3 椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的两焦点为 F1，F2，以 F1F2 为边作正三角形，若椭圆恰好平分 正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_. 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 31 解析 方法一 如图，DF1F2为正三角形，N 为 DF2的中点， F1NF2N， |NF2|OF2|c， |NF1| |F1F2|2|NF2|2 4c2c2 3c， 由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a， 3c
6、c2a，a 31c 2 ， ec a 2 31 31. 方法二 注意到焦点三角形 NF1F2中，NF1F230 ， NF2F160 ，F1NF290 ， 则由离心率的三角形式， 可得 e sinF1NF2 sinNF1F2sinNF2F1 sin 90 sin 30 sin 60 1 1 2 3 2 31. 反思感悟 利用数与形的结合，挖掘几何特征，可借助于 a2b2c2，找到 a 与 c 的关系或 求出 a 与 c，代入 ec a即可得到. 跟踪训练 3 设 F1，F2是椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，P 为直线 x 3a 2 上一点， F2PF1是底角为 30
7、的等腰三角形，则 E 的离心率为_. 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 3 4 解析 由题意，知F2F1PF2PF130 ， PF2x60 . |PF2|2 3 2ac 3a2c. |F1F2|2c，|F1F2|PF2|，3a2c2c， ec a 3 4. 命题角度 2 构建齐次方程(或不等式) 例 4 已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点 P 使得 PF1PF2，则椭圆的离心率的取值范围为_. 考点 椭圆的离心率问题 题点 求离心率的取值范围 答案 2 2 ，1 解析 由 PF1PF2，知F1PF2
8、是直角三角形， 所以|OP|cb，即 c2a2c2， 所以 a 2c， 因为 ec a，00)的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，上顶 点为 B，若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 6 6 |F1F2|，求椭圆 C 的离心率. 考点 椭圆的离心率问题 题点 求 a，b，c 的齐次关系式得离心率 解 由题意知 A(a，0)，B(0，b)， 从而直线 AB 的方程为x a y b1， 即 bxayab0， 又|F1F2|2c， ab a2b2 6 3 c. b2a2c2，3a47a2c22c40， 解得 a22c2或 3a2c2(舍去)，e 2 2 . 1.椭圆以两坐标轴为对称轴，
9、并且过点(0，13)，(10，0)，则焦点坐标为( ) A.( 13，0) B.(0， 10) C.(0， 13) D.(0， 69) 考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D 解析 由题意知，椭圆的焦点在 y 轴上， 且 a13，b10，则 c a2b2 69，故选 D. 2.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于1 2，则 C 的方程是( ) A.x 2 3 y2 41 B.x 2 4 y2 31 C.x 2 4 y2 31 D.x 2 4y 21 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的特征求方程 答案 C 解析 依题意知，所求椭
10、圆的焦点位于 x 轴上， 且 c1，ec a 1 2，即 a2，b 2a2c23， 因此椭圆的方程是x 2 4 y2 31. 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 6 4 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 A 解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，B 为椭圆的上顶点. 依题意可知，BF1F2是正三角形. 在 RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60 ， cos 60 c a 1 2， 即椭圆的离心率 e1 2，故选 A. 4.已知椭圆 C：x 2
11、 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与 直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为( ) A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D.1 3 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 A 解析 由题意知，以 A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为 a. 又直线 bxay2ab0 与圆相切， 圆心到直线的距离 d 2ab a2b2a，解得 a 3b， b a 1 3， ec a a2b2 a 1 b a 2 1 1 3 2 6 3 . 故选 A. 5.已知椭圆 x2(m3)y2m(m0)的离心率 e
12、 3 2 ，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦 点坐标、顶点坐标. 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 解 椭圆方程可化为x 2 m y2 m m3 1(m0)， m m m3 mm2 m3 0，m m m3. a2m，b2 m m3，c a 2b2 mm2 m3 . 由 e 3 2 ，得 m2 m3 3 2 ，m1. 椭圆的标准方程为 x2y 2 1 4 1.a1，b1 2，c 3 2 . 椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1； 两焦点坐标分别为 F1 3 2 ，0 ，F2 3 2 ，0 ； 四个顶点坐标分别为 A1(1，0)，A2(1，0)，B1 0，1 2 ，B2 0，1 2 . 求椭圆离心率的值或取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 ec a求解.若已知 a，b 或 b，c 可借助于 a 2b2c2求出 c 或 a，再代入公式 ec a求解. (2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助于 a2b2c2， 转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关 于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或取值范围.
