1、 4.3 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 最新考纲 考情考向分析 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象， 了解三角函数的周期性 2.理解正弦函数、 余弦函数在0,2上的性质 (如单调性、最大值和最小值，图象与 x 轴的 交点等)，理解正切函数在区间 2， 2 内的 单调性. 以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉 及三角函数的图象及应用、图象的对称性、 单调性、周期性、最值、零点考查三角函 数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数 形结合思想、 函数与方程思想的应用意识 题 型既有选择题和填空题，又有解答题，中档 难度. 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (
2、1)在正弦函数 ysin x， x0,2的图象中， 五个关键点是： (0,0)， 2，1 ， (， 0)， 3 2 ，1 ， (2，0) (2)在余弦函数 ycos x， x0,2的图象中， 五个关键点是： (0,1)， 2，0 ， (， 1)， 3 2 ，0 ， (2，1) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ) 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定义域 R R x|xR，且 xk 2 值域 1,1 1,1 R 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 2k 2，2k 2 2k，2k k 2，k 2 递减区间 2k 2，2k 3 2 2k，2k
3、 无 对称中心 (k，0) k 2，0 k 2 ，0 对称轴方程 xk 2 xk 无 知识拓展 1对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称 中心与对称轴之间的距离是1 4个周期 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2奇偶性 若 f(x)Asin(x)(A，0)，则： (1)f(x)为偶函数的充要条件是 2k(kZ)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是 k(kZ) 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)ysin x 在第一、第四象限是增函数( ) (2)由 sin 6 2 3 sin 6知
4、， 2 3 是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期( ) (3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数( ) (4)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.( ) (5)ysin|x|是偶函数( ) 题组二 教材改编 2P35 例 2函数 f(x)cos 2x 4 的最小正周期是_ 答案 3P46A 组 T2y3sin 2x 6 在区间 0， 2 上的值域是_ 答案 3 2，3 解析 当 x 0， 2 时，2x 6 6， 5 6 ， sin 2x 6 1 2，1 ， 故 3sin 2x 6 3 2，3 ， 即 y3sin 2x 6 的值域为 3 2，3 . 4P45T3
5、ytan 2x 的定义域是_ 答案 x xk 2 4，kZ 解析 由 2xk 2，kZ，得 x k 2 4，kZ， ytan 2x 的定义域是 x xk 2 4，kZ . 题组三 易错自纠 5下列函数中最小正周期为 且图象关于直线 x 3对称的是( ) Ay2sin 2x 3 By2sin 2x 6 Cy2sin x 2 3 Dy2sin 2x 3 答案 B 解析 函数 y2sin 2x 6 的周期 T2 2 ， 又 sin 2 3 6 1， 函数 y2sin 2x 6 的图象关于直线 x 3对称 6函数 f(x)4sin 32x 的单调递减区间是_ 答案 k 12，k 5 12 (kZ) 解
6、析 f(x)4sin 32x 4sin 2x 3 . 所以要求 f(x)的单调递减区间， 只需求 y4sin 2x 3 的单调递增区间 由 22k2x 3 22k(kZ)，得 12kx 5 12k(kZ) 所以函数 f(x)的单调递减区间是 12k， 5 12k (kZ) 7cos 23 ，sin 68 ，cos 97 的大小关系是_ 答案 sin 68 cos 23 cos 97 解析 sin 68 cos 22 ， 又 ycos x 在0，180上是减函数， sin 68 cos 23 cos 97 . 题型一题型一 三角函数的定义域和值域三角函数的定义域和值域 1函数 f(x)2tan
7、2x 6 的定义域是( ) A. x x 6 B. x x 12 C. x xk 6kZ D. x xk 2 6kZ 答案 D 解析 由正切函数的定义域，得 2x 6k 2，kZ，即 x k 2 6(kZ)，故选 D. 2函数 y sin xcos x的定义域为_ 答案 2k 4，2k 5 4 (kZ) 解析 方法一 要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出 0,2上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示 在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为 4， 5 4 ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函 数的定义域为 x 2k 4x2
8、k 5 4 ，kZ. 方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示) 所以定义域为 x 2k 4x2k 5 4 ，kZ. 3已知函数 f(x)sin x 6 ，其中 x 3，a ，若 f(x)的值域是 1 2，1 ，则实数 a 的取值 范围是_ 答案 3， 解析 x 3，a ，x 6 6，a 6 ， 当 x 6 6， 2 时，f(x)的值域为 1 2，1 ， 由函数的图象(图略)知 2a 6 7 6 ， 3a. 4(2018 长沙质检)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_ 答案 1 2 2，1 解析 设 tsin xcos x， 则 t2sin2xc
9、os2x2sin x cos x， sin xcos x1t 2 2 ， 且 2t 2. yt 2 2t 1 2 1 2(t1) 21，t 2， 2 当 t1 时，ymax1； 当 t 2时，ymin1 2 2. 函数的值域为 1 2 2，1 . 思维升华 (1)三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图 象来求解 (2)三角函数值域的不同求法 利用 sin x 和 cos x 的值域直接求； 把所给的三角函数式变换成 yAsin(x)(A，0)的形式求值域； 通过换元，转换成二次函数求值域 题型二题型二 三角函数的单调性三角函数的
10、单调性 命题点 1 求三角函数的单调性 典例 (1)函数 f(x)tan 2x 3 的单调递增区间是( ) A. k 2 12， k 2 5 12 (kZ) B. k 2 12， k 2 5 12 (kZ) C. k 6，k 2 3 (kZ) D. k 12，k 5 12 (kZ) 答案 B 解析 由 k 22x 3k 2(kZ)， 得k 2 12x k 2 5 12(kZ)， 所以函数 f(x)tan 2x 3 的单调递增区间为 k 2 12， k 2 5 12 (kZ)，故选 B. (2)(2017 哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数 y1 2sin x 3 2 cos x x 0，
11、2 的单调递 增区间是_ 答案 0， 6 解析 y1 2sin x 3 2 cos xsin x 3 ， 由 2k 2x 32k 2(kZ)， 解得 2k5 6 x2k 6(kZ) 函数的单调递增区间为 2k5 6 ，2k 6 (kZ)， 又 x 0， 2 ，单调递增区间为 0， 6 . 命题点 2 根据单调性求参数 典例 已知 0，函数 f(x)sin x 4 在 2， 上单调递减，则 的取值范围是_ 答案 1 2， 5 4 解析 由 2x，0，得 2 4x 4 4， 又 ysin x 的单调递减区间为 2k 2，2k 3 2 ，kZ， 所以 2 4 22k， 4 3 2 2k kZ， 解得
12、 4k1 22k 5 4，kZ. 又由 4k1 2 2k5 4 0，kZ 且 2k5 40，kZ，得 k0，所以 1 2， 5 4 . 引申探究 本例中，若已知 0，函数 f(x)cos x 4 在 2， 上单调递增，则 的取值范围是_ 答案 3 2， 7 4 解析 函数 ycos x 的单调递增区间为2k，2k，kZ，则 2 42k， 42k kZ， 解得 4k5 22k 1 4，kZ， 又由 4k5 2 2k1 4 0，kZ 且 2k1 40，kZ， 得 k1，所以 3 2， 7 4 . 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(其中 0)
13、的单调区间时，要视“x”为一个 整体，通过解不等式求解但如果 0，可借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄 错 (2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解 跟踪训练 (2017 济南模拟)若函数 f(x)sin x(0)在区间 0， 3 上单调递增， 在区间 3， 2 上单调递减，则 等于( ) A.2 3 B.3 2 C2 D3 答案 B 解析 由已知得T 4 3， T4 3 ，2 T 3 2. 题型三题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性三角函数的周期性、奇偶性、对称性 命题点 1 三角函数的周期性 典例 (1)在函数ycos|2x|，y|cos
14、x|，ycos 2x 6 ，ytan 2x 4 中，最小正周 期为 的所有函数为( ) A B C D 答案 A 解析 ycos|2x|cos 2x，最小正周期为 ； 由图象知 y|cos x|的最小正周期为 ； ycos 2x 6 的最小正周期 T2 2 ； ytan 2x 4 的最小正周期 T 2，故选 A. (2)若函数 f(x)2tan kx 3 的最小正周期 T 满足 10，|0)若 f(x)在区间 6， 2 上具有单调 性，且 f 2 f 2 3 f 6 ，则 f(x)的最小正周期为_ 答案 解析 记 f(x)的最小正周期为 T. 由题意知T 2 2 6 3， 又 f 2 f 2 3 f 6 ， 且2 3 2 6， 可作出示意图如图所示(一种情况)： x1 2 6 1 2 3， x2 2 2 3 1 2 7 12， T 4x2x1 7 12 3 4，T.
