1、 5.1 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解向量的实际背景 2.理解平面向量的概念， 理解两个向量相等的含义 3.理解向量的几何表示 4.掌握向量加法、 减法的运算， 并理解其几何意义 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向 量共线的含义 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 主要考查平面向量的线性运算(加法、减 法、数乘向量)及其几何意义、共线向量 定理常与三角函数、 解析几何交汇考查， 有时也会有创新的新定义问题；题型以 选择题、填空题为主，属于中低档题 目偶尔会在解答题中作为工具出现. 1向量的有关概念 名称 定义 备注 向量
2、既有大小， 又有方向的量； 向量的大小 叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的 记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 非零向量 a 的单位向量为a |a| 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等， 不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (3)交换律： abba； (4)结合律： (ab)ca(bc) 减法 求a与b的
3、相反向量 b 的和的运算 aba(b) 数乘 求实数 与向量 a 的积 的运算 (6)|a|a|； (7)当 0 时，a 与 a 的方向 相同；当 0 时，a 与 a 的 方向相反；当 0 时，a0 (8)(a)()a； (9)()aaa； (10)(ab)ab 3.共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ba. 知识拓展 1 一般地， 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向 量，即A1A2 A 2A3 A 3A4 A n1An A 1An ，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的 向量和为零向量 2若 P 为线段 AB 的中点，
4、O 为平面内任一点，则OP 1 2(OA OB ) 3.OA OB OC (， 为实数)，若点 A，B，C 共线，则 1. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( ) (2)|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关( ) (3)若 ab，bc，则 ac.( ) (4)若向量AB 与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上( ) (5)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立( ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反( ) 题组二 教材改编 2 P86 例 4已
5、知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O， 且OA a， OB b， 则DC _， BC _.(用 a，b 表示) 答案 ba ab 解析 如图，DC AB OB OA ba，BC OC OB OA OB ab. 3P108B 组 T5在平行四边形 ABCD 中，若|AB AD |AB AD |，则四边形 ABCD 的形状 为_ 答案 矩形 解析 如图，因为AB AD AC ，ABAD DB ，所以|AC |DB |. 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形 题组三 易错自纠 4对于非零向量 a，b，“ab0”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分
6、条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若 ab0，则 ab，所以 ab. 若 ab，则 ab0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件 5设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _. 答案 1 2 解析 向量 a，b 不平行，a2b0，又向量 ab 与 a2b 平行，则存在唯一的实数 ， 使 ab(a2b)成立，即 aba2b，则 ， 12， 解得 1 2. 6设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD1 2AB，BE 2 3BC.若DE 1AB 2AC ( 1， 2为实数)，则 12的值为_ 答案 1 2 解析 DE DB BE 1
7、2AB 2 3BC 1 2AB 2 3(BA AC)1 6AB 2 3AC ， 11 6，2 2 3，即 12 1 2. 题型一题型一 平面向量的概念平面向量的概念 1给出下列四个命题： 若|a|b|，则 ab； 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； 若 ab，bc，则 ac； ab 的充要条件是|a|b|且 ab. 其中正确命题的序号是( ) A B C D 答案 A 解析 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同； 正确AB DC ，|AB |DC |且AB DC ， 又 A，B，C，D 是不共线的四点， 四边形 ABCD
8、为平行四边形， 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则AB DC 且|AB |DC |，AB DC ； 正确ab，a，b 的长度相等且方向相同， 又 bc，b，c 的长度相等且方向相同， a，c 的长度相等且方向相同，故 ac； 不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且 ab 不是 a b 的充要条件，而是必要不充分条件 综上所述，正确命题的序号是.故选 A. 2 设 a0为单位向量， 若 a 为平面内的某个向量， 则 a|a|a0； 若 a 与 a0平行， 则 a|a|a0； 若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是(
9、 ) A0 B1 C2 D3 答案 D 解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命 题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0， 故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3. 思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度 (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制 (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等 (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度 (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线 题型二题型二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 命题点
10、 1 向量的线性运算 典例 (1)在ABC 中，AB c，ACb，若点 D 满足BD 2DC ，则AD 等于( ) A.2 3b 1 3c B.5 3c 2 3b C.2 3b 1 3c D.1 3b 2 3c 答案 A 解析 BD 2DC ， AD AB BD 2DC 2(AC AD )， 3AD 2AC AB， AD 2 3AC 1 3AB 2 3b 1 3c. (2)(2017 青海西宁一模)如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD2DB，点 E 在 AD 边 上，且 AD3AE，则用向量AB ，AC表示CE为( ) A.2 9AB 8 9AC B.2 9AB 8 9AC C
11、.2 9AB 7 9AC D.2 9AB 7 9AC 答案 B 解析 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE AEAC1 3AD AC 1 3(AB 1 3 BC )AC 1 3 AB 1 3AC AB AC 2 9AB 8 9AC . 命题点 2 根据向量线性运算求参数 典例 (1)在ABC 中， 点 M， N 满足AM 2MC ， BN NC .若MN xAB yAC， 则 x_， y_. 答案 1 2 1 6 解析 MN MC CN 1 3AC 1 2CB 1 3AC 1 2(AB AC) 1 2AB 1 6AC xAByAC， x1 2，y 1 6. (2)在ABC 中，点 D
12、 在线段 BC 的延长线上，且BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，若AO xAB (1x)AC，则 x 的取值范围是( ) A. 0，1 2 B. 0，1 3 C. 1 2，0 D. 1 3，0 答案 D 解析 设CO yBC ， AO AC CO AC yBCACy(ACAB) yAB (1y)AC. BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)， y 0，1 3 ， AO xAB (1x)AC， xy，x 1 3，0 . 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则 (2)
13、求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾 相连向量的和用三角形法则 (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求 参数的值 跟踪训练 (1)如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 上的一个靠近点 B 的三等分点，那么EF 等于( ) A.1 2AB 1 3AD B.1 4AB 1 2AD C.1 3AB 1 2DA D.1 2AB 2 3AD 答案 D 解析 在CEF 中，有EF ECCF. 因为点 E 为 DC 的中点，所以EC 1 2DC . 因为点 F 为 BC 上的一个靠近点
14、B 的三等分点， 所以CF 2 3CB . 所以EF 1 2DC 2 3CB 1 2AB 2 3DA 1 2AB 2 3AD ，故选 D. (2)如图，直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 分别交于 E，F 两点，且与对角线 AC 交于点 K，其中，AE 2 5AB ，AF1 2AD ，AK AC，则 的值为_ 答案 2 9 解析 AE 2 5AB ，AF1 2AD ， AB 5 2AE ，AD 2AF . 由向量加法的平行四边形法则可知， AC ABAD ， AK AC(ABAD ) 5 2AE 2AF 5 2AE 2AF， E，F，K 三点共线，5 221， 2 9. 题
15、型三题型三 共线向量定理的应用共线向量定理的应用 典例 设两个非零向量 a 与 b 不共线 (1)若AB ab，BC2a8b，CD 3(ab)， 求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 (1)证明 AB ab，BC2a8b，CD 3(ab)， BD BC CD 2a8b3(ab) 2a8b3a3b5(ab)5AB ， AB ，BD 共线 又它们有公共点 B，A，B，D 三点共线 (2)解 假设 kab 与 akb 共线， 则存在实数 ，使 kab(akb)， 即(k)a(k1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， kk10. 消去 ，得 k210
16、，k 1. 引申探究 若将本例(1)中“BC 2a8b”改为“BCamb”，则 m 为何值时，A，B，D 三点共线？ 解 BC CD (amb)3(ab)4a(m3)b， 即BD 4a(m3)b. 若 A，B，D 三点共线，则存在实数 ，使BD AB . 即 4a(m3)b(ab) 4， m3， 解得 m7. 故当 m7 时，A，B，D 三点共线 思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别 与联系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 (2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数 1，2，使 1a2b0 成立，若 1a2b0，当 且仅当 120
17、时成立，则向量 a，b 不共线 跟踪训练 (1)(2017 资阳模拟)已知向量AB a3b，BC5a3b，CD 3a3b，则( ) AA，B，C 三点共线 BA，B，D 三点共线 CA，C，D 三点共线 DB，C，D 三点共线 答案 B 解析 BD BC CD 2a6b2(a3b)2AB ， BD ，AB 共线，又有公共点 B， A，B，D 三点共线故选 B. (2)已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使等式 x2OA xOB BC 0 成立的实数 x 的取值集合为( ) A0 B C1 D0，1 答案 C 解析 BC OC OB ，x2OA xOB OC
18、 OB 0， 即OC x2OA (x1)OB ，A，B，C 三点共线， x2(x1)1，即 x2x0，解得 x0 或 x1. 当 x0 时，x2OA xOB BC 0，此时 B 1，C 两点重合，不合题意，舍去故 x1.故选 C. 容易忽视的零向量 典例 下列叙述错误的是_(填序号) 若非零向量 a 与 b 方向相同或相反，则 ab 与 a，b 之一的方向相同； |a|b|ab|a 与 b 方向相同； 向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 ba； AB BA0； 若 ab，则 ab. 错解展示 中两个向量的和仍是一个向量，所以AB BA0. 错误答案 现场纠错 解析 对于，当 ab0 时，其方向任意，它与 a，b 的方向都不相同 对于，当 a，b 之一为零向量时结论不成立 对于，当 a0 且 b0 时， 有无数个值；当 a0 但 b0 或 a0 但 b0 时， 不存在 对于，由于两个向量之和仍是一个向量， 所以AB BA0. 对于，当 0 时，不管 a 与 b 的大小与方向如何，都有 ab，此时不一定有 ab. 故均错 答案 纠错心得 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量.
